小升初拓展培优：多次相遇问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学苏教版

多次相遇问题 (知识归纳+典例分析+高频真题+答案解析) 一、基本概念 相遇：两个或多个物体在同一时间到达同一地点。 多次相遇：两个或多个物体在行程过程中相遇多次。 速度：物体在单位时间内移动的距离。 时间：物体移动所需的时间。 距离：物体移动的总路程。 二、基本公式和方法计算： 距离、速度、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离＝速度×时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量． 还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S甲、S乙；速度分别为V甲、V乙；所用时间分别为T甲、T乙时，由于S甲＝V甲×T甲，S乙＝V乙×T乙，有如下关系： （1）当时间相同即T甲＝T乙时，有S甲：S乙＝V甲：V乙； （2）当速度相同即V甲＝V乙时，有S甲：S乙＝T甲：T乙； （3）当路程相同即S甲＝S乙时，有V甲：V乙＝T乙：T甲． 在多次相遇、追及问题中，用比例方法来解往往能收到很好的效果． 三、直线路径上的多次相遇 在直线路径上，两个物体从两端同时出发，相向而行，它们会在某个点相遇。之后，如果它们继续以原速度、原方向移动，它们会再次相遇，如此反复。 解题关键： 1、确定单次相遇的时间：使用公式 时间=速度和总路程​。 2、理解多次相遇的周期性：每次相遇后，两个物体都会共同走完一个总路程。因此，第n次相遇时，它 们共同走完的总路程是总路程的n倍。 3、利用比例关系：在多次相遇问题中，物体各自走过的路程之比等于它们的速度之比。 四、环形路径上的多次相遇 在环形路径上，两个物体从同一地点或不同地点出发，同向或反向跑动，它们会在某个点相遇，并可能继续相遇多次。 解题关键： 1、理解环形路径的特点：物体在环形路径上跑动时，会不断回到出发点。 2、确定相遇的周期性：同向而行时，快者每次追上慢者都会多跑一圈；反向而行时，每次相遇两人共同 跑完一圈。 3、利用速度、时间和距离的关系：建立数学模型，通过代数运算求解。 【典例1】甲、乙、丙三人步行的速度分别是：每分钟甲走90米，乙走75米，丙走60米．甲、丙从某长街的西头、乙从该长街的东头同时出发相向而行，甲、乙相遇后恰好4分钟乙、丙相遇，那么这条长街的长度是多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】甲、乙相遇后4分钟乙、丙相遇，说明甲、乙相遇时乙、丙还差4分钟的路程，即还差4×（75+60）＝540米；而这540米也是甲、乙相遇时间里甲、丙的路程差，根据路程÷速度差＝时间可知甲、乙相遇时间＝540÷（90﹣60）＝18分钟，所以长街长＝18×（90+75）＝2970米． 【解答】解：相遇时甲丙相距：4×（75+60）＝540（米）； 甲乙的相遇时间为：540÷（90﹣60）＝18（分钟）； 长街长为：18×（90+75）＝2970（米）． 答：这条长街的长度是2970米． 【点评】由甲乙相遇后乙丙的相遇时间求出甲乙相遇时甲丙相距的路程是完成本题的关键． 【典例2】甲、乙两车的速度分别为52千米/时和 40千米/时，它们同时从甲地出发到乙地去，出发后6时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1时后乙车也遇到了这辆卡车．求这辆卡车的速度． 【答案】见试题解答内容 【分析】此题用方程解好想，设这辆卡车的速度为x千米/小时，由题意“出发后6时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1时后乙车也遇到了这辆卡车”，说明甲车与卡车相遇时间是6小时，乙车与卡车相遇时间是7小时，根据速度和×相遇时间＝路程和，由卡车先后与甲、乙两车相遇的时间及速度和表示出甲乙两地路程，甲乙两地路程不变，列出方程求解． 【解答】解：乙车与卡车相遇的时间是： 6+1＝7（小时）， 设这辆卡车的速度为x千米/小时，由题意列方程得 （52+x）×6＝（40+x）×7， 312+6x＝280+7x， x＝32； 答：这辆卡车的速度为32千米/小时． 【点评】此题重在根据速度和×相遇时间＝路程和，由卡车与甲、乙车两次相遇行的路程和相等列方程． 【典例3】甲、乙两艘船分别从A、B两港口同时相向而行，乙船的速度是甲船的，两船厂相遇后继续航行，甲船到B港后立即返回，乙船到A港后出立即返回．已知两船第二次相遇地点距第一次相遇的地点是40千米，那么A、B两港口相距多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】因为乙船的速度是甲船的速度的，所以第一次相遇时乙船走了A，B两地距离的（甲船走了），即相遇点距B地个单程．因为第一次相遇两船共走了一个单程，第二次相遇共走了三个单程，所以第二次相遇乙船走了3（个）单程，即相遇点距A地个单程（见下图）． 【解答】解：40÷[（3﹣1）] ＝40÷[] ＝40 ＝100（千米）． 答：A，B两港口相距100千米． 【点评】解答此题需明白下列几个问题：①甲船乙船速度比＝甲船乙船路程比；②第一次相遇距离A地；③第二次相遇甲船、乙船共走了3个全程．此时距离A地3﹣1． 【典例4】客车、货车各一辆，分别从甲、乙两地同时相向而行，在距乙地95千米处相遇，相遇后两车又继续前进，货车到甲地，客车到乙地后都立即返回，两车又在距甲地25千米处相遇．甲、乙两地的距离是多少千米？ 【答案】260。 【分析】第一次相遇时，两车共行了甲、乙两地的距离，其中乙地出发的货车行了95千米；即每行一个甲、乙两地的距离，乙地出发的货车就行95千米，第二次相遇时，两车共行了甲、乙两地距离的3倍，则乙地出发的货车行了（95×3）千米；这时货车行了一个单程多25千米，所以甲、乙两地的距离是：（95×3﹣25）千米，据此解答即可。 【解答】解：95×3﹣25 ＝285﹣25 ＝260（千米） 答：甲、乙两地的距离是260千米。 【点评】解答本题的关键是得出：每行一个甲、乙两地的距离，乙地出发的货车就行95千米；画出行程示意图可以更好的理解。 【典例5】甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为60千米/时和48千米/时．有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6时、7时、8时先后与甲、乙、丙三辆车相遇．求丙车的速度． 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意知：卡车先后与甲、乙两车相遇，时间差内行的路程就是卡车与乙车行的路程和，所以先利用甲、乙两车的速度及与迎面开来的卡车相遇的时间，求出卡车速度，再利用甲车与卡车的速度和及相遇时间求出A、B两地距离，最后用两地距离减去卡车行的路程算出丙车行的路程去除以丙车与卡车相遇的时间，得丙车的速度． 【解答】解：卡车行的路程是： （60﹣48）×6﹣48＝24（千米）， 卡车的速度是： 24÷（7﹣6）＝24（千米/小时）， A、B两地的路程是： （60+24）×6＝504（千米）， 卡车行的路程是：24×8＝192（千米）， 丙车行的路程是：504﹣192＝312（千米）， 丙车的速度是：312÷8＝39（千米/小时）； 答：丙车的速度是39千米/小时． 【点评】此题重点是理解卡车行的路程是多少，再求出卡车的速度，找丙车行的路程． 1．甲乙二人分别从A、B两地出发相向而行，到达目的地后马上掉头回到出发地，他们第一次相遇距A地800米，第二次距B地500米，A、B两地相距多少米？ 2．甲、乙丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定点出发，甲按顺时针方向行，乙与丙按逆时针方向行．甲第一次遇到乙后1分钟遇到丙，再过3分钟第二次遇到乙．已知乙的速度是甲的，湖的周长是600米，求丙的速度． 3．已知甲车速度为每小时90千米，乙车速度为每小时60千米，甲乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，在途经C地时乙车比甲车早到10分钟；第二天甲乙分别从B，A两地出发同时返回原来出发地，在途经C地时甲车比乙车早到1个半小时，那么AB距离是多少？ 4．甲从A地往B地，乙、丙两人从B地往A地，三人同时出发，甲首先在途中与乙相遇，之后15分钟又与丙相遇，甲每分钟走70米，乙每分钟走60米，丙每分钟走50米，问：A、B两地相距多少米？ 5．如图：A、B是圆直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点100米，在D点第二次相遇，D点离A点有60米，求这个图的周长． 6．甲、乙两人同时从A地出发，在直道A、B两地往返跑步，甲每分钟72米，乙每分钟48米，甲乙第二次迎面相遇与甲第二次从后面追上乙，两地相距80米，求A、B两地相距多少米？ 7．甲乙两车同时从AB两地相对开出．第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回．第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5．已知甲车在第一次相遇时行了120千米．AB两地相距多少千米？ 8．甲乙两辆汽车分别从A、B两地同时出发，相向而行，乙车的速度是甲车的，当它们第一次相遇后，乙车继续向A地前进，到达A地后立即返回，甲车继续向B地前进，到达B后立即返回，到第二次相遇时，第二次的相遇点与第一次相遇点相距3000千米，求AB两地的距离是多少千米？ 9．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，第一次相遇离A地有200千米，然后各自按原速继续行驶，分别到达对方出发地后立即沿原路返回．第二次相遇时离A地距离占A、B两站间全长的75%．A、B两地间的路程长多少千米？ 10．小东，小青两人同时从甲乙两地出发相向而行，两人在离甲地40千米处第一次相遇．相遇后两人仍以原速继续前进，并且在各自到达对方出发点都立即沿原路返回，途中两人在距离乙地15千米处第二次相遇，求甲乙两地相距多少千米？ 11．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，乙的速度是甲的，两人相遇后继续前进，甲到达B地，乙到达A地立即返回，已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点是3000米，求A、B两地的距离？ 12．甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出．第一次在离A地95千米处相遇，相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？ 13．快车和慢车同时从东西两站相对开出，第一次在距中点西侧10千米处相遇，相遇后两车以原速前进，到达东西两地后，两车立即返回，第二次相遇时离东站的距离占两站距离的七分之三．东西两站相距多少千米？ 14．甲、乙两人同时从A、B两地出发相向而行，而甲速快于乙速，两人第一次相遇在距B点240米的地方，两人分别到达B、A后又立即以原速返回，第二次相遇在距A地120米的地方，求A、B两地相距多少米？ 15．如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发，相向行走，他们在距A点80米处的C点第一次相遇，接着又在距B点60米处的D点第二次相遇．求这个圆的周长． 16．甲乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A、乙从B同时出发；第一次相遇点距B处60米．当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇．A、B相距多少米？ 17．一辆卡车和一辆客车分别从甲、乙两城同时出发，相向而行，卡车到达乙城后立即返回，客车到达甲城后也立即返回．已知卡车和客车的速度比为：4：3，两车第一次相遇地点距离第二次相遇地点24千米．求甲、乙两城相距多少千米？ 18．甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，乙的速度是甲的，两人相遇后继续前进，甲到达B地，乙到达A地后立即返回，已知两人第二次相遇距第一次相遇的地点是40千米，求A、B两地相距多少千米？ 19．甲、乙两车同时分别以不同的速度从A，B两地相向而行，在距A地90千米处相遇，相遇后两车继续以原速前进，在各自到达对方车站后立即返回，之后在距B地70千米处再次相遇．已知第一次相遇与第二次相遇恰好间隔4小时．那么甲、乙的速度分别是多少？ 20．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，乙车每小时比甲车多行全程的，两车每小时共行全程的，他们在途中第一次相遇后继续前进，甲车到达B地，乙车到达A地后立即返回，他们在途中又一次相遇，如果两次相遇的地点相隔40千米，A、B两地相距多少千米？ 21．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地68千米处相遇，两车各自到达对方车站后，立即返回原地，途中又在距A地52千米处相遇．求两次相遇地点之间的距离． 22．小军回家离家门300米时，妹妹和小狗一起向他奔来，小军和妹妹的速度是50米一分钟，而小狗的速度是200米一分钟，小狗遇到小军后以同样的速度不停的往返于小军和妹妹之间，当小军与妹妹相距只有10米时，小狗一共跑了多少米？ 23．甲乙两辆汽车分别以不同的速度从AB两城相对而行，途中相遇，相遇点距A城80千米，相遇后两车继续以原速前进，到达对方出发点后两车立即返回，在途中第二次相遇，这是相遇点距A城50千米．求AB两城相距多少千米？ 24．小巍带着一条猎犬骑车到离家26千米远的招宝山郊游，他骑车速度是每小时18千米，猎犬奔跑速度是骑车速度的2倍．当猎犬跑到招宝山脚下后，如果小巍还未到，则马上返回迎着小巍跑去，遇到小巍后再跑向招宝山，…这样来回跑一直到小巍到招宝山为止．这时，这只猎犬一共跑多少千米路？ 25．甲乙两车同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地80千米处相遇．相遇后两车继续前进，到达目的地后又立即返回，第二次相遇在离B地60千米处．求A、B两地间的距离． 26．一辆卡车和一辆摩托同时从A、B两地相对开出，两车在途中距A地60千米处第一次相遇，然后两车继续前进，卡车到达B地，摩托车到达A地后都立即返回，两车又在途中距B地30千米处第二次相遇，A、B两地之间的距离是多少千米？ 27．小明和爷爷一起去操场散步，小明走一圈要8分钟，爷爷走一圈要10分钟，如果两人同时从一个地方出发，相背而行，当第一次相遇的时候继续往前走，第二次相遇时，共用了多少分钟？ 28．一条马路长400m，小光和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发．当小光走到这条马路的时候，小狗已经到达马路的终点．然后小狗返回与小光相向而行，遇到小光以后再跑向终点，达到终点以后再与小光相向而行…直到小光达到终点．小狗从出发开始，一共跑了多少m？ 29．A、B两城同时对开客车，两车第一次在距A城50千米处相遇，到站后各停20分钟上下乘客再返回，返回时在距B城40千米处又相遇，问A、B两城相距多少千米？ 30．甲、乙两辆汽车分别从A、B两地相对开出，2.5时后相遇，相遇时，乙车行了105千米，相遇后继续行驶．甲、乙两车分别到达B、A两地后，马上往回开，第二次相遇时，乙车离A地90千米，求A、B两地的路程． 1．【答案】见试题解答内容 【分析】当两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，第一次相遇时甲应该行了800米，再次相遇时，甲应该行驶了3个第一次相遇时行驶的距离，即800×3＝2400米，最后减第二次相遇时甲距离B地的距离即可解答． 【解答】解：800×3﹣500 ＝2400﹣500 ＝1900（米） 答：AB两地相距1900米． 【点评】明确两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，是解答本题的关键． 2．【答案】见试题解答内容 【分析】甲第一次遇乙后1分钟后再遇丙，又过3分钟再遇乙，即从第一次遇乙到第二次遇乙已共用了135分钟，由于每相遇一次，两人就共行一周即600米，所以甲乙两人的速度和为600÷5＝120米/分钟，已知乙速是甲速的，则乙的速度为12048米/分钟，则甲的速度为120﹣48＝72千米，由于甲第一次遇乙后1分钟后再遇丙，则甲与丙相遇时间为5+16分钟，则两人的速度和为600÷696米/分钟，则丙的速度为96﹣72＝24米/分钟． 【解答】解：乙的速度为： 600÷（13） ＝600÷5 ＝48（米/分钟）； 甲的速度为： 120﹣48＝72（米/分钟）； 丙的速度为： 600÷（131）﹣72 ＝600÷672 ＝96﹣72 ＝24（米/分钟）． 答：丙的速度为24米/分钟． 【点评】首先根据题意求出甲乙的相遇时间，进而求出甲乙的速度和是完成本题的关键． 3．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意可知，甲乙两车的速度比为90：60＝3：2，如图，第一天，当乙车行驶到C点时（乙车行驶了BC路段），甲车行驶的距离是BC段的倍，那么AC路段的长度是BC90；第二天，当甲车行驶到C点时（甲车行驶了BC段）， 乙车行驶的距离是BC段的倍，那么AC段的长度是BC60×1.5．由此可设BC的长度为x千米，可得方程：x90x60×1.5，解此方程后求得BC的距离后即能求得AB的距离是多少． 【解答】解：由于甲、乙车的速度比 90：60＝3：2， 10分钟小时，1个半小时＝1.5小时． 由此可设BC的长度为x千米，可得方程： x90x60×1.5， x+15x+90， x＝75， x＝90． 则AB的全长为： （90+60）×（90÷60）+90， ＝150×1.5+15， ＝225+15， ＝240（千米）． 答：A、B的距离为240千米． 【点评】在行程问题中，行驶相同的时间，两人的速度比就是两人所行路程的比． 4．【答案】见试题解答内容 【分析】甲首先在途中与乙相遇，之后15分钟又与丙相遇，则甲乙相遇时，乙丙相距（70+50）×15＝1800米，则根据路程差÷速度差＝共行时间可知，甲乙相遇时，他们行驶的时间为：1800÷（60﹣50）＝180分钟，所以AB两地相距（60+70）×180＝23400（米）． 【解答】解：（70+50）×15÷（60﹣50）×（70+60） ＝1800÷10×130， ＝23400（米）． 答：A、B两地相距23400米． 【点评】根据甲乙相遇后甲又与丙的相遇时间，求出甲乙相遇时乙丙的距离差是完成本题的关键． 5．【答案】见试题解答内容 【分析】由题意可知，第一次相遇于C点，两人合走了半个周长．从C点开始到第二次相遇于D点，两人合起来走了一个周长．因为两速度和一定，所以第一段所需时间是第二段的一半．对于小王而言，他第一段所走的行程是第二段的一半．则C，D的关系有如下两种情况： 对于第一种情况，小王第一段所走的行程为BC，第二段所走的为CD，则CD＝2BC，所以CD＝AC+AD＝160米，则BC＝160÷2＝80米，所以半圆周长是100+80＝180米，圆的周长是180×2＝360米． 对于第二种情况，小王所走的行程为BC，第二段所走的为CD，同样有CD＝2BC，CD＝AC﹣CD＝40米，则BC＝40÷2＝20米，则半圆周长是100+20＝120米，圆的周长是120×2＝240米． 即这个圆的周长为360米或240米． 【解答】解：由题可知，C，D的关系有如下两种情况： 对于第一种情况，CD＝2BC，所以CD＝AC+AD＝160米，则BC＝160÷2＝80米， 所以半圆周长是100+80＝180（米）， 圆的周长是180×2＝360（米）． 对于第二种情况，CD＝2BC，CD＝AC﹣CD＝40米，则BC＝40÷2＝20米， 则半圆周长是100+20＝120（米）， 圆的周长是120×2＝240（米）． 即这个圆的周长为360米或240米． 【点评】完成本题要细心，注意分析所给条件，从两种情况进行分析解答． 6．【答案】见试题解答内容 【分析】从题中可知，因为甲和乙的速度之比为72：48＝3：2，所以相同的时间内甲的路程和乙的路程比是3：2．如果总路程有5格，第一次迎面相遇时，两人加在一起走了2个全程，总共走10格，那么甲就走了6格，乙走了4格．第二次迎面相遇两人加在一起一共走了4个全程，一共20格．这时甲走了12格，乙走了8格，相遇地点如图所示． 而当甲第一次追上乙时，要比乙多走10格，所以第一次追上乙时，甲需要走30格才能追上乙，第二次追上乙还需要再走30格，第二次追上乙的地点如图所示，因此甲乙第二次迎面相遇与甲第二次从后面追上乙的两地相距为两格，由此可以求出1格的距离为：80÷2＝40米，因为把全程分成了5格，所以可以求出全程的距离． 【解答】解：80÷2＝40（米）， 40×5＝200（米）； 答：A、B两地相距200米． 【点评】对于这类题目，不能单纯的根据一般行程应用题的计算方法进行计算，关键是要正确运用转化的思想，理清题里的数量关系，便可迎刃而解． 7．【答案】见试题解答内容 【分析】两车第一次相遇时一共行了1个AB的路程，从开始到第二次相遇，一共行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的3倍．即甲共走的路程是120×3＝360千米，甲一共走了全程的（1），据此解答即可． 【解答】解：120×3÷（1）， ＝360， ＝300（千米）； 答：AB两地相距300千米． 【点评】两次相遇，两车共行了3个全程，这是解决这两道题目的关键，然后再进一步解答即可． 8．【答案】见试题解答内容 【分析】由于乙车的速度是甲车的，则第一次相遇时，甲车行了全程的，乙车行了全程的，即相遇点在距B地的处，第二次相遇时，两车共行了三个全程，则此时甲车行了全程的31，即此时距B地为全程的11，则两次相遇地相距全程的，则用3000千米除以其占全程的分率，即得AB两地的距离是多少千米． 【解答】解：31 ＝11 3000÷（） ＝3000 ＝7500（千米） 答：两地相距7500千米． 【点评】行驶相同的时间，速度比等于所行路程比． 9．【答案】见试题解答内容 【分析】无论怎么走，甲都要走3个200千米，是600千米．第二次在75%的地方相遇，说明甲在：1﹣75%＝25%的地方．600千米包含了甲走了1个全程及距B站的25%，所以600千米的对应路长：1+25%，然后对应量除以对应分率即可． 【解答】解：200×3＝600（千米）， 第二次在75%的地方相遇，说明甲在的地方：1﹣75%＝25%， 600千米包含了甲走了1个全程，所以600千米的对应路长分率：1+25%， AB：600÷（1﹣75%+1） ＝600÷1.25 ＝480（千米）． 答：A、B两站间的路程长是480千米． 【点评】此题主要考查相遇问题中的二次相遇问题，第二次相遇是都走一路程再加第二个路程时又走的长度，找到甲走路程与之对应分率求出即可． 10．【答案】见试题解答内容 【分析】如图，小东，小青两人第一次相遇C点，距A点40千米，此时小东行40千米，即每共行一个全程小东就行40千米，第二次相遇于D点，此时小东，小青共行3个全程，则小东行了40×3＝120千米，而D点距B点15千米，此时小东行一个全程+15千米，所以全程为：40×3﹣15＝105千米． 【解答】解：40×3﹣15 ＝120﹣15 ＝105（千米）． 答：甲乙两地相距105千米． 【点评】由第一次相遇点距甲地的距离得出小东，小青每共行一个全程小东行40千米是完成本题的关键． 11．【答案】见试题解答内容 【分析】把两地间的路程看作单位“1”，当两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个A、B两地间的距离，根据时间一定，路程和速度成正比，乙的速度是甲的，先求出两人行驶1个全程，甲和乙分别行驶的路程，进而求出行驶了3个A、B两地间的距离时，甲行驶的路程，再减去两地间的路程，也就是甲距B地的地点，最后求出3000米占总路程的分率，依据分数除法意义即可解答． 【解答】解：2+3＝5， 3000÷[3﹣1﹣（1）]， ＝3000÷[1]， ＝3000÷[]， ＝3000， ＝7500（米）， 答：A、B两地的距离7500米． 【点评】解答本题要明确：当两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个A、B两地间的距离，关键是求出3000米占总路程的分率． 12．【答案】见试题解答内容 【分析】第一次相遇时，两车共行了A、B两城的距离，其中A城出发的甲行了95千米；即每行一个A、B两城的距离，A城出发的甲车就行95千米，第二次相遇时，两车共行了A、B两城距离的3倍，则A城出发的甲车行了95×3＝285千米；所以，A、B两城相距285﹣25＝260千米． 【解答】解：95×3﹣25 ＝285﹣25 ＝260（千米）． 答：A、B两地间的距离是260千米． 【点评】抓住每行一个A、B两城的距离，A城出发的甲车就行95千米这个重点进行解答是完成本题关键． 13．【答案】见试题解答内容 【分析】第一次相遇时，两车共行一个全程，由于在距中点西侧10千米处相遇，所以相遇时快车比慢车多行了10×2＝20千米，即每行一个全程，快车比慢车都要多行20千米，由于两车第二次相遇时，两车共行了3个全程，则两车第二次相遇时，快车比慢车多行了20×3＝60千米，由于第二次相遇时距东站的距离占东西两站间距离的，则此时快车距东站还有个全程，慢车距西站还有1个全程，所以这60千米占全程的（1）个全程，则全程为：60÷[（1）]． 【解答】解：（10×2×3）÷[（1）] ＝60÷[] ＝60 ＝420（千米）． 答：东西两站相距420千米． 【点评】在此类相遇问题中，如果两车在距中点的n千米处相遇，则快车比慢车多行了2n千米． 14．【答案】见试题解答内容 【分析】甲和乙第一次相遇时，两个合走一个全程，第二次相遇时，两人合走三个全程，两人合走一个全程时，乙走了240米，合走三个全程时，乙应该走240×3＝720米，又因为第二次相遇时，距B地120米，那么减去这120米，就正好是1个全程了．据此解答． 【解答】解：240×3﹣120 ＝720﹣120 ＝600（米） 答：A、B两地相距600米． 【点评】解答这类题目，可以根据第一次相遇甲走的路程来进行推算，以后的每次相遇都是第一次相遇时所走路程的2倍，这样计算就简便了． 15．【答案】见试题解答内容 【分析】两人第一次相遇时，共行了半个周长，此时小张行了80米，即每共行半个圆，小张就走80米，离开C点，第二次相遇时，两共行了3个半圆，则此时小张A从C点到D点行了80×3＝240米，又B点距D点为60米，则A到B点长240﹣60＝180米，所以周长是180×2＝360米． 【解答】解：（80×3﹣60）×2 ＝（240﹣60）×2 ＝180×2 ＝360（米） 答：这个圆的周长是360米． 【点评】根据题意得出每共行半个圆，小张就走80米是完成本题的关键． 16．【答案】见试题解答内容 【分析】“第一次相遇点距B处60 米”意味着乙走了60米和甲相遇，两次相遇两人总共走了3个全程，一个全程里乙走了60，则3个全程里乙走了3×60＝180米，第二次相遇是距A地10米．此时乙走的路程是一个全程多10米，所以A、B相距＝180﹣10＝170米． 【解答】解：60×3﹣10 ＝180﹣10， ＝170（米）． 答：A、B两地直距170米． 【点评】根据两次相遇点距起点的距离求出两次相遇时乙所行的路程是完成本题的关键． 17．【答案】见试题解答内容 【分析】两车第一次相遇后到第二次相遇，这之间一共完成了两倍的距离长度，所以卡车和客车的速度比为4：3，即路程比是4：3，路程差是（）；所以中间的24千米是这段时间两车的路程差．用24除以路程差（），得出的是两倍的城市间距离，所以得间距为84千米． 【解答】解：24÷（）÷2 ＝242 ＝168÷2 ＝84（千米） 答：甲、乙两城相距84千米． 【点评】此题考查学生对多次相遇问题的理解能力及其比的应用，关键是找出数量对应的分率． 18．【答案】见试题解答内容 【分析】因为乙的速度是甲的速度的，所以第一次相遇时乙走了A、B两地距离的（甲走了），即相遇点距B地个单程．因为第一次相遇两人共走了一个单程，第二次相遇共走了三个单程，所以第二次相遇乙走了3（个）单程，即相遇点距A地个单程（见下图）． 【解答】解：40÷[（3﹣1）] ＝40÷[] ＝40 ＝100（千米）． 答：A、B两地相距100千米。 【点评】解答此题需明白下列几个问题：①甲乙速度比＝甲乙路程比；②第一次相遇距离A地；③第二次相遇甲、乙共走了3个全程．此时距离A地3﹣1． 19．【答案】见试题解答内容 【分析】第一次相遇两人合走一个全程，从第一次到第二次相遇两人合走两个全程，所以从第一次相遇到第二次相遇的时间是第一次相遇的2倍，所以第一次相遇用时2小时，那么甲的速度是90÷2＝45（千米/时）；甲第二次走的路程也是第一次的2倍，所以第二次走了180千米，所以第一次相遇的地点距离B地还有180﹣70＝110（千米），那么乙的速度即为110÷2＝55（千米/时）． 【解答】解：第一次相遇与第二次相遇时间是4小时， 相当于从A、B两地相向而行，第一次相遇4÷2＝2（小时）， 第一次在距A地90千米处相遇． 所以甲车的速度 90÷2＝45（千米/小时） 乙车的速度 （45×4﹣70）÷2＝55（千米/小时） 答：甲的速度是45千米/时，乙的速度是55千米/时． 【点评】本题主要考查了学生解决稍复杂的相遇问题的能力，学生要熟练掌握相遇问题的数量关系，认真分析题意． 20．【答案】见试题解答内容 【分析】由于乙车每小时比甲车多行全程的，两车每小时共行全程的，所以乙车的速度为：（）÷2，则甲车的速度为：，即甲两车的速度比为：4：5，则两车每共行一个全程，甲车行全程的，乙车行全程的，又从第一次相遇到第二次相遇，两车又共行了两个全程，由此设全程为x千米，据题意得等量关系式：2+40x×2，解此方程即得AB两地的距离是多少． 【解答】解：乙车的速度为：（）÷2， 则甲车的速度为：， 即甲两车的速度比为：4：5， 设全程为x千米，据题意得等量关系式： 2+40x×2 x+40， 40， x＝180． 答：A、B两地相距180千米． 【点评】行驶相同的时间，两车的速度比＝两车所行路程的比，因此根据所给条件求出两车的速度比是完成本题的关键． 21．【答案】见试题解答内容 【分析】第一次相遇时乙走了68千米，两车合走了1个AB两地的路程，第二次相遇时，两车合走了3个AB两地的路程，因为速度不变，所以乙走了3个68千米，即68×3＝204千米，且第二次相遇时，乙自己走了1个AB全程多52千米，所以一个全程＝204﹣52＝152千米，即AB两地相距152千米．所以两次相遇地点的距离＝152﹣68﹣52＝32千米．综合列式为：68×3﹣52﹣（68+52）． 【解答】解：68×3﹣52﹣（68+52） ＝204﹣52﹣120， ＝32（千米）； 答：两次相遇地点之间的距离为32千米． 【点评】本题主要通过分析每次相遇所行路程与全程的关系求得每次相遇时乙所行的路程进行解答的． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】当两人相距10米时，两人共行了300﹣10＝290米，又两人每分钟共行50+50＝100米，则两人相距10米时，共行了290÷100＝2.9分钟，由于小狗的速度是200米一分钟，小狗遇到小军后以同样的速度不停的往返于小军和妹妹之间，所以此时小狗跑了2.9×200＝580米． 【解答】解：（300﹣10）÷（50+50）×200 ＝290÷100÷×200 ＝580（米） 答：小狗一共跑了580米． 【点评】完成本题要注意这一过程中小狗一直在运动，运动的长度与其跑的路线没有关系． 23．【答案】见试题解答内容 【分析】甲乙第一次相遇，共行1个全程，其中甲行80千米，甲乙第二次相遇，共行3个全程，甲应该行80×3＝240千米，又已知甲还差50千米就正好返回A，即甲还差50千米就正好行2个全程，2个全程就是240+50＝290千米，AB距离就是290÷2＝145千米． 【解答】解：（80×3+50）÷2， ＝（240+50）÷2， ＝290÷2， ＝145（千米）， 答：AB两城相距145千米． 【点评】本题我们要充分利用在第一次相遇和第二次相遇甲走的路程与全程的关系来进行解决问题． 24．【答案】见试题解答内容 【分析】小巍骑车的速度为每小时18千米，则猎犬的速度是18×2＝36千米/小时．两地相距26千米，则小巍到达招宝山需要26÷18小时，在这些时间内猎犬一直在奔跑，所以当小巍到达招宝山时，猎犬一共跑了3652（千米）的路程． 【解答】解：26÷18×（18×2） 36 ＝52（千米） 答：这只猎犬一共跑52千米路． 【点评】明确在这过程中猎犬一直在奔跑，行的路程与直走还是来回跑是没有关系的，这是完成本题的关键．本题也可根据在同一时间内所行路程比＝速度比来解答，列式为26×2＝52（千米）． 25．【答案】见试题解答内容 【分析】第一次相遇时，两车共行了AB两城的距离，其中A城出发的甲行了80千米；即每行一个AB两城的距离，A城出发的甲车就行80千米，第二次相遇时，两车共行了AB两城距离的3倍，则A城出发的甲车行了80×3＝240千米；所以，AB两城相距240﹣60＝180千米． 【解答】解：80×3﹣60， ＝240﹣60， ＝180（千米）． 答：A、B两地间的距离是180千米． 【点评】抓住每行一个AB两城的距离，A城出发的甲车就行80千米这个重点进行解答是完成本题关键． 26．【答案】见试题解答内容 【分析】据题意可知，两辆车两次相遇走的总路程就是甲乙两地总路程的3倍，设总路程为x，第一次相遇卡车走了60千米，摩托车走了X﹣60千米．第二次相遇卡车走的路程为X+30千米．则以下等式成立：（x+30）+（x﹣60）×3＝3x，解此方程即可． 【解答】解：两辆车两次相遇走的总路程就是甲乙两地总路程的3倍，设总路程为x，则得方程： （x+30）+（x﹣60）×3＝3x 4x﹣150＝3x， x＝150； 答：甲乙两地相距150千米． 【点评】完成本题的关键是明确两人第二次相遇时走的总路程就是甲乙两地总路程的3倍，由此据条件列出等量关系式进行解答即可． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】在操场背向而行第二次相遇，就是说两人行驶的路程和是操场的长度的2倍，把操场长度看作单位“1”，先表示出两人的速度，再求出两人的速度和，最后根据时间＝路程÷速度即可解答． 【解答】解：2÷（） ＝2 ＝8（分钟） 答：第二次相遇时，共用了8分钟． 【点评】解答本题的关键是明确：两人行驶的路程和是操场的长度的2倍，解答依据是等量关系式：时间＝路程÷速度． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】由“小光走到这条马路的时候，小狗已经到达马路的终点”说明狗的速度是小光的4倍；当小光到达终点时，行走的距离是400 m，由于狗和小光行走的时间一样多，所以狗走的距离是小光的4倍．根据求一个数几倍是多少，用乘法解答． 【解答】解：400×4＝1600（m） 答：小狗从出发开始，一共跑了1600m． 【点评】此题解答关键是明确：在相同时间内，路程的比等于时间的比． 29．【答案】见试题解答内容 【分析】第一次相遇时，两车共行了AB两城的距离，其中A城出发的客车行了50千米；即每行一个AB两城的距离，A城出发的客车就行50千米，第二次相遇时，两车共行了AB两城距离的3倍，则A城出发的客车行了50×3＝150千米；所以，AB两城相距150﹣40＝110千米． 【解答】解：50×3﹣40 ＝150﹣40， ＝110（千米）． 答：A、B两城相距110千米． 【点评】抓住每行一个AB两城的距离，A城出发的客车就行50千米这个重点进行解答是完成本题关键． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】首先，甲、乙两车在第2次相遇时一共行驶了3个A、B两地的路程，而第一次相遇时甲乙共行驶了1个A、B两地的路程，且行驶了2.5小时，所以，甲、乙两车在第2次相遇时共用了3×2.5＝7.5小时，而乙第一次相遇时用2.5小时行驶了105千米，则在第2次相遇时用7.5小时共行驶了3×105＝315千米，又知乙从A折返时行驶了90千米，所以A、B两地距离为315﹣90＝225千米． 【解答】解：乙在第2次相遇时用2.5×3＝7.5（小时）， 共行驶了3×105＝315千米， 又知乙从A折返时行驶了90千米， 所以A、B两地距离为315﹣90＝225（千米）． 答：A、B两地距离为225千米． 【点评】在此类多次相遇问题中，第二次相遇时两车共行了三个全程． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$