第04讲 三角形的内角-2024-2025学年人教版八年级数学上册点拨训练

2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第04讲 三角形的内角 学习目标 1.阐述并验证三角形内角和定理. 2.会用三角形内角和探索直角三角形性质与判定. 3.会运用三角形内角和定理进行计算. 老师告诉你 1. 根据三角形内角和定理，当已知三角形两个内角时，可以求出第三个角； 2. 三角形三个内角中至少有两个是锐角，三角形中最大角不小于60°。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 三角形内角和定理 ◆1. 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． ◆2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°． ◆3.三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． 【新知导学】 例1-1．一个三角形三个内角的度数之比是2：3：5，则这个三角形一定是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【对应导练】 1．如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（　　） A. 75° B. 60° C. 105° D. 120° 2．如图，CE是△ADC的边AD上的高．若∠BAD=40°，∠ECD=25°，则∠B的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 3．将两块直角三角尺按如图摆放，其中∠ABC=∠D=90°，∠A=60°，∠DCB=45°，若AC，BD相交于点E，则∠AED的大小为（　　） A. 110° B. 105° C. 95° D. 75° 4．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 _____． 5．等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角的度数为______． 知识点2 三角形内角和定理的应用： 主要用在求三角形中角的度数． ①直接根据两已知角求第三个角； ②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 【新知导学】 例2-1．新知探究： 光在反射时，光束的路径可用图（1）来表示，AO叫做入射光线，OB叫做反射光线，从入射点O引出的一条垂直于镜面EF的射线OM叫做法线．AO与OM的夹角α叫入射角，OB与OM的夹角β叫反射角．根据科学实验可得：∠β=∠α． （1）试根据所学过的知识及新知说明∠1=∠2． 问题解决： 生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图（2）当一束“激光”AB射入到平面镜EO上、被EO反射到平面镜OF上，又被平面镜OF反射后得到反射光线CD． （2）当AB∥CD，∠DCF=60°时，求∠ABC的度数． （3）当∠O=90°时，任何射到平面镜EO上的光线AB经过平面镜EO和OF的两次反射后，入射光线AB与反射光线CD总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明．（提示：三角形的内角和等于180°） 【对应导练】 1．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（ ） A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 2．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 3．《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣=矩，1欘=1宣（其中，1矩=90°）． 问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1欘，则∠C=_____度． ​ 4．如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工．取，，，则，两点的距离是_________． 2、 题型训练 题型1利用三角形内角和定理求角 1.如图所示的几何图形，的度数为（  ）    A． B． C． D． 2.将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠5的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 题型2 利用三角形内角和定理解决实际问题 3. 如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，则从灯塔P观测A．B两处的视角∠P的度数是（　　） A．30° B．32° C．35° D．40° 4．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是________ 5．如图，是A，B，C三个便民核酸采样点和小亮家(点D)的平面图，已知A，B，C三点在同一条东西方向的路段上，D在A的北偏东方向，在C的北偏西方向，且点B到A，D两点的距离相等，试求出从小亮家(点D)观测检测点B，C两处的视角的度数. 题型3 利用三角形内角和与平行线综合解决问题 6．如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD=25°，∠EBC=80°，则∠ACB的度数为（　　） A. 65° B. 75° C. 85° D. 95° 7．如图，在中，的平分线交于点E，过点E作交于点D，过点D作交于点F． （1）求证：是的平分线； （2）若，若，求的度数． 3、 牛刀小试 1、 填空题（每小题4分，共32分） 1．等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（　　） A. 55° B. 70° C. 70°或55° D. 70°或40° 2．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（　　） A. 72° B. 85° C. 65° D. 80° 3．将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1=25°，∠2=30°，则∠3的度数为（　　） A. 55° B. 65° C. 70° D. 75° 4．将两块直角三角尺按如图摆放，其中∠ABC=∠D=90°，∠A=60°，∠DCB=45°，若AC，BD相交于点E，则∠AED的大小为（　　） A. 110° B. 105° C. 95° D. 75° 5．已知，如图，AB∥CD，将一副三角尺如图摆放，让一个顶点和一条边分别放在AB和CD上，则∠AEF=（　　） A. 10° B. 12° C. 15° D. 18° 6．若一个三角形三个内角度数的比为2：3：5，那么这个三角形是（　　） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 7．如图，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠D=∠C=90°，∠B=30°，点E在线段BC上，DE交AC于点F，若DE∥AB，则∠DAF的度数为（　　） A. 15° B. 20° C. 22.5° D. 30° 8．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，点恰好落在线段AB上，连接，若，则n的大小为（ ） A. 25 B. 40 C. 45 D. 50 2、 填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，已知BE、CD分别是 △ABC的内角平分线，BE和CD相交于点O，且∠A＝40°，则∠DOE＝____________ 10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B＝___． 11．在△ABC中，∠A=∠B，过点A作AD⊥CB交直线BC于点D，∠DAC=36°，则∠C=_____°． 12．在△ABC中，∠C=40°，把△ABC沿BC边上的高AH所在直线翻折，点C落在射线CB上的点C'处，如果∠BAC'=20°，那么∠BAC=_____度． 13． 已知△ABC中，∠A=90°，∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，则∠BOC=_____． 3、 解答题（共6小题，48分） 14．（6分）如图，在△ABC中，∠1=∠2=36°，∠3=∠4，求∠DAC的度数． 15．（8分）如图，在△ABC中，∠CAE=18°，∠C=42°，∠CBD=27°． （1）求∠AFB的度数； （2）若∠BAF=2∠ABF，求∠BAF的度数． 16．（8分）如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA，∠B=54°． （1）求∠EAC的度数； （2）若∠CAD：∠E=2：5；求∠E的度数． 17．（6分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． 已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°． 方法一 证明：如图，过点A作DE∥BC． 方法二 证明：如图，过点C作CD∥AB． 18．（10分）新知探究： 光在反射时，光束的路径可用图（1）来表示，AO叫做入射光线，OB叫做反射光线，从入射点O引出的一条垂直于镜面EF的射线OM叫做法线．AO与OM的夹角α叫入射角，OB与OM的夹角β叫反射角．根据科学实验可得：∠β=∠α． （1）试根据所学过的知识及新知说明∠1=∠2． 问题解决： 生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图（2）当一束“激光”AB射入到平面镜EO上、被EO反射到平面镜OF上，又被平面镜OF反射后得到反射光线CD． （2）当AB∥CD，∠DCF=60°时，求∠ABC的度数． （3）当∠O=90°时，任何射到平面镜EO上的光线AB经过平面镜EO和OF的两次反射后，入射光线AB与反射光线CD总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明．（提示：三角形的内角和等于180°） 19．（10分）如图1，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O． （1）若∠ABC＝66°，∠ACB＝34°，则∠A＝ °，∠O＝ °； （2）探索∠A与∠O的数量关系，并说明理由； （3）若ABCO，AC⊥BO，求∠ACB的度数． （4）如图2，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点处，且平分∠ABC，平分∠ACB，若＝120°，则∠1＋∠2的度数为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第04讲 三角形的内角（解析版） 学习目标 1.阐述并验证三角形内角和定理. 2.会用三角形内角和探索直角三角形性质与判定. 3.会运用三角形内角和定理进行计算. 老师告诉你 1. 根据三角形内角和定理，当已知三角形两个内角时，可以求出第三个角； 2. 三角形三个内角中至少有两个是锐角，三角形中最大角不小于60°。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 三角形内角和定理 ◆1. 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． ◆2.三角形内角和定理：三角形内角和是180°． ◆3.三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． 【新知导学】 例1-1．一个三角形三个内角的度数之比是2：3：5，则这个三角形一定是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，再判断三角形的形状． 解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为2k°，3k°，5k°． 根据三角形内角和定理可知2k°+3k°+5k°=180°， 得k°=18°， 所以2k°=36°，3k°=54°，5k°=90°． 即这个三角形是直角三角形． 故选：B． 【对应导练】 1．如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（　　） A. 75° B. 60° C. 105° D. 120° 【答案】A 【解析】根据三角形内角和定理计算即可． 解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠BAC=180°-45°-60°=75°， 故选：A． 2．如图，CE是△ADC的边AD上的高．若∠BAD=40°，∠ECD=25°，则∠B的度数为（　　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 【答案】B 【解析】先根据CE是△ADC的边AD上的高可知∠CED=90°，再由∠ECD=25°可得出∠CDE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论． 解：∵CE是△ADC边AD上的高，∠BAD=40°， ∴∠CED=90°， ∵∠ECD=25°， ∴∠EDC=90°-25°=65°， ∴∠B=∠EDC-∠BAD=65°-40°=25°． 故选：B． 3．将两块直角三角尺按如图摆放，其中∠ABC=∠D=90°，∠A=60°，∠DCB=45°，若AC，BD相交于点E，则∠AED的大小为（　　） A. 110° B. 105° C. 95° D. 75° 【答案】B 【解析】在△BEC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BEC的度数，再结合对顶角相等，即可得出∠AED的度数． 解：在△BEC中，∠EBC=45°，∠ECB=30°， ∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°-45°-30°=105°， ∴∠AED=∠BEC=105°． 故选：B． 4．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 _____． 【答案】140° 【解析】根据三角形外角性质求出求出∠DFB，再根据三角形外角性质求出∠α即可． 解：如图， ∵∠B=30°，∠DCB=65°， ∴∠DFB=∠B+∠DCB=30°+65°=95°， ∴∠α=∠D+∠DFB=45°+95°=140°， 故答案为：140°． 5．等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角的度数为______． 【答案】40° 【解析】已知给出了一个底角为70°，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°即可解答本题． 解：因为其底角为70°，所以其顶角=180°﹣70°×2=40°． 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．利用三角形的内角和求角度是一种很重要的方法，要熟练掌握． 知识点2 三角形内角和定理的应用： 主要用在求三角形中角的度数． ①直接根据两已知角求第三个角； ②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角； 【新知导学】 例2-1．新知探究： 光在反射时，光束的路径可用图（1）来表示，AO叫做入射光线，OB叫做反射光线，从入射点O引出的一条垂直于镜面EF的射线OM叫做法线．AO与OM的夹角α叫入射角，OB与OM的夹角β叫反射角．根据科学实验可得：∠β=∠α． （1）试根据所学过的知识及新知说明∠1=∠2． 问题解决： 生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图（2）当一束“激光”AB射入到平面镜EO上、被EO反射到平面镜OF上，又被平面镜OF反射后得到反射光线CD． （2）当AB∥CD，∠DCF=60°时，求∠ABC的度数． （3）当∠O=90°时，任何射到平面镜EO上的光线AB经过平面镜EO和OF的两次反射后，入射光线AB与反射光线CD总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明．（提示：三角形的内角和等于180°） 【解析】（1）利用OM⊥EF可得∠EOM=∠FOM，再由∠α=∠β即可说明； （2）由（1）可得∠OCB=∠DCF，从而得出∠BCD，再由平行线的性质即可求解； （3）先设出∠OBC，再由三角形内角和定理表示出∠OCB，由（1）可得∠ABE和∠DCF，从而得出∠ABC和∠BCD，相加即可证明． 解：（1）∵OM⊥EF， ∴∠EOM=∠FOM， ∵∠α=∠β， ∴∠EOM-∠α=∠FOM-∠β， ∴∠1=∠2； （2）∵∠DCF=60°， ∴∠OCB=60°， ∴∠BCD=60°， ∵AB∥CD， ∴∠ABC=180°-∠BCD=120°； （3）设∠OBC=x, ∴∠ABE=x, ∴∠ABC=180°-∠OBC-∠ABE=180°-2x, ∵∠O=90°， ∴∠OCB=90°-x, ∴∠DCF=90°-x, ∴∠BCD=180°-∠OCB-∠DCF=2x, ∵∠ABC+∠BCD=180°-2x+2x=180°， ∴AB∥CD． 【对应导练】 1．将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（ ） A. 75° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】A 【解析】根据三角板可得：∠2=60°，∠5=45°，然后根据三角形内角和定理可得∠2的度数，进而得到∠4的度数，再根据三角形内角与外角的关系可得∠2的度数． 解：如图： 由题意得：∠2=60°，∠5=45°， ∵∠2=60°， ∴∠3=180°-90°-60°=30°， ∴∠4=30°， ∴∠1=∠4+∠5=30°+45°=75° 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和． 2．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】利用三个平角的和减去中间三角形的内角和，再减去三个的角即可． 解：，， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键． 3．《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣=矩，1欘=1宣（其中，1矩=90°）． 问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1欘，则∠C=_____度． ​ 【答案】22.5 【解析】根据题意可知：∠A=90°，∠B=67.5°，然后根据三角形内角和即可求得∠C的度数． 解：∵1宣=矩，1欘=1宣，1矩=90°，∠A=1矩，∠B=1欘， ∴∠A=90°，∠B=1××90°=67.5°， ∴∠C=180°-90°-∠B=180°-90°-67.5°=22.5°， 故答案为：22.5． 4．如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工．取，，，则，两点的距离是_________． 【答案】 【解析】如图所示：过点作于点，先求出，再根据勾股定理即可求出的长． 如图所示：过点作于点，则∠BEC=∠DEC=90°， ， ， ∴∠BCE=90°-30°=60°， 又， ， ∴∠ECD=45°=∠D， ∴， ， ， ，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关内容并能灵活运用． 2、 题型训练 题型1利用三角形内角和定理求角 1.如图所示的几何图形，的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】连接，根据三角形的内角和等于，可得，再根据，即可求解． 【规范解答】解；如图，连接，则， ∵， ∴ ， 故选：D．    【考点评析】本题考查三角形内角和定理、对顶角相等，整体思想的利用是解题的关键． 2.将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4＝220°，则∠5的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 【分析】利用三角形的内角和定理计算即可． 【解答】解：如图，在△ADE中， ∵∠A+∠1+∠2＝180°， ∴∠A＝180°﹣（∠1+∠2）， 在△BMN中， ∵∠B+∠3+∠4＝180°， ∴∠B＝180°﹣（∠3+∠4）， 在△ABC中， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴180°﹣（∠1+∠2）+180°﹣（∠3+∠4）+∠5＝180°， ∴∠5＝（∠1+∠2+∠3+∠4）﹣180°， ∵∠1+∠2+∠3+∠4＝220°， ∴∠5＝220°﹣180°＝40°， 故选：B． 【点评】本题考查的三角形的内角和定理，找到每一个三角形的内角是解题的关键． 题型2 利用三角形内角和定理解决实际问题 3. 如图，李明同学在东西方向的滨海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，他向东走400米至B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，则从灯塔P观测A．B两处的视角∠P的度数是（　　） A．30° B．32° C．35° D．40° 【分析】在△ABP中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题； 【解答】解：∵∠PAB=30°，∠ABP=120°， ∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=30°． 故选：A． 【点评】本题考查了方向角，利用三角形的内角和是解题关键． 4．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是________ 答案：15° 解析：由题意可得，，，，过点E作， 则， ，， 又， ， ， . 故答案为：15°. 5．如图，是A，B，C三个便民核酸采样点和小亮家(点D)的平面图，已知A，B，C三点在同一条东西方向的路段上，D在A的北偏东方向，在C的北偏西方向，且点B到A，D两点的距离相等，试求出从小亮家(点D)观测检测点B，C两处的视角的度数. 答案： 解析：由题意可知：，，，， ，， ， ， 在中，， . 题型3 利用三角形内角和与平行线综合解决问题 6．如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD=25°，∠EBC=80°，则∠ACB的度数为（　　） A. 65° B. 75° C. 85° D. 95° 【答案】B 【解析】由平行线的性质可求∠ADC得度数，再利用三角形的内角和定理可求解． 解：∵AD∥BE， ∴∠ADC=∠EBC=80°， ∵∠CAD+∠ADC+∠ACB=180°，∠CAD=25°， ∴∠ACB=180°-25°-80°=75°， 故选：B． 7．如图，在中，的平分线交于点E，过点E作交于点D，过点D作交于点F． （1）求证：是的平分线； （2）若，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】（1）如图，根据角平分线得到，根据平行线的性质得到，，进而得到，即可得证； （2）根据平行得到，进而求出的度数，利用三角形的内角和定理求出，再次利用三角形的内角和定理求出即可． 【小问1详解】 证明：如图， ∵的平分线交于点E， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即：是的平分线； 小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线，以及三角形的内角和定理．熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． 3、 牛刀小试 1、 填空题（每小题4分，共32分） 1．等腰三角形的一个角是70°，则它的底角度数是（　　） A. 55° B. 70° C. 70°或55° D. 70°或40° 【答案】C 【解析】先分顶角为70°和底角为70°两种情况，再根据等腰三角形的性质即可解答． 解：当它的顶角为70°时， 它的底角度数为：（180°-70°）÷2=55°； 当它的底角为70°时， 它的底角度数为：180°-2×70°=40°； ∴它的底角度数是55°或70°． 故选：C． 2．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（　　） A. 72° B. 85° C. 65° D. 80° 【答案】B 【解析】根据三角形内角和得出∠C=60°，再利用角平分线得出∠DBC=35°，进而利用三角形内角和得出∠BDC的度数． 解：∵在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°， ∴∠C=60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABC=35°， ∴∠BDC=180°-60°-35°=85°． 故选：B． 3．将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1=25°，∠2=30°，则∠3的度数为（　　） A. 55° B. 65° C. 70° D. 75° 【答案】C 【解析】由题意可求得∠BAC=115°，再由平行线的性质可求得∠ACD的度数，结合平角的定义即可求∠3． 解：如图， 由题意可得：∠CAE=90°，∠ACF=45°， ∵∠1=25°， ∴∠BAC=∠1+∠CAE=115°， ∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD=180°， ∴∠ACD=180°-∠BAC=65°， ∴∠3=180°-∠ACD-∠ACF=70°． 故选：C． 4．将两块直角三角尺按如图摆放，其中∠ABC=∠D=90°，∠A=60°，∠DCB=45°，若AC，BD相交于点E，则∠AED的大小为（　　） A. 110° B. 105° C. 95° D. 75° 【答案】B 【解析】在△BEC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BEC的度数，再结合对顶角相等，即可得出∠AED的度数． 解：在△BEC中，∠EBC=45°，∠ECB=30°， ∴∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=180°-45°-30°=105°， ∴∠AED=∠BEC=105°． 故选：B． 5．已知，如图，AB∥CD，将一副三角尺如图摆放，让一个顶点和一条边分别放在AB和CD上，则∠AEF=（　　） A. 10° B. 12° C. 15° D. 18° 【答案】C 【解析】过点F作FG∥AB，根据平行线的性质得出∠CFG=120°，进而得出∠GFD=30°，∠EFG=15°，根据FG∥AG，即可求解． 解：如图所示，过点F作FG∥AB， ∵AB∥CD， ∴FG∥AB∥CD， ∵∠FCD=60°， ∴∠CFG=180°-∠FCD=120°， ∵∠CFD=90°， ∴∠GFD=∠CFG-∠DFC=120°-90°=30°， ∵∠EFD=45°， ∴∠EFG=∠EFD-∠GFD=45°-30°=15°， ∵FG∥AB， ∴∠AEF=∠EFG=15°． 故选：C． 6．若一个三角形三个内角度数的比为2：3：5，那么这个三角形是（　　） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】根据三角形内角和等于180°求出最大内角的度数，再得出选项即可． 解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：5， ∴最大内角的度数是180=90°， ∴此三角形是直角三角形， 故选：A． 7．如图，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠D=∠C=90°，∠B=30°，点E在线段BC上，DE交AC于点F，若DE∥AB，则∠DAF的度数为（　　） A. 15° B. 20° C. 22.5° D. 30° 【答案】D 【解析】由直角三角形的两个锐角互余，求出∠CAB=60°，由DE∥AB，得出∠D+∠DAB=90°，求出∠DAB=90°，即可求出∠DAF的度数． 解：在Rt△ABC中， ∵∠C=90°，∠B=30°， ∴∠CAB=90°-30°=60°， ∵DE∥AB， ∴∠D+∠DAB=180°， ∵∠D=90°， ∴∠DAB=180°-90°=90°， ∴∠DAF=∠DAB-∠CAB=90°-60°=30°． 故选：D． 8．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，点恰好落在线段AB上，连接，若，则n的大小为（ ） A. 25 B. 40 C. 45 D. 50 【答案】D 【解析】由旋转即得出，．从而可求出和利用等边对等角证明，再结合三角形内角和定理即可求出，即n的大小． 根据旋转可知，， ∴， ∴． 即． 故选D． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键． 2、 填空题（每小题4分，共20分） 9．如图，已知BE、CD分别是 △ABC的内角平分线，BE和CD相交于点O，且∠A＝40°，则∠DOE＝____________ 【答案】110°##110度 【解析】根据∠A＝40°求出∠ABC+∠ACB=140°，根据角平分线的定义求出∠EBC+∠BCD=70°，进而求出∠BOC=110°，最后根据对顶角相等即可求解． 解：如图，∵∠A＝40°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°， ∵BE、CD分别是 △ABC的内角平分线， ∴∠EBC=∠ABC，∠BCD==∠ACB， ∴∠EBC+∠BCD=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=70°， ∴∠BOC=180°-（∠EBC+∠BCD）=110°， ∴∠DOE=∠BOC=110°． 故答案为：110° 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等等知识，熟知相关知识，运用整体思想求出∠EBC+∠BCD=70°是解题关键． 10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B＝___． 【答案】77° 【解析】CF的中点T，连接DT，AT，证明AT⊥CF ，AC= AF，得到∠AFC = 45°， 根据直角三角形的两锐角互余计算即可． 详解】解：取CF的中点T，连接DT，AT， ∵∠BAC＝90°，FD⊥BC， ∴∠CAF＝∠CDF＝90°， ∴AT＝DT=CF， ∴TD＝TC＝TA， ∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD， ∵∠ADB＝45°， ∴∠ADT+∠TDC＝135°， ∴∠DAT+∠TCD＝135°， ∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°， ∴AT⊥CF， ∵CT＝TF， ∴AC＝AF， ∴∠AFC＝45°， ∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°， ∵∠BDF＝90°， ∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°， 故答案为：77°． 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边中线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加斜边上的中线． 11．在△ABC中，∠A=∠B，过点A作AD⊥CB交直线BC于点D，∠DAC=36°，则∠C=_____°． 【答案】54或126 【解析】首先在直角△ACD中，分两种情况利用三角形内角和定理和邻补角的定义求得∠BCA的度数． 解：当△ABC时锐角三角形时，如图1． 在直角△ACD中，∠ACB=90°-∠DAC=90°-36°=54°； 当△ABC是钝角三角形时，如图2． ∠ACD=90°-∠DAC=90°-36°=54°， 则∠ACB=180°-∠ACD=180°-54°=126°． 则∠ACB的度数是54°或126°． 故答案为：54或126． 12．在△ABC中，∠C=40°，把△ABC沿BC边上的高AH所在直线翻折，点C落在射线CB上的点C'处，如果∠BAC'=20°，那么∠BAC=_____度． 【答案】80或120 【解析】利用翻折变换的性质求出∠C′=40°，再利用三角形内角和定理求出∠ABC′，再求出∠ABC，可得结论． 解：如图，当点B在线段CC′上时． 由翻折的旋转可知，∠C′=∠C=40°， ∴∠ABC′=180°-∠C′-∠BAC′=180°-40°-20°=120°， ∴∠ABC=180°-120°=60°， ∴∠CAB=180°-∠C-∠ABC=180°-40°-60°=80°， 当点B在CC′的延长线上时，可得∠CAB=100°+20°=120° 故答案为：80或120． 13．已知△ABC中，∠A=90°，∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，则∠BOC=_____． 【答案】150° 【解析】求出∠OBC+∠OCB的度数即可解决问题． 解：∵∠A=90°， ∴∠ABC+∠ACB=90°， ∵∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=30°， ∴∠BOC=180°-30°=150°， 故答案为150°． 3、 解答题（共6小题，48分） 14．（6分）如图，在△ABC中，∠1=∠2=36°，∠3=∠4，求∠DAC的度数． 【解析】依据三角形外角性质，即可得到∠3的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到∠DAC的度数． 解：∵∠1=∠2=36°， ∴∠3=∠4=∠1+∠2=72°， 在△ACD中，∠DAC=180°-（∠3+∠4）=180°-2×72°=36°． ∴∠DAC=36°， 答：∠DAC的度数为36°． 15．（8分）如图，在△ABC中，∠CAE=18°，∠C=42°，∠CBD=27°． （1）求∠AFB的度数； （2）若∠BAF=2∠ABF，求∠BAF的度数． 【解析】（1）利用三角形外角的性质即可得出答案； （2）利用三角形外角的性质得3∠ABF=93°，从而得出答案． 解：（1）∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠C=42°，∠CAE=18°， ∴∠AEB=60°， ∵∠CBD=27°， ∴∠BFE=180°-27°-60°=93°， ∴∠AFB=180°-∠BFE=87°； （2）∵∠BAF=2∠ABF，∠BFE=93°， ∴3∠ABF=93°， ∴∠ABF=31°， ∴∠BAF=62°． 16．（8分）如图，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA，∠B=54°． （1）求∠EAC的度数； （2）若∠CAD：∠E=2：5；求∠E的度数． 【解析】（1）利用外角性质及∠EAD=∠EDA，可得∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD，又由角平分线的定义可得：∠EAC=∠B=54°． （2）设∠CAD=2x,则∠E=5x,∠BAD=2x,则∠EDA=∠EAD=∠CAD+∠EAC=2x+54°，在三角形EDA中再由三角形内角和为180°建立方程求解x即可求解此题． 解：（1）∵∠EAD=∠EDA， ∴∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠BAD． ∴∠EAC=∠B． ∵∠B=54°， ∴∠EAC=54°． （2）设∠CAD=2x,则∠E=5x,∠DAB=2x, ∵∠B=54°， ∴∠EDA=∠EAD=2x+54°． ∵∠EDA+∠EAD+∠E=180°， ∴2x+54°+2x+54°+5x=180°． 解得x=8°． ∴∠E=5x=40°． 17．（6分）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． 已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°． 方法一 证明：如图，过点A作DE∥BC． 方法二 证明：如图，过点C作CD∥AB． 【解析】方法一：由平行线的性质得：∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，再由平角的定义可得∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，从而可求解； 方法二：由平行线的性质得：∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，从而可求解． 证明：方法一：∵DE∥BC， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE， ∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°， ∴∠B+∠BAC+∠C=180°； 方法二：∵CD∥AB， ∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°， ∴∠B+∠ACB+∠A=180°． 18．（10分）新知探究： 光在反射时，光束的路径可用图（1）来表示，AO叫做入射光线，OB叫做反射光线，从入射点O引出的一条垂直于镜面EF的射线OM叫做法线．AO与OM的夹角α叫入射角，OB与OM的夹角β叫反射角．根据科学实验可得：∠β=∠α． （1）试根据所学过的知识及新知说明∠1=∠2． 问题解决： 生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图（2）当一束“激光”AB射入到平面镜EO上、被EO反射到平面镜OF上，又被平面镜OF反射后得到反射光线CD． （2）当AB∥CD，∠DCF=60°时，求∠ABC的度数． （3）当∠O=90°时，任何射到平面镜EO上的光线AB经过平面镜EO和OF的两次反射后，入射光线AB与反射光线CD总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明．（提示：三角形的内角和等于180°） 【解析】（1）利用OM⊥EF可得∠EOM=∠FOM，再由∠α=∠β即可说明； （2）由（1）可得∠OCB=∠DCF，从而得出∠BCD，再由平行线的性质即可求解； （3）先设出∠OBC，再由三角形内角和定理表示出∠OCB，由（1）可得∠ABE和∠DCF，从而得出∠ABC和∠BCD，相加即可证明． 解：（1）∵OM⊥EF， ∴∠EOM=∠FOM， ∵∠α=∠β， ∴∠EOM-∠α=∠FOM-∠β， ∴∠1=∠2； （2）∵∠DCF=60°， ∴∠OCB=60°， ∴∠BCD=60°， ∵AB∥CD， ∴∠ABC=180°-∠BCD=120°； （3）设∠OBC=x, ∴∠ABE=x, ∴∠ABC=180°-∠OBC-∠ABE=180°-2x, ∵∠O=90°， ∴∠OCB=90°-x, ∴∠DCF=90°-x, ∴∠BCD=180°-∠OCB-∠DCF=2x, ∵∠ABC+∠BCD=180°-2x+2x=180°， ∴AB∥CD． 19．（10分）如图1，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O． （1）若∠ABC＝66°，∠ACB＝34°，则∠A＝ °，∠O＝ °； （2）探索∠A与∠O的数量关系，并说明理由； （3）若ABCO，AC⊥BO，求∠ACB的度数． （4）如图2，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点处，且平分∠ABC，平分∠ACB，若＝120°，则∠1＋∠2的度数为 ． 【答案】（1）80，40 （2）∠A=∠O；理由见解析 （3）∠ACB=60°； （4）120° 【解析】（1）由三角形内角和定理可求∠A，求出∠OBC，和∠BCO，再由三角形内角和定理即可求出结论； （2）由题中角平分线可得∠O=∠OCD-∠OBC=∠ACD-∠ABC，进而得出∠A=180°-∠ABC-180°+∠ACD=∠ACD-∠ABC，即可得出结论； （3）AC与BO交于点E，由OCAB，证得∠ABO=∠O，由AC⊥BO，证得∠AEB=90°，故2∠O+∠O=90°，进而证得∠A=60°，∠ABC=2∠ABO即可证得结论； （4）连接，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵∠ABC=66°，∠ACB=34°， ∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°， ∵∠ABC与∠ACD的角平分线交于点O， ∴∠OBC=∠ABC=33°，∠OCD=（180°-34°）=73°， ∴∠O=∠OCD-∠OBC=40°， 故答案为：80、40； 【小问2详解】 解：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO=∠ABC， ∵CO平分∠ACD， ∴∠ACO=∠ACD， 如图，AC与BO交于点E， ∵∠AEB=∠CEO， ∴∠A+∠ABO=∠O+∠ACO， ∴∠A+∠ABO=∠O+∠ACD， ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD=∠A+∠ABC=∠A+2∠ABO， ∴∠A+∠ABO=∠O+∠A+∠ABO， ∴∠A=∠O； 【小问3详解】 解：如图，AC与BO交于点E， ∵OCAB， ∴∠ABO=∠O， ∵AC⊥BO， ∴∠AEB=90°， ∴∠A+∠ABO=90°， ∴2∠O+∠O=90°， ∴∠O=30°， ∴∠A=60°，∠ABC=2∠ABO=60°， ∴∠ACB=60°； 【小问4详解】 解：如图，连接， ∵平分∠ABC，平分∠ACB， ∴=∠ABC，=∠ACB， ∵=120°， ∴=180°-120°=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°， ∴∠BAC=180°-120°=60°， ∵沿DE折叠， ∴，， ∵∠1=，∠2=， ∴∠1+∠2=2=2∠BAC=2×60°=120°， 故答案为：120°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识． 学科网（北京）股份有限公司 $$