复数小题中常见的八种题型归纳讲义-2025届高三数学一轮复习

高三一轮复习—复数小题中常见的八种题型 基础知识 1 考点一 复数的概念 3 （一）复数的实部与虚部 3 （二）复数相等 4 （三）复数分类 5 （四）复数的模 5 （五）共轭复数 6 考点二 待定系数法求复数 7 考点三 复数的几何意义 8 考点四 复数的运算 9 考点五 复数范围内方程根的问题 10 考点六 与复数模相关的轨迹（图形）问题 11 考点七 复数的综合应用 12 考点八 复数的新定义问题 14 基础知识 1. 复数的概念 概念 定义 复数 把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位. 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部 复数集 全体复数所构成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R} 复数 相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R 复数 分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类： 复数 共轭 复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z＝a－bi 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数 的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|. 即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R. 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应的点Z(a，b)到坐标原点的距离 2. 复数的几何意义 为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数. 3. 复数的四则运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i. ②z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. ③＝＋i(z2≠0). (2)复数加、减法的几何意义 加 法 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量所对应的复数 减 法 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数 (3)复数加法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1＋z2＝z2＋z1 结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) (4)复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 4. (1±i)2＝±2i；＝i，＝－i. 5. i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*；in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，其中n∈N. 6. zz＝|z|2＝|z|2，|z1z2|＝|z1||z2|，＝，|zn|＝|z|n. 7. 复数问题标准化、实数化是解决复数问题最基本的思想方法. 复数概念中应注意的几点：①对于复数m＋ni，如果m，n∈C(或没有明确界定m，n∈R)，则不可想当然地判定m，n∈R；②易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)；③对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0. 8. ①复数的两种几何意义：一是复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应；二是复数z＝a＋bi与平面向量一一对应，其中a，b∈R. ②由几何意义可知|z|可表示复数z对应的点与原点的距离. ③|z1－z2|可表示两点的距离，即表示复数z1与z2对应的点的距离. 9. ①复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助. ②除法的关键是“分母实数化”. 考点一 复数的概念 （一）复数的实部与虚部 1．（2023秋·天津河北·高三统考期末）是虚数单位，复数的虚部为______. 2．（2023秋·贵州六盘水·高二统考期末）已知复数满足（是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 3．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 4．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）已知复数的实部与虚部的和为12，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 （二）复数相等 5．（2022春·青海玉树·高二校联考期末）若，其中，则（　　） A．3 B．2 C．-2 D．-3 6．（2023秋·江西·高三校联考期末）已知，则=（    ） A．3 B． C． D．2 7．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）设a,b为实数，若复数，则 A． B． C． D． 8．（2023春·天津红桥·高三统考期末）已知，其中是虚数单位，则（    ） A．1 B．3 C． D． 9．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）已知a，b为实数，复数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 10．【多选】（2022春·浙江宁波·高一校联考期中）已知复数，且，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D．1 （三）复数分类 11．（2023秋·山西运城·高三统考期末）已知（为虚数单位）是纯虚数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 12．（2023秋·天津南开·高三崇化中学校考期末）已知为虚数单位，若复数，则实数的值为__________． 13．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）“”是“复数为纯虚数”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）设a为实数，若存在实数t，使为实数(i为虚数单位)，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知是纯虚数，是实数，那么（    ） A． B． C． D． （四）复数的模 16．（2023秋·山东威海·高二统考期末）已知实数x，y满足，则（    ） A．2 B．4 C． D．8 17．（2023秋·山西太原·高三太原五中校考期末）已知，则（    ） A． B．3 C．2 D． 18．（2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）已知，则正实数（    ） A．1 B． C． D．2 19．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）已知为实数，复数，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（2023秋·浙江·高三期末）已知复数（其中i为虚数单位），若，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或5 21．【多选】（2023秋·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）已知复数，（，，，均为实数），下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的虚部为 C．若，则 D． 22．（2022春·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）下列命题中，真命题的个数是（    ） （1）若复数、，且，则或 （2）若复数、，且，则． （3）若复数，则． A．0 B．1 C．2 D．3 （五）共轭复数 23．（2022秋·山东济宁·高三统考期末）若，则（    ） A．1 B． C． D． 24．（2023秋·云南·高二统考期末）若复数（i为虚数单位），则共轭复数的虚部是（    ） A．1 B． C． D．i 25．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 26．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）若复数在复平面内对应的点在直线上，且，则（   ） A． B． C． D． 考点二 待定系数法求复数 27．（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知复数z满足，则z的虚部为______. 28．（2023秋·山东德州·高三统考期末）已知复数z满足3z－1＝（z＋2）i，则z＝（    ） A． B． C． D． 29．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 30．（2022秋·安徽亳州·高二校联考期末）若，则（    ） A． B． C．2 D．10 31．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 32．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）设，则（    ） A． B． C． D． 考点三 复数的几何意义 33．（2023秋·河北石家庄·高三校联考期末）已知复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 34．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）是虚数单位，设复数满足，则的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 35．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A． B． C．2 D．5 36．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）在复平面内，复数对应的点为，设是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 37．（2023秋·北京昌平·高三统考期末）在复平面内，复数对应的点的坐标是，且满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 38．（2022春·河南新乡·高二封丘一中校考期末）若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则（    ） A．4 B．2 C． D． 39．（2022春·贵州贵阳·高二校联考期末）设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则（    ） A．10 B． C． D．－10 40．（2022秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中）若复数（为虚数单位）在复平面上对应的点在第四象限，则实数的取值范围为______． 41．（2022春·山西吕梁·高一校联考期中）在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，则的值为_________. 42．（2022春·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期末）非零复数、在复平面内分别对应向量、（为坐标原点），若，则（    ） A．、、三点共线 B．是直角三角形 C．是等边三角形 D．以上都不对 考点四 复数的运算 43．（2023秋·江西·高三校联考期末）若复数则复数的虚部为（    ） A．1 B． C．i D． 44．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 45．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）设复数满足（其中为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 46．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）若复数，则z的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 47．（2023春·四川成都·高三校联考期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 考点五 复数范围内方程根的问题 48．（2023秋·上海·高二上海交大附中校考期末）设（、、）.已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程的解的情况，下列描述正确的是（    ） A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根 B．可能方程有四个实数根的解 C．可能有两个实数根，两个纯虚数根 D．可能方程没有纯虚数根的解 49．（2022春·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）在复数范围内分解因式________． 50．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知复数是关于x的方程的一个根，则（    ） A．4 B． C．8 D． 51．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）若是实系数一元二次方程的一个根，则（    ） A．， B．， C．， D．， 52．（2022春·上海宝山·高一上海市行知中学校考期末）已知关于的方程有一个模为1的虚根，则的值为____. 53．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知复数是一元二次方程的一个根，则的值为 A．1 B． C．0 D．2 54．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知，是关于x的方程的两个根.若，则（    ） A． B．1 C． D．2 55．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知复数，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 考点六 与复数模相关的轨迹（图形）问题 56．（2023秋·天津蓟州·高三天津市蓟州区第一中学校考期末）若复数满足，则（其中为虚数单位）的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 57．（2022春·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考期末）若，且，则的最大值是_______． 58．（2022秋·湖北·高二校联考期中）已知复数z满足，则的最大值是（    ） A． B． C．2 D． 59．（2023秋·江苏·高三统考期末）若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 60．（2022春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）已知复数满足，则在复平面内复数对应的点所在区域的面积为_____． 61．【多选】（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知，且，则（    ） A．当时，必有 B．复平面内复数所对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆 C． D． 考点七 复数的综合应用 62．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（   ） A．z的实部是 B．z的虚部是 C．复数在复平面内对应的点在第一象限 D． 63．（2023秋·广东河源·高二龙川县第一中学校考期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（    ） A．复数z的模为 B．复数z的共轭复数为 C．复数z的虚部为 D．复数z在复平面内对应的点在第一象限 64．【多选】（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）已知为虚数单位，，，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 65．【多选】（2023秋·山东日照·高二统考期末）设复数对应的向量分别为（为坐标原点），则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则的最大值为 66．【多选】（2023秋·山东威海·高二统考期末）已知复数，，则（    ） A． B．若，则的最大值为3 C． D．在复平面内对应的点在第四象限 67．【多选】（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）在复平面内，复数，正确的是（    ） A．复数的模长为1 B．复数在复平面内对应的点在第二象限 C．复数是方程的解 D．复数满足 考点八 复数的新定义问题 68．（2022春·山西吕梁·高一统考期末）定义：若，则称复数z是复数的平方根．根据定义，复数的平方根为_____________． 69．（2022春·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期中）定义运算，则符合条件（是虚数单位）的复数对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 70．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）若复数（a，，为其共轭复数），定义：.则对任意的复数，有下列命题：：；：；：；：若，则为纯虚数.其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 71．（2022秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）对任意复数.,定义,其中是的共轭复数.对任意复数..,有如下四个命题： ①； ②； ③； ④.则真命题是________（填写命题的序号） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三一轮复习—复数小题中常见的八种题型 基础知识 2 考点一 复数的概念 4 （一）复数的实部与虚部 4 （二）复数相等 5 （三）复数分类 7 （四）复数的模 8 （五）共轭复数 11 考点二 待定系数法求复数 12 考点三 复数的几何意义 14 考点四 复数的运算 18 考点五 复数范围内方程根的问题 19 考点六 与复数模相关的轨迹（图形）问题 23 考点七 复数的综合应用 25 考点八 复数的新定义问题 28 基础知识 1. 复数的概念 概念 定义 复数 把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位. 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部 复数集 全体复数所构成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R} 复数 相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R 复数 分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类： 复数 共轭 复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z＝a－bi 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数 的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|. 即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R. 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应的点Z(a，b)到坐标原点的距离 2. 复数的几何意义 为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数. 3. 复数的四则运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i. ②z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. ③＝＋i(z2≠0). (2)复数加、减法的几何意义 加 法 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量所对应的复数 减 法 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数 (3)复数加法的运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1＋z2＝z2＋z1 结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) (4)复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 4. (1±i)2＝±2i；＝i，＝－i. 5. i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N*；in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，其中n∈N. 6. zz＝|z|2＝|z|2，|z1z2|＝|z1||z2|，＝，|zn|＝|z|n. 7. 复数问题标准化、实数化是解决复数问题最基本的思想方法. 复数概念中应注意的几点：①对于复数m＋ni，如果m，n∈C(或没有明确界定m，n∈R)，则不可想当然地判定m，n∈R；②易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)；③对于a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意了a＝0而漏掉了b≠0. 8. ①复数的两种几何意义：一是复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应；二是复数z＝a＋bi与平面向量一一对应，其中a，b∈R. ②由几何意义可知|z|可表示复数z对应的点与原点的距离. ③|z1－z2|可表示两点的距离，即表示复数z1与z2对应的点的距离. 9. ①复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助. ②除法的关键是“分母实数化”. 考点一 复数的概念 （一）复数的实部与虚部 1．（2023秋·天津河北·高三统考期末）是虚数单位，复数的虚部为______. 【答案】 【分析】利用复数除法运算和虚部定义可直接求得结果. 【详解】，的虚部为.故答案为：. 2．（2023秋·贵州六盘水·高二统考期末）已知复数满足（是虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由虚数单位的性质求得，再利用复数的四则运算求得，从而得解. 【详解】因为，所以，故， 所以的虚部为.故选：A. 3．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用复数的除法，然后利用复数的实部与虚部相等即得. 【详解】， 由于复数的实部与虚部相等，则，解得.故选：A. 4．（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期末）已知复数的实部与虚部的和为12，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先利用复数的乘法运算化简复数，再利用实部与虚部的和为12求得，根据模长公式即可求解. 【详解】因为且的实部与虚部的和为12， 所以，解得，所以，，所以，故选：D （二）复数相等 5．（2022春·青海玉树·高二校联考期末）若，其中，则（　　） A．3 B．2 C．-2 D．-3 【答案】D 【分析】等式左侧展开，应用两个复数相等（实部等于实部且虚部等于虚部）列方程组求解即可. 【详解】∵∴ 解得 故选：D. 6．（2023秋·江西·高三校联考期末）已知，则=（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据复数的运算和复数相等的概念求解. 【详解】由可得，所以解得，所以，故选:D. 7．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）设a,b为实数，若复数，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解． 【详解】由可得1+2i＝（a﹣b）+（a+b）i，所以，解得，，故选A． 【点睛】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题． 8．（2023春·天津红桥·高三统考期末）已知，其中是虚数单位，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的四则运算，结合复数相等，求得参数的值，可得答案. 【详解】由，，，，则，即， 故选：B. 9．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）已知a，b为实数，复数，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由已知利用复数相等列出方程组，求出即可得答案. 【详解】因为，所以，则，即， 从而，即，解得，故故选：A. 10．【多选】（2022春·浙江宁波·高一校联考期中）已知复数，且，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】AC 【分析】根据，得到，利用二次函数的性质求解. 【详解】解：因为，且， 所以，则，，，因为， 所以，则，故选：AC （三）复数分类 11．（2023秋·山西运城·高三统考期末）已知（为虚数单位）是纯虚数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】化简复数，由于复数是纯虚数，则实部为0，虚部不为0. 【详解】 因为复数为纯虚数，则，所以.故选：A 12．（2023秋·天津南开·高三崇化中学校考期末）已知为虚数单位，若复数，则实数的值为__________． 【答案】-2 【分析】由，复数为实数，化简后虚部为0，可求实数的值. 【详解】， 由，所以复数为实数，则，，此时，满足.故答案为：-2 13．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）“”是“复数为纯虚数”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】，时是纯虚数，是纯虚数，则，得到答案． 【详解】， 时是纯虚数，充分；是纯虚数，则，不必要．故选：A 14．（2023秋·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）设a为实数，若存在实数t，使为实数(i为虚数单位)，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简已知复数，由已知条件列关系式，结合二次函数性质可求a的取值范围. 【详解】， 因为存在实数t，使为实数，a为实数，所以存在实数t，，故存在实数t，， 所以，故选：A. 15．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知是纯虚数，是实数，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据是纯虚数，设，求出，根据是实数，求出后可得. 【详解】因为是纯虚数，故可设， 所以，因为是实数，所以，即， 所以.故选：A （四）复数的模 16．（2023秋·山东威海·高二统考期末）已知实数x，y满足，则（    ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】先通过条件求出，再代入求模即可. 【详解】由得，，解得， .故选：C. 17．（2023秋·山西太原·高三太原五中校考期末）已知，则（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】根据复数的四则运算及复数的模运算可得 【详解】解：由，得，， 所以，所以，故选：D． 18．（2023秋·辽宁丹东·高三统考期末）已知，则正实数（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据复数的除法和，以及复数的求模公式即可求解. 【详解】,所以，所以正实数，故选：D. 19．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）已知为实数，复数，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】把代入中计算出的值，再计算. 【详解】因为，所以，则，. 因为，所以，解得，故.故选：B 20．（2023秋·浙江·高三期末）已知复数（其中i为虚数单位），若，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或5 【答案】C 【分析】根据复数的除法求得，再根据复数的模的计算公式，求得答案. 【详解】由题意得，则， 所以，解得或，故选：C 21．【多选】（2023秋·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）已知复数，（，，，均为实数），下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的虚部为 C．若，则 D． 【答案】BD 【分析】根据复数和复数的模的概念，判断选项正误. 【详解】对于A，复数不等比较大小，A项错误； 对于B，复数，是实部，是虚部，B项正确； 对于C，，所以，而，，不能得到，所以C项错误；对于D，，， ，所以，D项正确；故选：BD. 22．（2022春·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）下列命题中，真命题的个数是（    ） （1）若复数、，且，则或 （2）若复数、，且，则． （3）若复数，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对于（1），设出两个复数，利用复数乘法的计算法则，即可求解，对于（2）、（3），主要用举例的方法说明即可. 【详解】设、，且，，，均为实数. 对于（1），，则有，则有或，所以、中至少有一个为，（1）正确； 对于（2），若，，此时，但此时，故（2）错误； 对于（3），若，则，而，此时，（3）错误. 故选：B （五）共轭复数 23．（2022秋·山东济宁·高三统考期末）若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】应用复数的除法化简复数，由共轭复数的概念写出即可. 【详解】，故.故选：D 24．（2023秋·云南·高二统考期末）若复数（i为虚数单位），则共轭复数的虚部是（    ） A．1 B． C． D．i 【答案】B 【分析】先化简复数，再利用共轭复数及复数的概念求解. 【详解】解：因为，所以的虚部是，故选：B． 25．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先计算，再利用复数的除法运算求，再根据共轭复数的定义求解. 【详解】，所以，则.故选：D 26．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）若复数在复平面内对应的点在直线上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义及复数的概念，再结合共轭复数的概念即可求解． 【详解】由复数在复平面内对应的点在直线上，则令， 则，所以，所以，即．故选：D． 考点二 待定系数法求复数 27．（2023秋·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知复数z满足，则z的虚部为______. 【答案】 【分析】设复数，利用共轭复数的概念和复数的运算解求解. 【详解】设复数，则， 又复数z满足，即， 所以，解得：，则，所以的虚部为，故答案为：. 28．（2023秋·山东德州·高三统考期末）已知复数z满足3z－1＝（z＋2）i，则z＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】复数，代入已知等式，利用复数相等求解未知数. 【详解】设复数，代入，有，则，解得，∴.故选：D 29．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出复数代数形式，然后代入计算，利用复数相等列方程组求解. 【详解】设，则， 即， 得，即 ∴故选：A. 30．（2022秋·安徽亳州·高二校联考期末）若，则（    ） A． B． C．2 D．10 【答案】C 【分析】计算，再计算得到答案. 【详解】，则， 则.故选：C 31．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设，利用复数相等求出，即可求解. 【详解】设，（为虚数单位）.因为, 所以，所以，解得：.所以， 所以故选：A 32．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数. 【详解】设，则，则， 所以，，解得，因此，.故选：B. 考点三 复数的几何意义 33．（2023秋·河北石家庄·高三校联考期末）已知复数，若，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出a值，即可求出复数对应点的坐标作答. 【详解】依题意，，即，又，因此，解得， 则有，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D 34．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）是虚数单位，设复数满足，则的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先利用模长公式和复数除法计算，再根据共轭复数的定义即可知其对应的点所在象限. 【详解】因为， 所以，所以， 所以的共轭复数对应的点位于第一象限，故选：A 35．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】由复平面对应的点写出复数的代数形式，然后求出，进而可求模. 【详解】由已知复数，的代数形式为，， ， 故选：B. 36．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）在复平面内，复数对应的点为，设是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数对应点写出复数的代数形式，再求其共轭复数和模，并应用复数的除法化简即可. 【详解】由题设，，所以，， 故. 故选：B 37．（2023秋·北京昌平·高三统考期末）在复平面内，复数对应的点的坐标是，且满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算求得，结合复数的几何意义可得，由此求得答案. 【详解】由得， 又复数对应的点的坐标是，即， 故选：A 38．（2022春·河南新乡·高二封丘一中校考期末）若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由复数的对应的点位于实轴上，可得其虚部为0，结合条件列方程可求. 【详解】因为， 由题意可得z为实数， 所以，所以． 故选：C. 39．（2022春·贵州贵阳·高二校联考期末）设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则（    ） A．10 B． C． D．－10 【答案】A 【分析】由题意可得，根据复数的乘法运算即可求解. 【详解】因为复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，， 所以，则. 故选：A. 40．（2022秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中）若复数（为虚数单位）在复平面上对应的点在第四象限，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得出答案. 【详解】解：， 因为复数（为虚数单位）在复平面上对应的点在第四象限， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 41．（2022春·山西吕梁·高一校联考期中）在复平面内，O为坐标原点，向量所对应的复数为，向量所对应的复数为，点C所对应的复数为，则的值为_________. 【答案】##0.28 【分析】求出、向量的坐标，由向量的夹角公式可得答案. 【详解】因为，，， 所以，， ， 所以， 所以. 故答案为：. 42．（2022春·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期末）非零复数、在复平面内分别对应向量、（为坐标原点），若，则（    ） A．、、三点共线 B．是直角三角形 C．是等边三角形 D．以上都不对 【答案】B 【分析】设，根据，可得，从而可将复数用表示，再判断各个选项即可. 【详解】解：设， 则，故， 因为，所以， 所以， 所以或， 故或， 当时，， 当时，， 所以，所以是直角三角形， 故、、三点不共线且不是等边三角形. 故选：B. 考点四 复数的运算 43．（2023秋·江西·高三校联考期末）若复数则复数的虚部为（    ） A．1 B． C．i D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘方运算求出，再根据共轭复数的概念求出，根据复数的概念可得虚部. 【详解】复数， ∴，则复数的虚部为1， 故选：A. 44．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算可得答案. 【详解】因为，所以， 故选：A 45．（2023秋·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）设复数满足（其中为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共轭复数的概念求，再根据复数的运算求解. 【详解】∵，则， ∴. 故选：C. 46．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）若复数，则z的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用复数的除法运算计算，再代入化简求值. 【详解】， 所以，则.故选：A 47．（2023春·四川成都·高三校联考期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘法运算以及除法运算即可化简求解. 【详解】由得， ，，所以，故选：A 考点五 复数范围内方程根的问题 48．（2023秋·上海·高二上海交大附中校考期末）设（、、）.已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程的解的情况，下列描述正确的是（    ） A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根 B．可能方程有四个实数根的解 C．可能有两个实数根，两个纯虚数根 D．可能方程没有纯虚数根的解 【答案】A 【分析】根据给定条件，设，再利用方程根的意义结合复数相等，推理计算判断作答. 【详解】，，关于的方程有纯虚数根，设纯虚数根为， 则有，即，即有，，， 方程化为，方程有两个纯虚数根为， 方程化为：， 整理得，于是得或， 因此方程有两个纯虚数根， 而方程中，， 因此方程无实数根，有两个虚数根，不是纯虚数根， 所以选项A正确，选项B，C，D均不正确.故选：A 【点睛】思路点睛：复数问题，常设出复数的代数形式，再利用复数及相关运算，探讨关系式求解. 49．（2022春·上海长宁·高一上海市第三女子中学校考期末）在复数范围内分解因式________． 【答案】 【分析】将原式配成完全平方式，再根据，即可得解； 【详解】解： 故答案为： 50．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知复数是关于x的方程的一个根，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】利用代入法，结合复数模的计算公式进行求解即可. 另解：根据实系数一元二次方程根与系数关系进行求解即可. 【详解】因为复数是关于x的方程的一个根， 所以， 解得，所以； 另解：因为复数是关于x的方程的一个根， 所以复数也是关于x的方程的一个根， 所以有解得，所以.故选：D 51．（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）若是实系数一元二次方程的一个根，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据题意，将根代入方程，再利用复数的概念列出方程组，解之即可求解. 【详解】因为是实系数一元二次方程的一个根， 所以，则有，即 所以，解得：，故选：C 52．（2022春·上海宝山·高一上海市行知中学校考期末）已知关于的方程有一个模为1的虚根，则的值为____. 【答案】## 【分析】根据题意得，利用韦达定理列方程可求得的值，结合判别式小于零即可得结果. 【详解】由题意，得，解得或， 设方程的两根为、，则，，得， 又由韦达定理得，即，解得或， 所以.故答案为： 53．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知复数是一元二次方程的一个根，则的值为 A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】根据题意求得方程的两个复数根，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，方程，可得， 所以方程的两个复数根分别为或，所以.故选：B. 54．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知，是关于x的方程的两个根.若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由，是关于x的方程的两个根，由韦达定理求出，再由复数的模长公式求解即可. 【详解】法一：由，是关于x的方程的两个根，得， 所以，所以. 法二：由，是关于x的方程的两个根，得， 所以，所以.故选：C. 55．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知复数，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦达定理，可得：，，代入进行求解即可． 【详解】因为复数，是方程的两个根，所以，， 所以 ．故选：C 考点六 与复数模相关的轨迹（图形）问题 56．（2023秋·天津蓟州·高三天津市蓟州区第一中学校考期末）若复数满足，则（其中为虚数单位）的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定，即可得的最大值. 【详解】由知，复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 表示复数对应的点与点间的距离，又复数对应的点所在圆的圆心到的距离为1， 所以.故选：B 【点睛】本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题. 57．（2022春·上海青浦·高一上海市朱家角中学校考期末）若，且，则的最大值是_______． 【答案】## 【分析】由复数模的几何意义求解． 【详解】，则复平面上表示复数的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，表示到点的距离，∵，所以=的最大值为．故答案为：． 58．（2022秋·湖北·高二校联考期中）已知复数z满足，则的最大值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由复数模的几何意义，由得到，复数在复平面对应的点的轨迹为圆，而的几何意义为圆上的点与的距离，再结合两点距离公式求解即可. 【详解】由可知，则复数在复平面对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆. 又的几何意义为点与点的距离，又，则.故选：B 59．（2023秋·江苏·高三统考期末）若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义判断在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，进而求出其面积. 【详解】在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，，故选：D. 60．（2022春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）已知复数满足，则在复平面内复数对应的点所在区域的面积为_____． 【答案】 【分析】设，由题意可得，根据复数模的几何意义得出区域形状为圆环，再计算面积即可． 【详解】设，，因为，所以，所以， 所以复平面内复数对应的点所在区域是圆和圆围成的圆环， 故所求区域面积.故答案为：. 61．【多选】（2023秋·浙江宁波·高三期末）已知，且，则（    ） A．当时，必有 B．复平面内复数所对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为的圆 C． D． 【答案】BD 【分析】利用复数的模的定义以及其复数的几何意义，逐个选项进行计算，即可判断答案. 【详解】A项：，故错误；B项：因为，故正确； C项：，当与i对应向量同向时取等，故错误； D项：，当与对应向量反向时取等，故正确. 故选：BD. 考点七 复数的综合应用 62．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（   ） A．z的实部是 B．z的虚部是 C．复数在复平面内对应的点在第一象限 D． 【答案】C 【分析】利用复数除法法则计算出，进而得到z的实部和虚部，求出模长，及共轭复数对应的点所在的象限，选出正确答案. 【详解】由题设，，, A选项，z的实部是，故A错误； B选项，z的虚部是，故B错误； C选项，复数对应的坐标为，在复平面内对应的点在第一象限，故C正确； D选项，，故D错误.故选：C 63．（2023秋·广东河源·高二龙川县第一中学校考期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（    ） A．复数z的模为 B．复数z的共轭复数为 C．复数z的虚部为 D．复数z在复平面内对应的点在第一象限 【答案】D 【分析】先利用复数的除法化简得到，再逐项判断. 【详解】解：，A.，故错误； B. ，故错误；C. 复数z的虚部为，故错误；D. 复数z在复平面内对应的点是，在第一象限，故正确.故选：D 64．【多选】（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）已知为虚数单位，，，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【分析】根据复数的定义和运算规则逐项分析. 【详解】对于A， ，错误； 对于B，复数不可以比较大小，错误； 对于C， ，正确； 对于D， ，正确；故选：CD. 65．【多选】（2023秋·山东日照·高二统考期末）设复数对应的向量分别为（为坐标原点），则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则的最大值为 【答案】AD 【分析】根据复数的模的计算求得，判断A;根据向量共线的坐标表示可判断B;利用向量垂直的坐标表示可得，化简，根据其结果判断C;确定的几何意义是表示圆，利用的几何意义求得其最大值，判断D. 【详解】因为，所以，A正确； 由题意可知，若，若，则，B错误； 若，则，即， 故， 即仅当时，，时，，C错误； ，故，即， 则表示圆上的点到原点的距离， 故的最大值为，D正确，故选: . 66．【多选】（2023秋·山东威海·高二统考期末）已知复数，，则（    ） A． B．若，则的最大值为3 C． D．在复平面内对应的点在第四象限 【答案】AB 【分析】对于A：分别求出来判断；对于B：设，通过条件求出关系，代入中求最值；对于C：求出来判断；对于D：求出来判断； 【详解】对于A：复数，，，， 又，，A正确；对于B：设， 则，即，且， ，即的最大值为3，B正确； 对于C：，故C错误； 对于D：，其在复平面对应的点为，在第二象限，D错误.故选：AB. 67．【多选】（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）在复平面内，复数，正确的是（    ） A．复数的模长为1 B．复数在复平面内对应的点在第二象限 C．复数是方程的解 D．复数满足 【答案】AC 【分析】根据复数的除法运算法则化简复数得，进而可判断AB,将代入方程中即可验证C，根据复数的几何意义即可判断D. 【详解】由得，则 对于A,，故A正确， 对于B, 复数在复平面内对应的点为，故该点位于第四象限，故B错误， 对于C, ,故是的复数根，故C正确， 对于D，设复数对应的向量为到,复数对应的向量为,由得的距离为1，故复数对应点的在以为圆心，半径为1的圆上，故的最大值为，故D错误，故选：AC 考点八 复数的新定义问题 68．（2022春·山西吕梁·高一统考期末）定义：若，则称复数z是复数的平方根．根据定义，复数的平方根为_____________． 【答案】，或 【分析】设复数的平方根为，则，化简后利用复数相等的条件可求出的值，从而可求得答案 【详解】解：设复数的平方根为，则， 化为：，∴，解得，或． ∴复数的平方根为，或．故答案为：，或． 69．（2022春·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期中）定义运算，则符合条件（是虚数单位）的复数对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据定义运算及复数的四则运算及复数的几何意义即可求解. 【详解】由题意可知，，得，即， 复数对应的点为.所以复数对应的点所在象限为第三象限.故选：C. 70．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）若复数（a，，为其共轭复数），定义：.则对任意的复数，有下列命题：：；：；：；：若，则为纯虚数.其中正确的命题个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】A选项，利用复数模长公式计算出；B选项，利用复数加法法则计算得到； C选项，利用复数乘法法则计算得到； D选项，利用复数除法法则计算得到，当，此时不一定是纯虚数. 【详解】，，， 则，，， 故，正确；，正确； ，，则，错误； ， 若，且，此时为实数，故错误；故选：B 71．（2022秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）对任意复数.,定义,其中是的共轭复数.对任意复数..,有如下四个命题： ①； ②； ③； ④.则真命题是________（填写命题的序号） 【答案】①② 【详解】①，正确； ②，正确； ③，，错误； ④，错误．故答案为①②． 点睛：本题考查新定义问题，解决创新问题的关键是通过“新定义”（本题是“新运算”）这个载体把新问题进行转化，转化为我们已经学过的，已经掌握的知识、方法，运用已经学过的运算法则进行检验．本题只要把新运算“”转化为复数的乘法运算，然后进行检验即可 1 学科网（北京）股份有限公司 $$