2024-2025学年第一学期高三9月摸底模拟测试卷2 数学（19题型）（新高考地区专用）

2024-2025学年第一学期高三9月摸底模拟测试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．命题p：，的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．在平面直角坐标系xOy中，若角以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边，且终边过点，则取最小值时x的可能取值为（    ） A． B． C． D． 4．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若函数（，且）的图象恒过定点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数对任意的都有成立，当时，，则（    ） A． B． C． D．2 8．已知：，，，那么三者的关系是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，，是复数，，则下列命题中的真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知函数的一个对称中心为，则（    ） A．的最小正周期为π B． C．直线是函数图像的一条对称轴 D．若函数在上单调递减，则 11．已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（    ） A．当时，恒成立 B．若有3个零点，则a的取值范围为 C．当时.有唯一零点且 D．当时，是的极值点 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，，则 ． 13．已知函数，则 . 14．已知函数，若恒成立，则的最小值为 ；则若在的图象上有且仅有一对点关于轴对称，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在①；②；③设的面积为，且.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答. 在中，角，，的对边分别为，，，已知 ，且. (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 16．如图，在正三棱柱中，，O为AB的中点，D为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．已知数列的前n项和为，对于任意的，都有点在直线上． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项中的最大值为，最小值为，令，求数列的前20项和． 18．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：h），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从这500名学生中随机抽取一人，求日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论） 19．已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)记函数的导函数为，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期高三9月摸底模拟测试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．命题p：，的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．在平面直角坐标系xOy中，若角以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边，且终边过点，则取最小值时x的可能取值为（    ） A． B． C． D． 4．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若函数（，且）的图象恒过定点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数对任意的都有成立，当时，，则（    ） A． B． C． D．2 8．已知：，，，那么三者的关系是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，，是复数，，则下列命题中的真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知函数的一个对称中心为，则（    ） A．的最小正周期为π B． C．直线是函数图像的一条对称轴 D．若函数在上单调递减，则 11．已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（    ） A．当时，恒成立 B．若有3个零点，则a的取值范围为 C．当时.有唯一零点且 D．当时，是的极值点 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，，则 ． 13．已知函数，则 . 14．已知函数，若恒成立，则的最小值为 ；则若在的图象上有且仅有一对点关于轴对称，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在①；②；③设的面积为，且.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答. 在中，角，，的对边分别为，，，已知 ，且. (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 16．如图，在正三棱柱中，，O为AB的中点，D为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．已知数列的前n项和为，对于任意的，都有点在直线上． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项中的最大值为，最小值为，令，求数列的前20项和． 18．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：h），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从这500名学生中随机抽取一人，求日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论） 19．已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)记函数的导函数为，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期高三9月摸底模拟测试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交运算即可求解. 【详解】由题意得，所以. 故选：B 2．命题p：，的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得结论. 【详解】由存在量词命题的否定形式可知： 命题p：，的否定为：，. 故选：C 3．在平面直角坐标系xOy中，若角以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边，且终边过点，则取最小值时x的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的定义可得，再结合三角函数的性质计算即可. 【详解】∵角θ的终边经过点， ∴，，∴，， 由正弦函数的性质可知在取最小值时．，， 即，时A正确； 对于B，，不符合； 对于C，，不符合； 对于D，，不符合； 故选:A． 4．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】将对数不等式进行等价变换，结合，，可判断，的取值范围，从而判断与的关系. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时取等号，即， 又， 所以不能推出，所以是的不充分条件； 又，所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 5．若函数（，且）的图象恒过定点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质即可求解定点的坐标，根据复合函数的单调性即可求解. 【详解】对于函数（且， 令，求得，，可得它的图象恒过定点， 所以． 对于函数，则， ，或，故函数的定义域为或． 函数的单调递增区间，即在定义域内的增区间， 由二次函数的性质可得，在定义域内的增区间为， 故选：C 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，又，可求的值. 【详解】，， 解得，∵，∴， 故选：D． 7．已知函数对任意的都有成立，当时，，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用条件得到函数的周期性为，从而，再结合已知条件即可得到结果. 【详解】由，得可知周期为， 所以， 又当 时，， 所以. 故选：A 8．已知：，，，那么三者的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先比较和，注意到，，从而通过比较的大小可，再比较和，注意到，而又有,从而只需要证明即可. 【详解】因为， ，而， 所以，得， 令，则， 所以在上递减， 因为当时，，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查对数式和指数式比较大小，考查对数的运算，考查导数的应用，解题的关键是构造函数，利用导数可求其单调性，从而可得其取值范围，考查计算能力和转化思想，属于较难题. 二、多选题 9．设，，是复数，，则下列命题中的真命题是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据条件，结合共轭复数的定义，复数模的公式，复数的四则运算，即可求解. 【详解】对于A，若，则，，因此，A正确； 对于B，令，，则，但，B错误； 对于C，设，则， 而， 则， 又， 则， 因此，C正确； 对于D，令，，，则，但，D错误. 故选：AC 10．已知函数的一个对称中心为，则（    ） A．的最小正周期为π B． C．直线是函数图像的一条对称轴 D．若函数在上单调递减，则 【答案】AC 【分析】根据的对称中心求得，根据三角函数的最小正周期、对称性、单调性确定正确答案. 【详解】则有，解得， 因为，所以，所以， 则的最小正周期为π，故A正确； ，故B错误； ，则直线是图像的一条对称轴，故C正确； ，当时，， 若函数在上单调递减，则有， 解得则，故D错误. 故选：AC 11．已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（    ） A．当时，恒成立 B．若有3个零点，则a的取值范围为 C．当时.有唯一零点且 D．当时，是的极值点 【答案】BCD 【分析】根据，可判定A错误；根据题意，转化为与的图象有3个交点，利用导数求得函数的单调性与极值，可判定B正确；当时，得到 ，函数单调递增，结合，可判定C正确；当时，得到，的函数的单调性，结合极值点的定义，可判定D正确. 【详解】对于A中，当时，可得，则，所以A错误； 对于B中，若函数有3个零点，即有三个解， 其中时，显然不是方程的根， 当时，转化为与的图象有3个交点， 又由， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，函数取得极小值，极小值为， 又由时，，所以，即实数的取值范围为，所以B正确； 对于C中，当时，， 设，可得， 当时，，在单调递减；当时，，在单调递增， 所以当时，，所以， 所以，所以函数在上单调递增， 又因为，即， 所以有唯一零点且，所以C正确； 对于D中，当时，，可得， 当时，，在单调递减；当时，，在单调递增， 所以是的极小值点，所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 三、填空题 12．已知，，，则 ． 【答案】 【分析】已知等式利用倍角公式求得，则，又，可求出，由，得． 【详解】由，两边平方得，所以， 故，因为，所以， 解得，又因为，所以． 故答案为：. 13．已知函数，则 . 【答案】 【分析】左右两侧同时求导得到，求出原函数后再求即可. 【详解】由题意知，令， 得，解得， 所以， 所以. 故答案为： 14．已知函数，若恒成立，则的最小值为 ；则若在的图象上有且仅有一对点关于轴对称，则实数的取值范围为 ． 【答案】 ； 【分析】①当时，对于恒成立；当时，由得对于恒成立，再构造函数，通过导数求解即可；②利用对称性，将问题转化成函数与有且仅有一个交点，从而得到在有唯一解，令，两边取对数，所以，解得，故在有唯一解，再构造函数，并导数判断单调性即可. 【详解】①由题意， 当时，对于恒成立，满足条件； 当时，由得 对于恒成立， 令，则， 在时，，即， 所以在单调递增， 故， 所以的最小值为. ②在的图象上有且仅有一对点关于轴对称， 转化为函数与有且仅有一个交点， 则在有唯一解， 令，两边取对数， 所以， 令，恒成立， 所以在单调递增，且， 所以在有唯一解， 令，则， 令，则，即单调递增； 令，则，即单调递减； 如图所示，在单调递增，在单调递减， 所以实数的取值为. 故答案为：①，②.    【点睛】关键点点睛：本题主要考查了分段函数的应用，解题的关键是注意运用转化思想，将问题转化成函数与有且仅有一个交点，令，两边取对数，即，解得，故在有唯一解，再构造函数，并导数判断单调性即可. 四、解答题 15．在①；②；③设的面积为，且.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答. 在中，角，，的对边分别为，，，已知 ，且. (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)选①②③的面积都为， (2) 【分析】（1）若选①，由正弦定理化角为边，结合余弦定理求，利用余弦定理求，再由三角形面积公式求面积；选②，通过三角恒等变换求，利用余弦定理求，再由三角形面积公式求面积；若选③，由条件结合三角形面积公式，余弦定理可求，利用余弦定理求，再由三角形面积公式求面积； （2）由题意可求得，利用正切函数的性质可求，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，进而可求解的范围． 【详解】（1）若选①，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 又， 所以， 所以，又 所以，所以，又， 所以， 所以，所以， 又，，所以， 所以的面积， 若选②，由， 所以， 所以，结合三角形内角性质， 所以， 所以，所以，又， 所以， 所以，所以， 又，，所以， 所以的面积， 若选③，因为，又， 所以，又 所以，所以，又， 所以， 所以，所以， 又，，所以， 所以的面积. （2）由（1）可知，， 所以由正弦定理知， 因为为锐角三角形，， 所以，且， 解得， 所以，可得， 所以， 所以的取值范围是. 16．如图，在正三棱柱中，，O为AB的中点，D为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证，再通过证明平面，得，即可证⊥平面； (2)由题意，建系，写出相关点的坐标，分别求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）因为，O为AB中点，所以，因为D为的中点，所以， 在正三棱柱中，平面ABC，因平面ABC，故， 又因正三角形ABC，故得，因平面，故平面， 又平面,故，因为，平面，故⊥平面． （2） 如图，取的中点为，连接，则， 则平面ABC，因，故OB，OC，两两垂直， 故可以直线OB，OC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 则，，． 由（1）得，平面，则可作为平面的一个法向量． 因，，则，， 设平面的法向量为，则， 故可取． 则平面与平面夹角的余弦值为． 17．已知数列的前n项和为，对于任意的，都有点在直线上． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项中的最大值为，最小值为，令，求数列的前20项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，两式相减得，可证明数列是以首项为1，公比为的等比数列，即可求出数列的通项公式；            （2）分别求出当为奇数和为偶数时，数列的前n项中的最大值为，最小值为，即可求出，再由分组求和法结合等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）对于任意的，都有点在直线上． 即对于任意的都有，                     当时，，两式相减得，即， 进而得，                         当时，，故， 所以数列是以首项为1，公比为的等比数列，      所以. （2）当为奇数时，，且，当为偶数时，，且， 因此当为大于1的奇数时，的前n项中的最大值为， 最小值为，此时，             因此当为偶数时，的前n项中的最大值为， 最小值为，此时，            当时，，                               因此的前20项和： . 18．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：h），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)从这500名学生中随机抽取一人，求日平均阅读时间在内的概率； (2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列； (3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出k的值．（只需写出结论） 【答案】(1)0.20． (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据分层抽样的抽样比计算的人生，即可根据超几何分布的概率公式即可求解， （3）根据二项分布的概率公式,结合组合数的性质即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图得，， 解得，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20． （2）由频率分布直方图得，这500名学生中日平均阅读时间在三组内的学生人数分别为． 若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在内的学生中抽取人，现从这10人中随机抽取3人，则X的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （3），理由如下： 由频率分布直方图得抽取的学生中日平均阅读时间在内的概率为0.50，所以从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列大致服从二项分布，，由组合数的性质可得时最大． 19．已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)记函数的导函数为，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）先确定定义域，求导得：，然后根据的a的正负进行分类讨论即可； （2）由恒成立，参变分离得分析求最小值即可. 【详解】（1）函数 的定义域为 ， ，                                         ①当时，对任意的 ， ，此时函数的减区间为，无增区间；                                     ②当时，由 可得，由 可得， 此时函数的单调递增区间为，递减区间为； 综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的单调递增区间为，递减区间为. （2）若不等式恒成立，则有，   设函数，，，                        令得，即，所以存在，使得成立， 所以①，且，即②，                         当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，                    代入①②，可得，       要使得恒成立，则即可， 所以. 【点睛】方法点睛：（1）分类讨论思想，常规的单调性分析，通常通过求导解不等式即可，但要注意含参时对参数的讨论； （2）恒成立问题，通常转化为函数最值问题； （3）参变分离，含参数的恒成立问题，通常进行参变分离，求函数的最值即可. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$一、 单选题 (40分) 二、 多选题 (18分) 三、 填空题 (15分) 四、 解答题 (77分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效第1页（共4页） 缺考填涂标记 2024-2025学年第一学期高三9月摸底模拟测试卷 数学 注 意 事 项 姓名：　　　　　　　　　　    班级：　　　　　　　　　　 考场：　　　　　　　　　　    座位号：　　　　　　　　　 考号：　　　　　　　　　　 1、主观题必须使用0.5毫米黑色签字笔填写。 2、不得使用涂改液、修正带。 3、不得在打分框内书写、涂抹。 4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 准考证号 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 A B C D 11 A B C D 12.　　　　　　　　　 　13.　　　　　　　　 14.　　　　　　　　 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效第2页（共4页） 16.(15分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效第3页（共4页） 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效第4页（共4页） 19.(17分)