4.模块四：三角形-【卓文中考·加速度】初中数学基础天天练

模块四 三角形 第41天线段、角、相交线与平行线 乙基础练 盈建议用时15分钟 验实际用时( )分钟 通答案P13 1.已知∠α和∠3是对顶角，且∠α和∠3互余，则6.如图，两把相同的直尺的一边分别与射线OB, ∠3的度数为 ( OA重合，另一边相交于点P,则OP平分 A.45 B.30 C.90° D.120 ∠BOA的依据是 ( 2.跨学科图①是光的反射规律示意图.其中，P。 A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在这 是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥■MN, 个角的平分线上 ∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ B角平分线上的点到这个角的两边距离相等 ∠POK.图②中，光线自点P射人，经镜面EF C.角平分线的性质 反射后经过的点是 D.角平分线是轴对称图形 反射面 图① 图② 第2题图 0 B A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 第6题图 第7题图 3.如图，直线a∥b,且直线a,b被直线c,d所截， 7.如图，AB∥CD,点E在AB上，EC平分 则下列条件不能判定直线c∥d的是 ∠AED.若∠1=65°，则∠2的度数为( A.∠3=∠4 B.∠1+∠5=180 A.45 B.50° C.57.5°D.65 C.∠1=∠2 D.∠1=∠4 8.[湘教八上P49改编]如图，直线m∥n,AC」 BC于点C,∠1=30°，则∠2的度数为( 2 A.140 D B.130 第3题图 第4题图 C.120° 4.如图所示，∠AOC=90°，点B,O,D在同一直 D.110 第8题图 线上，若∠1=2336'，则∠2的度数为 ( 9.下列命题是真命题的是 ( A.6724'B.15624' C.11336'D.11324 A.同旁内角互补 5.点A为直线BC外一点，AC⊥BC于点C,AC= B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 6.点P是直线BC上的动点，则线段AP的长 C.五边形的内角和等于720° 可能是 ( D.三角形的外心是三角形三条角平分线的 A.1 B.3 C.5 D.7 交点 ·50· 第42天 三角形及其性质 ⑦基础练 @建议用时15分钟 @实际用时( )分钟 雪答案P13 1.如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成 的面积为 一个木框（形状不限），不计螺丝大小，其中相 邻两螺丝的距离依次为3,4,5,7，且相邻两木 条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破 坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值 第5题图 为 ( A.6 B.4 C.5 D.7 A.6 B.7 C.8 D.9 6.如图.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD平 分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E.若 AB=7cm,则△DBE的周长是 第1题图 第2题图 2.[人教八上P8改编]如图，CD,CE,CF分别是 △ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中 第6题图 错误的是 A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 7.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB, A.AB-2BF B∠ACE-2∠ACB BD⊥CD于点D,∠ABD=∠A.若BD=1, C.AE=BE D.CD⊥BE BC=3,则AC的长为 3.[湘教八上P49改编]如图，在△ABC中，AB AC,AD平分∠BAC,E是AC的中点.若AD= 12,BC=10,则DE的长是 第7题图 A.3 B.2/1Π C. 3 ).7 A.2 B.3C.4 D.5 8.在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为 (0,1)和（一2,2），以AB为腰作等腰三角形 ABC.若该等腰三角形的对称轴垂直于x轴， 则点C的坐标为 9.[人教七下P38改编]如图所示，在△ABC中， 第3题图 第4题图 AB=AC=7cm,D是BC上的一点，且DE∥ 4.如图，已知D,E分别是△ABC的边BC,AC AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F,则 的中点，连接BE,AD,AG是△ABE的中线. DE+DF- cm. 连接GD,若△ABC的面积为40，则阴影部分 △ADG的面积为 ( A.10 B.5 C.8 D.4 5.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD⊥ BC,AC边上中线BE交AD于点O,则△BCE 第9题图 ·51✉ 第43天全等三角形 ⑦基础练 盈建议用时20分钟 盈实际用时( )分钟 重答案P13 1.[华师八上P69改编]如图， 6.如图，在△ABC中，AB>AC,点D在边AB 点B,F,C,E共线，∠B 上，且BD=CA,过点D作DE∥AC,并截取 ∠E,BF=EC,添加一个条 DE=AB,且点C,E在AB同侧，连接BE.求 件，不能判断△ABC≌ 证：△DEB≌△ABC 第1题图 △DEF的是 A.AB-DE B.∠A=∠D C.AC=DF D.AC∥FD 2.如图，在△ABC的边AB.AC上 各取一点E,D,使AE=AD,连 第6题图 接BD,CE相交于点O,再连接 A0.若∠1=∠2，则图中全等三 角形共有 ( 第2题图 A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 7.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，DE∥ 3.劳动课上，小明所在小组的 AC,CB=DE,∠ABC=∠E.求证：AC=BD. 同学们设计了如图所示的风 B 筝框架已知∠B=∠E,AB 第3题图 DE,BF=EC,△ABC的周 长为24cm,FC=3cm,则制作该风筝框架所 第7题图 需材料的总长度至少为 A.44 cm B.45 cm C.46 cm D.48 cm 4.如图，在△ABC中，∠ACB= 45°，F是高BD和CE的交点， AD=3,CD=5,则线段BF的 8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E是AB 长度为 的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点 A.1 B.2 第4题图 F,点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF.连接 C.2w2-3 D.4w2-3 EG,判断EG与DF的位置关系，并说明理由. 5.如图，AD是△ABC的角平 分线，DE⊥AC,垂足为E, DF=DC,△ADE和 △ADF的面积分别为a和 B D 第8题图 第5题图 b,则△DEC的面积为 ( A.a+b B.a-b C.4tb D.4b 2 2 ·52· 第44天 相似三角形 ⑦基础练 @建议用时20分钟 @实际用时( )分钟 雪答案P13 1.[华师九上P69改编]如图，△ABO∽△CDO,若 的长度为 ( BO=6,DO=3,AB=4,则CD的长是( AU R号 A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，李老师用自制的 直角三角形(Rt△DEF) 纸板去测“步云阁”的 高度，他调整自己的位 置，设法使斜边DF保 第6题图 第1题图 第2题图 持水平，边DE与点B在同一直线上.已知直 2.[华师九上P90改编]如图，把△AOB缩小后得到 角三角纸板中DE=18cm,EF=12cm,测得 △(COD,则△COD与△AOB的相似比为( 眼睛D离地面的高度为1.8m,他与“步云阁” A号 &号 c 的水平距离CD为114m,则“步云阁”的高度 AB是 3.美术专家认为：如果人的下身长与自己的身高 A.74.2mB.77.8mC.79.6mD.76m 之比是黄金分制数5.0,618，那么就非 7.如图，在△ABC中，AB=AC,BC恰好是 常美丽，已知一个女孩身高为155cmm,下身长 ∠ABD的角平分线 为94cm,请你们替她选一个高度最理想的高 (1)求证：△APCp△DPB: 跟鞋，则高度应为 (2)若AP=BP=1,AD=CP,求DP的长. A.2~3 cm B.3~4 cm C.4~5 cm D.5~6 cm 4.跨学科凸透镜成像的原理如图所示，AD∥1∥ BC,若物体到焦点的距离HF与焦点到凸透 第7题图 镜中心线DB的距离OF之比为3：2，则该物 体缩小为原来的 ( A C. D.9 缩小的 H 实像 体蕉点下 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，AB=4,BC=6,AC=5,点 D,E分别在边BC,AC上，且BD=4.若以C, D,E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE ·53· 第45天 锐角三角函数的相关计算 ⑦基础练 建议用时15分钟 盈实际用时( )分钟 重答案P14 1.在R△ABC中，∠C=90°，AB=2BC,则cosA 5已知：在R△ABC中，∠C=90,sinA=号， 的值是 ( AC=10,求△ABC的面积 A号 C26 D 5 2.[华师九上P67改编]如图，将△ABC放在边 长为1的正方形网格中，点A,B,C均在格点 上，则tanC的值为 ( A.2 B号 C.1 D. D 6.如图，在△ABC中，∠B=30°，AB=10,AC 13,求BC的长， 第2题图 第3题图 3.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的 高，∠A≠45°，则下列比值中不等于simA的 第6题图 是 ( A是 B需 c.cn D.CH 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= 则AC= 3提升练 @建议用时15分钟 @实际用时（一）分钟 答案P14 7.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E,设8.如图，在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边 ∠ADE=a,且sina=5,AB=4,求AD的长. 上的高，osB=是AB=13,BC=21 (1)求AC的长： (2)求∠BAC的正弦值， 第7题图 第8题图 ·54· 第46天 解直角三角形的实际应用 ⑦基础练 @建议用时15分钟 ②实际用时( )分钟 雪答案P14 1.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向， 距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行 C.(m D.(4+3) tan am 一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的B 4如图所示，热气球的探测器显 处，这时，B处与灯塔P的距离PB的长可以 示，从热气球A处看一栋楼顶 表示为 部B处的仰角为30°，看这栋楼 ( A.40海里 B.40sin37海里 底部C处的俯角为60°，热气球 C.40cos37海里 D.40tan37海里 A处与楼的水平距离为150 第4题图 米，则这栋楼的高度为 米 5.小琪要测量某建筑物的高度.如图，小琪在点 A处测得该建筑物的最高点C的仰角为31°， 再往该建筑物方向前进30m至点B处测得最 第1题图 第2题图 高点C的仰角为45°.根据测得的数据，计算该 2.河堤横断面如图所示，BC=5米，迎水坡AB 建筑物的高度CD(结果保留整数.参考数据： 的坡度是1：2（坡度是坡面的铅直高度BC与 sin31°≈0.52，c0s310.86,tan31°≈0.60). 水平宽度AC之比)，则AC的长为 A.55米B.10w3米C.15米 D.10米 3.一配电房示意图如图所示，它 单位m 46 B D 是一个轴对称图形.已知BC 第5题图 =6m,∠ABC=a,则房顶A 离地面EF的高度为 ( 第3题图 A.(4++3sin a)m B.(4+3tan a)m 3提升练 @建议用时10分钟 回实际用时( )分钟 @答案P14 6.“五一”劳动节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意 图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB,用绳子拉直AD后系在树 干EF上的点E处，使得A,D,E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制C “天幕"的开合，AC=AD=2m,BF=3m (1)天晴时打开“天幕”，若∠α=65°，求遮阳宽度CD: (2)下雨时收拢“天幕”，∠α从65减少到45°，求点E下降的高度。 第6题图 (结果精确到0.1m.参考数据：sin65°≈0.90，c0s65”≈0.42，tan65≈2.14，√2≈1.41) ·55. 第47天 教材拓展 三角形 答案P15 【导读】本节内容选自湘教版与人教版教材中“三角形”相关章节知识点的活动课及阅读材料，通过“黄 金分割”“勾股定理”及“筝形”等背景让学生发现数学美，同时也培养了学生关于几何直观的核心素养」 1.[湘教九上PI06数学与文化改编]中国的二胡 (2)如图②，四边形ABCD是边长为4的正方 演奏家在漫长的演奏生涯中发现，如果把二胡 形，点E在边AD上，连接CE,以CE为边作 的千斤放在琴弦某处，音色将美妙动听，人们 正方形CEFG,点D,F在直线CE的同侧，连 对这种现象进行研究后发现：此时千斤的所在 接BF,若AE=1,则BF的长为 位置正是琴弦的黄金分割点.因此许多音乐评 论家惊呼：“艺术上的‘黄金分割比’和音乐中 高潮的位置有着密切的联系.”同样地，在动植 物的生长过程中，也体现了一定的“黄金分割” 规律.如图，用黄金矩形ABCD框住整个蜗牛 图2 壳，之后作正方形ABFE,得到黄金矩形 第2题图 CDEF,再作正方形DEGH,得到黄金矩形 3.[人教八上P53数学活动2改编]我们把两组 CFGH…这样作下去，我们以每个小正方 邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.请利用 形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是 “筝形”的定义解答下列问题： “黄金螺线”.已知AB=5十1，则阴影部分的 (1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝 形的定义的四边形： 面积为 (2)如图①，在正方形ABCD中，E是对角线 BD延长线上一点，连接AE,CE,请通过推理 说明四边形ABCE是筝形： (3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买 了一只风筝，通过测量它的主体（如图②）得 第1题图 AB=AD,BC=DC,还得到AB=18cm,BC= 2.[湘教八下P31数学与文化改编]在图形性质 40cm,∠ABC=120°，求四边形ABCD的 的研究中，直角三角形是最为基础的，也正因 面积 此，在许多古代文明的历史文献中都对勾股定 理有所研究.在中国，公元前2世纪成书的《周 髀算经》就明确记载了：“勾广三，股修四，径隅 五”.请利用学过的知识解决下列问题： (1)解决利用边长为3,4,5的三角形构造图① 图1 图2 中的图形，其中AB=3,BC=4,AC=5,分别 第3题图 以AB,BC,AC为边向外作正方形ABDE, BCIH和ACFG,连接EG,则△AEG的面积 为 ·56·模块四， 三角形 弟41天线段、角、相交线与平行线 1.A2.B3.C4.C5.D6.A7.B8.C9.B 加速度碧 45 第42天三角形及其性质 1.D2.C3.C4.B5.A6.B7.D 8.(-4,1)或(2,2)9.7 加速度考 A46 第43天全等三角形 1.C2.D3.B4.B5.B 6.证明：DE∥AC,.∠EDB=∠A. DE=AB. 在△DEB与△ABC中，{∠EDB=∠A, BD=CA. ,.△DEB2△ABC(SAS). 7.证明：AC∥DE,.∠BDE=∠C ∠C=∠EDB. 在△ABC和△BED中， CB=DE. ∠ABC=∠E, .△ABC≌△BED(ASA).∴.AC=BD 8.解：EG⊥DF.理由如下： :AD∥BC,∴∠ADE=∠BFE. E是AB的中点，AE=BE 又：∠DEA=∠FEB, .△ADE≌△BFE(AAS),.DE=FE :∠GDF=∠ADF,∠ADE=∠BFE, ·∠GDF=∠BFE..GD=GF DE=EF,,.EG⊥DF 加速度碧 47 第44天相似三角形 1.B2.B3.C+.C5.C6.B 7.(1)证明：AB=AC,∴∠ABC=∠C BC是∠ABD的平分线 .∠ABC=∠DBC.∠C=∠DBC 又∠APC=∠DPB,.△APC∽△DPB. (2)解：设DP= AP=PB=1...AD=AP+DP=1+r. 义AD=CP,.CP=1+x. :△APC∽△DPB. 品邵即上中 1· 解得-二1土5 2 =15(舍去 2 ∴Dp=-1+5 2 加速度碧 A48 弟第45天锐角三角函数的相关计算 AD=VAB-BD=12. 1.A2.B3.D4.315 ∴.AC=AD+CD=20. 5解：∠C=90血A=号 (2)如答图，作CH⊥AB于点H. 设BC=2x,则AB=3.x. :Se=吉ABCH=2BC·AD, 由勾股定理得AB一BC=AC,即(3x)2-(2x)=10, 13CH=21×12,解得CH-警. 解得x1=-25(舍去)r2=2/5, .BC=45, ∠BAC-是-器 ∴5aw=·BC,AC=205, 6.解：如答图，过点A作AD⊥BC,垂足为D. 在R△ABD中， ∠B=30°，AB=10, 第8通答图 ÷AD=之AB=5,osB-DBD- AB102 .BD=55. 在Rt△ADC中， :AD=5,AC=13. .DC=√AC-AD=12, ∴.BC=BD+CD=53+12. D 第6题答图 7.解：：四边形ABCD为矩形， ∴.AD=BC,∠BAD=90 速度碧 :DE⊥AC.∴∠ADE+∠DAE=90 而∠BAC+∠DAE=90, ∴∠BAC=∠ADE=a. 在R△AC中，：sn∠BAC-=言， 设BC=4.x,则AC=5.r, AB=3,∴3=4，解得=子 BC=号AD= 3 8解：0：ms船-高AB=13, BD-13×0-5 :.CD=BC-BD=16. 49 弟46天解直角三角形的实际应用 1.B2.D3.B4.2003 5,解：设BD=xm. :∠CBD=45°，∠CDB=90°， ∴.BD=CD=x. 在Rt△ACD中，∠CAD=31°， tan31°=CD-e ADr+30≈0,60， 解得x≈45. 答：该建筑物的高度CD约45m, 6.解：(1)由对称知，CD=2OD,AD=AC=2,∠AOD=90°， 在R1△AOD中，∠OAD=a=65, 6-器 ∴.OD=AD·sina=2×sin65≈1.80， ∴.CD=2OD=3.6m. 答：遮阳宽度CD约3.6米。 (2)如答图，过点E作EH⊥AB于点H, ∴.∠BHE=90 AB⊥BF,EF⊥BF, ∴.∠ABF=∠EFB=90°. ∠ABF=∠EFB=∠BHE=9O°· ∴.EH=BF=3. 在Rt△AHE中，tana=A H ∴AH=EH tan a 速度 当∠a=65时，AH= 3 an65交L.4m, 3 当∠a=45时，AH=am4行=3. 当∠a从65藏少到45时，点E下降的高度约3一1.4 1.6m. H B 第6题答图 A50 第47天教材拓展—一三角形 SH边m=2S△A度=360,3(cm). L.1-至【解析】：四边形ABCD是黄金矩形，·AB nAB=5,D=÷ 2 2 3士5，DE=AD-AE-1,.正方形DEGH的边长为 2 15w=1-年 2.(1)6 【解法提示】如答图①，分别过，点C,G作EA的垂线，垂足 分别为H,J,则AJ=CH=AB=AE,G=BC,.S= SAAK=6. (2)/74 【解法提示】如答阁②，过点F作BC的垂线，分剂变BC, AD的延长线于点H,K,得到EK=CD=4,下K=ED 3,,CH=1,BH=5,FH=7,进一步利用均股定理求解 即可， H 阁 烟 第2题答图 3.解：(1)菱形（答案不唯一） (2):四边形ABCD是正方形， 速度 .AB=CB,∠ABE=∠CBE=45, ∴△ABE≌△CBE(SAS),.AE=CE. 又，AB■CB,∴，四边形ABCE是筝形. (3)如答图，过点A作AE⊥CB交CB的 延长线于点E,连接AC .AB-AD.BC-DC.AC=AC. .△ABC≌△ADC(SSS). .S△r=S4r,.Sm边那Am=2S△m. ∠ABC=120°，∠ABE=60. 第3题答图 :AELBE∴.∠BAE=30,BE=号AB=9, ∴.AE=√AB-BE=93, ∴Sw=2BC·AE=180,3(cm). 51