第十三讲 扇形的弧长和面积 预习讲义 【暑假衔接】2024-2025学年苏科版数学九年级上册

扇形的弧长和面积 【同步知识梳理】 1、圆的周长公式是什么？弧长公式怎样推导？ 2、圆的面积公式是什么？扇形面积公式怎样推导？ 3、 总结： （1）圆的周长C＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）弧长l＝＿＿＿＿＿＿＿； （3）圆面积S圆＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （4）扇形面积S扇形＝＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿. 【精题精练精讲】 题型一：求扇形的弧长 1．已知正内接于，的半径为2，则的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接、， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， 故选：C． 2．如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．如图，矩形内接于，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是直径，点是线段的中点， ∴在中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 故选：B ． 4．不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体做了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘，分别与相切于点 A， B， 若该圆半径是3，， 则的长是 ．（结果保留π） 【答案】 【详解】解：，分别与相切于点 A， B， ， ， ， 所对圆心角为， 该圆半径是3， 的长是， 故答案为：． 题型二：求某点运动弧形的路径长度 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，将矩形绕点逆时针旋转，旋转后点B的对应点的坐标和点B在旋转过程中绕过的路径长分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形， ，， ，， ，， 由旋转变换的性质可知， 由勾股定理，得， ∴点B在旋转过程中绕过的路径长， 故选：A． 2．一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上， ∴,即， ∴点A经过的路径长至少为． 故答案为：． 3．如图，笔记本电脑水平放置在桌面上、图2是它的示意图，张角，顶部边缘对应处离桌面的高度．当将电脑屏幕绕点旋转至张角时（点是的对应点），顶部边缘处绕点旋转到处转过的弧长为 cm．（结果保留） 【答案】 【详解】解： ． ， 顶部边缘A处绕点O旋转到处时转过的弧长为． 故答案为：． 4．在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，将绕点顺时针方向旋转后得到． (1)在图中画出； (2)写出点和点的坐标； (3)求出点旋转到点经过的路径的长度． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）解：∵，设点和点， ∴， 解得 故点和点，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据（1）的解答，得点和点． （3）解：∵， ∴， 圆心角为， ∴点旋转到点经过的路径的长度为． 题型三：求扇形的面积 1．如图，是的切线，连接交于点C，若的半径为2，，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 由是的切线，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，在正五边形中，以点为圆心、为半径作．若阴影部分的面积是，则正五边形的边长为 ． 【答案】6 【详解】解：在正五边形中，， ∴阴影部分的面积为， 解得， 故答案为：6． 3．如图，这是著名的斐波那契螺旋线，若正方形的边长为1，以A为圆心，的长为半径画，记为；以为边长，在右侧作正方形，以A为圆心，的长为半径画，记为；以为边长，在上方作正方形，以B为圆心，的长为半径画，记为，…，以此类推，按逆时针方向不断地在正方形内画圆弧，则阴影部分（即扇形）的面积为 ． 【答案】 【详解】解：由作图以及正方形的性质可得，，，，， ∴扇形的面积为， 故答案为：． 4．如图，折线是一段固定的栅栏，其上方为草场．已知，，．一条长度为的绳子，一头固定在点处，另一头栓着小羊．则小羊活动的最大区域面积为 ．（结果保留）    【答案】 【详解】解：由题可知，小羊活动的最大区域面积是扇形和扇形的面积和，如下图：   ， ， ， ， ∴小羊活动的最大区域面积为， 故答案为：． 题型四：求图形旋转后扫过的面积 1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，连接，将绕原点O逆时针旋转，扫过的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点A的坐标为， ， 绕原点O逆时针旋转， 扫过的面积为， 故选：C． 2．如图，在矩形中，，将绕点A按逆时针方向旋转到（点A、B、E在同一直线上），则在运动过程中所扫过的面积为 ． 【答案】 【详解】解：在矩形中，∵， 由旋转的性质得，， ∴， ∴在运动过程中所扫过的面积． 故答案为：． 3．如图，在边长为的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，绕点顺时针旋转后得到 (1)画出；（其中、对应点分别是、） (2)求点经过的路径的长； (3)求线段所扫过的面积． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：， 点经过的路径的长； （3）解：， ∴线段所扫过的面积 4．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，．将绕圆心O逆时针旋转至 ，点在上，求边扫过区域（图中阴影部分）的面积． 【答案】 【详解】解：如图可知， ∵，是由绕圆心O逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ，， ． 题型五：求弓形的面积 1．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为 平方米．    【答案】10 【详解】由题意得：于点D， ∵， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴弧田面积， ∴弧田的面积为10平方米． 故答案为：10． 2．如图，在中，，，以中点D为圆心、长为半径作半圆交线段于点E，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，．    ∵为直径， ∴． ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴阴影部分的面积= ． 故答案为：． 3．如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，过点作于点，    由题意可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积为 ， 故选：A． 4．如图，的直径，C为上一点，在的延长线上取一点P，连接交于点D，，．    (1)求的长； (2)计算图中阴影部分的面积． 【答案】(1)4(2) 【详解】（1）解：作于点E，连接， ， ， ，， ， ， ， ∴， ； （2）解：， ， ， ∴阴影部分的面积为．    题型六：求不规则图形的面积 1．如图，是半径为6的半圆上的两个点，是直径，，若的长度为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设， 的长度为， ， 解得：， ， ， ， ， 故选：C． 2．如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，标注直线与圆的交点， 由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，    ∴，， ∴， ∴扇形与扇形重合， ∴， ∵为等边三角形，，过作于， ∴，，， ∴； 故答案为：． 3．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：连接， 由翻折而成， ，， ， 是等边三角形． ， ， ， 是等腰直角三角形． ， ， ． 故答案为：． 4．如图，在由6个边长为1的小正方形组成的图形中阴影部分面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， 由网格的特点可知，，， ∴阴影部分面积， 故答案为： 【能力拓展训练】 1．如图，正方形的边长为，曲线…叫“正方形的渐开线”，其中、、、、…的圆心依次按，，，循环，长度分别标记为，，，，当弧线长度标记为时，的值为 ． 【答案】 【详解】解：当时，由题意可得：，，，的半径分别为： ，，，， ∴的半径为，圆心角为， 故． 故答案为：． 2．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（   ）    A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：过点作于点，设等边三角形的边长为，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴等边的面积为， ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴等边三角形的边长为， 故选：A． 3．如图，在矩形中，已知，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右第一次旋转至图➀位置，再绕右下角的顶点继续向右第二次旋转至图➁位置，…，以此类推，这样连续旋转4次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 转动一次顶点A的路线长是：， 转动第二次顶点A的路线长是：， 转动第三次顶点A的路线长是：， 转动第四次顶点A的路线长是0， 故顶点A转动四次经过的路线长为：， 故答案为． 【课后知识应用】 1．已知，如图等边中，是边上的高，以点为圆心，为半径画弧，交，于点，．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵是边上的高， ∴是的中线， ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 2．《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为，滑轮旋转了，则重物“甲”上升了 （绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留） 【答案】 【详解】由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长． 即： 故答案为：． 3．如图，在中，，以为直径的交于点F，过点F作的切线交于点E，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【详解】解：连接，如解图所示． 是的切线， ， ． ， ， ， ∴四边形是矩形． 又， ∴四边形是正方形， ． 4．如图，已知菱形的边长为2，、两点在扇形的弧上，，则图中阴影部分图形的面积之和为 ．    【答案】 【详解】解：四边形是菱形， ． 又， ， 是等边三角形， ， 又， ． 菱形的边长为2， ， ． 故答案为：． 5．如图，在矩形中，为的中点，连接、，，以点为圆心，的长为半径画弧，分别与、交于点、，若，则图中阴影部分的面积和为 （结果保留）． 【答案】 【详解】解：四边形是矩形，， ，，， 又， 和都是等腰直角三角形， ， 在中， ， 同理可得，， ， ． 又， ， ． 故答案为：． 6．如图，在扇形中，，，点为的中点，连接，，交点为，点为的中点，连接，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵在扇形中，，，点为的中点， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为； 故答案为：． 7．如图，已知A、D是上任意两点，且，以为边作正方形，若边绕点O旋转一周，则边扫过的面积为 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，连接，过点O作于点E，延长交于点F．      ∵为弦，， ∴由垂径定理可得． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形，． ∵边绕点O旋转一周，则边扫过的图形为以为外圆半径，为内圆半径的圆环， ∴圆环面积为． 故答案为：． 8．如图，中，，，，O，H分别为边，的中点，将绕点B逆时针旋转到的位置，则整个旋转过程中线段所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（　　）    A． B． C．π D． 【答案】C 【详解】解：连接，，    ∵O、H分别为边，的中点，将绕点B逆时针旋转到的位置， ∴， ∴线段所扫过部分的面积(即阴影部分面积)为以点B为圆心，、为半径的两个扇形组成的一个环形， ∵°，，， ∴， ∴， ∵H为边的中点， ∴， ∴， ∴阴影部分面积， 故选：C． 9．如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，过点O作于点F，    则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴∠， ∴∠， ∴． 故选：B． 10．如图，将矩形绕点C沿顺时针方向旋转到矩形的位置，，． (1)连接，，判断的形状并证明； (2)计算阴影部分面积． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析(2) 【详解】（1）解：如图所示，连接，， ∵矩形绕点C沿顺时针方向旋转到矩形的位置， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等腰三角形； （2）由旋转可得，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 11．如图，在菱形中，，，以B为圆心，为半径画弧，交于点E，过点E作交于点F，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过F作于H，如图所示： ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∵以B为圆心，为半径画弧，交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴阴影部分的面积 ． 故选：C． 12．如图，在圆心角为的扇形中，半径，以为直径作半圆．过点作的平行线分别交两弧于点，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵圆心角为的扇形中，半径，以为直径作半圆， ∴扇形面积等于扇形面积， ∴， ∴， ∴， ∴扇形面积：， ∴的面积：， ∴阴影部分的面积扇形面积的面积：， 故答案为：． 13．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知的三个顶点均在格点上，点M为上一点，以点C为圆心，的长为半径作圆与边相切于点N，已知为该圆的一部分，则图中由线段及所围成的阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：由题意知，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， 如图，连接， ∵是切点， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．如图，为直径，圆心为点O，，将半圆绕点 B逆时针旋转，点A 旋转到点 C的位置，此时直径恰好经过圆弧的中点，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：设与半圆交于点D，连接， 点D是圆弧的中点， ， ， ， ， ， ，，， 阴影部分的面积等于， 故答案为：． 15．如图，在平行四边形中，，点是中点，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点，连接，若图中阴影部分面积为，则 ． 【答案】 【详解】解：连接，过作于G， ∵圆与边恰好相切于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∵阴影部分面积为， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 16．如图所示的扇形中，，过点O作，交于点P，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，过点P作于点D， ∵，，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 扇形的弧长和面积 【同步知识梳理】 1、圆的周长公式是什么？弧长公式怎样推导？ 2、圆的面积公式是什么？扇形面积公式怎样推导？ 3、 总结： （1）圆的周长C＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）弧长l＝＿＿＿＿＿＿＿； （3）圆面积S圆＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （4）扇形面积S扇形＝＿＿＿＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿. 【精题精练精讲】 题型一：求扇形的弧长 1．已知正内接于，的半径为2，则的弧长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，矩形内接于，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体做了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知帽子的边缘，分别与相切于点 A， B， 若该圆半径是3，， 则的长是 ．（结果保留π） 题型二：求某点运动弧形的路径长度 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，将矩形绕点逆时针旋转，旋转后点B的对应点的坐标和点B在旋转过程中绕过的路径长分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留） 3．如图，笔记本电脑水平放置在桌面上、图2是它的示意图，张角，顶部边缘对应处离桌面的高度．当将电脑屏幕绕点旋转至张角时（点是的对应点），顶部边缘处绕点旋转到处转过的弧长为 cm．（结果保留） 4．在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，将绕点顺时针方向旋转后得到． (1)在图中画出； (2)写出点和点的坐标； (3)求出点旋转到点经过的路径的长度． 题型三：求扇形的面积 1．如图，是的切线，连接交于点C，若的半径为2，，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正五边形中，以点为圆心、为半径作．若阴影部分的面积是，则正五边形的边长为 ． 3．如图，这是著名的斐波那契螺旋线，若正方形的边长为1，以A为圆心，的长为半径画，记为；以为边长，在右侧作正方形，以A为圆心，的长为半径画，记为；以为边长，在上方作正方形，以B为圆心，的长为半径画，记为，…，以此类推，按逆时针方向不断地在正方形内画圆弧，则阴影部分（即扇形）的面积为 ． 4．如图，折线是一段固定的栅栏，其上方为草场．已知，，．一条长度为的绳子，一头固定在点处，另一头栓着小羊．则小羊活动的最大区域面积为 ．（结果保留）    题型四：求图形旋转后扫过的面积 1．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，连接，将绕原点O逆时针旋转，扫过的面积为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，，将绕点A按逆时针方向旋转到（点A、B、E在同一直线上），则在运动过程中所扫过的面积为 ． 3．如图，在边长为的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，绕点顺时针旋转后得到 (1)画出；（其中、对应点分别是、） (2)求点经过的路径的长； (3)求线段所扫过的面积． 4．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径长为，．将绕圆心O逆时针旋转至 ，点在上，求边扫过区域（图中阴影部分）的面积． 题型五：求弓形的面积 1．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按上述公式计算出弧田的面积为 平方米．    2．如图，在中，，，以中点D为圆心、长为半径作半圆交线段于点E，则图中阴影部分的面积为 ．    3．如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 4．如图，的直径，C为上一点，在的延长线上取一点P，连接交于点D，，．    (1)求的长； (2)计算图中阴影部分的面积． 题型六：求不规则图形的面积 1．如图，是半径为6的半圆上的两个点，是直径，，若的长度为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为 ．    3．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 4．如图，在由6个边长为1的小正方形组成的图形中阴影部分面积为 ． 【能力拓展训练】 1．如图，正方形的边长为，曲线…叫“正方形的渐开线”，其中、、、、…的圆心依次按，，，循环，长度分别标记为，，，，当弧线长度标记为时，的值为 ． 2．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（   ）    A．1 B． C． D．2 3．如图，在矩形中，已知，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右第一次旋转至图➀位置，再绕右下角的顶点继续向右第二次旋转至图➁位置，…，以此类推，这样连续旋转4次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ． 【课后知识应用】 1．已知，如图等边中，是边上的高，以点为圆心，为半径画弧，交，于点，．若，则的长为 ． 2．《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为，滑轮旋转了，则重物“甲”上升了 （绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留） 3．如图，在中，，以为直径的交于点F，过点F作的切线交于点E，则图中阴影部分的面积是 ． 4．如图，已知菱形的边长为2，、两点在扇形的弧上，，则图中阴影部分图形的面积之和为 ．    5．如图，在矩形中，为的中点，连接、，，以点为圆心，的长为半径画弧，分别与、交于点、，若，则图中阴影部分的面积和为 （结果保留）． 6．如图，在扇形中，，，点为的中点，连接，，交点为，点为的中点，连接，，，则图中阴影部分的面积为 ． 7．如图，已知A、D是上任意两点，且，以为边作正方形，若边绕点O旋转一周，则边扫过的面积为 ．    8．如图，中，，，，O，H分别为边，的中点，将绕点B逆时针旋转到的位置，则整个旋转过程中线段所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（　　）    A． B． C．π D． 9．如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 10．如图，将矩形绕点C沿顺时针方向旋转到矩形的位置，，． (1)连接，，判断的形状并证明； (2)计算阴影部分面积． 11．如图，在菱形中，，，以B为圆心，为半径画弧，交于点E，过点E作交于点F，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在圆心角为的扇形中，半径，以为直径作半圆．过点作的平行线分别交两弧于点，，则图中阴影部分的面积是 ． 13．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知的三个顶点均在格点上，点M为上一点，以点C为圆心，的长为半径作圆与边相切于点N，已知为该圆的一部分，则图中由线段及所围成的阴影部分的面积为 ． 14．如图，为直径，圆心为点O，，将半圆绕点 B逆时针旋转，点A 旋转到点 C的位置，此时直径恰好经过圆弧的中点，则图中阴影部分的面积为 ． 15．如图，在平行四边形中，，点是中点，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点，连接，若图中阴影部分面积为，则 ． 16．如图所示的扇形中，，过点O作，交于点P，若，则阴影部分的面积为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$