正态分布专项训练-2025届高三数学一轮复习

统计与概率：正态分布专项训练 统计与概率：正态分布专项训练 1．（2024·广东广州·二模）已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm）服从正态分布，其中果实横径落在的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为（    ）（若，则，） A．0.6827 B．0.8186 C．0.8413 D．0.9545 【答案】B 【详解】因为所种植沙糖桔的果实横径（单位：mm）服从正态分布， 其中，所以果实横径在的概率为 . 故选：B． 2．（2024·广东江门·一模）某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布.现随机选择一名本市高三年级男生，则该男生身高不高于170cm的概率是（    ）参考数据： A．0.6827 B．0.34135 C．0.3173 D．0.15865 【答案】D 【详解】由题意，， 且， 所以. 故选：D 3．（2024·湖南长沙·三模）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 【答案】A 【详解】根据正态曲线的对称性，由，得， 因为， 所以. 故选：A 4．（2024·湖南益阳·三模）某生产线正常生产下生产的产品的一项质量指标近似服从正态分布，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：B 5．（2024·湖北荆州·三模）上周联考的数学成绩服从正态分布，且，负责命题的王老师考后随机抽取了个学生的数学成绩，设这个学生中得分在的人数为，则随机变量的方差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正态分布知，学生得分在的概率为， 抽取个学生得分在的人数服从二项分布， . 故选：. 6．（2024·河北石家庄·二模）某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50000名考生参加这次考试，数学成绩近似服从正态分布，其正态密度函数为且，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为（    ） A．2000 B．3000 C．4000 D．5000 【答案】D 【详解】由题易知均值， 由正态曲线的对称性可知 ， 则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为． 故选：D． 7．（2024·山东青岛·三模）某校高一有学生 980 人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩 服从正态分布 ，已知 ，则该校高一学生数学成绩在 110 分以上的人数大约为（   ） A．784 B．490 C．392 D．294 【答案】C 【详解】因为，且， 所以， 所以， 又因为高一有学生980人， 所以该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为． 故选：C． 8．（2024·山东济宁·三模）若随机变量，随机变量，则（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【详解】由可知：， 又因为，所以， ， 则， 故选：B. 9．（2024·山东·二模）若随机变量，且，则（  ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】B 【详解】由随机变量，根据正态分布性质可知：， 因为，可得， 再根据正态分布曲线的对称性可知：， 所以， 故选：B. 10．（2024·山东泰安·二模）已知随机变量服从正态分布，且，则等于（    ） A．0.14 B．0.36 C．0.72 D．0.86 【答案】A 【详解】由题意知，，所以， 则， 所以. 故选：A 11．（2024·福建厦门·三模）已知随机变量，，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【详解】随机变量，， 则， 故， 故选：C. 12．（2024·浙江金华·三模）某市高中数学统考（总分150分），假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为，，，四个等级.若某同学考试成绩为99分，则该同学的等级为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】数学测试成绩服从正态分布， 则，， 由于等级的概率之和为， 所以 ，而即 故为A等级，为B等级，为C等级， 为D等级， 故99分为B等级． 故选：B． 13．（2024·湖南常德·一模）某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修学习情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长数据（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35.学习时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”. (1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率. (2)若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中，为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五入到整数）； ②若从该市随机抽取的n名教师中恰有ξ名教师的学习时长在内，则当的均值不小于32时，n的最小值为多少？ 附：若随机变量服从正态分布 ，则，，. 【答案】(1) (2)① ② 【详解】（1）由于这10名教师中恰有3名是研修先进个人，故随机抽取的3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率. （2）①直接计算可得. 所以. 故可以估计学习时长不低于50小时的教师的人数为. ②由于，故. 当时，有，得. 所以的最小值是. 14．（2024·湖南岳阳·三模）某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制了样本频率分布直方图，如图所示. (1)若所有考生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试利用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数； (2)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中，前两题每题能答对的概率均为，后两题每题能答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.规定复试成绩上了20分（含20分）的考生能进入面试，请问该考生进入面试的概率有多大? 附：若随机变量X服从正态分布，则：，. 【答案】(1)182人； (2). 【详解】（1）由题意得，样本平均数的估计值为 ， 因为学生初试成绩服从正态分布，其中则， 所以， 所以估计初试成绩不低于85分的人数为人. （2）记该考生的复试成绩为，则能进入面试的复试成绩为20分，25分，30分， ， ， ， 所以该考生进入面试的概率为. 15．（2024·湖南衡阳·二模）某报社组织“乡村振兴”主题征文比赛，一共收到500篇作品，由评委会给每篇作品打分，下面是从所有作品中随机抽取的9篇作品的得分：82，70，58，79，61，82，79，61，58． (1)计算样本平均数和样本方差； (2)若这次征文比赛作品的得分服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，该报社计划给得分在前50名的作品作者评奖，则评奖的分数线约为多少分？ 参考数据：． 【答案】(1)样本平均数为，样本方差为. (2)分 【详解】（1）由题意可得，， ， 所以样本平均数为，样本方差为. （2）因为得分服从正态分布，且，，则， 所以，又，即， 所以， 又，即， 所以， 所以前50名的作品作者评奖总共50篇，获奖率为， 因为，则， 所以， 即分数线约为分. 16．（2024·湖南邵阳·二模）为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测（检测分为初试和复试），共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，求的值及样本平均数的估计值； (2)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数； (3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为，答对物理题的概率为.若小明全部答对的概率为，答对两道题的概率为，求概率的最小值. 附：若随机变量服从正态分布，则，. 【答案】(1)0.02；69； (2)910（人） (3). 【详解】（1）， . 样本平均数的估计值为. （2）. . 能参加复试的人数约为（人）. （3）由题意有. 答对两道题的概率. 而. 令，则， 当时，在内单调递减； 时，在内单调递增. 当时，.故概率的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$统计与概率：正态分布专项训练 统计与概率：正态分布专项训练 1．（2024·广东广州·二模）已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm）服从正态分布，其中果实横径落在的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为（   ）（若，则，） A．0.6827 B．0.8186 C．0.8413 D．0.9545 2．（2024·广东江门·一模）某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布.现随机选择一名本市高三年级男生，则该男生身高不高于170cm的概率是（  ）参考数据： A．0.6827 B．0.34135 C．0.3173 D．0.15865 3．（2024·湖南长沙·三模）已知随机变量服从正态分布，且，则（  ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 4．（2024·湖南益阳·三模）某生产线正常生产下生产的产品的一项质量指标近似服从正态分布，若，则实数的值为（  ） A．1 B．3 C．4 D．9 5．（2024·湖北荆州·三模）上周联考的数学成绩服从正态分布，且，负责命题的王老师考后随机抽取了个学生的数学成绩，设这个学生中得分在的人数为，则随机变量的方差为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·河北石家庄·二模）某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50000名考生参加这次考试，数学成绩近似服从正态分布，其正态密度函数为且，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为（    ） A．2000 B．3000 C．4000 D．5000 7．（2024·山东青岛·三模）某校高一有学生 980 人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩 服从正态分布 ，已知 ，则该校高一学生数学成绩在 110 分以上的人数大约为（   ） A．784 B．490 C．392 D．294 8．（2024·山东济宁·三模）若随机变量，随机变量，则（    ） A．0 B． C． D．2 9．（2024·山东·二模）若随机变量，且，则（  ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 10．（2024·山东泰安·二模）已知随机变量服从正态分布，且，则等于（    ） A．0.14 B．0.36 C．0.72 D．0.86 11．（2024·福建厦门·三模）已知随机变量，，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 12．（2024·浙江金华·三模）某市高中数学统考（总分150分），假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为，，，四个等级.若某同学考试成绩为99分，则该同学的等级为（    ） （参考数据：，） A． B． C． D． 13．（2024·湖南常德·一模）某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修学习情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长数据（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35.学习时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”. (1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率. (2)若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中，为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五入到整数）； ②若从该市随机抽取的n名教师中恰有ξ名教师的学习时长在内，则当的均值不小于32时，n的最小值为多少？ 附：若随机变量服从正态分布 ，则，，. 14．（2024·湖南岳阳·三模）某地区举行专业技能考试，共有8000人参加，分为初试和复试，初试通过后，才能参加复试.为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本，绘制了样本频率分布直方图，如图所示. (1)若所有考生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试利用正态分布估计所有考生中初试成绩不低于85分的人数； (2)复试共四道题，前两道题考生每题答对得5分，答错得0分，后两道题考生每题答对得10分，答错得0分，四道题的总得分为考生的复试成绩.已知某考生进入复试，他在复试中，前两题每题能答对的概率均为，后两题每题能答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响.规定复试成绩上了20分（含20分）的考生能进入面试，请问该考生进入面试的概率有多大? 附：若随机变量X服从正态分布，则：，. 15．（2024·湖南衡阳·二模）某报社组织“乡村振兴”主题征文比赛，一共收到500篇作品，由评委会给每篇作品打分，下面是从所有作品中随机抽取的9篇作品的得分：82，70，58，79，61，82，79，61，58． (1)计算样本平均数和样本方差； (2)若这次征文比赛作品的得分服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，该报社计划给得分在前50名的作品作者评奖，则评奖的分数线约为多少分？ 参考数据：． 16．（2024·湖南邵阳·二模）为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测（检测分为初试和复试），共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示. (1)根据频率分布直方图，求的值及样本平均数的估计值； (2)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数； (3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为，答对物理题的概率为.若小明全部答对的概率为，答对两道题的概率为，求概率的最小值. 附：若随机变量服从正态分布，则，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$