2024年广东省中学生数学夏令营数学测试（二）

2024年广东省中学生数学夏令营 数学测试（二） 一试部分 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1． 设S＝max{a＋,b＋,c＋}，其中a,b,c＞0，则S的最小值为_________． 2． 已知＝12，其中a,b,c＞1，则ab2c3的取值范围是_________． 3． 在△ABC中，sinAsinB＋sinBsinC的最大值为_________． 4． 复数z满足z2(1＋i)是纯虚数，则|z－1|的最小值为_________． 5． 在四面体A－BCD中，AB＝3，BD＝BC＝，CD＝2，∠ACB＝∠ADB＝90°，则四面体A－BCD体积为_________． 6． 设实数α,β,γ满足sinα＋sinβ＋sinγ＝1，cosα＋cosβ＋cosγ＝1，则cosα的最小值是_________． 7． 正整数a,b,c,d满足a＜b＜c＜d，且＋＋＝1，则满足条件的(a,b,c,d)有_________组． 8． 将3×3表格中的每个格子填入1~5中的一个数字，并圈出每行中最大的那个数字，每列中最大的那个数字，共6个数字，使得1~5每个数字至少出现一次，共有_________种不同的填法． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（16分）已知P0,P1,…,P11是单位圆上的12个点，构成一个凸12边形，12边形内有一点Q，满足∠Pi-1QPi＝30°，求P0P12＋P1P22＋…＋P10P112的最小值． 10．（20分）已知点P的运动轨迹为x＝2（y≠0），以点M(1,0)为端点的射线m过点P，直线l过点(－1,0)，与射线m交于不同于点M的点Q．若3≤·≤12，求点Q的运动轨迹． 11．（20分）实数0＜k＜，0＜a0,b0＜1，定义{an},{bn}： an+1＝，bn+1＝bnk 证明：对于足够大的n，bn＞an． 加试部分 一、（本题满分40分） 如图，设ABC是一个锐角三角形，其外心为O，设AD为其在BC边上的高，M为OD中点，Ob和Oc分别为△AOC和△AOB的外心，若AO＝AD，证明：A,Ob,Oc, M四点共圆． 二、（本题满分40分） 找到最大的常数c，用n来表达，使得对任意非负实数a1,a2,…,an满足a1＋a2＋…＋an＝n，下面不等式均成立： ＋＋…＋≤ 三、（本题满分50分） 已知a,b,c∈Z+，f(x)＝ax2＋bx＋c有两个有理根，证明：对任意n＞m， lcm{f(m),f(m＋1),…,f(n)}≥(n＋1) 其中lcm{a1,a2,…,an}是指正整数a1,a2,…,an的最小公倍数． 四、（本题满分50分） 设N≥3为整数．在方片国，有N2个城镇排列成一个 N×N 的网格，每一对相邻城镇对应网格中的相邻顶点，由道路相连．若干无人机被指示沿道路遍历一个矩形路径，起点和终点为同一个城镇，确保每条道路至少被某架无人机遍历一次．则最少需要多少架无人机？ 学科网（北京）股份有限公司 $$