小升初拓展培优：牛吃草问题（讲义）-2023～2024学年六年级下册数学苏教版

牛吃草问题 (知识归纳+典例分析+高频真题+答案解析) 一、牛吃草问题的由来 牛吃草问题，又称牛顿问题或消长问题，是由17世纪英国伟大的科学家牛顿在其著作中提出的。这类问题主要描述的是牧草在不断生长，而牛群在吃草的过程中，草的数量会随时间变化。因此，需要找出在一定时间内，多少头牛能够吃完某片草地。 二、基本公式 解决牛吃草问题常用到以下四个基本公式： 1、草的生长速度 = (对应的牛头数×吃的较多天数 - 相应的牛头数×吃的较少天数) ÷ (吃的较多天数 - 吃 的较少天数) 2、原有草量 = 牛的头数×吃的天数 - 每天长草量×吃的天数 3、吃的天数 = 原有草量 ÷ (牛的头数 - 每日新增草量) 4、牛吃草的速度 = 原有草量 ÷ 吃的天数 + 草的生长速度 三、解题步骤 1、求出每天长草量：通过比较不同情况下牛吃草的总量，计算出每天新长出的草量。 2、求出牧场原有草量：利用已知条件和每天长草量，反推出牧场原有的草量。 3、求出每天实际消耗原有草量：即牛吃的草量减去生长的草量，得到每天实际消耗的原有草量。 4、最后求出牛可吃的天数：根据每天实际消耗的草量和剩余草量，计算出牛群能够吃完草地的天数。 【典例1】某地有一块草场，假设每天草场的草都在均匀生长，这片草场经过测算可供9只羊吃20天，或可供15只羊吃10天，如果供18头羊吃，可吃几天？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，设每只头羊每天吃“1”份草，先求出牧场每天的长草量，再求出牧场原有的草量，由此即可算出这片牧草可供18只羊吃的天数． 【解答】解：设每只羊每天吃“1”份草， 每天新生草量为： （20×9﹣15×10）÷（20﹣10）， ＝（180﹣150）÷10， ＝30÷10， ＝3（份）； 原有草量为： 15×10﹣3×10＝120（份）， 18只羊吃的天数： 120÷（18﹣3）， ＝120÷15， ＝8（天）； 答：这片牧草可供18只羊吃8天， 【点评】此题属于典型的牛吃草的最基本类型的题目，只要设出每只羊每天吃“1”份草，求出牧场每天的长草量和牧场原有的草量，问题即可解决． 【典例2】现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘．若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干．问：若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？ 【答案】需12台同样的抽水机来抽水。 【分析】设一部抽水机1天的抽水量为1份，水每天涌进的量为：（6×20﹣8×10）÷（20﹣10）＝4（份），则原有泉水量为10×8﹣10×4＝40（份），所以，若要5天抽干水，水每天涌进量用4部抽水机去抽，剩下的需要40÷5＝8（台），相加即可求出需要的总台数。 【解答】解：设一部抽水机1天的抽水量为1份． 水每天涌进的量为：（6×20﹣8×10）÷（20﹣10）＝4（份）， 原有的水量为：6×20﹣4×20＝40（份）， 所以，水每天涌进量用4部抽水机去抽，剩下的抽原有的水． 需要40÷5＝8（台）． 一共需要4+8＝12（台） 答：需12台同样的抽水机来抽水。 【点评】本题是据“牛吃草”问题的思路解答的：①把每头牛每天（周）的吃草量看作是“1”；②求出每天（周）的新生长的草量是多少；③求出原来的草量是多少；④假设几头牛专门去吃新生长的草，剩下的牛吃原来的草所用几天（周）数即为所求。 【典例3】有一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内．若10个人淘水，12个小时可以淘完；15个人淘水，6小时可以淘完，如果3小时淘完，需要多少人淘水？ 【答案】见试题解答内容 【分析】设每人每小时淘水1份，根据“如果10个人淘水，12小时可以淘完；如果15个人淘水，6小时才能淘完．”可以求出每小时漏水的份数，列式是：（10×12﹣15×6）÷（12﹣6）＝5（份）；进而可以求出原来水的份数：12×10﹣12×5＝60（份）；现在要想在3小时内淘完，需要的人数为：（60+3×5）÷3＝25（人）． 【解答】解：设每人每小时淘水1份 （10×12﹣15×6）÷（12﹣6） ＝30÷6 ＝5（份） 原来水的份数： 12×10﹣12×5＝60（份） （60+3×5）÷3 ＝75÷3 ＝25（人） 答：如果3小时淘完，需要25人淘水． 【点评】牛吃草问题关键是求出草的生长速度（本题相当于每小时漏水的份数），和原有草的总份数（本题相当于淘水前已漏水的总份数）． 【典例4】仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多，用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完，仓库里原有的存货若用1辆汽车运，则需要多少天运完？ 【答案】见试题解答内容 【分析】假设每辆汽车每天能运走的货物为1份，4辆9天能运4×9＝36份，5辆6天能运5×6＝30份，相差36﹣30＝6份，这6份就是仓库在9﹣6＝3天内进仓的，每天进仓6÷3＝2份，算出仓库原来有的份数，有多少份，若用1辆汽车运，就需要多少天运完． 【解答】解：假设每辆汽车每天能运走的货物为1份， 4辆9天能运4×9＝36份， 5辆6天能运5×6＝30份， 相差36﹣30＝6份， 这6份就是仓库在9﹣6＝3天内进仓的， 每天进仓6÷3＝2份 仓库原来有： 4×9﹣9×2 ＝36﹣18 ＝18（份） 一辆运原来的份数，一共要运：18÷1＝18（天） 答：需要18天运完． 【点评】本题考查了牛吃草问题，关键是得出仓库原来有的份数． 【典例5】“海洋馆”开门前已经有150名小朋友在排队．检票开始后，每分钟又有数量相同的小朋友前来排队．一个检票口每分钟能检票30人．如果只有一个检票口，检票开始10分钟后就没有人排队，如果开两个检票口，几分钟后就没有人排队？ 【答案】见试题解答内容 【分析】一个检票口每分钟能检票30人．如果只有一个检票口，检票开始10分钟后就没有人排队，每分钟前来排队的小朋友有（30×10﹣150）÷10＝15（个），2个检票口每分钟能让30×2＝60人入内，由于检票开始后每分钟有15人前来排队检票，所以就相当于2个检票口每分钟能让60﹣15＝45人入内，那么没有人排队的时间为：300÷45（分钟）． 【解答】解：（30×10﹣150）÷10 ＝150÷10 ＝15（个）， 150÷（30×2﹣15） ＝150÷45 （分钟）， 答：如果开两个检票口，分钟后就没有人排队． 【点评】本题是牛吃草问题的变式练习，关键是在知道草的生长速度（本题相当于每分钟有15人前来排队检票，）的基础上求出草地原有的份数（本题相当于在开始检票前排队等候的人数）． 1．某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的．一个入场口每分钟可以进来10个游客，如果开放4个入场口．20分钟就没有人排队，现在开放6个入口，那么开门后多少分钟后就没有人排队？ 2．牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天．问：可供25头牛吃几天？ 3．某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．如果同时开放4个检票口，那么30分钟后检票口前队伍恰好消失；如果同时开放5个检票口，那么20分钟后队伍恰好消失．如果同时开放7个检票口，那么队伍多少分钟后恰好消失？ 4．有三块草地，面积分别是5，15，24亩．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？ 5．科技馆9点营业，每分钟来的人数相同．如果开5个窗口，则9点5分可无人排队；如果开3个窗口，则9点9分可没有人，求8点几分第一个游客到？ 6．牧场上一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周．如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？ 7．有一牧区长满牧草，牧草每天匀速生长．这个牧区的草可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么可供21头牛吃多少天？ 8．某电信局有600台电话机上台装机，每天申请装电话机数量一定．若有3个小组60天装完．4小组30天装完． （1）每天新申请装多少部电话？ （2）如果5天内装完，要几个小组？ 9．牧场上有一片牧草，可以供27头牛吃6天，供23头牛吃9天，如果每天牧草生长的速度相同，那么这片牧草可以供21头牛吃几天？ 10．“五一”节这天，许多人到公园玩，公园开门前，门口已有700人排队等候，开门后每分钟的游客总是同样多，已知1个入口每分钟可以进30人，开放4个入口，经过10钟，门口就没有人排队了．这时，只要开放几个入口就可以保证再来的游客不需排队？ 11．某机场有一个很长的自动扶梯，由下往上匀速运转，两位赶飞机的乘客要从自动扶梯上楼，已知甲每分钟走20阶，乙每分钟走13阶，结果甲用了3分钟到达，乙用了4分钟到达楼上，问自动扶梯共有多少阶？ 12．一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天，如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？ 13．自动扶梯由下向上，小明由上向下走了100级到底，小红由下向上走了50级到顶，已知小明步行速度是小红的3倍，问扶梯静止时由底到顶共几级？ 14．经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年．假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？ 15．一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时船内已经进入一些水，如果以8个人淘水，5小时可以淘完；如果以5个人淘水，10小时才能淘完．现在要想在2小时内淘完，需要多少人？ 16．有一片青草，每天生长速度相同，已知这片青草可供15头牛吃20天，或者供76只羊吃12天．如果一头牛的吃草量相当于4只羊的吃草量，那么8头牛与64只羊一起吃，可以吃多少天？ 17．由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天或者16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？ 18．有三个牧场，大小分别是3亩、6亩、15亩，每个牧场的草都均匀生长．若在第一个牧场中放入20头牛，10天能把牧草吃完；若在第二个牧场中放入30头牛，20天能把牧草吃完．现在第三个牧场的草50天被吃完，问放了几头牛？ 19．因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，或可供24头牛吃6天。照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？ 20．一条船破了个洞漏水，假设每小时涌进船内的水量相等，发现船漏水时已经涌进了一些水．如果3个人排水，3.6小时可以把水排完；如果5个人排水，则2个小时可以把水排完，现在要在1.2小时内把水排完，需要几个人？ 21．牧场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧场可供10头牛吃40天，可供15头牛吃20天．问可供25头牛吃多少天？ 22．博物馆每天早晨9：00开门让游客进入，如果开放3个入口则在9：09可以让全部游客入场，如果开放5个入口，则可在9：05结束入场，假设入场结束前每分钟前来的游客数量不变，那么第一个游客到达博物馆的时间是8时几分？ 23．某地有一块草地，草地中现有的草共有x份，假设每天草地都能均匀生长出y份新草，每只羊每天吃1份草，这块草地经过测算可供100只羊吃200天；或供150只羊吃100天．问： （1）x和y各为多少？ （2）如果放牧250只羊，可以吃多少天？ （3）草吃完了，草地就会沙化，无法继续放牧，为了防止草地沙化，这块草地最多可以放牧多少只羊？ 24．一个牧场长满青草，牛在吃草而草又不断生长，已知牛27头，6天能把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽，如果有牛21头，几天能把草吃尽？ 25．某快递公司已存在部分快件，但仍有快件不断运来．公司决定用快递专车将快件分给客户（装车时间不计）若用9辆车发货，12小时可运完．若用8辆车发货，16小时可运完．快递公司开始只用了6辆车发货，三小时后增加若干辆车．再经过5小时就运完了，那么后来增加的车辆数应该是多少辆？ 26．某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开5个检票口需30分钟，同时开6个检票口需20分钟．如果要使队伍10分钟消失，需要打开多少个检票口？ 27．沿着匀速成上升的自动扶梯，甲从上朝下走到底走了150级，乙从下朝上走到顶走了75级．如果甲每分钟走的扶梯级数是乙的3倍，那么这部自动扶梯有多少级（可见部分）？ 28．有一池泉水，泉底不断涌出泉水，且每小时涌出的泉水一样多。如果用8部抽水机10小时能把全池泉水抽干，如果用12部抽水机6小时能把全池泉水抽干。那么用14部抽水机多少小时能把全池泉水抽干？ 29．8头牛和3只羊每天共吃136千克青草；3头牛和8只羊每天共吃106千克青草．问：每头牛和每只羊每天各吃青草多少千克？ 30．已知一片草地上的草可供10头牛吃8天，或可供12头牛吃6天，假设草每天的生长的速度是一样的．请问：为了维持可持续发展（即不能把草吃完），这片草地最多能养活多少头牛？ 1．【答案】见试题解答内容 【分析】此题里有两个不变的量：一是开门前排队人数是固定数，即400人；二是开门后每分钟来的人数是固定的．按开4个入场口的已知条件，可求出开门后每分钟来的人数．然后设开放6个入场口开门后x分钟后没有人排队，可按以下两种方式求出开门后x分钟总进场人数：一是根据每分钟1个入场口进客人数可得开6个入场口x分钟的进场人数；二是根据开门后x每分钟来的固定人数加开门前排队的400人，根据这个等量关系即可列出方程． 【解答】解：4个入场口20分钟进入的人数是： 10×4×20＝800（人）， 开门后20分钟来的人数是：800﹣400＝400（人）， 开门后每分钟来的人数是：400÷20＝20（人）， 设开6个入场口x分钟后没有人排队，由题意列方程得 10×6×x＝400+20x， 40x＝400， x＝10， 答：开放6个入场口10分钟后就没有人排队． 【点评】关键点：一是由已知条件求出开门后每分钟来的人数；二是根据一个入场口每分钟进客量和开门后每分钟来的人数两种方式求开门后设定时间内进客总量这个等量关系． 2．【答案】见试题解答内容 【分析】这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量．总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分．牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的．即： （1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的． （2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量． （3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天． 【解答】解：设1头牛1天吃的草为“1“，由条件可知，前后两次青草的问题相差为10×20﹣15×10＝50． 为什么会多出这50呢？这是第二次比第一次多的那（20﹣10）＝10天生长出来的，所以每天生长的青草为50÷10＝5． 现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足5头牛吃．由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？（10﹣5）×20＝100． 那么：第一次吃草量20×10＝200，第二次吃草量，15×10＝150； 每天生长草量50÷10＝5． 原有草量（10﹣5）×20＝100或200﹣5×20＝100． 25头牛分两组，5头去吃生长的草，其余20头去吃原有的草那么100÷20＝5（天）． 答：可供25头牛吃5天． 【点评】解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题中所求的问题． 这类问题的基本数量关系是： 1、（牛的头数×吃草较多的天数﹣牛头数×吃草较少的天数）÷（吃的较多的天数﹣吃的较少的天数）＝草地每天新长草量． 2、牛的头数×吃草天数﹣每天新长量×吃草天数＝草地原有的草． 3．【答案】见试题解答内容 【分析】等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解． 【解答】解：设1个检票口1分钟检票的人数为1份．因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，5个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（30﹣20）分钟内新来旅客 （4×30﹣5×20）份，所以每分钟新来旅客： （4×30﹣5×20）÷（30﹣20）＝2（份）． 假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为： （4﹣2）×30＝60（份）或（5﹣2）×20＝60（份）． 同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要： 60÷（7﹣2）＝12（分钟）． 答：如果同时开放7个检票口，那么队伍12分钟后恰好消失． 【点评】此题重点要理清题中的数量关系，弄清旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客． 4．【答案】见试题解答内容 【分析】这是一道比较复杂的牛吃草问题．把每头牛每天吃的草看作1份，因为第一块草地5亩面积原有草量+5亩面积30天长的草＝10×30＝300份，所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份；因为第二块草地15亩面积原有草量+15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份，所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份，所以45﹣30＝15天，每亩面积长84﹣60＝24份；则每亩面积每天长24÷15＝1.6份．所以，每亩原有草量60﹣30×1.6＝12份，第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份，新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝3.6头牛所以，一共需要38.4+3.6＝42头牛来吃． 【解答】解：设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10×30÷5＝60； 每亩45天的总草量为：28×45÷15＝84； 那么每亩每天的新生长草量为（84﹣60）÷（45﹣30）＝1.6； 每亩原有草量为：60﹣1.6×30＝12； 那么24亩原有草量为：12×24＝288； 24亩80天新长草量为24×1.6×80＝3072； 24亩80天共有草量3072+288＝3360； 所以有3360÷80＝42（头）． 答：第三块地可供42头牛吃80天． 【点评】本题为典型的牛吃草问题，要根据“牛吃的草量﹣生长的草量＝消耗原有草量”这个关系式认真分析解决． 5．【答案】见试题解答内容 【分析】9时开门，开3个入口，9：09就结束入场，开5个入口，9：05就结束入场，来人的速度为（9×3﹣5×5）÷（9﹣5），开门之前来人为3×99＝22，第一个观众来的时间距开门时间，2245（分），再用9时减去45分即可求出答案． 【解答】解：（9×3﹣5×5）÷（9﹣5） ＝（27﹣25）÷4 ＝2÷4 ， 3×99 ＝27 ＝22， 2245（分）， 9时﹣45分＝8时15分． 答：第一个游客到达博物馆的时间是8时15分． 【点评】这是“牛吃草”问题，关键利用前两次开口不同过人的差除以时间得到来人的速度，然后利用速度解决问题． 6．【答案】见试题解答内容 【分析】假设每头牛每周吃1份草，27头牛6周吃27×6＝162份，23头牛9周吃23×9＝207份，多吃了207﹣162＝45份，恰好是9﹣6＝3周长的；每周就长45÷3＝15份，原来牧场有27×6﹣15×6＝72份，假设15头专吃新长出的草，那只要求出原先的草被剩下的牛几周吃完就可以了． 【解答】解：假设1头牛吃草量为1份． 每周长出新草：（23×9﹣27×6）÷（9﹣6）， ＝（207﹣162）÷3， ＝15（份）， 原有草：27×6﹣15×6， ＝162﹣90， ＝72（份）， 假设有15头牛专吃新长出的草． 原有的草被吃完周数为： 72÷（21﹣15）， ＝72÷6， ＝12（周）； 答：可供21头牛吃12周． 【点评】本题主要考查牛吃草问题，牛吃草问题的基本公式有：生长量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）； 总草量＝较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量． 7．【答案】见试题解答内容 【分析】假设每头牛每周吃牧草1份，先求出牧草的增加的速度：（23×9﹣27×6）÷（9﹣6）＝15（份）；然后求出草地原有的草的份数：27×6﹣6×15＝72（份）；那么21头牛每周吃牧草21份，牧草每周增加15份，可以看作每周有（21﹣15）头牛在吃草，草地原有的72份的草，可吃：72÷6＝12（周）． 【解答】解：假设每头牛每周吃牧草1份， 牧草增加的速度：（23×9﹣27×6）÷（9﹣6） ＝45÷3 ＝15（份） 原有的草的份数：27×6﹣6×15 ＝162﹣90 ＝72（份） 可供21头牛吃：72÷（21﹣15） ＝72÷6 ＝12（周） 12×7＝84（天） 答：这个草场的草可供21头牛吃84天． 【点评】解决这类问题的关键是利用牛吃的草量，最终求出草地每天新生草的草量，由于此类题不给出草量的单位，为此我们总设每头牛每天吃1份草，根据数量关系，列式解答即可． 8．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设每个小组每天装1份，先求出每天新申请装的份数，列式为：（3×60﹣4×30）÷（60﹣30）＝2（份）；再求出原有的600台电话机对应的份数4×30﹣30×2＝60（份）；所以1份的数就是每个小组每天装台数：600÷60＝10（台），又因为每天新申请装的台数是每个小组每天装台数的2倍，因此可以求出每天新申请装的台数，列式为：10×（2÷1）＝20（台）； （2）如果5天内装完，一共新增20×5＝100台，1个组5天的工作量是10×5＝50台，所以如果5天内装完，需要的组数，列式为：600+20×5）÷（10×5）＝14（组）；据此解答． 【解答】解：设每个小组每天装1份， （1）每天新申请装的份数：（3×60﹣4×30）÷（60﹣30）， ＝60÷30， ＝2（份）； 原有的份数：4×30﹣30×2， ＝120﹣60， ＝60（份）； 每个小组每天装台数：600÷60＝10（台）， 每天新申请装的台数：10×（2÷1）＝20（台）； 答：每天新申请装20部电话． （2）（600+20×5）÷（10×5）， ＝700÷50， ＝14（组）； 答：如果5天内装完，要14个小组． 【点评】本题是比较复杂的牛吃草问题，它的解答规律是先求出增加的份数，这是解答的难点即求每天新申请装的份数． 9．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，设每头牛每天吃“1”份草，先求出牧场每天的长草量，再求出牧场原有的草量，由此即可算出这片牧草可供21头牛吃的天数． 【解答】解：设每头牛每天吃“1”份草， 每天新生草量为： （23×9﹣27×6）÷（9﹣6）， ＝（207﹣162）÷3， ＝45÷3， ＝15（份）； 原有草量为： 27×6﹣15×6＝72（份）， 21头牛吃的天数： 72÷（21﹣15）， ＝72÷6， ＝12（天）； 答：这片牧草可供21头牛吃12天． 【点评】此题属于典型的牛吃草的最基本类型的题目，只要设出每头牛每天吃“1”份草，求出牧场每天的长草量和牧场原有的草量，问题即可解决． 10．【答案】见试题解答内容 【分析】4个入口10分钟可以进入：30×4×10＝1200（人），比门口排队等候的700人多了：1200﹣700＝500人，这500人就是10分钟增加的人数，再除以10可得每分钟增加的人数：500÷10＝50（人），根据“1个入口每分钟可以进30人，”可以求出这50人需要的入口的个数，列式为：50÷30≈2（个）；据此解答． 【解答】解：30×4×10＝1200（人）， （1200﹣700）÷10， ＝500÷10， ＝50（人）， 50÷30≈2（个）； 答：只要开放2个入口就可以保证再来的游客不需排队． 【点评】本题考查了牛吃草问题，关键是求出10分钟增加的人数，进而求出每分钟增加的人数；注意：最后的结果要用“进一法”． 11．【答案】见试题解答内容 【分析】甲每分钟走20阶，甲用了3分钟到达，甲一共走了20×3＝60个台阶，同理可以求出乙一共走了13×4＝52个台阶，用两人走的台阶的数量差除以走的时间差即可求出扶梯的速度，由于人和扶梯是同向运动的，所以扶梯的速度加上人的速度，再乘人走的时间，即可求出自动扶梯共有多少阶． 【解答】解：（20×3﹣13×4）÷（4﹣3） ＝（60﹣52）÷1 ＝8÷1 ＝8（阶） （20+8）×3 ＝28×3 ＝84（阶） 答：自动扶梯共有84阶． 【点评】本题要理解上楼的速度可以分为两部分：一部分是甲乙两人的自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度，所以利用和差知识求出自动扶梯的速度是本题的关键；然后再利用顺水行船的解答方法求出自动扶梯可见部分的个数即可；本题考查的知识点较多，是牛吃草问题、和差问题、顺水行船问题的综合应用． 12．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量；假设一头羊一天吃一份草，那么一头牛一天吃5份． 16头牛吃了20天，共吃了16×5×20＝1600份； 100只羊吃12天，共吃了100×12＝1200份； 所以20﹣12＝8天里共生成了1600﹣1200＝400份草，每天生成400÷8＝50份草； 原来只有16×5×20﹣50×20＝600份草； 10头牛一天吃10×5＝50份草，正好是草每天生成的量； 剩下的就是原来的草，75只羊来吃，吃600÷75＝8天． 【解答】解：假设一头羊一天吃一份草，那么一头牛一天吃5份； 16头牛吃了20天，共吃了16×5×20＝1600（份）； 100只羊吃12天，共吃了100×12＝1200（份）； 草每天生产：（1600﹣1200）÷（20﹣12）＝50（份）； 原来的草有：16×5×20﹣50×20＝600（份）； 10头牛一天吃：10×5＝50（份），正好是草每天生成的量； 75只羊吃的天数是：600÷75＝8（天）． 答：这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天． 【点评】牛吃草问题的基本公式有：基本公式：生长量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）； 总草量＝较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量． 13．【答案】见试题解答内容 【分析】小明走过的级数是小红走过的级数的100÷50＝2倍，同时小明速度又是小红的3倍，可以得到小明与小红走的时间比2：3，因此小明走的级数实际上是静止的级数加上行走时间内扶梯伸出的级数，小红行走的级数是静止级数减去行走时间内扶梯缩进的级数，那么他们走过的级数差就是扶梯伸出级数与缩进级数的和100﹣50＝50级，伸出时间和缩进时间比是2：3，那么伸出和缩进级数比就是2：3，因此伸出级数为50÷（2+3）×2＝20级，静止时就应该是100﹣20＝80级；据此解答即可． 【解答】解：小明走过的级数是小红走过的级数的100÷50＝2倍，同时小明速度又是小红的3倍，可以得到小明与小红走的时间比2：3， 100﹣50＝50（级）， 伸出级数为：50÷（2+3）×2 ＝10×2 ＝20（级）， 静止时就应该是：100﹣20＝80（级） 答：扶梯静止时由底到顶共80级． 【点评】本题考查了牛吃草问题的灵活应用，本题关键是求出小明与小红走的时间比，即伸出时间和缩进时间比． 14．【答案】见试题解答内容 【分析】假设每人每年消耗资源为单位“1”，根据“100亿人生活100年，”知道100年一共有资源1万亿份，再根据“80亿人生活300年，”知道300年有资源2.4万亿份，即相差的1.4万亿份资源就是200年增长的，所以100年增长0.7万亿份，1年增长70亿份，当增长量等于消耗量时，可以永远生活，所以最多70亿人． 【解答】解：100×100＝10000（份）， 80×300＝24000（份）， 24000﹣10000＝14000（份）， 14000÷200＝70（亿人）， 答：地球最多能养活70亿人． 【点评】解答此题的关键是，根据题意，知道当地球新生成的资源增长量等于消耗量时，地球生活的人最多，由此即可解决问题． 15．【答案】见试题解答内容 【分析】设每人每小时淘水1份，根据“如果以8个人淘水，5小时可以淘完；如果以5个人淘水，10小时才能淘完．”可以求出每小时漏水的份数，列式是：（5×10﹣5×8）÷（10﹣5）＝2（份）；进而可以求出原来水的份数：8×5﹣2×5＝30（份）；现在要想在2小时内淘完，需要的人数为：（30+2×2）÷2＝17（人）． 【解答】解：设每人每小时淘水1份， （5×10﹣5×8）÷（10﹣5）， ＝10÷5， ＝2（份）； （30+2×2）÷2， ＝34÷2， ＝17（人）． 答：现在要想在2小时内淘完，需要17人． 【点评】牛吃草问题关键是求出草的生长速度（本题相当于每小时漏水的份数），和原有草的总份数（本题相当于淘水前已漏水的总份数）． 16．【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，如果一头牛一天吃草量等于4只羊一天的吃草量；假设一头羊一天吃一份草，那么一头牛一天吃4份． 15头牛吃了20天，共吃了15×4×20＝1200份； 76只羊吃12天，共吃了76×12＝912份； 所以20﹣12＝8天里共生成了1200﹣912＝288份草，每天生成288÷8＝36份草； 原来只有15×4×20﹣36×20＝480份草； 8头牛与4只羊一天吃8×4+1×4＝36份草，正好是草每天生成的量； 剩下的就是原来的草，64﹣4＝60只羊来吃，吃480÷60＝8天． 【解答】解：假设一头羊一天吃一份草，那么一头牛一天吃4份； 15头牛吃了20天，共吃了15×4×20＝1200（份） 76只羊吃12天，共吃了76×12＝912（份） 草每天生产：（1200﹣912）÷（20﹣12）＝36（份） 原来的草有：15×4×20﹣36×20＝480（份） 8头牛与4只羊一天吃8×4+1×4＝36（份），正好是草每天生成的量； 64﹣4＝60只羊吃的天数是：480÷60＝8（天） 答：可以吃8天． 【点评】牛吃草问题的基本公式有：基本公式：生长量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间）； 总草量＝较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量． 17．【答案】8天。 【分析】假设每头牛每天吃青草1份，20头牛5天吃草：20×5＝100（份），16头牛6天吃草：16×6＝96（份）；青草每天减少：（100﹣96）÷（6﹣5）＝4（份）；牛吃草前牧场有草：100+4×5＝120（份）；那么11头牛每天吃青草11份，青草每天减少4份，可以看作每天有（11+4）头牛吃草，草地原有的120份草，可吃（120÷15）天；据此解答即可。 【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份， 青草的减少速度为： （20×5﹣16×6）÷（6﹣5） ＝4÷1 ＝4（份） 草地原有的草的份数： 20×5+4×5 ＝100+20 ＝120（份） 那么11头牛每天吃青草11份，青草每天减少4份，可以看作每天有11+4＝15（头）牛吃草，草地原有的120份草，可吃： 120÷15＝8（天） 答：可供11头牛吃8天。 【点评】本题与一般的牛吃草的问题有所不同，关键的是求出青草的每天减少的速度（份数）和草地原有的草的份数。 18．【答案】见试题解答内容 【分析】先把条件里的亩看为一：20÷3头，30÷6＝5头；设每头牛每天吃“1”份草，每亩每天的长草量（5×2010）÷（20﹣10）份；每亩的原有草量为1010份；15亩的原有草量：15500份；15亩每日长草量为1550份；根据公式：吃的天数＝原有草量÷（牛头数﹣每日长草量）可得牛头数＝原有草量÷吃的天数+每日长草量，据此解答． 【解答】解：先把条件里的亩看为一：20÷3（头），30÷6＝5（头）； 设每头牛每天吃“1”份草； 每亩每天的长草量：（5×2010）÷（20﹣10） 10 （份）； 每亩的原有草量为：1010 （份）； 15亩的原有草量：15500（份）； 15亩每日长草量为：1550（份）； 50天吃完放的牛头数：500÷50+50 ＝10+50 ＝60（头）． 答：现在第三个牧场的草50天被吃完，放了60头牛． 【点评】此题属于典型的牛吃草的问题，只要求出每亩每天的长草量和原有草量，问题即可解决． 19．【答案】6头牛。 【分析】用33乘5减去24乘6，算出5天比6天多出多少份草；再用多出草的份数除以（6﹣5），算出青草每天减少多少份；用33乘5加上每天减少的份数乘5，算出牛吃草前牧场共有草份数；用共有草的份数除以10天，再减去每天青草减少份数，即可求出这个牧场可供多少头牛吃10天。 【解答】解：根据分析可得： 青草每天减少： （33×5﹣24×6）÷（6﹣5） ＝（165﹣144）÷1 ＝21（份） 牛吃草前牧场有草： 165+21×5 ＝165+105 ＝270（份） ③270÷10﹣21 ＝27﹣21 ＝6（头） 答：可供6头牛吃10天。 【点评】本题关键在于计算出每天减少的草量和原有草量，进而解答。 20．【答案】见试题解答内容 【分析】假设每人每小时可以舀1份水，根据“如果3个人排水，3.6小时可以把水排完；如果5个人排水，则2个小时可以把水排完”可以求出船每小时漏水的份数：（3×3.6﹣5×2）÷（3.6﹣2）＝0.5（份）；进而可以求出船舱里原有的水的份数：3×3.6﹣0.5×3.6＝9（份）；然后用原有的份数加上1.2小时进水的份数，再除以时间1.2，即可求出需要多少人，列式为：（9+0.5×1.2）÷1.2＝8（人）． 【解答】解：假设每人每小时可以舀1份水； 则船每小时漏水：（3×3.6﹣5×2）÷（3.6﹣2） ＝0.8÷1.6 ＝0.5（份）； 船舱里原有的水有：3×3.6﹣0.5×3.6 ＝10.8﹣1.8 ＝9（份）； 现在要求1.2小时把水排完，需要： （9+0.5×1.2）÷1.2 ＝9.6÷1.2 ＝8（人）． 答：现在要在1.2小时内把水排完，需要8人． 【点评】本题是典型的牛吃草问题，本题的难点是先求出船每小时漏水的份数和求出船舱里原有的水的份数． 21．【答案】见试题解答内容 【分析】假设每头牛每天吃青草1份，先求出青草的生长速度：（40×10﹣15×20）÷（40﹣20）＝5（份）；然后求出草地原有的草的份数：10×40﹣5×40＝200（份）；再让25头牛中的5头吃生长的草，剩下的20头牛吃草地原有的200份草，可吃：200÷20＝10（天）． 【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份， 青草的生长速度： （40×10﹣15×20）÷（40﹣20）， ＝100÷20， ＝5（份）； 草地原有的草的份数： 10×40﹣5×40， ＝400﹣200， ＝200（份）； 每天生长的5份草可供5头牛去吃，那么剩下的25﹣5＝20头牛吃200份草： 200÷（25﹣5）， ＝200÷20， ＝10（天）； 答：这片草地可供25头牛吃10天． 【点评】牛吃草的问题关键的是求出青草的生长速度和草地原有的草的份数． 22．【答案】见试题解答内容 【分析】9时开门，开3个入口，9：09就结束入场，开5个入口，9：05就结束入场，来人的速度为（9×3﹣5×5）÷（9﹣5），开门之前来人为3×99＝22，第一个观众来的时间距开门时间，2245（分），再用9时减去45分即可求出答案． 【解答】解：（9×3﹣5×5）÷（9﹣5） ＝（27﹣25）÷4 ＝2÷4 ， 3×99 ＝27 ＝22， 2245（分）， 9时﹣45分＝8时15分． 答：第一个游客到达博物馆的时间是8时15分． 【点评】这是“牛吃草”问题，关键利用前两次开口不同过人的差除以时间得到来人的速度，然后利用速度解决问题． 23．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）此题可以设一只羊每天的吃草量为1份，求出每天的长草量，进而求出原有草量； （2）让50只羊去吃新长的草，剩下250﹣50＝200只羊去吃原有的草，很容易求出天数； （3）为了防止草地沙化，最好让羊正好吃掉新长的草，留下原有的草，因为每天长草量为50份，所以这块草地最多可以放牧（50÷1）只羊． 【解答】解：（1）设一只羊每天的吃草量为1份． 100×200＝20000（份）， 150×100＝15000（份）； 每天长草量为： （20000﹣15000）÷（200﹣100）， ＝5000÷100， ＝50（份）； 原有草量为： 20000﹣200×50， ＝20000﹣10000．， ＝10000（份）； 或15000﹣100×50； 答：x为10000，y为50． （2）让50只羊去吃新长的草，剩下250﹣50＝200只羊去吃原有的草，10000÷200＝50（天）； 答：如果放牧250只羊，可以吃50天． （3）假设每只羊每天吃草“1”份．为了防止草地沙化，最好让羊正好吃掉新长的草，留下原有的草，因为每天长草量为50份，所以： 50÷1＝50（只）； 答：这片草地最多可以放牧50只羊． 【点评】此题属于牛吃草问题，难度较大，需要认真分析，思路清晰． 24．【答案】见试题解答内容 【分析】第一步算出草场每天长草多少份．如果一头牛一天吃草1份，那么27头牛6天共需草：27×6＝162份，23头牛9天共吃草23×9＝207份，草场原来的草是固定的，草每天都在长也是固定的，所以，每天长草：（207﹣162）÷（9﹣6）＝15份．原来草场的草：27×6﹣15÷6＝72份．21头牛，草场每天长草15份供15头牛，剩下的6头，就要吃草场原有的草，可以吃几天呢：72÷（21﹣15）＝12天；据此得解． 【解答】解：每天长草：（207﹣162）÷（9﹣6）＝15份 原来草场的草：27×6﹣15×6＝72份． 21头牛，草场每天长草15分供15头牛，剩下的6头，就要吃草场原有的草， 可以吃几天呢：72÷（21﹣15）＝12天 答：如果放牧21头牛，则12天可以吃完牧草． 【点评】此题考查了牛吃草问题，首先求出草长的速度，以及原来草场的草有多少是解决此题的关键． 25．【答案】见试题解答内容 【分析】本题每小时不断运来的快件数不变，原有的快件数不变，原有的邮件减去3个小时运的在增加车辆的5小时运完的过程中又源源不断来的邮件是（5﹣1）×4件．在用原有的快件和源源不断的邮件和除以每小时运走的邮件与每小时来的邮件的差，就是一共用的车辆数． 【解答】解：每小时运来的快件， （8×16﹣9×12）÷（16﹣12）， ＝（128﹣108）÷4， ＝20÷4， ＝5（件）； 原有的邮件： 9×12﹣12×5， ＝108﹣60， ＝48（件）； 设后来增加了x辆车． [48﹣6×3+（5+3）×5]÷（x+6）＝5， x+6＝70÷5， x＝8； 答：后来又增加了8辆车． 【点评】本题关键是求出两个不变的量即原件的量和每小时源源不断来的邮件． 26．【答案】见试题解答内容 【分析】等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，设1个检票口1分钟检票的人数为1份；因为5个检票口30分钟通过（5×30）份，6个检票口20分钟通过（6×20）份，说明在（30﹣20）分钟内新来旅客（5×30﹣6×20）份，所以每分钟新来旅客： （5×30﹣6×20）÷（30﹣20）＝3（份）； 假设让3个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为： （5﹣3）×30＝60（份）； 如果要使队伍10分钟消失，共有60+10×3＝90（份）；需要90÷10＝9（个）． 【解答】解：设1个检票口1分钟检票的人数为1份； 每分钟新来旅客：（5×30﹣6×20）÷（30﹣20） ＝（150﹣120）÷10 ＝30÷10 ＝3（份）； 原有旅客为：（5﹣3）×30＝60（份）； 如果要使队伍10分钟消失需要 （60+10×3）÷10 ＝90÷10 ＝9（个）． 答：需要打开9个检票口． 【点评】此题重点要理清题中的数量关系，弄清旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客． 27．【答案】见试题解答内容 【分析】甲沿着向上的自动扶梯从上向下走到底，逆向行走，自动扶梯卷入的部分是浪费了的．甲所走的级数＝自动扶梯静止时的级数+逆向行走的同时扶梯卷入的级数．乙沿着自动扶梯从底向上走到头，是顺向行走，自动扶梯帮她少走了卷入的那部分级数．乙走的级数＝自动扶梯静止时的级数﹣同向行走的同时扶梯卷入的级数．甲单位时间内走的级数是乙的3倍，他们所走的时间是相同的．自动扶梯卷入的级数也是相同的．由于乙从下朝上走到顶走了75级，此时甲应走225级，即甲走3次的时间＝乙走二次的时间，则上述两个等式可以简化为：甲3次所走的级数450＝自动扶梯静止时的级数×3+卷入的级数，乙走的级数150＝自动扶梯静止时的级数×2﹣卷入的级数．两式相加即可求出结果． 【解答】解：（150×3+75×2）÷（3+2） ＝（450+150）÷5 ＝120（级）， 答：这部自动扶梯有120级． 【点评】在完成此类题目时要注意，自动扶梯静止时的级数和运动时的级数是一样的，顺向所行的级数＝本身可见的级数﹣这时卷入的级数；逆向所行的级数＝本身可见的级数+这时卷入的级数． 28．【答案】见试题解答内容 【分析】本题是牛吃草问题。先求出泉水的出水量，再求出池中原有水量，根据生长量＝（较长时间×长时间牛头数﹣较短时间×短时间牛头数）÷（长时间﹣短时间），原有草量＝较长时间×长时间牛头数﹣较长时间×生长量，吃的天数＝原有草量÷（牛头数﹣草的生长速度），这三个基本公式来解答。 【解答】解：设每部抽水机每小时能抽出的泉水1份。 每小时涌出的泉水量（牛吃草中的生长量）为： （8×10﹣12×6）÷（10﹣6） ＝8÷4 ＝2（份） 井中原有的水量（原有的草量）为： 8×10﹣2×10 ＝80﹣20 ＝60（份） 14部抽水机抽水时间（吃的天数）为： 60÷（14﹣2） ＝60÷12 ＝5（小时） 答：用14部抽水机5小时能把全池泉水抽干。 【点评】把抽水问题中的数量与牛吃草问题中的数量对应起来是解决本题的关键。。 29．【答案】见试题解答内容 【分析】设每头牛每天吃青草x千克，每匹马每天吃青草y千克，由“8头牛和3只羊每天共吃136千克青草”可列方程：3y+8x＝136①，由“3头牛和8只羊每天共吃106千克青草”可列方程3x+8y＝106②，用消元法解这两个方程即可． 【解答】解：设每头牛每天吃青草x千克，每匹马每天吃青草y千克，得： 3y+8x＝136① 3x+8y＝106② ①×③得：9y+24x＝408③ ②×8得：24x+64y＝848④ ④﹣③，得：55y＝440， 所以y＝8； 把y＝8代入①得： 3×8+8x＝136 8x＝112 x＝14 所以x＝14，y＝8． 答：每头牛每天吃青草14千克，每匹马每天吃青草8千克． 【点评】解决此题的关键是根据题意列出方程，运用“消元”得方法得出平均每天每头牛、每匹马各吃精饲料的数量． 30．【答案】见试题解答内容 【分析】要使草永远吃不完，必须满足放的牛的头数每天吃掉的草与每天生长的草相等．假设每头牛每天吃的草为1，先求出10头牛吃8天，或可供12头牛吃6天时，两种情况下牛的吃草量，再根据每天草的生长量＝多吃的草的量÷多吃的天数，求出每天草的生长量，最后根据至多放的牛的头数＝每天草的生长量÷每头牛每天吃的草（也就是1）解答． 【解答】解：假设每头牛每天吃的草为1， （10×8﹣12×6）÷（8﹣6）÷1 ＝（80﹣72）÷2÷1 ＝8÷2÷1 ＝4（头） 答：这片草地最多能养活4头牛． 【点评】解答本题时首先要明确：要使草永远吃不完，必须满足放的牛的头数每天吃掉的草与每天生长的草相等．只要根据两种情况下求出草每天的生长量即可解答． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$