24.4 弧长和扇形面积——探究圆的弧长、扇形面积公式 课件-2024—2025学年人教版数学九年级上册

探究圆的弧长、扇形面积公式 1 情境感受 2023年9月23日，是我国杭州承办第十九届亚运会日子，最受关注的就是新晋杭州地标建筑“小莲花”，即杭州奥体中心网球中心，外形采用花瓣状设计，外观由上下两部分“花瓣”组成。最引人注目的特点是世界首创的独具特色的旋转开闭屋顶。当屋顶的8片旋转“花瓣”同步张合时，形成一种视觉上的冲击力，同时也让场馆不受天气影响，可以全天候使用。 O A B 2 问题探究 圆O O A B 整体 部分 圆周长C=2πR 利用所学知识求出这些弧长？ 弧AB C D E 弧AC 弧AD 弧AE 弧所对的圆心角的度数 n° 圆心角360° 图形 圆心角 所对的弧长 360° 180° 2πR 图形 圆心角 所对的弧长 1° n° 90° 2 问题探究 若设圆的半径为R，n°的圆心角所对的弧长为 公式说明 1）n没有单位，弧长和半径单位一致。 2）弧长的大小与圆心角大小和半径的长度有关。 3）弧长公式变形 , ，R、n、l三个量， 已知两个可求另一个。 弧长公式 2 问题探究 例1.制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度” 再下料，试计算图中的管道的展直长度L(结果取整数). 解：由弧长公式，可得 的长 (mm) 因此所要求的展直长度 L=2×700+1570=2970(mm) 分析 展直长度L=AC+ +BD 700 700 弧长公式可求 ① ② ③ 3 公式应用 变式：若这个弧长为500π m的弯形软管部分所对圆心角∠AOB=120°，请求出半径R的长度． 已知弧长 l和圆心角 n，求半径R,代入公式 即可 答：半径R的长度是750m 3 公式应用 (m) 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧 围成的图形叫做扇形 记作：扇形OAB 探究扇形面积公式 扇形定义 类比弧长公式的推导过程，你能推导出扇 形面积公式吗？ O A B 4 深入探究 探究扇形面积公式 图形 圆心角 扇形面积 图形 圆心角 扇形面积 360° πR2 n° 1° 180° 90° 4 深入探究 若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积是 探究扇形面积公式 扇形面积公式 比较扇形面积公式和弧长公式，你能用弧长表示面积吗? 思考 如何表示？ 4 深入探究 若设⊙O半径为R，设圆心角所对的弧长是l，如何用弧长l表示扇形面积？ 探究扇形面积公式 问题 证明 扇形面积公式 (其中l为扇形的弧长，R为半径.) 4 深入探究 nπR·R 180×2 例2：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积. 分析 = - 弓形定义 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。 扇形面积公式 A D C B 0.6 0.6 OA=OB=OC=0.6 CD=0.3 0.3 0.3 R=0.6 ∠AOB=120° OD=0.3 5 公式应用 扇形面积公式 例2：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积.(结果保留小数点后两位). 如图，连接OA，OB,作弦AB的垂直平分线，垂足为D， 交弧AB于点C，连接AC. ∵OC=0.6m,DC=0.3m,∴OD=OC-DC=0.3m. ∴OD=DC.又AD⊥DC， ∴AD是线段OC的垂直平分线 ∴AC=AO=OC. 从而∠AOD=60°,∠AOB=120° 5 公式应用 扇形面积公式 变式：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6m，其中水面高0.9m，求截面上有水部分的面积.(结 果保留小数点后两位). 分析 = + 5 公式应用 扇形面积公式 变式：如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.9m，求截面上有水部分的面积.(结果保留小数点后两位). 如图，连接OA，OB,作弦AB的垂直平分线，垂足为D， 交弧AB于点C，连接AC. ∵OC=0.6m,OD=0.9-0.6=0.3m,∴CD=OC-OD=0.3m. ∴OD=DC.又AD⊥DC， ∴AD是线段OC的垂直平分线 ∴AC=AO=OC. 从而∠AOD=60°,∠AOB=120° 5 公式应用 弓形面积公式 总结 = 弓形面积公式 5 公式应用 小结 整体 部分 圆 周长 弧长公式 面积 扇形面积公式 类 比 类比 三角形 弓形面积 割补法 转化 转化 6 课堂小结 基础 7 分层作业 1.填空 (1)75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm,则此弧所在圆的半径是 . (2)一个扇形的弧长是20πcm,面积是240πcm2,则扇形的圆心角是 . 2.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB,AC夹角120°, AB 的长为30cm,扇面BD的长为20cm.求扇面的面积. 拓展提高 1.往直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图1 所示,若油面宽AB=600mm，求油的最大深度. 2.如图2，大半圆中有n个小半圆，大半圆的弧长为L1,n个小 半圆的弧长和为L2，探索L1和L2的关系并证明你的结论. 图1 图2 7 分层作业 同学们，再见！ $$