8.2.3第1课时 二项分布课件-2025届高三数学一轮复习

第1课时　二项分布 第8章　 8.2.3　二项分布 1.理解n重伯努利试验的概念. 2.掌握二项分布的概率表达形式. 3.能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题. 学习目标 某学生走在大街上，看见路旁有一群人，他挤进去，见一板木牌上写着：只需投掷二十次，便可拥有双倍财富(恰好10次正面朝上者中奖)，他一阵窃喜：数学老师刚讲过，投硬币时，正面朝上和正面朝下为等可能事件，概率均为 ，20× 不就是10吗？这简直是必然事件嘛！于是他走上前去，将仅有的30元押在桌上.那么这个学生的运气如何呢？ 导语 随堂练习 对点练习 一、n重伯努利试验 二、二项分布的推导 三、二项分布的简单应用 内容索引 4 一、n重伯努利试验 问题1　观察下面试验有什么共同的特点？ (1)投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5； (2)某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个； (3)某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次. 提示　①相同条件下的试验：5次、10次、6次； ②每次试验相互独立； ③每次试验只有两种可能的结果：发生或不发生； ④每次试验发生的概率相同为p ，不发生的概率也相同，为1－p. 知识梳理 我们把只包含两个可能结果的试验叫作伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 注意点：在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验. 例1　判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； 解　由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验. (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； 解　某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验. (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球. 解　每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验. 跟踪训练1　(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是 A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没 射中目标” D.在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标 解析　A，C符合互斥事件的概念，是互斥事件； B是相互独立事件； D是n重伯努利试验. √ √ √ 二、二项分布的推导 问题2　(1)连续投掷一枚图钉3次，且每次针尖向上的概率为p，针尖向下的概率为q，则仅出现1次针尖向上的概率是多少？ 提示　用Ai(i＝1,2,3)表示事件“第i次掷得针尖向上”， 用Bk(k＝0,1,2,3)表示事件“出现k次针尖向上”， (2)类似地，连续投掷一枚图钉3次，出现k(k＝0,1,2,3)次针尖向上的概率是多少？有什么规律？ 知识梳理 (2)当X～B(n，p)时，E(X)＝ ，D(X)＝ ，σ＝ . np(1－p) np 注意点： (1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1. (2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布. 例2　甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 ，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.(结果需用分数作答) (1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率； 解　记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，知射击3次，相当于3重伯努利试验， (2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率. 延伸探究 1.在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率. 所以甲、乙均击中目标1次的概率为 2.在本例(2)的条件下，求甲未击中，乙击中2次的概率. 跟踪训练2　现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人参加甲游戏，掷出点数大于2的人参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率； 设“这4个人中恰有k人参加甲游戏”为事件Ak(k＝0,1,2,3,4)． 故这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率为 (2)求这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率. 解　设“这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3＋A4. 三、二项分布的简单应用 例3　高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为 ，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验. (1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率； 解　至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功.设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X. 所以至少有3次发芽成功的概率为 P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5) (2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布. 解　随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5. 所以ξ的概率分布为 跟踪训练3　某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为 ，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心.且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的概率分布. ∴X的概率分布为 随堂练习 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 2.有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若X表示取得次品的次数，则P(X≤2)等于 √ P(X≤2)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0) 1 2 3 4 √ 解析　事件A在一次试验中发生的概率为p， 34 1 2 3 4 4.从次品率为0.1的一批产品中任取4件，恰有两件次品的概率为_______. 0.048 6 对点练习 基础巩固 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.有n位同学参加某项选拔测试，每位同学通过测试的概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有1位同学通过测试的概率为 A.(1－p)n B.1－pn C.pn D.1－(1－p)n √ 解析　所有同学都不能通过测试的概率为(1－p)n，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　对于A，每次出现正面向上的概率都是0.5，故A正确； 对于B，第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.5，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确的是 A.P1＝P2＝P3＝P4 B.P3＝2P1 C.P1＋P2＋P3＋P4＝1 D.P4＝3P2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　由题意知，抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”“三个反面”“二正一反”“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 P1＝P2<P3＝P4，故A错误； P3＝3P1，故B错误； P1＋P2＋P3＋P4＝1，故C正确； P4＝3P2，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.一个学生通过某种英语听力测试的概率是 ，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为________. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)： (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率； 解　记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8， 5次预报相当于5重伯努利试验. “恰有2次准确”的概率为 因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率. 解　“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”. 所以所求概率为1－P＝1－0.006 72≈0.99. 所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)两人各射击1次，两人总共中靶至少1次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？ 解　共三种情况： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)两人各射击2次，两人总共中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？ 解　共两类情况： 共中靶3次，概率为 共中靶4次，概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)两人各射击5次，两人总共中靶至少1次的概率是否超过99%? 所以两人各射击5次，两人总共中靶至少1次的概率超过99%. 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击3次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，下列结论正确的是 A.他三次都击中目标的概率是0.93 B.他第三次击中目标的概率是0.9 C.他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1 D.他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　A正确； 由每次射击击中目标的概率为0.9，知他第三次击中目标的概率也为0.9，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是 A.[0.4,1) B.(0,0.4] C.(0,0.6] D.[0.6,1] √ 解得p≥0.4，又∵0<p<1，∴0.4≤p<1，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.1 B.2 C.3 D.4 √ √ k＝0,1,2,3,4,5. 故当k＝1或2时，P(X＝k)最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.规定投掷飞镖3次为一轮，3次中至少两次投中8环以上的为优秀.现采用随机模拟实验的方法估计某人投掷飞镖的情况：先由计算器产生随机数0或1，用0表示该次投镖未在8环以上，用1表示该次投镖在8环以上；再以每三个随机数作为一组，代表一轮的结果.例如：“101”代表第一次投镖在8环以上，第二次投镖未在8环以上，第三次投镖在8环以上，该结果代表这一轮投镖为优秀：“100”代表第一次投镖在8环以上，第二次和第三次投镖均未在8环以上，该结果代表这一轮投镖为不优秀.经随机模拟实验产生了如下10组随机数，据此估计，该选手投掷飞镖两轮，至少有一轮可以拿到优秀的概率是 101 111 011 101 010 100 100 011 111 001 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　设“甲至多命中1个球”为事件A， “乙至少命中1个球”为事件B， 由题意得， ∴甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若规定每投篮一次命中得3分，未命中得－1分，求乙所得分数η的概率分布. 解　乙所得分数η的所有可能取值为－4,0,4,8,12， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故η的概率分布为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢谢观看 提示　连续掷一枚图钉3次，就是做3重伯努利试验，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次掷得针尖向上的事件，用B1表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则B1＝(A1 23)∪(1A23)∪(12A3).由此可得P(B1)＝q2p＋q2p＋q2p＝3q2p. P(B3)＝P(A1A2A3)＝p3＝Cp3q0， 规律：P(Bk)＝Cpkq3－k，k＝0,1,2,3. P(B0)＝P(123)＝q3＝Cp0q3， P(B1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3) ＝3q2p＝Cp1q2， P(B2)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)＋P(A12A3)＝3qp2＝Cp2q1， 二项分布 (1)若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p). 故P(A1)＝1－P(1)＝1－3＝. 和 解　记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C×2＝，P(B2)＝C×1 ×＝，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝×＝. 解　记“甲击中目标1次”为事件A3，“乙击中目标1次”为事件B3，则P(A3)＝C××＝，P(B3)＝， P(A3B3)＝×＝. 解　记“甲未击中目标”为事件A4，“乙击中2次”为事件B4，则P(A4)＝C×2＝，P(B4)＝C×2＝，所以甲未击中，乙击中2次的概率为P(A4B4)＝×＝. 解　依题意知，这4个人中，每个人参加甲游戏的概率为，参加乙游戏的概率为. 则P(Ak)＝C·k4－k. P(A2)＝C×2×2＝. 由于A3与A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C×3×＋C×4＝， 所以这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率为. 则P(X＝3)＝C×3×2＝， P(X＝4)＝C×4×＝， P(X＝5)＝C×5×0＝， ＝＋＋＝. P(ξ＝5)＝4×1＝. P(ξ＝1)＝， P(ξ＝2)＝×＝， P(ξ＝3)＝2×＝， P(ξ＝4)＝3×＝， ξ 1 2 3 4 5 P P(X＝2)＝C×2×＝， P(X＝3)＝C×3＝. 解　由题意可知X～B， ∴P(X＝k)＝C×k×3－k，k＝0,1,2,3， 即P(X＝0)＝C×0×3＝， P(X＝1)＝C××2＝， X 0 1 2 3 P ∴P(X＝2)＝C×2×3. 1.若随机变量X～B，则P(X＝2)等于 A.2×3 B.2×3 C.C×2×3 D.C×2×3 解析　∵随机变量X～B， A. B. C. D. ＝C×2×＋C×3＋C×3＝. 解析　因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为＝. 从中取3次，X为取得次品的次数，则X～B， 所以1－p＝，p＝. 3.在4重伯努利试验中，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中发生的概率为 A. B. C. D. 由题意得1－Cp0(1－p)4＝， 解析　P＝C×(0.1)2×(1－0.1)2＝0.048 6. 1.若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是 A. B. C. D. 解析　P＝C×2×3＝. 2.若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于 A.C×0.88×0.22 B.C×0.82×0.28 C.0.88×0.22 D.0.82×0.28 解析　P(X＝8)＝C×0.88×0.22. 3.唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生.”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象.根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为 A. B. C. D. 有两天出现大潮概率为C×2×＝， 有三天出现大潮概率为C×3＝， 所以至少有两天出现大潮的概率为＋＝. 5.(多选)随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法错误的有 A.每次出现正面向上的概率为0.5 B.第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.25 C.出现n次正面向上的概率为C0.510 D.出现n次正面向上的概率为C0.5n 对于C，出现n次正面向上的概率为C×0.5n×0.510－n＝C0.510，故C正确，D错误. 则P1＝3＝， P2＝3＝， P3＝C×2×＝， P4＝C××2＝， 解析　由1－Cn>0.9，得n<0.1，∴n≥4. 解析　正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次、5次或6次，所求概率P＝C6＋C6＋C6＝. P＝C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05， 其概率为P＝C×(0.2)5＋C×0.8×0.24＝0.006 72. 10.两个人射击，甲射击一次中靶概率是，乙射击一次中靶概率是. 乙中靶甲不中靶，概率为×＝； 甲中靶乙不中靶，概率为×＝； 甲、乙全中靶，概率为×＝. 故所求概率是＋＋＝. C20×C11＋C11×C20＝ ； C20×C20＝， 故所求概率为＋＝. 解　两人总共中靶至少1次的概率为1－C5×C5＝1－＝＞0.99. 3次射击恰好2次击中目标的概率为C×0.92×0.1，C不正确； 恰好2次未击中目标，即恰好击中目标1次，概率为C×0.9×0.12，D正确. 解析　由题意知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2， 13.(多选)若随机变量X～B，则P(X＝k)最大时，k的值可以为 解析　依题意得P(X＝k)＝C×k×5－k， 则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， P(X＝2)＝，P(X＝3)＝， P(X＝4)＝，P(X＝5)＝. 14.某人抛掷一枚硬币，出现正反面的概率都是，构造数列{an}，使得an＝记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，则S4＝2的概率为________. 解析　S4＝2，即4次中有3次正面1次反面，则所求概率P＝C× 3×＝. A. B. C. D. 解析　模拟实验中，总共进行了10轮，10轮中至少两次投中8环以上的有6轮，用频率估计概率可得该选手拿到优秀的概率为P＝＝，因此，该选手投掷飞镖两轮，相当于做2重伯努利试验，那么至少有一轮可以拿到优秀的概率P＝1－C02＝. 16.甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮，甲投篮一次命中的概率为，乙投篮一次命中的概率为.每人各投4个球，两人投篮命中的概率互不影响. P(A)＝4＋C13＝＋＝， P(B)＝1－4＝1－＝， P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. P(η＝12)＝4＝. 则P(η＝－4)＝4＝， P(η＝0)＝C13＝， P(η＝4)＝C22＝＝， P(η＝8)＝C31＝， η －4 0 4 8 12 P $$