第三章 整式及其加减 分节复习训练课件2024-2025学年北师大（2024）数学七年级上册

1 代 数 式 第三章 整式及其加减 3.1.1 代 数 式 1. (2023 茂名期中)有下列式子:① 3m;② ;③ >1;④ ; ⑤ 2<5;⑥ x=-3;⑦ 0.其中,是代数式的有( C ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 2. (2023 南阳宛城期末)下列式子中,符合代数式书写规范的是( C ) A. 2 xy2 B. ba2c 5 C. D. -a b c C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 4. 甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,相向而行,2h后相遇.甲车每 小时行驶akm,乙车每小时行驶bkm,则A,B两地间的距离为 km. 3. 如图所示为一个数值转换机的示意图.若输入a的值为2,则输出的结 果为( B ) A. 2 B. 0 C. 1 D. -1 (第3题) B (2a +2b) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 5. 代数式4a2的实际意义可表示为 . 6. 当a=- ,b=-1,c=3时,求2abc-4ab2的值. 解:当a=- ,b=-1,c=3时,2abc-4ab2=2 (-1) 3-4 (-1)2=3+2=5. 答案不唯一,如4个边长为a的正方 形的面积之和 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 7. (2024 吕梁交城期中)给代数式3a赋予实际意义,下列四个例子 中,错误的是( C ) A. 若土豆的价格是3元/千克,则3a表示买a千克土豆的金额 B. 若a表示一个等边三角形的边长,则3a表示这个等边三角形的周长 C. 若一个两位数十位上的数字为3,个位上的数字为a,则这个两位数 可表示为3a D. 某文具的进价为每件a元,已知销售这种文具能盈利50%,则销售两 件这种文具的销售额为3a元 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 8. 已知a是一个三位数,b是一个一位数,把a放在b的右边组成一个四 位数,则这个四位数是( C ) A. ba B. 100b+a C. 1000b+a D. 10b+a C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 9. 甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m元/件的商品,甲超市 连续两次降价20%,乙超市一次性降价40%,丙超市第一次降价30%, 第二次降价10%,此时顾客要购买这种商品,最划算应去的超市是 ( B ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 乙或丙 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 10. 按如图所示的程序进行运算,下列各数中,能使输出的结果为12的 是( C ) A. x=3,y=3 B. x=-4,y=-2 C. x=2,y=4 D. x=4,y=2 (第10题) C 11. (2024 烟台芝罘期末)若代数式2a-3b-5的值为-2,则代数 式4a-6b+5的值为 . 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 12. 观察下表三组数中每组数的规律,解答下列问题. 序 号 1 2 3 4 5 6 7 … n A组 3 5 7 9 11 13 15 … 2n+1 B组 5 8 13 20 29 40 53 … n2+4 C组 4 8 16 32 64 128 256 … 2n+1 (1) 请填写上表中的三处空格. (2) 由表可知,随着n的值逐渐变大,三组数中,最先超过10000的 是 组中的数(填“A”“B”或“C”). 2n+1 53 2n+1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 13. 我们定义一种新运算:a*b=a2-b+ab.求: (1) 2*(-3)的值. 解:(1) 2*(-3)=22-(-3)+2 (-3)=4+3-6=1. (2) (-2)*[2*(-3)]的值. 解:(2) 由(1),得2*(-3)=1,所以原式=(-2)*1=(- 2)2-1+(-2) 1=4-1-2=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 14. 某纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花 圃,尺寸如图所示. (第14题) (1) 求涂色部分的面积(用含x的代数式表示). 解:(1) S涂色=22+(x-2-2) (4+2)- =4+6x-24- 9= 平方米. (2) 当x=9, 取3时,求涂色部分的面积. 解:(2) 当x=9, 取3时,S涂色≈54-20- = (平方米). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 15. (核心素养 模型观念)(2024 襄阳樊城期末)商场销售一种微 波炉和电磁炉,微波炉每台定价800元,电磁炉每台定价200元.商场决 定开展促销活动,活动期间向客户提供两种优惠方案. 方案一:购买一台微波炉送一台电磁炉; 方案二:微波炉和电磁炉都按定价的90%付款. 现某客户要到该商场购买微波炉2台,电磁炉x台(x>2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 (2) 当x=5时,请通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算. 解:当x=5时,方案一:1600+200 (5-2)=2200(元),方案 二:0.9 (1600+200 5)=2340(元).因为2200<2340,所以按方 案一购买较为合算. (1) 如果该客户按方案一购买,那么需付款 元(用含x的代数式表示);如果该客户按方案二购买,那么需 付款 元(用含x的代数式表示). [1600+200(x- 2)] [0.9(1600+200x)] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 $$1　代 数 式 第三章　整式及其加减 3.1.2　整　式 1. 有下列代数式： ， ，x2＋x－ ， ， .其中，是整式的 有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. （易错题）（2024·济宁梁山期中）在代数式2x2，－3，x－2y， t， ， ，m3＋2m2－m中，单项式的个数是（　B　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 3. 单项式－ 的系数是 　－ 　，次数是 ⁠. 4. 多项式－x4－ xy＋2是 次 项式，二次项是 　－ xy　. － 　 5　 四　 三　 － xy　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 5. 如图，把下列各整式按所属类别填入相应的圈里，并指出含字母的单 项式的系数，多项式的最高次项及其次数. ab＋c，2m，ax2＋c，－ab2c，a，0，－ x，y＋2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 解：如图所示.单项式2m的系数为2；－ab2c的系数为－1；a的系数为 1；－ x的系数为－ .多项式ab＋c的最高次项为ab，次数为2；ax2＋ c的最高次项为ax2，次数为3；y＋2的最高次项为y，次数为1. （第5题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 6. （2024·烟台福山期末）下列说法中，正确的是（　A　） A. 单项式－ 的次数是2，系数为－ B. － πxy2的系数是－ C. －5x2y3＋4xy2－1的次数是8 D. 是单项式 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 7. 已知多项式2x｜m｜－（m－4）x＋7是关于x的四次三项式，则m的 值为（　C　） A. 4 B. －2 C. －4 D. 4或－4 C 8. 若m3x2yn＋1是关于x，y的五次单项式，且系数为 ，则m＝ ， n＝ ⁠. 9. 若关于x，y的多项式3x2＋（k－6）xy－y2中不含xy项，则k的值 为 ⁠. 　 2　 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 10. 多项式－ 的一次项的系数是 　 　. 　 11. 把多项式2x3y－4y2x＋5x2重新排列（降幂排列：把一个多项式的各 项按某个字母的指数从大到小的顺序排列）. （1） 按x的降幂排列. 解：（1） 2x3y＋5x2－4y2x. （2） 按y的降幂排列. 解：（2） －4y2x＋2x3y＋5x2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 12. 如图，长方形的长是a，宽是b，空白部分分别是一个四分之一圆和 一个半圆，用代数式表示阴影部分的周长C和面积S. （第12题） 解：C＝2a－b＋ ＋ πb＝2a－b＋ πb＋ πb＝2a－b＋πb.S ＝ab－ － π× ＝ab－ － πb2＝ab－ πb2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 13. 已知－5x3y｜a｜－（a－5）x－6是关于x，y的三项式，若它的最高 次项的次数是8，求a2－2a＋1的值. 解：根据题意，得3＋｜a｜＝8，且－（a－5）≠0.所以a＝－5.所以 a2－2a＋1＝（－5）2－2×（－5）＋1＝25＋10＋1＝36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 14. ★已知关于x，y的多项式（3a＋2）x2＋（9a＋10b）xy－x＋2y ＋7不含二次项，求3a－5b的值. 解：由题意，可知3a＋2＝0，9a＋10b＝0，所以a＝－ ，b＝ .所以 当a＝－ ，b＝ 时，3a－5b＝3× －5× ＝－5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 15. 已知－5x2ym＋1＋xy2－3x3－6是六次四项式，且3x2ny5－m的次数与这 个多项式的次数相同. （1） 求m，n的值. 解：（1） 因为－5x2ym＋1＋xy2－3x3－6是六次四项式，所以2＋m ＋1＝6.所以m＝3.所以3x2ny5－m的次数也是6，即2n＋5－m＝6.所以 n＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 （2） 该多项式的常数项是多少？除常数项外，其他各项的系数之和是 多少？ 解：（2） 由（1），知m＝3.所以多项式为－5x2y4＋xy2－3x3－6，常 数项为－6，其他各项的系数分别为－5，1，－3.所以其他各项的系数 之和为－5＋1－3＝－7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 16. 如果关于x的多项式mx4＋4x2－ 与多项式3xn＋5x的次数相同，求 n3－2n2＋3n－4的值. 解：因为关于x的多项式mx4＋4x2－ 与多项式3xn＋5x的次数相同， 所以m≠0，n＝4或m＝0，n＝2.当m≠0，n＝4时， n3－2n2＋3n －4＝8.当m＝0，n＝2时， n3－2n2＋3n－4＝－2.综上所述， n3－ 2n2＋3n－4的值为8或－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 17. （1） 按规律填上所缺的单项式：a，－2a2，3a3，－ 4a4， ， ，…. （2） 试写出（1）中第2028个和第2029个单项式. 解：（2） 第2028个单项式为－2028a2028，第2029个单项式为2029a2029. （3） 试写出（1）中第n个单项式. 解：（3） 第n个单项式为（－1）n＋1·n·an. 5a5　 －6a6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 （4） 当a＝－1时，求a＋（－2a2）＋3a3＋（－4a4）＋…＋99a99＋ （－100a100）的值. 解：（4） 原式＝－1－2－3－…－100＝－ ＝－5050. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 $$第三章 整式及其加减 2 整式的加减 3.2.1 合并同类项 基础进阶 1.下列各组中,两项属于同类项的是(C ) A.-x2y和xy2 B.x2v和x2z C. -m2n3和-3n3m2 D. -ab和abc 则n的值是( 2.已知3x +1与xv是同类项, __ A.2 C.4 B.3 D.5 34 567810 1112131415 乙.返回目录 3. (2023·宜宾)下列计算中,正确的是(B) A.4a-2a-2 B.2ab+3ba-5al C.a十a2-a3 D.5x2v-3x2-2x 4.在代数式2-5+3a2-3-的各中,与a2是同类项的为 IN 1 2567810 1112131415 乙.返回目录 5.合并同类项 (1) 3x-2x2+5+3x2-2x-5 解:x十x2. ($2) 2ab-7a2-9ab-8$} 解:-15a2-7ab. (3) x2v-a+2x2-5x2v-4a+3x2 解:-4x2v+5xv2-5a. $4) 7ab-32b2+7+8b2+32b2-3-7 $ 解:8ab2+4. 1 2346 78010 111213 1415 乙.返目录 素能攀升 6.有下列各组单项式 ①3x2y与-2xy2;②m4n与0.2nm4;③-12与 0;④nb2ca3与-2ab2c;33与a.其中,是同类项的为( A.①②③④ B.②③④ C.②③④ D.③ 1 234 57810 1112131415 乙.返回目录 7.(2024·周口项城期中)若-3am-1b2与:abr是同类项,则mn的值 为8 8.把(a十b)2看成-个整体,3(a十b)2-6(a十b)2+2(a十 b)2合并同类项的结果是一(a十万)2 123456010 1112131415 2.短目录 9.先合并同类项.再求值 ($1) 2-x+x+222,其中x=-1,=2. 解:212-++2=(x22+2x2)+(-#xy+xy)=3# 212+xy.当x=-1,=2时,原式=×1×4+)×(-1)i2-19. 1 234567810 1112131415 乙.返回目录 (2)a-6-2-+5^3-3,其中a-. 解:22-6a3-42+5a3-3=(22-4#2)+(-6a3+5a3) #2#a-a-3.当=-时,原式=-2(1-(-)-3-11.## 1 234567810 1112131415 乙.返回目录 (3)2x3-3x2-2x\2-x3+2xv2-2-3+3x2-,其甲x= 2030,--1. 解:2x3-3x -2x\v-+2xv2--+3xv--2v.当x= 2030,)三-1时,原式=-2. 1 234567810 1112131415 2.短目录 10.已知4(a-3)2+ |b+5 |=0.求4a+ab-13c2-5a+13c2的值 解:由题意,得4(-3)20.+5 三0.解得(3.三-5. 所以4a+b-13c2-5a+13c2-b--3×(-5)-3--18$ 11.若单项式一xm+2v5与单项式6vn-1x3的和仍为单项式,求2m- 7 解值因为单项式一x“+2v5与单项式6v2n-1的和仍为单项式.所以一x” +2v5与6v2n-1x3是同类项.所以m+2=3,2n-1=5,解得m=1,n= 3.所以2m-n-2×1-3--1. 1 234567812131415 2.短目录2　整式的加减 第三章　整式及其加减 3.2.2　去 括 号 1. 将（a－1）－（－b－c）去括号后为（　D　） A. a－1－b－c B. a－1－b＋c C. a＋1＋b－c D. a－1＋b＋c D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 3. 添括号：3（a－b）2－a＋b＝3（a－b）2－（　 　）. 4. －5a＋12－a4＋2a3＝2a3－（　 　）. a－b　 5a－12＋a4　 2. 下列各式中，去括号正确的是（　B　） A. －3（m＋n）－mn＝－3m＋3n－mn B. －（5x－3y）＋4（2xy－y2）＝－5x＋3y＋8xy－4y2 C. ab－5（－a＋3）＝ab＋5a－3 D. x2－2（2x－y＋2）＝x2－4x－2y＋4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 5. 化简：3＋[3a－2（a－1）]＝ ⁠. 6. 化简： （1） 3（a2－2ab）－2（－3ab＋b2）. 解：3（a2－2ab）－2（－3ab＋b2）＝3a2－6ab＋6ab－2b2＝3a2－ 2b2. （2） 6a2－2[a－（2a－3）＋3a2]. 解：6a2－2[a－（2a－3）＋3a2]＝6a2－2（a－2a＋3＋3a2）＝6a2－ 2（－a＋3＋3a2）＝6a2＋2a－6－6a2＝2a－6. a＋5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （3） （4x－3y）－[－（3y－x）＋（x－y）]－5x. 解：（4x－3y）－[－（3y－x）＋（x－y）]－5x＝4x－3y＋3y－ x－x＋y－5x＝（4－1－1－5）x＋（－3＋3＋1）y＝－3x＋y. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 7. ★下列各式中，去括号正确的是（　C　） A. x2－（x－y＋2z）＝x2－x＋y＋2z B. 3x－[5x－（x－1）]＝3x－5x－x＋1 C. x－（－2x＋3y－1）＝x＋2x－3y＋1 D. （x－1）－（x2－2）＝x－1－x2－2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 8. （2024·韶关翁源期中）已知a－b＝－3，c＋d＝2，则（a＋c） －（b－d）的值是（　A　） A. －1 B. －5 C. 5 D. 1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 9. （2023·榆林期中）已知数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所 示，则化简｜a＋b｜－｜c－b｜的结果是（　D　） A. a＋2b－c B. －a－2b＋c C. －a－c D. a＋c （第9题） 10. 若多项式mx2－（1－x＋6x2）化简后不含x的二次项，则m的值 为 ⁠. D 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 11. 先化简，再求值：（3x2y－xy2）－[2（－4x2y2＋x2y）＋（8x2y2－ xy2）]，其中x＝－3，y＝2. 解：（3x2y－xy2）－[2（－4x2y2＋x2y）＋（8x2y2－xy2）]＝3x2y－ xy2＋8x2y2－2x2y－8x2y2＋xy2＝x2y.当x＝－3，y＝2时，原式＝（－ 3）2×2＝18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 12. 某辆公交车上原有乘客（3m－n）人，中途下去一半乘客，又上来 若干乘客，这时车上共有乘客（8m－5n）人，则中途上车的乘客有多 少人？当m＝10，n＝8时，中途上车的乘客有多少人？ 解：由题意，得（8m－5n）－［（3m－n）－ （3m－n）］＝8m －5n－3m＋n＋ m－ n＝ m－ n.所以中途上车的乘客有（ m － n）人.当m＝10，n＝8时，原式＝ ×10－ ×8＝29.所以当m＝ 10，n＝8时，中途上车的乘客有29人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 13. （新情境）（2024·烟台福山期末）龙龙在学习电脑编程时，设计 了一个小程序：程序界面分为A，B两区，每按一次按键，A区就会自动 把初始显示值加上a2＋2a，同时B区就会自动把初始显示值乘2，并在 各自区域显示化简后的结果.已知A，B两区初始显示值分别是16和4＋a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （1） 将如图所示的初始状态按2次按键后，分别求A，B两区显示 的结果. （第13题） 解：（1） A区：16＋2（a2＋2a）＝16＋2a2＋4a.B区：2×2（4＋a） ＝4（4＋a）＝16＋4a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （2） 计算（1）中A区显示的结果减去B区显示的结果的差，这个差能 为负数吗？请说明理由. 解：（2） 不能.理由：16＋2a2＋4a－（16＋4a）＝16＋2a2＋4a－16 －4a＝2a2≥0.所以这个差不能为负数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 14. （2024·泸州江阳期末）规定一种新运算：（a，b）⊗（c，d） ＝ad－bc.如（2，1）⊗（4，3）＝2×3－1×4＝2. （1） 求（－3，5）⊗（－2，1）的值. 解：（1） （－3，5）⊗（－2，1）＝（－3）×1－5×（－2）＝－3 ＋10＝7. （2） 化简（x＋y，－1）⊗（x－y，3）. 解：（2） （x＋y，－1）⊗（x－y，3）＝3（x＋y）－[－（x－ y）]＝3x＋3y＋x－y＝4x＋2y. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （3） 若（2，x）⊗（2k，x－k）的值与x的取值无关，求k的值. 解：（3） （2，x）⊗（2k，x－k）＝2（x－k）－x·2k＝2x－ 2k－2kx＝（2－2k）·x－2k.因为（2，x）⊗（2k，x－k）的值 与x的取值无关，所以2－2k＝0.所以k＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 15. 在数学课上，王老师出了这样一道题目：“当a＝ ，b＝－3时，求 多项式2a2＋4ab＋2b2－2（a2＋2ab＋b2－1）的值.”解完这道题后， 小明指出：“a＝ ，b＝－3是多余的条件.”师生讨论后，一致认为小 明的说法是正确的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 解：（1） 2a2＋4ab＋2b2－2（a2＋2ab＋b2－1）＝2a2＋4ab＋2b2－ 2a2－4ab－2b2＋2＝2.所以该多项式的值为定值，与a和b的取值无关. 所以小明的说法是正确的. （1） 请你说明正确的原因. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （2） 受此启发，王老师又出了一道题目：“已知无论x，y取什么值， 多项式2x2－my＋12－（nx2＋3y－6）的值都等于18，求m＋n的值.” 请你解决这个问题. 解：（2） 2x2－my＋12－（nx2＋3y－6）＝2x2－my＋12－nx2－3y ＋6＝（2－n）x2＋（－m－3）y＋18.因为无论x，y取什么值，多项 式2x2－my＋12－（nx2＋3y－6）的值都等于18，所以2－n＝0，－m －3＝0.所以m＝－3，n＝2.所以m＋n＝－3＋2＝－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 $$2　整式的加减 第三章　整式及其加减 3.2.3　整式的加减 1. 如图，王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌挡住 了一个二次三项式，则挡住的多项式为（　C　） A. x2－x－2 B. －x2－2x－2 C. x2＋4x－4 D. －x2－2x＋4 （第1题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 2. 若一个两位数的个位上的数字是a，十位上的数字是b，把它们对调 后得到另一个两位数，则下列说法中，正确的是（　C　） A. 这两个两位数的和是2a＋2b B. 这两个两位数的和是9a＋9b C. 这两个两位数的和是11a＋11b D. 这两个两位数的差是9a＋9b C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 4. 已知一个长方形的长是a＋b，它的周长是10a－2b，则它的宽 是 ⁠. 7b－2　 4a－2b　 3. 2a＋5b－1减去4a－4b＋2的一半，得到的结果为 ⁠. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 5. 计算： （1） －3（2a＋3b）－ （6a－12b）. 解：原式＝－6a－9b－2a＋4b＝－8a－5b. （2） 3a2b－ －6a2b. 解：原式＝3a2b－4ab2＋3（ab2＋ a2b）＋ab2－6a2b＝3a2b－4ab2 ＋3ab2＋a2b＋ab2－6a2b＝－2a2b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 6. 先化简，再求值：－ －2 ，其中x ＝－1，y＝－2. 解：原式＝ x2－ xy＋ y2.当x＝－1，y＝－2时，原式＝ － ＋2＝ － . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 7. 若x2与－2y2的和为m，1＋y2减去－2x2的差为n，则将2m－4n化简 后应为（　A　） A. －6x2－8y2－4 B. 10x2－8y2－4 C. －6x2－8y2＋4 D. 10x2－8y2＋4 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 8. （2024·吕梁交城期中）已知关于x的多项式mx2－mx－2与3x2＋mx ＋m的和是单项式，则代数式m2－4m＋4的值是（　D　） A. 25 B. 0 C. 2或－3 D. 25或0 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 9. 对于有理数a，b，定义a☉b＝3a＋2b，则将[（x＋y）☉（x－ y）]☉3x化简后得（　C　） A. 0 B. 5x C. 21x＋3y D. 9x＋6y 10. 如果M＝x2＋6x＋22，N＝－x2＋6x－3，那么M与N的大小关系 是（　A　） A. M＞N B. M＜N C. M＝N D. 无法确定 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 11. 一个多项式的2倍与－2a＋b的和是a＋2b，这个多项式为 ⁠ ⁠. a＋ b 12. 已知a＋2b＝5，则代数式3（2a－3b）－4（a－3b＋1）＋b的值 为 ⁠. 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 13. 一个三位数，十位上的数字为a，个位上的数字比十位上的数字小 2，百位上的数字是十位上的数字的2倍.若把这个三位数百位上的数字 挪到个位上的数字的右边，组成一个新的三位数，则新的三位数减原三 位数的差为 ⁠. －99a－18　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 14. 小明在计算“某整式减去3xy－4yz＋5zx”时，误算成加上此式， 得到的答案为3yz＋zx－6xy，请你帮小明求出正确答案. 解：根据题意，得正确答案为（3yz＋zx－6xy）－2（3xy－4yz＋ 5zx）＝3yz＋zx－6xy－6xy＋8yz－10zx＝－12xy＋11yz－9zx. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 解：3（x3y－xy2）－ （x2－2xy2＋2）－1＝3x3y－3xy2－ x2＋xy2－ 1－1＝3x3y－ x2－2xy2－2.因为（x＋1）2＋｜y－2｜＝0，所以x＋1 ＝0，y－2＝0，解得x＝－1，y＝2.当x＝－1，y＝2时，原式＝3× （－1）3×2－ ×（－1）2－2×（－1）×22－2＝－6－ ＋8－2＝－ . 15. （2023·南阳镇平期末）先化简，再求值：3（x3y－xy2）－ （x2 －2xy2＋2）－1，其中x，y满足（x＋1）2＋｜y－2｜＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 16. （2024·焦作温县期中）已知两个多项式A，B，A＝x2＋2xy＋ y2，B＝x2－2xy＋y2. （1） 求A＋B. 解：（1） 因为A＝x2＋2xy＋y2，B＝x2－2xy＋y2，所以A＋B＝x2 ＋2xy＋y2＋x2－2xy＋y2＝2x2＋2y2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 （2） 求 （B－A）. 解：（2） 因为A＝x2＋2xy＋y2，B＝x2－2xy＋y2，所以 （B－ A）＝ （x2－2xy＋y2－x2－2xy－y2）＝－2xy. （3） 如果2A－3B＋C＝0，求C所表示的代数式. 解：（3） 因为2A－3B＋C＝0，所以C＝3B－2A＝3（x2－2xy＋ y2）－2（x2＋2xy＋y2）＝3x2－6xy＋3y2－2x2－4xy－2y2＝x2－ 10xy＋y2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 17. 已知两个多项式A，B，其中A＝y2＋ay－1，2B－A＝3y2＋5ay－ 4y－1. （1） 求多项式B. 解：（1） 由题意，得2B＝3y2＋5ay－4y－1＋A＝3y2＋5ay－4y－1 ＋（y2＋ay－1）＝4y2＋6ay－4y－2.所以B＝2y2＋3ay－2y－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 （2） 若B是关于y的多项式，且B中不含一次项，求a的值. 解：（2） 因为B＝2y2＋3ay－2y－1＝2y2＋（3a－2）y－1，B是关 于y的多项式且B中不含一次项，所以3a－2＝0，解得a＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 18. 对任意一个四位数n，若千位与十位上的数字之和为9，百位与个位 上的数字之和也为9，则称n为“极数”.请任意写出三个“极数”，并 猜想任意一个“极数”是否都是99的倍数，为什么？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 解：答案不唯一，如1287，2376，8712.任意一个“极数”都是99的倍 数.设“极数”n的个位上的数字为x，十位上的数字为y（0≤x≤9， 0≤y≤8，且x，y都是整数）.所以百位上的数字为9－x，千位上的数 字为9－y.所以四位数n为1000（9－y）＋100（9－x）＋10y＋x＝ 9900－990y－99x＝99（100－10y－x）.因为0≤x≤9，0≤y≤8，且 x，y都是整数，所以100－10y－x是正整数.所以99（100－10y－x） 是99的倍数.所以任意一个“极数”都是99的倍数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 返回目录 $$3　探索与表达规律 第三章　整式及其加减 1. （2023·北京西城期中）如图所示为某月的月历，在此月历上可以用 一个“十”形框圈出5个数（如3，9，10，11，17），照此方法，若圈 出的5个数中，最大数与最小数的和为38，则这5个数的和为（　C　） A. 50 B. 85 C. 95 D. 100 （第1题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 2. （2024·重庆A卷）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质， 如图所示为这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳 原子，白球代表氢原子.图①有4个氢原子，图②有6个氢原子，图③有8 个氢原子……按照这一规律，图⑩的分子结构模型中氢原子的个数是 （　B　） （第2题） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 3. （2024·烟台福山期末）仔细观察下列等式：第一个：22－1＝ 1×3；第二个：32－1＝2×4；第三个：42－1＝3×5；第四个：52－1＝ 4×6；第五个：62－1＝5×7；….这些等式反映出自然数间的某种运算 规律.设n（n≥1）表示自然数，则第n个等式可表示为 ⁠ ⁠. （n＋1）2－1 ＝n（n＋2）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 4. 小明胸有成竹地对小亮说：“只要你将心中所想的数加上2，乘10， 再减去19，最后告诉我结果，我就能知道你所想的数是多少.”小亮不 相信，就与小明进行检验，结果发现小明说的数都是对的.你知道这是 为什么吗？ 解：设小亮所想的数为x，则10（x＋2）－19＝10x＋20－19＝10x＋ 1.所以小明只要知道小亮告诉他的最后结果，将这个结果先减去1，然 后除以10，所得的数就是小亮所想的数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 5. 如图，填在各个格子中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规 律，n的值是（　C　） A. 48 B. 56 C. 63 D. 74 （第5题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 6. （易错题）（2023·十堰）用火柴棍拼成如图所示的图案，其中第① 个图案由4个小等边三角形围成1个小四边形，第②个图案由6个小等边 三角形围成2个小四边形……若按此规律拼下去，则第 个图案需要 的火柴棍的根数为 （用含n的代数式表示）. （第6题） 6n＋6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 7. 观察等式：2＋22＝23－2，2＋22＋23＝24－2，2＋22＋23＋24＝25－ 2，….按此规律，2＋22＋23＋…＋2n＝ （用含n的代数式 表示）.请根据以上规律计算：2100＋2101＋2102＋…＋2199＝ ⁠. 2n＋1－2　 2200－ 2100 n2＋n－1　 8. ★如图所示的各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，第1个图形中 有1个三角形，第2个图形中有5个三角形，第3个图形中有11个三角形， 第4个图形中有19个三角形……按此规律，第n个图形中三角形的个数 是 ⁠. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 9. （2024·烟台芝罘期末）如图，老师给数学兴趣小组的同学们设计了 一个运算程序，每名同学都选择一个自己喜欢的有理数作为x的值输 入，结果发现大家输出的结果都是一样的！你知道这是为什么吗？请你 用你所学过的知识解释这一现象. （第9题） 解：由图，可得2x－3＋（x－4）×（－2）＝2x－3－2x＋8＝5.所以 不论x取何值，输出的结果都是一样的，都是5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 10. 学习“整式及其加减”后，在一次数学活动中，丽丽对悠悠说： “你在心里想好一个两位数，将个位上的数字乘5，然后减3得到一个新 数，再将所得新数乘2，最后将得到的数加十位上的数字，把你的结果 告诉我，我就知道你心里想的两位数.” （1） 如果悠悠的计算结果是21，那么丽丽的答案是 ⁠. 72　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 通过两人的对话，你能说明其中的原理吗？请你用多项式的相关 知识说明. 解：能.设十位上的数字为a，个位上的数字为b，则心里想的数为10a ＋b.依题意，得计算的结果为（5b－3）×2＋a＝10b－6＋a＝10b＋ a－6.所以计算的结果加6，并且交换十位上的数字与个位上的数字即可 得到心里想的数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 11. 如图，观察下列由连续的正整数组成的宝塔形等式. （第11题） （1） 第6层等号右侧的第一个数是 ，第n层等号右侧的第一个数 是 （用含n的代数式表示，n是正整数）. 43　 n2＋n＋1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 数2023排在第几层？ 解：（2） 由题意，知第n层等号左侧的第一个数是n2.因为442＝ 1936，452＝2025，所以442＜2023＜452.所以数2023排在第44层. （3） 求第99层等号右侧最后三个数的和. 解：（3） 由题意，知第99层等号右侧最后三个数是1002－1，1002－ 2，1002－3.所以（1002－1）＋（1002－2）＋（1002－3）＝3×10000－ 6＝29994.所以第99层等号右侧最后三个数的和为29994. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 $$第三章复习 第三章　整式及其加减 乘积 数字因数 指数和 返回目录 次数最高 指数 不变 要改变 返回目录 考点一　 代数式 典例1　已知a2＋2ab＝－2，ab－b2＝－4，求2a2＋5ab－b2的值. 解：2a2＋5ab－b2＝（2a2＋4ab）＋（ab－b2）＝2（a2＋2ab）＋ （ab－b2）.把a2＋2ab＝－2，ab－b2＝－4代入，得原式＝2×（－ 2）－4＝－8. 返回目录 跟踪训练 1. 若x－2y＝－3，则代数式2（x－2y）2＋4y－2x＋1的值为 （　D　） A. 7 B. 13 C. 19 D. 25 D 返回目录 考点二　 整式的加减运算及化简求值 典例2　（1） 化简代数式（4x2＋ax－3y＋b）－（2bx2－4x＋3y－ 1）时，最后化简结果中没有x，请你确定a与b的值. 解：（1） 因为（4x2＋ax－3y＋b）－（2bx2－4x＋3y－1）＝4x2＋ ax－3y＋b－2bx2＋4x－3y＋1＝（4－2b）x2＋（a＋4）x－6y＋b ＋1.因为化简结果中没有x，所以4－2b＝0，a＋4＝0.所以a＝－4，b ＝2. 返回目录 （2） 在（1）的条件下，计算3（a2b－ab2）－2（a2b＋1）＋3ab2－2 的值. 解：（2） 3（a2b－ab2）－2（a2b＋1）＋3ab2－2＝3a2b－3ab2－ 2a2b－2＋3ab2－2＝a2b－4.将a＝－4，b＝2代入，得原式＝（－4） 2×2－4＝28. （3） 若（a＋3）2＋｜b－1｜＝0，求（2）中代数式的值. 解：（3） 由题意，得a＋3＝0，b－1＝0，解得a＝－3，b＝1.代入 （2）中化简后的a2b－4中，得原式＝（－3）2×1－4＝5. 返回目录 跟踪训练 2. 先化简，再求值：3（a2＋4b2－2ab）－2（2a2－3ab＋4b2），其中 a，b满足｜a－1｜＋（b＋2）2＝0. 解：3（a2＋4b2－2ab）－2（2a2－3ab＋4b2）＝3a2＋12b2－6ab－ 4a2＋6ab－8b2＝－a2＋4b2.因为｜a－1｜＋（b＋2）2＝0，所以a－1 ＝0，b＋2＝0.所以a＝1，b＝－2.所以原式＝－1＋4×（－2）2＝－1 ＋16＝15. 返回目录 考点三　 规律探索 典例3　（2022·德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的 研究，他们尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就 是形与数的结合物.用点排成的图形如图所示. （典例3图） 返回目录 其中，图①的点数叫作三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二 个三角形数是1＋2＝3，第三个三角形数是1＋2＋3＝6…… 图②的点数叫作四边形数，从上至下第一个四边形数是1，第二个四边 形数是1＋3＝4，第三个四边形数是1＋3＋5＝9…… 图③的点数叫作五边形数，从上至下第一个五边形数是1，第二个五边 形数是1＋4＝5，第三个五边形数是1＋4＋7＝12…… 以此类推，图④中第五个六边形数是 ⁠. 45　 返回目录 跟踪训练 3. 如图，下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第 ①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③ 个图形中一共有19个小圆圈……按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈 的个数为（　D　） A. 64 B. 77 C. 80 D. 85 （第3题） D 返回目录 1. 已知2xn＋1y3与 x4y3是同类项，则n的值是（　B　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 2. 如图所示的图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第① 个图形有3颗棋子，第②个图形有9颗棋子，第③个图形有18颗棋子…… 则第⑥个图形的棋子颗数是（　A　） A. 63 B. 84 C. 108 D. 152 （第2题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 3. 有下列式子：x2＋2， ＋4， ， ，－5x，0.其中，整式的个数 是 ⁠. 4. 已知x2－2y＝4，则2－3x2＋6y＝ ⁠. 5. 按照如图所示的程序运算，若输入x的值是2，则输出的结果是 ⁠ .　 （第5题） 4　 －10　 － 26　 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 6. 当x＝5，y＝4.5时，求kx－2 ＋ －2（x－y2 ＋1）的值.一名同学做题时，错把x＝5看成x＝－5，但结果也正确，且 计算过程无误，求k的值. 解：原式＝kx－2x＋ y2－ x＋ y2－2x＋2y2－2＝ x＋3y2 －2.由题意，知k－4 ＝0，解得k＝4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 7. 已知a＋b＝9，ab＝20，求 （－15a＋3ab）＋ （2ab－10a）－ 4（ab＋3b）的值. 解： （－15a＋3ab）＋ （2ab－10a）－4（ab＋3b）＝－10a＋ 2ab＋ ab－2a－4ab－12b＝－12a－ ab－12b＝－12（a＋b）－ ab.当a＋b＝9，ab＝20时，原式＝－12×9－ ×20＝－140. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 8. （2024·焦作温县期中）某家具厂生产一种办公桌和椅子，办公桌每 张定价500元，椅子每把定价160元，厂方在开展促销活动期间，向客户 提供了两种优惠方案： 方案一：每购买一张办公桌就赠送一把椅子； 方案二：办公桌和椅子都按定价的80％付款. 某公司计划添置100张办公桌和x把椅子. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 （1） 若x＝100，则哪种方案划算？ 解：（1） 当x＝100时，方案一：100×500＝50000（元）.方案二： 100×80％×（500＋160）＝52800（元）.因为50000＜52800，所以方 案一划算. （2） 若x＞100，请用含x的代数式分别把两种方案的费用表示出来. 解：（2） 当x＞100时，方案一：100×500＋160×（x－100）＝ （160x＋34000）元.方案二：（100×500＋160x）×80％＝（128x＋ 40000）元. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 （3） 若x＝300，请帮助公司设计一种最省钱的购买方案. 解：（3） 当x＝300时，① 按方案一购买的费用：500×100＋160× （300－100）＝82000（元）.② 按方案二购买的费用：（100×500＋ 160×300）×80％＝78400（元）.③ 先按方案一购买100张办公桌，同 时送100把椅子，再按方案二购买200把椅子的费用：100×500＋ 160×200×80％＝75600（元）.因为82000＞78400＞75600，所以先按 方案一购买100张办公桌，同时送100把椅子，再按方案二购买200把椅 子最省钱. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 $$