22.2二次函数与一元二次方程 课件-2024—2025学年人教版数学九年级上册

二次函数与一元二次方程 概念 一元二次方程 一般形式 二次函数 一元二次方程 二次函数 概念 一般形式 等号两边都是整式 只含有一个未知数 未知数最高次数是2的方程 ax²+bx+c=0， （a≠0） 形如 y=ax²＋bx＋c (a,b,c 是常数，a≠0)的函数 y=ax²＋bx＋c， (a,b,c 是常数，a≠0) 二次函数与一元二次方程 以40 m/s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。 如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位: m)与飞行时间t(单位: s)之间具有函数关系： h=20t-5t². 活动一 问题 小球的飞行高度能否达到15 m? 如果能，需要多少飞行时间? 解：解方程： 15=20t-t²， t²-4t+3=0， t1=1，t2=3. 当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m. 活动一 15 1 3 问题 小球的飞行高度能否达到20 m? 如果能，需要多少飞行时间? 解：解方程： 20=20t-t²， t²-4t+4=0， t1=t2=2. 当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m. 活动一 20 2 问题 小球的飞行高度能否达到20.5 m? 如果能，需要多少飞行时间? 20.5 解：解方程： 20.5=20t-t2²， t²-4t+4.1=0， ∆=(-4)²-4×4.1<0， 方程无解，即小球的飞行高度达不到20.5米。 活动一 问题 为什么会只有一个时间点能够达到 20 呢？ 又为什么达不到 20.5 米呢？ 在 t=2 时，函数有最大值。 活动一 20 2 h=20.5 时，方程没有实根， 直线 y=20.5 与抛物线没有交点， 所以小球的高度达不到 20.5 米。 20.5 20 问题 小球从飞出到落地需要多长的时间呢？ 解：解方程： 0=20t-5t²， t²-4t=0 t1=0，t2=4. 小球从飞出到落地要用 4 s. 活动二 0s 4s 已知二次函数 y=-x²+4x 的值为 3，求自变量 x 的值 -x²+4x=3 ( x²-4x+3=0 )的解 解方程 x²-4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y=x²-4x+3 的值为 0，求自变量 x 的值。 二次函数与一元二次方程 问题： 以上二次函教的图象与x轴有公共点吗？ 如果有，公共点的横坐标是多少？ 当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？ 由此，能否得出相应一元二次方程的根呢？ （1）y=x²+x-2 （2）y=x²-6x+9 （3）y=x²-x+1 活动三 当x取公共点的横坐标时，函数值是0. 由此得出方程x²+x-2=0的根是－2,1。 活动三 -2 1 y=x²+x-2 当x=3时，函数值是0. 方程x²-6x+9=0有两个相等的实数根3。 活动三 3 y=x²-6x+9 x²-x+1=0没有实数根 活动三 y=x²-x+1 没有公共点 活动三 一元二次方程的根的情况 确定相应的二次函数的图象与 x 轴的位置关系 总结 如果抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x0， 那么当 x=x0时，函数值是 0， 因此 x=x0是方程 ax²+bx+c=0 的一个根。 二次函数的一般规律 总结 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象与 x 轴的位置关系 没有公共点 有一个公共点 有两个公共点 一元二次方程 ax²+bx+c=0 的根 没有实数根 有两个相等的实数根 有两个不等的实数根 二次函数的一般规律 利用函数图象求出x²-2x-2=0的实数根 活动四 方程的实数根约为 -0.7 和 2.7 利用函数图象求出x²-2x-2=0的实数根 活动四 x=2 y=-2 y<0 x=3 y=1 y>0 x=2.5 y=-0.75 y<0 x=2.75 y=0.0625 y>0 x=2.625 y≈-0.3594 y<0 x=2.6875 y≈-0.1523 y<0 根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值。 课堂练习 1.已知函数 y=x²-4x+3.图象如下，当 x 取哪些值时，函数值为 0? 当 x=1 或 3 时，函数值为 0. 2.函数 y=x²-2x-3 的图象如下，利用图象回答： 答案： （1） x²-2x-3=0 的解为 x1=-1,x2=3. （2）当 x<-1 或 x>3 时，函数值大于 0. （3）当-1<x<3 时，函数值小于 0. (1)方程 x²-2x-3=0 的解是什么？ (2)x 取什么值时，函数值大于 0? (3)x 取什么值时，函数值小于 0? 课堂练习 3.如果 a>0，抛物线 y=ax²+bx+c 的顶点在什么位置时， 答案： （1）当 a>0 时，顶点在 x 轴下方；当 a<0 时，顶点在 x 轴上方。 （2）当 a>0 或 a<0 时，顶点都在 x 轴上。 （3）当 a>0 时，顶点在 x 轴上方；当 a<0 时，顶点在 x 轴下方。 (1)方程 ax²+bx+c=0 有两个不等的实数根？ (2)方程 ax²+bx+c=0 有两个相等的实数根？ (3)方程 ax²+bx+c=0 无实数根？ 如果a<0 呢？ 课堂练习 课后作业 计算方程 x²-2x-2=0 的另一个根的近似值 （要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 0.1） 谢 谢 观 看 $$