圆的方程专项训练-2025届高三数学一轮复习

解析几何：圆的方程专项训练 解析几何：圆的方程专项训练 1．（2024·广东汕头·三模·多选）已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（    ） A．直线l与圆C相交 B．圆C被y轴截得的弦长为 C．点C到直线l的距离的最大值是 D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 【答案】ACD 【详解】由， 则，得，即恒过定点， 由到圆心的距离，故定点在圆内，故直线与圆恒相交，故A正确； 令，则，可得，故圆被轴截得的弦长为，故B错误； 点C到直线l的距离的最大值为圆心到定点的距离，故最大值为，C正确， 要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，则， 所以，可得，故直线为，故D正确． 故选：ACD． 2．（2024·广东茂名·一模·多选）已知圆，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆的周长为 C．圆与圆外切 D．圆截轴所得的弦长为3 【答案】BC 【详解】对于AB，圆的方程可化为， 可得圆心的坐标为，半径为，则周长为，可知错误，正确； 对于，由，为两圆半径之和，可知正确； 对于，令，可得，解得或3， 可得圆截轴所得的弦长为4，可知错误. 故选：BC. 3．（2024·福建龙岩·一模·多选）已知点与圆是圆上的动点，则（   ） A．的最大值为 B．过点的直线被圆截得的最短弦长为 C． D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对A，圆的圆心坐标，半径， 将原点代入圆的方程有，则原点在圆外， 则，则，故A正确； 对B，将代入圆方程得，则点在圆内， 设圆心到过点的直线距离为，则, 而被截的弦长为， 则弦长最短为，故B错误； 对C，作出在上投影向量， 则，因为， 即， 则，故C正确；    对D，对与共线，则的最小值为点到直线的距离， 易知直线的方程为，则点到直线的距离，故D正确. 故选：ACD.    4．（2024·福建南平·二模·多选）已知圆：，直线：，则（    ） A．直线过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．当时，圆上恰有2个点到直线距离等于4 D．直线被圆截得的弦长最短时，的方程为 【答案】ACD 【详解】对于A，直线的方程变形为：， 令，解得， 所以直线l恒过定点，故A正确； 对于B，圆的圆心，半径， 到轴的距离为，所以圆被轴截得的弦长为，故B错误； 对于C，当时，直线：， 此时圆心到直线的距离， 而， 所以当时，圆C上恰有2个点到直线l的距离等于4，故C正确. 对于D，当时，弦长最短， 此时，因为直线过定点， 所以的方程为：，化简为：，故D正确. 故选：ACD. 5．（2024·山东青岛·三模·多选）已知动点 分别在圆 和 上，动点 在 轴上，则（     ） A．圆的半径为3 B．圆和圆相离 C．的最小值为 D．过点做圆的切线，则切线长最短为 【答案】BD 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，圆的半径为，A错误； 对于B，，圆和圆相离，B正确； 对于C，圆关于轴对称的圆为，，连接交于点，连接， 由圆的性质得， ，当且仅当点与重合， 且是线段分别与圆和圆的交点时取等号，C错误； 对于D，设点，过点的圆的切线长， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：BD    6．（2024·湖南邵阳·一模·多选）设点为圆上一点，已知点，则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为8 C．存在点使 D．过A点作圆的切线，则切线长为 【答案】AD 【详解】设，即，由得，∴的最大值是，A正确； ，只有且时，才能取得最小值8，但时，且，因此上述最小值不能取得，B错； 由得，整理得，因此满足的点在圆，此圆圆心为，半径为，而，因此它与圆外离，因此圆上不存在点，满足， ，C错； 圆圆心为，半径为，则过A点作圆的切线的切线长为，D正确． 故选：AD． 7．（2024·湖南邵阳·一模·多选）已知平面直角坐标系中，，动点满足，点的轨迹为曲线，点到直线的距离的最小值为，下列结论正确的有（    ） A．曲线的方程为 B． C．曲线的方程为 D． 【答案】AB 【详解】对于A、C项，由已知可得，，. 则由可得，， 平方整理可得，， 化为标准方程可得，，圆心为，半径.故A正确，C错误； 对于B、D项，圆心到直线的距离为， 所以，圆上点到直线的最小距离.故B正确，D错误. 故选：AB. 8．（2024·湖南衡阳·二模·多选）已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（    ） A．圆上恰有一个点到的距离为 B．直线恒过点 C．的最小值是 D．四边形面积的最小值为 【答案】BCD 【详解】易知圆心，半径，如下图所示： 对于A，圆心到直线的距离为， 可得圆上的点到直线距离的最小值为,圆上的点到直线距离的最大值为， 所以圆上恰有两个点到的距离为，即A错误； 对于B，设，可得； 易知，由， 整理可得， 同理可得，即可知两点在直线上， 所以直线的方程为，即， 令，解得， 所以直线恒过定点，即B正确； 对于C，由直线恒过定点，当点与圆心的连线垂直于时，的值最小， 点与圆心之间的距离为，所以，故C正确； 对于D，四边形的面积为， 根据切线长公式可知，当最小值，最小， ，所以，故四边形的面积为，即D正确； 故选：BCD 9．（2024·湖南长沙·三模·多选）已知圆 ，直线 ，则（    ） A．直线 恒过定点 B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 1 C．直线与圆可能相切 D．若圆与圆 恰有三条公切线，则 【答案】AD 【详解】由直线，得 ， 因为，则满足 ，解得 ， 所以直线恒过定点 ，故选项A正确. 因为当时，直线为:， 则圆心 到直线的距离为 ， 则此时直线与圆相交所得劣弧的顶点到直线的距离， 所以圆上只有 2 个点到直线的距离为 1，故选项B错误. 因为直线过定点 ，又 ， 所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故选项错误. 由圆的方程 可得，， 所以圆心为 ，半径为 ， 因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切， 则 ，解得 ，故选项正确. 故选：AD. 10．（2024·河南郑州·三模·多选）已知直线（不同时为0），圆，则（    ） A．当时，直线与圆相切 B．当时，直线与圆不可能相交 C．当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线 D．当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点满足 【答案】ACD 【详解】圆即，圆心为，半径； 对于A：若，则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切，故A正确； 对于B：当，时满足，此时直线方程为， 则圆心到直线的距离为，显然直线与圆相交，故B错误； 对于C：当时直线，则直线与直线平行， 且两平行线间的距离， 依题意动圆圆心到直线的距离与到的距离相等， 且点不在直线上， 根据抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹是一条抛物线，故C正确； 对于D：不妨令，，的中点为，又， 所以以为直径的圆的方程为， 又，所以圆与圆相交， 所以圆上存在点满足，故D正确. 故选：ACD 11．（2024·江西南昌·一模·多选）已知圆与直线交于两点，设的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值2 B．无最小值 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】 由题意得必过，如图，取中点为， 故，设为， 故，易知，即， 故，令，而， 由二次函数性质得当时，取得最大值，此时，故A正确， 由二次函数性质得，在单调递增，在单调递减， 易知当时，， 当时，，故，则B正确 对于C，作关于轴的对称点，关于轴的对称点，连接，， 由圆的对称性知，故不论取何值，必有，故C错误， 易知D的逆否命题为若，则， 故欲判断D的真假性，判断其逆否命题真假性即可， 显然当时，则，故D正确， 故选：ABD 12．（2024·江西宜春·三模·多选）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数（，且），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，点M满足，则下列说法正确的是（    ） A．面积的最大值为12 B．的最大值为72 C．若，则的最小值为10 D．当点M不在x轴上时，MO始终平分 【答案】ABD 【详解】对于A，设点，由，得， 化为，所以点M的轨迹是以点为圆心、4为半径的圆， 所以面积的最大值为，故A正确； 对于B，设线段AB的中点为N，， 当点M的坐标为时取等号，故的最大值为72，故B正确； 对于C，显然点在圆外，点在圆内，，当B，M，Q三点共线且点M在线段BQ之间时，，故C错误； 对于D，由，，有，当点M不在x轴上时， 由三角形内角平分线分线段成比例定理的逆定理知，MO是中的平分线，故D正确． 故选：ABD． 13．（2024·安徽合肥·二模·多选）已知圆，圆，则（    ） A．两圆的圆心距的最小值为1 B．若圆与圆相切，则 C．若圆与圆恰有两条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 【答案】AD 【详解】根据题意，可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径． 对于A，因为两圆的圆心距，所以A项正确； 对于B，两圆内切时，圆心距，即，解得． 两圆外切时，圆心距，即，解得． 综上所述，若两圆相切，则或，故B项不正确； 对于C，若圆与圆恰有两条公切线，则两圆相交，， 即，可得，解得且，故C项不正确； 对于D，若圆与圆相交，则当圆的圆心在公共弦上时，公共弦长等于，达到最大值， 因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D项正确． 故选：AD． 14．（2024·浙江绍兴·三模·多选）已知，为圆上的两个动点，点，且，则（    ） A． B． C．外接圆圆心的轨迹方程为 D．重心的轨迹方程为 【答案】ABC 【分析】根据圆的性质，可得判定A正确；当线段的中垂线经过点时，此时取得最值，结合圆的性质，可判定B正确；设的外接圆的圆心为，根据，求得轨迹方程，可判定以C正确；设的重心为点，结合C项，求得其轨迹方程，可判定D错误. 【详解】因为圆，可得圆心，半径为，且点在圆内， 对于A中，由，根据圆的性质，可得， 即，即， 所以的最大值为，所以A正确； 对于B中，因为，当线段的中垂线经过点时，此时取得最值， 如图所示，可得时，可得， 时，可得，所以B正确； 对于C中，设的外接圆的圆心为，则， 则有，可得， 即，所以C正确； 对于D中，设的重心为点，则， 由C项知的外接圆的圆心点的轨迹方程为， 且点为的中点，即，所以， 即，即，所以D错误. 故选：ABC. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解析几何：圆的方程专项训练 解析几何：圆的方程专项训练 1．（2024·广东汕头·三模·多选）已知圆，直线．则以下几个结论正确的有（    ） A．直线l与圆C相交 B．圆C被y轴截得的弦长为 C．点C到直线l的距离的最大值是 D．直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为 2．（2024·广东茂名·一模·多选）已知圆，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆的周长为 C．圆与圆外切 D．圆截轴所得的弦长为3 3．（2024·福建龙岩·一模·多选）已知点与圆是圆上的动点，则（   ） A．的最大值为 B．过点的直线被圆截得的最短弦长为 C． D．的最小值为 4．（2024·福建南平·二模·多选）已知圆：，直线：，则（    ） A．直线过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．当时，圆上恰有2个点到直线距离等于4 D．直线被圆截得的弦长最短时，的方程为 5．（2024·山东青岛·三模·多选）已知动点 分别在圆 和 上，动点在轴上，则（     ） A．圆的半径为3 B．圆和圆相离 C．的最小值为 D．过点做圆的切线，则切线长最短为 6．（2024·湖南邵阳·一模·多选）设点为圆上一点，已知点，则下列结论正确的有（    ） A．的最大值为 B．的最小值为8 C．存在点使 D．过A点作圆的切线，则切线长为 7．（2024·湖南邵阳·一模·多选）已知平面直角坐标系中，，动点满足，点的轨迹为曲线，点到直线的距离的最小值为，下列结论正确的有（    ） A．曲线的方程为 B． C．曲线的方程为 D． 8．（2024·湖南衡阳·二模·多选）已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（    ） A．圆上恰有一个点到的距离为 B．直线恒过点 C．的最小值是 D．四边形面积的最小值为 9．（2024·湖南长沙·三模·多选）已知圆 ，直线 ，则（    ） A．直线 恒过定点 B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于 1 C．直线与圆可能相切 D．若圆与圆 恰有三条公切线，则 10．（2024·河南郑州·三模·多选）已知直线（不同时为0），圆，则（ ） A．当时，直线与圆相切 B．当时，直线与圆不可能相交 C．当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线 D．当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点满足 11．（2024·江西南昌·一模·多选）已知圆与直线交于两点，设的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值2 B．无最小值 C．若，则 D．若，则 12．（2024·江西宜春·三模·多选）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数（，且），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系中，已知，点M满足，则下列说法正确的是（    ） A．面积的最大值为12 B．的最大值为72 C．若，则的最小值为10 D．当点M不在x轴上时，MO始终平分 13．（2024·安徽合肥·二模·多选）已知圆，圆，则（    ） A．两圆的圆心距的最小值为1 B．若圆与圆相切，则 C．若圆与圆恰有两条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 14．（2024·浙江绍兴·三模·多选）已知，为圆上的两个动点，点，且，则（    ） A． B． C．外接圆圆心的轨迹方程为 D．重心的轨迹方程为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$