精品解析：2024届河南省驻马店市经开区高考三模数学试卷

2024年河南省驻马店市经开区高考数学三模试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若（其中为虚数单位），则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数乘法及复数相等列方程求参数即可. 【详解】由，则，解得. 故选：C 2. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案. 【详解】的定义域为，是非奇非偶函数，A选项错误. 是非奇非偶函数，C选项错误. 的定义域是，在定义域上没有单调性，D选项错误. 令，的定义域为， ，所以是奇函数， 即是奇函数， 由于在上都是增函数，所以在上递增，符合题意，B选项正确. 故选：B 3. 将函数向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数平移变换求解. 【详解】函数向右平移个单位长度， . 故选：D. 4. 椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意得到，，，再求离心率即可. 【详解】因为椭圆，，，所以， 即. 故选：C 【点睛】本题主要考查直接法求椭圆的离心率，属于简单题. 5. 已知是函数的极小值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据极小值的定义，在的左侧函数递减，右侧函数递增可得. 【详解】由已知，， 令得或， 由题意是极小值点，则， 若，则时，，单调递减，时，，单调递增， 则是函数的极小值点， 若，则时，，单调递减，时，，单调递增， 则是函数的极大值点，不合题意， 综上，，即. 故选：A. 6. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇（如图1）从海拔4300米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86米的高度，创造了海拔9032米的大气科学观测海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长45米，高16米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据球的表面积公式，以及圆柱圆台的侧面积公式，即可求解. 【详解】该组合体的直观图如图：半球的半径为8米，圆柱的底面半径为8米，母线长为13米，圆台的两底面半径分别为8米和1米，高为24米， 所以半球的表面积为（平方米）， 圆柱的侧面积为（平方米）， 圆台的侧面积为（平方米）， 故该组合体的表面积为（平方米）． 故选：C 7. 某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 气温x（℃） 18 13 10 -1 用电量（度） 24 34 38 64 由表中数据得线性回归方程，预测当气温为-4℃时用电量度数为 A. 68 B. 67 C. 65 D. 64 【答案】A 【解析】 【分析】根据回归直线方程过样本中心点，计算出并代入回归直线方程，求得的值，然后将代入回归直线方程，求得预测的用电量度数. 【详解】解：，， ， 线性回归方程为：， 当时，， 当气温为时，用电量度数为68， 故选A． 【点睛】本小题主要考查回归直线方程过样本中心点，考查方程的思想，属于基础题. 8. 已知a，b，c为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系，逐个选项分析． 【详解】若，，则或，故A选项错误； 若，，，则或与相交，故B选项错误． 若，，则或，故C选项错误； 若，，，，则，正确， 证明如下：，，，， 又，且，，则，故D选项正确； 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据Venn图可知，依次判定选项即可. 【详解】根据Venn图可知， 对于A，显然，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，或， 则，故D正确. 故选：ACD 10. 已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ） A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得，的最大值，直接判断B，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD． 【详解】是的重心，延长交于点，则是中点， ，A错； 由得，所以， 又，即 所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确； ，当且仅当时等号成立，， ，C正确； 由得， 所以， ，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D错． 故选：BC． 11. 已知函数是定义在R上的奇函数，函数是定义在R上的偶函数，且满足，，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是周期为3的周期函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据的奇偶性得到的图象关于点对称，A正确；再由的奇偶性得到为周期为6的函数，再得到，B错误；CD选项，计算出，结合AB选项，得到，由周期性得到. 【详解】A选项，因为为偶函数，所以关于直线对称，所以， 所以，所以， 所以，即的图象关于点对称，A正确； B选项，又是定义在R上的奇函数，所以， 即，所以， 所以是周期为6的周期函数． 在中，当时，得； 当时，得． 又由，得，， 所以，所以， 则，，因为，所以B错误； CD选项，在中，令，得，所以， 在中，令，得，所以， 所以， 所以，C，D正确. 故选：ACD． 【点睛】设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； （8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； （9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a； （10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是双曲线 上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若 ，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线，得，. 若在左支上，则，此时，故； 若在右支上，则，这与矛盾， 所以． 13. 已知向量，，且．则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式、向量共线的坐标表示及平方关系式求得结果. 【详解】因为，，且， 所以，即，即， 因为，所以， 所以，又， 所以. 故答案为：. 14. 由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则不同的站法有_________种. 【答案】480 【解析】 【分析】由排列组合采用插空法，再利用分步乘法计数原理即可得结果 【详解】先除去甲乙，另外4位专家排成一排，站法共有种， 4位专家排成一排后形成5个空，将甲乙插入这五个空中，共有种， 由分步乘法计数原理得种，即不同的站法有480种， 故答案为：480 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，，，点、分别为、的中点. （1）求二面角的余弦值； （2）若点满足，求直线与直线所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值； （2）利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得直线与直线所成角的正弦值. 【小问1详解】 解：在直三棱柱中，平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 由题意，、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量为， 则， 由图可知，二面角的平面角为钝角， 故二面角的余弦值为. 【小问2详解】 解：易知、、、 点满足，则， 则，且， 所以，， 则， 因此，直线与直线所成角的正弦值为. 16. 某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢篮球 不喜欢篮球 合计 男生 40 女生 30 合计 （1）根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？ （2）篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两名男生投进的概率均为，这名女生投进的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表如下： 喜欢篮球 不喜欢篮球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 与性别有关. （2）的分布列为： 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据题意补全列联表，再计算出卡方值并与边界值比较即可； （2）根据独立事件的乘法公式计算出概率分布列，最后再利用期望公式即可. 【小问1详解】 依题意，列联表如下： 喜欢篮球 不喜欢篮球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 零假设:该校学生喜欢篮球与性别无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该校学生喜欢篮球与性别有关. 【小问2详解】 依题意，的可能值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 数学期望. 17. 知函数，其中. （1）若，求函数的极值 （2）是否存在实数a，使得函数在内单调？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由； 【答案】（1）极小值为；（2）存在，. 【解析】 【分析】（1）求导后利用导数的正负求得函数的单调性，结合函数图象求得函数的极小值；（2）分两种情况讨论分离常数转化为恒成立问题，利用二次函数的最值求得结果. 【详解】（1）函数的定义域为 当，函数单调递减， 当，函数单调递增， 是函数的极小值点，函数的极小值为 （2）若函数在内单调递增， 则在恒成立. 即在恒成立. 因为 所以使得函数在内单调递增的a不存在， 若函数在内单调递减 则在恒成立. 即在恒成立. 因为在恒成立. 又 所以时，函数在内单调递减. 18. 设，为曲线上两点，与的横坐标之和为4. （1）若与的纵坐标之和为4，求直线的方程. （2）证明：线段的垂直平分线过定点. 【答案】（1） （2）证明：设线段的中点为， ，， 则线段的垂直平分线的方程为：， 化为：， 可得直线经过定点. 【解析】 【分析】（1）曲线，由题可得直线的斜率不为0,设直线方程为：，，，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，即可得出直线的方程. （2）设线段的中点为，利用中点坐标公式可得坐标，用表示.,利用点斜式即可得出直线线段的垂直平分线的方程，进而证明结论. 【小问1详解】 ∵曲线，由题可得直线的斜率不为0，设直线方程为：，，， 联立，化为：， ， ，， 解得， ，解得， 直线的方程为：，即. 【小问2详解】 略 19. 在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）. （1）若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值； （2）若，（），求此时的信息熵. 【答案】（1），，最大值为. （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可知且，减少变量可得的信息熵关于的解析式，求导可得单调性，故而求出最大值； （2）由可知数列从第二项起，是首项为，公比为2的等比数列，故而可求出（）的通项公式，再由可得的解析式. 【小问1详解】 当时，,， 令，， 则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为. 【小问2详解】 因为，（）， 所以（）， 故， 而， 于是， 整理得 令， 则， 两式相减得 因此， 所以. 【点睛】关键点点睛：第二问，根据等比数列定义写出，进而写出的通项公式，应用裂项相消及等比数列前n项和公式求化简. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河南省驻马店市经开区高考数学三模试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若（其中为虚数单位），则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 将函数向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是函数的极小值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器．由中国科学院空天信息创新研究院自主研发的极目一号Ⅲ型浮空艇（如图1）从海拔4300米的中国科学院珠穆朗玛峰大气与环境综合观测研究站附近发放场地升空，最终超过珠峰8848.86米的高度，创造了海拔9032米的大气科学观测海拔高度世界纪录，彰显了中国实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长45米，高16米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 气温x（℃） 18 13 10 -1 用电量（度） 24 34 38 64 由表中数据得线性回归方程，预测当气温为-4℃时用电量度数为 A. 68 B. 67 C. 65 D. 64 8. 已知a，b，c为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ） A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知函数是定义在R上的奇函数，函数是定义在R上的偶函数，且满足，，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是周期为3的周期函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是双曲线 上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若 ，则______． 13. 已知向量，，且．则的值为___________. 14. 由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则不同的站法有_________种. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，，，点、分别为、的中点. （1）求二面角的余弦值； （2）若点满足，求直线与直线所成角的正弦值. 16. 某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢篮球 不喜欢篮球 合计 男生 40 女生 30 合计 （1）根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？ （2）篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两名男生投进的概率均为，这名女生投进的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 知函数，其中. （1）若，求函数的极值 （2）是否存在实数a，使得函数在内单调？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由； 18. 设，为曲线上两点，与的横坐标之和为4. （1）若与的纵坐标之和为4，求直线的方程. （2）证明：线段的垂直平分线过定点. 19. 在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）. （1）若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值； （2）若，（），求此时的信息熵. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $