第三模块 抛物线综合题 压轴题专题突破 2024-2025学年人教版九年级数学上册

第三模块 抛物线综合题 专题一 抛物线综合题 (1) ——抛物线与勾股定理 01. 如图1, P(m, n) 是抛物线 上任意一点，l是过点(0，-2) 且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l, 垂足为H, PH交x轴于 Q. (1) 问题探究: ①填空: 当m=0时, OP= , PH= ; 当m=4时, ②对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想. (2) 问题应用: ①当OP=OH, 且m≠0时, 求P点的坐标; ②如图2, 已知线段AB=6, 端点A, B在抛物线 上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值. 专题二 抛物线综合题(2)——抛物线与平行四边形(新热点) 01.如图, 抛物线 与x轴分别相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，C是AB的中点，平行四边形CDEF的顶点D，E均在抛物线上. (1) 直接写出点 C的坐标； (2) 如图1，若点D的横坐标是 ，点E在第三象限，平行四边形CDEF的面积是13，求点F的坐标； (3) 如图2，若点F在抛物线上，连接DF，求证：直线DF过一定点. 专题三 抛物线综合题 (3) ——抛物线与特殊角 01.如图，在平面直角坐标系中，抛物线. (其中 与x轴交于A，B两点(A 在B的左侧), 与y轴交于点 C. (1) 若 分别求出A，B，C三点的坐标； (2) 如图1，在(1)的条件下，若在第一象限抛物线上有一点D，使 求出点D的坐标； (3)如图2，平面上一点E(m，2)，过点E任意作一条直线与抛物线交于P，Q两点，连接AP，AQ, 分别交y轴于M, N两点, 求OM·ON的值. 02. 抛物线 与x轴交于A, B两点(A在B左侧) , 与y轴交于点 C. (1) 如图1, 当 时, 连接AC, BC, 求 的面积； (2)如图2，在(1)的条件下，若点P为在第四象限的抛物线上的一点，且 求 P 点坐标； (3) 如图3, 当 时，若Q是抛物线上A，C之间的一点(不与A，C重合) ，直线QA，QB分别交y轴于D，E两点. 在Q点运动过程中，是否存在固定的t值，使得( 若存在，求出t值； 若不存在，请说明理由. 专题四 抛物线综合题(4)——抛物线与三角形的旋转(新热点) 01. 如图, 抛物线 与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B. (1) 求A, B两点的坐标; (2) 如图1，点C在y轴右侧的抛物线上，且. ，求点 C的坐标； (3)如图2, 将 绕平面内点 P顺时针旋转 后，得到 (点A, B, O的对应点分别是点D, E, F) , D, E两点刚好在抛物线上. ①求点F的坐标； ②直接写出点P的坐标. 02. 如图, 直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 经过A, B两点，与x轴的另一个交点为C. (1) 求抛物线的解析式； (2) 直线AB 上方抛物线上存在点 D，使得 求 D 点的坐标； (3) M是平面内一点，将 绕点 M逆时针旋转 后，得到 若 的两个顶点恰好落在抛物线上，求点 的坐标. 专题五 抛物线综合题 (5) ——抛物线与面积处理 01. 如图1, 抛物线 与x轴交于A，B两点(A在B的左边)，与y轴交于点 C, 且OC=OB. (1) 求抛物线的解析式； (2)如图2，在线段BC下方的抛物线上存在一点D，使 线段AD与线段BC交于点E，求点E的坐标； (3) 如图3，在抛物线下方存在一点 连接FC，FB分别与抛物线交于点M，N(点M, N异于点A, B) , 且直线MN和y轴交于点 P, 求CP的长(用含n的式子表示). 02. 抛物线 C: 交x轴于A, B两点(点A在点B的左边) , 交y轴于点 C. (1) 直接写出点A, B, C的坐标; (2) 如图1，平移直线y=x经过点A，交抛物线于另一点N，点D在抛物线上，满足 的面积与 的面积相等，求点 D的横坐标； (3)如图2，将抛物线C向上平移，使其顶点M在x轴上，得到抛物线 直线 交抛物线 于P，Q两点，交其对称轴于点E，过点Q作y轴的平行线分别交x轴，直线PM于F, H两点, EH交x轴于点G, 求证:. 专题六 抛物线综合题 (6) ——抛物线与等角处理 01.已知抛物线与x轴交于点A, 点B, 与y轴交于点C(0, 3) , 顶点坐标( (1) 求抛物线的解析式； (2) 如图1，点D在第二象限的抛物线上，且 求点 D 的坐标； (3)如图2，将抛物线平移至顶点与原点重合得到新抛物线，M，N在新抛物线上且M在N的左侧，过M，N的两条直线与抛物线均有唯一的公共点，且两条直线交于点E，过E作. 轴交MN于F, 交抛物线于 G, 求证: G是EF中点. 专题七 抛物线综合题 (7)——抛物线与二倍角处理(新热点 ) 01如图, 抛物线 与x轴交于点. 和B两点, 点C(6, 4) 在抛物线上. (1) 直接写出B点坐标： ，抛物线解析式为 (一般式)； (2) 如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且 求点D的坐标； (3) 如图2, 直线. 与抛物线交于点E, F, 连接CE, CF分别交y轴于点M, N, 若OM·ON=3，求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标. 专题八 抛物线综合题(8)——抛物线上的点到直线的距离(新热点) 01. 如图, 直线l: 分别与x轴，y轴交于点A，点B，抛物线 经过点 B. (1) 求抛物线的解析式； (2) 点C是第四象限抛物线上一动点，连接AC，BC. ①当 的面积最大时，求点C的坐标及 面积的最大值； ②在①的条件下，将直线l绕着点A逆时针方向旋转到直线l'，l'与线段 BC交于点D，设点B，点C到l'的距离分别为 和 当 最大时，求直线l旋转的角度. 专题九 抛物线综合题 (9) ——抛物线与定直线上的动点 01.已知抛物线 与x轴交于A，B两点(A在B左边) ,与y轴交于 C点, 顶点为P, (1) 求a与m满足的关系式； (2) 直线. 与抛物线交于另一点D，△ADP 的面积为 求a的值； (3) 在(2) 的条件下, 过 的直线与抛物线交于M，N两点，分别过M，N且与抛物线仅有一个公共点的两条直线交于点G，求OG长的最小值. 专题十 抛物线综合题(10)——抛物线上特殊点的恒存在性 (新热点) 01.如图, 抛物线 与x轴交于 和B两点，与y轴交于点 C (1) 求此抛物线的解析式； (2)若直线l: 与x和y轴分别交于点D和点E，直线BC交直线DE于点F，在第二象限内的抛物线上是否存在一点P，使 ，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由； (3)在(2)的条件下，对于直线l上任意给定的一点 G，过点G的另外一条直线交抛物线于 M，N两点，在抛物线上是否都一定能找到点M，使得( 请证明你的结论. 专题十一 抛物线综合题(11)——抛物线与图形的唯一存在性(新热点) 01.如图1, 抛物线 与x轴交于A，B两点(A点在B点的左边)，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D， (1) 求抛物线解析式； (2)如图2，点E的坐标为(0，7)，若过点E 作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H，直线. 与抛物线交于F，G两点，求当k为何值时， 面积最小，并求出面积的最小值； (3) 如图3, 已知直线l: 将抛物线沿直线l方向平移，平移过程中抛物线与直线l相交于E，F两点. 设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在唯一的一点P，使 求m的值. 专题十二 抛物线综合题(12)——抛物线与等线段的处理 01.已知抛物线 和 (1) 如何将抛物线 平移得到抛物线 (2) 如图1, 抛物线 与x轴正半轴交于点A，直线 经过点A，交抛物线 于另一点 B. 请你在线段AB 上取点P，过点 P作直线. 轴交抛物线 于点Q, 连接AQ. ①若 求点P的横坐标； ②若 ，直接写出点P的横坐标； (3) 如图2, 的顶点M，N在抛物 上，点M在点N右边，两条直ME，NE 与抛物线 均有唯一共点，ME，NE均与y轴不平行. 若 的面积为2，设M，N两点的横坐标分别为m，n，求m与n的数量关系. 专题十三 抛物线综合题(13)——抛物线与平行 (新热点) 01. 如图, 抛物线 与x轴交于A(-1, 0), B(2, 0) 两点, 与y轴交于点 C. (1) 求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是第一象限抛物线上一点，作 当DE的长度最大时，求点 D的坐标； (3) 如图2, 平行于BC的直线MN交抛物线于M, N两点, 直线MC, NB的交点为P, 求点P的横坐标. 02. 在平面直角坐标系中，抛物线 (1) 若A(-1, y₀) , B(0, y₀) , C(1, y₀) 三点均在( 上, 连BC, 过点A作. 交抛物线 于 E. ①探究：当a=-11时，直接写出直线BC的解析式为 ，点E的坐标为 ； ②求证：当a值变化时，E点总在直线. 上. (2) 如图, 若 将抛物线 1先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线 交x轴于H, 交y轴于 T, 直线 交抛物线 于P, Q, 当 时，求k的值. 专题十四 抛物线综合题(14) ——抛物线与正方形 01.定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”. 例如： 的“同轴对称抛物线”为 (1) 请写出抛物线. 的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线 的顶点坐标 ；抛物线 的“同轴对称抛物线”为 ； (2) 如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L 上一点，点B 的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B，C关于抛物线对称轴对称的点B', C' , 连接BC, CC, B'C', BB', 设四边形. 的面积为S. ①当四边形. 为正方形时，求a的值； ②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内(不包括边界) 共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a的取值范围. 专题十五 抛物线综合题 (15) ——抛物线与圆(新热点) 01.已知抛物线 与x轴交于A，B两点 (点A在点B的左侧)，与y轴交于点 C. (1) 求A, B, C三点的坐标; (2)过A，B两点作⊙M，交抛物线于点D(点D在对称轴右侧)，若 求点M的坐标； (3) 如图2，点Q是抛物线对称轴上，纵坐标为 的点，点E是对称轴上抛物线下方的动点，以点Q为圆心，QE为半径作圆交抛物线于点F(点F在对称轴的右侧)，求证：直线EF与抛物线有唯一公共点. 02.如图, 经过定点A的直线 交抛物线 于 B, C两点(点C在点B的右侧) ，D为抛物线的顶点. (1) 直接写出点A的坐标； (2) 如图1, 若 的面积是 面积的两倍，求k的值； (3) 如图2, 以AC为直径作⊙E, 若⊙E与直线. t所截的弦长恒为定值，求t的值. 03.如图,抛物线 的图象与x轴交于A，B两点，点A为( 直线l： 与抛物线交于M，N两点(M在N左边) ，交y轴于点H. (1) 求抛物线的解析式； (2) 如图1, 若 过 C 点作 于点D, 连接AD, AC, 若此时 ，求M点的横坐标； (3) 如图2, 若. 连接BM，BN，过原点O作直线BN的垂线，垂足为E，以OE为半径作⊙O, 求证: ⊙O与直线BM相切. 学科网（北京）股份有限公司 $$