2024--2025学年华东师大版八年级数学上册 一课一练专项训练

华师版八年级数学上册一课一练专项训练 第11章　数的开方 11.1 平方根与立方根 1. 平方根 学习目标 1.理解并掌握平方根与算术平方根的概念，理解平方运算与开平方的互逆关系. 2.理解算术平方根的非负性，会用计算器求一个数的算术平方根. 知识点1　平方根 例1 平方 平方根 (±2)2＝4，即＋2，－2的平方是________ 4的平方根是＋2，－2 (±3)2＝9，即＋3，－3的平方是________ 9的平方根是＋3，－3 (±4)2＝16，即＋4，－4的平方是16 16的平方根是________ 02＝0，即0的平方是0 0的平方根是________ 练1－1　填空： (1)已知正方形的边长为6，则正方形的面积为________． (2)已知正方形的面积为25，则这个正方形的边长为________． 练1－2　判断下列各数有没有平方根，若有，求其平方根． (1)100； (2)1； (3)－4. 知识点2　平方根的性质 例2　【北师8上P28议一议改编】 (1)正数a的平方根有________个(互为________数)，即±； (2)0有________个平方根； (3)1的平方根是________； (4)负数________平方根(填“有”或“没有”)． 例3　一个正数的两个平方根分别是3a－5和a－3，则这个正数是多少？ 练2　求未知数x的值． x2＝361. 练3　已知2a－1与－a＋2是m的两个不同的平方根，求m的值． 知识点3　算术平方根 例4　填空：3的平方根是________，算术平方根是________；的平方根是________；的算术平方根是________；(－3)2的算术平方根是________． 请说明，－，±分别表示什么意义． 练4　填空： (1)＝__________； (2)±＝__________； (3)－＝__________； (4)()2＝__________； (5)＝__________； (6) －＝__________． 知识点4　用计算器求一个正数的算术平方根 例5　【华师8上P4例3】用计算器求下列各数的算术平方根： (1)529；　　　　(2)44.81(精确到0.01)． 练5　【华师8上P4练习T3节选】用计算器计算： (1)；　　 (2)(精确到0.01)． 例6　已知x、y为实数，且y＝－＋4，求x－y的值． 1．2的平方根是(　　) A. B．－ C．± D．4 2．0.09的算术平方根等于(　　) A．0.3 B．±0.3 C．0.03 D．±0.03 3．“289的平方根是±17”，用数学式子表示为(　　) A.＝17 B.＝±17 C．±＝±17 D．±＝17 4．若实数m，n满足(m－3)2＋＝0，则mn＝________． 5．已知x，y是两个连续的整数，且x<<y，则2x＋y的平方根是________． 6．已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是5，求a＋b的平方根． 第11章　数的开方 11.1 平方根与立方根 2. 立方根 学习目标 1.了解立方根的概念，会表示一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算. 2.能用立方运算求解一个数的立方根. 3.明确平方根与立方根概念与性质的区别. 知识点1　立方根 例1　 立方 立方根 23＝8，即2的立方是________ 8的立方根是2 (－2)3＝－8，即－2的立方是________ －8的立方根是－2 33＝27，即3的立方是27 27的立方根是________ (－3)3＝－27，即－3的立方是－27 －27的立方根是______ 03＝0，即0的立方是0 0的立方根是________ 归纳：如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，记作＝x.立方和开立方互为________运算． 练1－1　【华师8上P5问题】要做一只容积为216 cm3的正方体纸盒，正方体的棱长是多少？ 练1－2　求下列各式的值： (1)－；　　　(2)； (3)－÷＋. 知识点2　立方根的性质 例2 探究 归纳 ＝＝________； ＝a(a为任意实数) ＝________； ＝＝________ ()3＝________； ()3＝a(a为任意实数) ()3＝________； ()3＝________ 练2－1　判断下列说法是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)±4是64的立方根．(　　) (2)－是－的立方根．(　　) (3)(－4)3的立方根是－4.(　　) 练2－2　求满足下列条件的x的值： (1)(x＋3)3＝－27；　　(2)3x3－81＝0. 知识点3　用计算器求立方根 例3　【华师8上P6例5】用计算器求下列各数的立方根： (1)1 331；　　　　　(2)9.263(精确到0.01)． 练3　用计算器计算：(精确到0.01) (1)；　　　　　(2). 例4　阅读理解，观察下列式子： ①＋＝1＋(－1)＝0；② ＋＝2＋(－2)＝0； ③＋＝3＋(－3)＝0；④＋＝4＋(－4)＝0…… (1)【观察与发现】根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式：__________________． (2)【分析与归纳】根据等式①②③④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______________，则＋＝0；反之也成立． (3)【拓展与应用】根据上述归纳的真命题，解答下列问题：若与的值互为相反数，且＋＝0，求3x＋y的值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．若＝－2，则b的值为(　　) A．8 B．－8 C．4 D．－4 2．已知≈1.738，≈8.067，则≈(　　) A．－17.38 B．－0.01738 C．－806.7 D．－0.08067 3．有这样一道题目：“已知＝x－1，求x的值．”甲、乙二人的说法如下： 甲：x的值是1；乙：甲考虑得不全面，x还有另一个值． 则下列判断正确的是(　　) A．甲说得对，x的值就是1 B．乙说得对，x的另一个值是0 C．乙说得对，x的另一个值是－1 D．二人说得都不对，x应有3个不同的值 4．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一张长方形纸板的面积为162 cm2. (1)求正方形纸板的边长； (2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343 cm3的正方体无盖纸盒，请你判断该纸板是否够用？若够用，求剩余的纸板的面积；若不够用， 求缺少的纸板的面积． 第11章　数的开方 11.2　实　数 第1课时　实数及其相关概念 学习目标 理解无理数与实数的概念，体会实数与数轴上的点是一一对应的关系， 会求一个实数的相反数与绝对值. 知识点1　实数及其分类 例1　把下列各数填在相应的图形中． －0.6，2.，－5，，，－，π，，0，2.101 001 000 1…(从左到右相邻两个1之间0的个数逐次加1)． 归纳： 练1　因为＝1.414 213 562…是____________小数，所以是无理数，因为有理数与无理数统称实数，所以也是________． 常考的无理数包含以下三类： ①如：0.101 001 000 1…(从左到右相邻两个1之间0的个数逐次加1)； ②含π的数，如：π，π－1，； ③开方开不尽的数，如：，. 知识点2　实数与数轴 例2　如图，面积为2的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为0，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴于点E(点E在点A右侧)，则点E所表示的数为________． 归纳：每一个无理数都可以用数轴上的点来表示，实数与数轴上的点是一一对应的关系． 练2－1　若将三个数－，，表示在如图所示的数轴上，则被墨迹覆盖的数是三个数中的________． 练2－2　估计的值在(　　) A．1和2之间　　　B．2和3之间 C．3和4之间　　　D．4和5之间 知识点3　实数的相反数和绝对值 例3　分别求下列各数的相反数和绝对值： (1)－；　　(2)－；　　(3)π－3. 练3　如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示－，设点B所表示的数为m. (1)实数m的值是________；归纳：实数a的相反数是－a，|a|＝ 思考：求实数的相反数及绝对值与求有理数的相反数及绝对值的方法一样吗？ (2)|m＋1|＋|m－1|＝________； (3)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c，d，且|2c＋d|与互为相反数，求C，D两点相距多少个单位长度． 1．在实数0、π、、、－中，无理数的个数为(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法：①有理数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③负数没有立方根；④16的平方根是±4，用式子表示是＝±4；⑤某数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0.其中错误的有(　　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．实数2－________0(填“>”“<”或“＝”)；2－的相反数是________，绝对值是________． 4．已知a，b为实数，下列说法：①若ab<0，且a，b互为相反数，则＝－1；②若a＋b<0，ab>0，则|2a＋3b|＝－2a－3b；③若|a－b|＋a－b＝0，则b>a；④若|a|>|b|，则(a＋b)(a－b)是负数，其中正确的是________． 5．我们知道每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来．请在如图所示的数轴上画出表示的点A.若数轴上表示3的点是点B，A是线段BC的中点，求数轴上点C表示的数． 第11章　数的开方 11.2　实　数 第2课时　实数的运算 学习目标 理解实数运算法则，会进行实数的大小比较及运算. 知识点1　实数的大小比较 例1－1　【华师8上P10例1】试比较＋与π的大小． 例1－2　用作差法比较－1和2－的大小． 归纳：常见的比较实数大小的方法有：估算法、分析法、作差法、特殊值法、数形结合法． 练1－1　比较下列各组数的大小： (1)与；(2)与0.5； 练1－2　在数轴上表示下列各数，并用“<”连接起来． －2，|－3.5|，，. 知识点2　实数的运算 例2　【华师8上P10例2】计算：－.(精确到0.01) 练2　计算：(1)＋－|1－|； (2)－×. 例3　[泉州月考]如果一个两位数a的个位数字不是零，且个位数字和十位数字互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”．定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为ω(a)，例如a＝13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和为13＋31＝44，和与11的商为44÷11＝4，所以ω(13)＝4.根据以上定义，回答下列问题： (1)ω(25)＝____________； (2)若一个“跟斗数”b的十位数字为k，个位数字为2(k＋1)，且ω(b)＝8，求“跟斗数”b的值； (3)若m，n都是“跟斗数”，且m＋n＝100，则ω(m)＋ω(n)是否为定值？若是，请求出该值，若不是，请说明理由． 1．在实数－2，－，－，0中，最小的是(　　) A．－2 B．－ C．－ D．0 2．下列整数中，比大且比小的是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．数轴上点A表示的数是1，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是________． 4．计算：(1)－＋|1－|；　　　　　(2)＋－. 5．阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，将任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若a－b>0，则a>b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b<0，则a<b.上面的规律反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学交流，验证了他发现的规律是正确的． 参考小明发现的规律，解决问题： (1)比较大小：3＋____＋；(填“<”“＝”或“>”) (2)已知x＋2y－2＝0，且x是正数，若A＝5xy＋y＋1，B＝5xy＋2y，试比较A和B的大小． 章末复习　 第11章数的开方 请将下面的思维导图补充完整． 数轴是学习实数的重要工具，任何实数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题． 问题1　已知五个实数：π，－3.5，，－，4.其中四个数已经在数轴上分别用点A，B，C，D表示出来，如图． (1)点A表示数________；点B表示数________；点D表示数________． (2)①用圆规在数轴上标注点M表示.(提示：注意观察正方形EFGH的面积) ②将上列五个数按从小到大的顺序用“<”连接：______________________． (3)将上列各数分别填在相应的横线上： 无理数：__________________________________； 负数：__________________________________． (4)点M沿数轴向左平移2个单位长度到达点N，设点N所表示的数为n. ①实数n的值是________； ②在数轴上有一点I表示的是实数i，若NI＝2AD，求实数i的值． 问题2　如图，已知a、b、c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数，其中a是4的一个平方根，b是－27的立方根． 回答以下问题： (1)a＝________，b＝________，若c是1－的相反数，则c＝________，c的整数部分为______，c的小数部分为________．求c＋|a－b|－()3的值． (2)在数轴上另有两点M、N，表示的实数分别为m、n，且|2m＋n|与互为相反数，求3m－2n的平方根、算术平方根和立方根． 第12章　整式的乘除 12.1 幂的运算 1. 同底数幂的乘法 学习目标 理解同底数幂的乘法法则，会运用同底数幂的乘法法则计算并解决一些实际问题. 知识点1　同底数幂的乘法法则 例1　 (1)102×103＝(10×10)×(10×10×10)＝________； (2)a3·a4＝(a·a·a)·(a·a·a·a)＝________． 归纳：同底数幂相乘，底数________，指数________． 即am·an＝a________(m，n都是正整数)． 练1　试验证同底数幂的乘法法则： am·an＝am＋n(m、n为正整数)． 例2－1　【华师8上P18例1改编】计算： (1)103×104＝________；　(2)a·a3＝________． 例2－2　 (1)计算：23×8×16×32；(用幂的形式表示) (2)将23＋23＋23＋23写成底数是2的幂的形式； (3)计算：－b2·(－b)2·(－b3)． 练2　计算： (1)－22×(－2)3＝________； (2)－32×(－3)3×(－3)2＝________； (3)(x－y)3·(y－x)2＝________； (4)(m－n)3·(n－m)2·(n－m)4＝________________．(结果用幂的形式表示) 例3　已知am－1·a2＝a7，求m的值． 练3　若(x－y)2·(x－y)p·(x－y)5＝(x－y)2 024，求p的值． 知识点2　同底数幂乘法法则的逆用 例4　已知xm＝5，xn＝6，求xm＋n的值． 练4　若3x＋2＋3x＋1＝108，求x的值． 例5　先计算，然后根据计算结果回答问题． (1)计算：①(1×102)×(2×104)＝________；②(2×104)×(3×107)＝________； ③(3×107)×(4×104)＝________；④(4×105)×(5×1010)＝________． (2)已知式子(a×10n)×(b×10m)＝c×10p成立，其中a，b，c均为大于或等于1且小于10的数，m，n，p均为正整数，你能说出m，n，p之间存在的等量关系吗？ 1．下列计算中，运算正确的是(　　) A．5x3－x3＝x B．3m×2n＝6m＋n C．am＋an＝am＋n D．xm＋1·xm＋2＝x2m＋3 2．若3m＝a，3n＝b，m，n为正整数，则3m＋n＝________． 3．下列各式正确吗？不正确的请加以改正． (1)b5·b5＝2b5；(2)b4＋b6＝b10；(3)－x3·(－x)4＝(－x)7；(4)－x2·(－x)4＝(－x)6； (5)(－a)m(－a)m＋1＝a2m＋1(m为正整数)． 4．如果x、y是正整数，且2x×2y＝32. (1)求满足条件的x、y共有多少对； (2)根据条件计算2x－1×2y＋1的结果． 第12章　整式的乘除 12.1 幂的运算 2.幂的乘方 学习目标 理解幂的乘方法则，会利用法则进行计算，灵活运用法则解决一些实际问题. 知识点1　幂的乘方 例1　【华师8上P19试一试改编】 (1)(23)2＝23×23＝______； (52)3＝____________＝______； (2)(a3)4＝a3·a3·a3·a3＝________． 归纳：幂的乘方，底数________，指数________． 即(am)n＝a______(m，n都是正整数)． 例2　计算： (1)(103)5＝________；(2)(b5)4＝________； (3)(a3)x＝________；(4)＝________； (5)－(x3)m＝________；(6)[(－x)m]n＝________． 例3　计算： (1)(x3)4·(x6)2；　　(2)2(x3)4＋(x6)2. 练1　【华师8上P19概括改编】试根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则验证： (am)n＝amn(m、n为正整数)． 练2　计算： (1)(－24)3＝________； (2)(－23)4＝________； (3)[(x2)3]5＝________； (4)[(x＋y)2]4＝________． 练3　计算： (1)3(a2)4·(a3)3－(－a)·(a4)4； (2)[(a＋b)2]3·[(a＋b)2]4. 知识点2　幂的乘方法则的逆用 例4　(1)若am＝2，则a3m＝________； (2)若am＝2，an＝3，求a2m＋n的值； (3)已知3m＝a，3n＝b，分别求3m＋n，33m＋4n，33m＋34n的值． 练4　若x＝5m－3，y＝－25m，用含x的代数式表示y. 例5　阅读下列材料，并补充完整，然后解答问题． 试比较355，444，533的大小． 解：355＝311×5＝(35)11＝________11，同理，444＝________11，533＝________11. 因为当底数大于1，指数大于1且相同时，底数越大，幂就越大．所以________＜________＜________． (1)请利用上述解题思路比较2125，3100，475的大小． (2)已知a，b为正数，且a2＝2，b3＝3，试比较a，b的大小． 1．下列运算正确的是(　　) A．a3＋a3＝a6 B．a2·a3＝a6 C．(a3)2＝a5 D．(a2)4＝a8 2．a10可以写为(　　) A．a5·a2 B．(a5)2 C．a5＋a5 D．(a5)5 3．(1)已知2m＝3，2n＝5，则23m＋2n的值为________；(2)已知2×8x×16＝223，则x的值为________． 4．计算：(1)a2·a4＋(a3)2＋5a6；　　(2)[(a－b)3]2－[(b－a)2]3. 5．已知a2n＝4，求a3n－(a3)2n的值． 第12章　整式的乘除 12.1 幂的运算 3. 积的乘方 学习目标 理解积的乘方法则，会用法则进行计算，灵活运用幂的运算性质公式解决问题. 知识点1　积的乘方 例1　计算： 22×32＝________； (2×3)2＝________． 发现：(2×3)2________22×32. 归纳：积的乘方等于________， 即：(ab)n＝________(n为正整数)． 例2　【华师8上P21例3改编】计算： (1)(2b)3＝23·b3＝________； (2)(2a3)2＝________＝________； (3)(－a)3＝(－1)3·a3＝________； (4)(－3x)4＝________＝________． 例3　计算： (1)(4x3)2·；　　(2)(－x2)3·(－x3)2. 练1　【华师8上P21概括改编】试说明：(ab)n＝anbn. 解：(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)______个ab ＝(a·a·…·a)______个a·(b·b·…·b)______个b ＝anbn. 练2　计算： (1)(－xy)4；　　　(2)(－2a2b3)3； (3)(－3×102)3; (4)[－3a2(m＋n)3]2. 练3　计算： (1)(－2a2b3)4＋(－a)8·(2b4)3； (2)(4×105)3×. 知识点2　积的乘方的逆用 例4　计算： (1)(－2)2 024×；　　　(2)×161 012. 练4　计算：(－0.125)15×(215)3＋×. 例5　若代数式3(mx2＋x－y)－2(3x2－3nx＋y2)的值与x的取值无关， 求m2 023n2 024的值． 1．计算(－2m3n2)3的结果是(　　) A．－6m3n2 B．－6m9n6 C．－8m6n5 D．－8m9n6 2.×(－8)2 023＝(　　) A．－1 B．－ C. D．1 3．计算：(1)a3·a5＋(a2)4＋(－2a4)2；　　　　(2)0.256×212－×(－3)5. 4．一个正方体的棱长为3×103 mm，求它的底面周长和体积． 5．已知2m＝a，2n＝b，3m＝c，请用含a，b，c的式子表示下列代数式： (1)2m＋n；　　　(2)42m＋3n；　　　(3)36m. 第12章　整式的乘除 12.1 幂的运算 4. 同底数幂的除法 学习目标 理解同底数幂的除法的法则，能运用法则进行计算，能逆用同底数幂的除法法则解决问题. 知识点1　同底数幂的除法法则 例1　 同底数幂相乘 同底数幂相除 举例 ①106×102＝________； ②x5·x2＝________ ①106÷102＝________； ②x5÷x2＝________ 法则 底数不变，指数________ 底数不变，指数________ 公式 am·an＝________(m，n都是正整数). am÷an＝________(a≠0，m≥n且m，n为正整数) 例2　计算： (1)－x11÷(－x)6·(－x)5； (2)(x－2y)4÷(2y－x)2÷(x－2y)； (3)a4÷a2＋a·a－(3a)2. 练1－1　【华师8上P22试一试改编】计算： (1)25÷22＝________； (2)107÷103＝________； (3)a7÷a3＝________(a≠0)； (4)(－a)10÷(－a)3＝________； (5)(2a)7÷(2a)4＝________． 练1－2　计算： (1)x7÷x2÷x3＝________＝________； (2)(ab)5÷ab＝________＝________； (3)(x2)3÷x5＝________＝________； (4)x2m＋2÷x2＝________． 练2－1　若m，n为正整数，(－x2)2÷xm÷xn＝x，求m，n的值． 练2－2　已知2x－3y－2＝0，求9x÷27y的值． 归纳：幂相等，底数相等，则指数必相等． 知识点2　同底数幂的除法法则的逆用 例3　已知ax＝－2，ay＝3，求a3x－2y的值． 练3　已知3m＝4，3n＝6，求92m＋n÷27m＋n的值． 1．计算a6÷a3的结果是(　　) A．a9 B．a18 C．a3 D．a2 2．若am＝3，an＝，则a2m－n的值是(　　) A．6 B．8 C．11 D．18 3．计算： (1)(－ab)7÷(－ab)2÷(－ab)2；　　(2)(m4)2÷m3；　　(3)(－x2)·x6÷(－x)4. 4．先化简，再求值： (x－y)6÷[(y－x)2]2÷(x－y)，其中x＝2，y＝－1. 5．将一些长为1.5×102 cm，宽为1.2×102 cm，高为0.8×102 cm的大理石运往某地用以建设革命历史博物馆．求每块大理石的体积．(结果用科学记数法表示) 第12章　整式的乘除 12.2 整式的乘法 1. 单项式与单项式相乘 学习目标 理解并掌握单项式相乘的法则，会进行单项式与单项式相乘的运算. 知识点1　单项式与单项式相乘的法则 例1　【华师8上P25试一试及例1改编】计算： (1)(2×103)×(5×102)；　(2)2x3·5x2； (3)3x2y·(－2xy3); (4)(－5a2b3)·(－4b2c)； (5)(－x2y)3·(－2xy3)2. 归纳：单项式与单项式相乘，只要将它们的________、________分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式． 练1　计算： (1)(－2a2b)2··a3c3； (2)··ab2c； (3)··12a3b； (4)[3(x＋y)2·a2]·[－2(x＋y)·ab3](把x＋y作为整体看作一个因式的底数)． 知识点2　单项式与单项式相乘法则的灵活运用 例2　小杨为一个长方形娱乐场所提供了如图所示的设计方案，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是绿地．这个娱乐场所的长与宽之间满足a＝b，而小杨设计的长方形游泳区的长和宽分别为m和n，其中m＝a，n＝b，用含a的代数式表示绿地的面积为________． 练2　计算变压器铁芯片(图中阴影部分)的面积．(图中长度单位：cm) 例3　(1)已知－2x3m＋1y2n与4xn－2y6－m的积和－4x4y2是同类项，求m，n的值； (2)已知单项式－axby＋8与单项式4a2yb3x－y的和为单项式，求这两个单项式的积． 1．化简(－3x2)·2x3的结果是(　　) A．－6x5 B．－3x5 C．2x5 D．6x5 2．在下列各式中，应填入“(－y)”的是(　　) A．－y3·________＝－y4 B．－2y3·________＝2y4 C．(－2y)3·________＝－8y4 D．(－y)12·________＝－3y13 3．若长方形的宽是a×103，长是宽的2倍，则长方形的面积为________． 4．计算： (1)4y·(－2xy2)＝________；(2)·(－4x)＝________； (3)(3m2)·(－2m3)2＝________；(4)(－ab2c3)2·(－a2b)3＝________． 5．已知2x3y2·(－3xmy3)·5x2yn＝－30x7y8，求m＋n的值． 6．将一个长为2×103 dm，宽为4×102 dm，高为8×10 dm的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，正好装满，请求出这个正方体贮水池的棱长． 第12章　整式的乘除 12.2 整式的乘法 2.单项式与多项式相乘 学习目标 1.理解单项式与多项式相乘的法则. 2.会进行单项式乘以多项式的混合运算. 知识点1　单项式与多项式相乘 例1　(1)计算：2(x－y)＝________； m(a＋b＋c)＝________． (2)你能将式子m(a＋b＋c)算出的结果用长方形的面积验证吗？(仅画出长方形) 归纳：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的________，再把所得的积相加． 例2　计算： (1)·ab； (2)(－4xy)2－12y·. 练1　【华师8上P27例2】 计算：(－2a2)·(3ab2－5ab3)． 练2　 (1)【华师8上P27练习T2】化简： x(x2－1)＋2x2(x＋1)－3x(2x－5)； (2)先化简，再求值：x(x－3)＋6(x2＋x－1)，其中x＝1. 知识点2　单项式与多项式相乘的灵活运用 例3　一个长方体的长、宽、高分别为3a－4，2a，a，求它的体积． 练3　如图所示，房子的主人打算把卧室铺上地板，卧室以外的部分都铺上地砖，需要多少平方米的地砖？如果这种地砖的价格为a元/m2，地板的价格为(a－10)元/m2，那么购买地板和地砖共需要多少元？ 1．计算(－12a)的结果是(　　) A．－24a3＋8a2 B．－24a3－8a2－10a C．－24a3＋8a2－10a D．－24a2＋8a＋10a 2．代数式yz(xz＋2)－2y(3xz2＋z＋x)＋5xyz2的值(　　) A．只与x、z有关 B．与x、y、z都有关 C．只与x、y有关 D．与x、y、z都无关 3．某学校要新建一座教学楼，量得地基为长方形，长为3a2m，宽为(2a＋3)m，当a＝3时，地基的面积是________m2. 4．【华师8上P27练习T1改编】计算： (1)3x3y·(2xy2－3xy)；　　(2)2x·(3x2－xy＋y2)；　　(3)(－4x)·(2x2＋3x－1)． 5．如图所示，边长分别为a和b的两个正方形拼接在一起，求图中阴影部分的面积． 第12章　整式的乘除 12.2 整式的乘法 3.多项式与多项式相乘 学习目标 1.理解多项式与多项式相乘的法则，熟练运用法则进行计算并解决问题. 2.理解多项式与多项式相乘的算法，体会化归思想. 知识点1　多项式与多项式相乘的法则 例1　如图，长方形ABCD的宽为m＋n，长为______，面积为______________．另外，长方形ABCD分为4个面积分别为ma，mb，________，________的小长方形，由此可得(m＋n)(a＋b)＝________________． 归纳：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的________乘以另一个多项式的________，再把所得的积相加． 例2　计算： (1)(x＋2)(x＋3)；　　(2)(2x＋3y)(3x－2y)； (3)(－2m－1)(3m－2)；　　(4)(x－2y)2； (5)(2m2＋3m). 练1　(1)试用换元法验证多项式与多项式相乘的法则：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb. (2)试说明：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab. 练2　(1)化简求值：(x＋2y)(2x＋y)－(3x－y)(x＋2y)，其中x＝3，y＝. (2)已知a，b均为整数，且(x＋a)(x＋b)＝x2－10x＋16，求3a－2ab＋3b的值． 知识点2　多项式与多项式相乘的法则的灵活运用 例3　如图，某小区内有一块长为(3a－b)m、宽为(2a＋b)m的长方形地块，物业人员计划在中间留一块边长为(a＋b)m的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化． (1)求绿化部分的面积(用含a、b的式子表示)； (2)当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积． 练3　甲、乙两个长方形的各边长如图所示(m为正整数)，其面积分别为S1，S2. (1)填空：S1－S2＝________(用含m的代数式表示)； (2)一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．设该正方形的边长为x，求x的值．(用含m的代数式表示) 1．如果(x＋m)(x－1)＝x2－nx－6，那么m、n的值分别是(　　) A．m＝6，n＝5 B．m＝－6，n＝－5 C．m＝－6，n＝5 D．m＝6，n＝－5 2．如果(2x＋a)(x＋4)的乘积中不含x的一次项，则a的值是(　　) A．8 B．4 C．－8 D．－4 3．若a－b＝3，ab＝4，则(a－2)(b＋2)的值为________． 4．计算： (1)(5x＋2y)(3x－y)；　 (2)(2a－5b)·(3a2－2ab＋b2)；　 (3)(a－b)(a2－ab＋b2)＋ab(b－a)． 5．如图所示，有一块长和宽分别为(m＋3n)m和(2m＋n)m的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为(m＋2n)m，宽为(m＋n)m的游泳池，剩余部分修建成休息区域． (1)请用含m和n的代数式表示休息区域的面积； (2)若m＝10，n＝20，求休息区域的面积． 第12章　整式的乘除 12.3 乘法公式 1. 两数和乘以这两数的差 学习目标 理解平方差公式的意义，掌握其结构特征，会用几何图形说明公式的意义，能运用平方差公式进行计算并解决问题 知识点1　平方差公式 例1　(1)计算： ①(x＋3)(x－3)；　　　②(a＋b)(a－b)． (2)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝______，即两数和与这两数差的积等于________________． (3)用等式表示下图中图形面积的运算． 例2　【华师8上P31例1】计算： (1)(1＋2c)(1－2c)；　　(2)(－2x－y)(2x－y)． 例3　计算： (1)1 998×2 002；　　(2)499×501＋1. 练1－1　填空： (1)(－2y－1)·__________＝1－4y2； (2)(5a－b)·__________＝25a2－b2； (3)(2＋m)(－2＋m)＝__________； (4)(y＋2x)(2x－y)＝________． 练1－2　下列可以运用平方差公式运算的是(　　) ①(a＋b)(－b＋a)；②(－a＋b)(a－b)； ③(a＋b)(－a－b)；④(a－b)(－a－b)． A．①②　　B．②③　　C．①④　　D．②④ 练2　计算： (1)(－x－1)(1－x)； (2)(x－3)(x＋3)(x2＋9)． 归纳：平方差公式的特点：结果为“相同项”的平方减去“相反项”的平方． 练3－1　计算：59.8×60.2. 练3－2　在下面的等式中，A和B分别应代表什么式子？ (a＋b＋c)(a－b＋c)＝(A＋B)(A－B)． 知识点2　平方差公式的灵活运用 例4　王大爷家有一块边长为m m的正方形菜地，现需将其进行改造，具体措施为：南北向增加2 m，东西向减少2 m，改造后得到一块长方形菜地．求改造后的菜地与原来的菜地相比面积的变化情况． 练4－1　已知4a2－b2＝24，2a＋b＝6，则2a－b＝________． 练4－2　某社区组织老年人参加太极拳比赛，由于比赛场地的原因，要把每边x人的正方形队伍一边增加2人，另一边减少2人，实际参加比赛的人比原来__________(填“多”或“少”)__________人． 例5　若A＝(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)×(216＋1)，求A的末位数字． 1．如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是(　　) A．① B．② C．①②都能 D．①②都不能 2．若(a＋1)(a－1)＝35，则a的值为________． 3．如果用平方差公式计算(x＋2y＋1)(x－2y＋1)，那么先将原式变形为________________，再用平方差公式进行计算． 4．运用平方差公式计算： (1)；　　　　　　　(2)(－2y＋x)(－2y－x)； (3)(3x＋2)(3x－2)(9x2＋4)；　　　　(4)(x＋5)(x－5)＋(x－3)(3＋x)． 第12章　整式的乘除 12.3 乘法公式 2.两数和(差)的平方 学习目标 理解两数和(差)的平方的公式的意义，掌握其结构特征，会用几何图形说明公式的意义，灵活运用公式计算并解决实际问题. 知识点1　两数和(差)的平方公式 例1　(1)计算： ①(a＋b)(a＋b)；　　　②(a－b)(a－b)． (2)总结：通过(1)中的计算，得到公式： ①(a＋b)2＝__________； ②(a－b)2＝__________． 口诀：首平方＋尾平方，首尾乘积2倍放中央． (3)请你根据下图解释两数和的平方公式． 例2　计算： (1)；　　(2)(x＋5)2－(x－2)(x＋3)． 练1－1　请验证两数差的平方公式． 方法一： 方法二： 练1－2　计算： (1)(x＋1)2＝____________＝________； (2)(x－4)2＝____________＝________； (3)(－x＋5)2＝____________________＝________ ； (4)(－2x－y)2＝__________________＝________． 练2　计算： (1)(m＋2n－p)2； (2)(2a－b＋3)(2a－3＋b)． 知识点2　两数和(差)的平方公式的运用 例3　已知x＋y＝4，xy＝2，求下列各式的值． (1)x2＋y2；　　(2)3x2－xy＋3y2；　　(3)x－y. 练3　如图，已知边长为a的正方形中，阴影部分的面积为10，边长为a－b的正方形的周长为12，求a2＋b2－ab的值． 例4　求代数式x2＋4x－5的最小值． 解：x2＋4x－5＝x2＋4x＋4－4－5＝(x＋2)2－9， 因为(x＋2)2≥0，所以(x＋2)2－9≥－9，所以当x＋2＝0，即x＝－2时，代数式x2＋4x－5有最小值－9. 仿照以上方法，解答下列问题： (1)求代数式x2－3x＋2 024的最小值； (2)求代数式－2x2＋x＋3的最大值． 1．若多项式x2＋mx＋4是一个完全平方式，则m的值为(　　) A．4 B．－4 C．±4 D．0 2．若(7x－a)2＝49x2－bx＋9，则a＋b的值为(　　) A．±18 B．±24 C．±39 D．±45 3．已知x2－4xy＋8y2＋16y＋16＝0，则x2y－xy2的值为________． 4．若a－＝3，则a2＋＝________． 5．计算：(2x＋3)2－(x－3)(2x＋1)． 第12章　整式的乘除 12.4 整式的除法 1. 单项式除以单项式 学习目标 理解并掌握单项式除以单项式的法则，能正确地运用法则进行计算并解决问题. 单项式乘以单项式 单项式除以单项式 举例 2x3·3x2＝________ 6x5÷3x2＝________ 法则 单项式相乘，两个单项式的系数、同底数幂分别相乘；对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 知识点1　单项式除以单项式的法则 例1　【华师8上P39例1】计算： (1)24a3b2÷3ab2; 　　　　(2)－21a2b3c÷3ab； (3)(6xy2)2÷3xy. 练1　计算： (1)(－3.6×1010)÷(－2×102)2； (2)(x－y)4·(y－x)3÷(x－y)5. 知识点2　单项式除以单项式法则的灵活运用 例2　如图，有一张长方形纸板，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后把四周突出的部分折起，制成一个高为a的长方体形状的无盖纸盒，如果纸盒的容积为4a2b，底面的一边长为b，求原来长方形纸板的面积． 练2　已知A2·(－3x2y3)＝－12x6y5，求单项式A. 例3　先化简，再求值：(a－b)m(a－b)2[2(b－a)]3·[(b－a)5]2÷(a－b)m，其中a＝3，b＝4.[提示：可以将(a－b)看成一个整体] 1．若 □×3ab＝－27a2b3，则□内应填的代数式是(　　) A．9ab2 B．－9a2b C．－9ab2 D．9a2b 2．下列计算不正确的是(　　) A．(6a3b2)÷(3a)＝2a2b2 B．2x4÷x2＝2x2 C．a4b3÷ab＝a3b3 D．8a2÷a＝8a 3．(1)若8a3b2÷M＝2ab2，则M＝________； (2)已知4a3bm÷9anb2＝b2，则m＝________，n＝________． 4．若一个长方形的面积为a2bc，长为ac，则它的宽为________． 5．计算： (1)－m3n5÷mn4；　　　(2)a2b3c÷(－ab2)；　　　(3)－64x4y3÷(－2xy)3； (4)(－8.4×1010)÷(7×105)(结果用科学记数法表示)． 第12章　整式的乘除 12.4 整式的除法 2.多项式除以单项式 学习目标 理解多项式除以单项式的运算法则，会进行多项式除以单项式的运算，熟练运用法则解决问题. 多项式乘以单项式 多项式除以单项式 举例 (a＋b)·m＝________ (ma＋mb)÷m＝________ 法则 单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加 多项式除以单项式，先用这个多项式的________除以这个单项式，再把所得的商相加 知识点1　多项式除以单项式 例1　计算： (1)(6m2－9m)÷3m＝________； (2)(4x2y＋2xy2)÷2xy＝________； (3)(12a2－6ab)÷(－3a)＝________； (4)(4x3＋6x2－2x)÷(－2x)＝________． 例2　先化简，再求值： ÷，其中x＝－2，y＝. 练1　计算： [4y(2x－y)－2x(2x－y)]÷(2x－y)． 练2　下面是一道三项式除以单项式的计算题：(21x4y3＋□＋7x2y2)÷(－7x2y)＝△－5xy－y，其中的“□”“△”处被老师擦掉了，请求出“□”“ △”处的内容． 知识点2　多项式除以单项式的灵活运用 例3　已知长方形的面积为4a2－6ab＋2a，若它的一边长为2a，求它的周长． 练3　一个三角形的面积是3xy－4y，其一边长是2y，求这条边上的高． 例4　观察下列各式：(x2－1)÷(x－1)＝x＋1；(x3－1)÷(x－1)＝x2＋x＋1；(x4－1)÷(x－1)＝x3＋x2＋x＋1；(x5－1)÷(x－1)＝x4＋x3＋x2＋x＋1…… (1)试写出(xn－1)÷(x－1)(n为正整数，且n≥2)的结果； (2)根据(1)的结果计算：1＋2＋22＋23＋…＋262＋263. 1．计算(－4a3＋12a2b－8a3b2)÷(－4a2)的结果是(　　) A．a－3b＋2ab2 B．a2－3b＋2ab C．a＋2ab D．1.5a－3b 2．下列计算正确的是(　　) A．(10x3y4＋15x2y2)÷5xy2＝2x2y2＋3xy B．(9a2b4－12a3b5－3b4)÷(－3b4)＝3a2＋4a3b C．4(3x5y2＋7x3y6z)÷2x3y2＝6x2＋14y4z D．(－21a6b2＋28a4b2)÷(－7a2b2)＝3a4b2－4a2b2 3．某小区为了方便居民购物，计划在小区外的一块长方形空地上建一座大型超市，已知长方形空地的面积为(6y2＋y)m2，宽为y m，则这块空地的长为(　　) A．6xy m B．(6y＋1)m C．7y m D．(6xy3＋y2)m 4．已知▲·(－2xy)＝4x2y－6xy2，则▲＝(　　) A．－2x＋3y B．2x＋3y C．－2x－3y D．2x－3y 5．计算： (1)(9x2y－6xy2)÷3xy；　　　　　　　　　　(2)(x3－2x2y)÷(－x2)； (3)(9x3y2－6x2y＋3xy2)÷(－3xy); (4)÷. 6．已知一个等边三角形框架的面积是4a2－2a2b＋ab2，其一边上的高为2a，求该三角形框架的周长． 第12章　整式的乘除 12.5 因式分解 第1课时　提公因式法 学习目标 理解因式分解与整式乘法之间的关系，理解公因式的意义，会用提公因式法分解因式. 知识点1　因式分解 例1　【华师8上P43试一试改编】探究： (1)完成下列各题： ①m(a＋b＋c)＝______________；②(a＋b)(a－b)＝______；③(a＋b)2＝________． (2)根据(1)，完成下列各题： ①ma＋mb＋mc＝____________；②a2－b2＝__________； ③a2＋2ab＋b2＝________． (3)观察(1)和(2)中的等式，它们有什么不同点？又有什么联系？ 归纳：像这样，把一个多项式化为几个________的形式叫做这个多项式的因式分解，也叫把这个多项式分解因式． 练1－1　对于①x－3xy＝x(1－3y)， ②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3， 从左到右的变形，表述正确的是(　　) A．都是因式分解 B．都是整式乘法运算 C．①是因式分解，②是整式乘法运算 D．①是整式乘法运算，②是因式分解 练1－2　下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是(　　) A．5a(a－3b)＝5a2－15ab B．2x2－4x＋3＝2x(x－2)＋3 C．x＋1＝x D．3xy＋3x＝3x(y＋1) 知识点2　用提公因式法分解因式 例2　请找出下列多项式中各项的相同因式(公因式)： (1)3a＋3b的公因式是________； (2)24m2x－16n2x的公因式是________； (3)2x(a＋b)＋3y(a＋b)的公因式是________． 归纳：一个多项式的每一项都含有的因式叫公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式． 例3　【华师八上P44例1节选】把下列多项式分解因式： (1)－5a2＋25a； (2)3a2－9ab. 练2　填空： (1)多项式6x2＋2x的公因式是________； (2)多项式4xy－2x2y2的公因式是________． 找公因式的步骤： ①看系数，取各系数的最大公约数； ②看相同字母，取相同字母的最低次幂． 练3　分解因式： －3m2n3＋6mn2－3mn； 例4　思考：如何分解因式1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋x(1＋x)3＋x(1＋x)4＋x(1＋x)5? 探究方法：从易入手，发现规律，解决问题． 第一步：1＋x＋x(1＋x)＝(1＋x)·________＝________； 第二步：由第一步可得1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＝________＋x(1＋x)2＝(1＋x)2·__________＝________； 第三步：根据前两步的规律可得 1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋x(1＋x)3＋x(1＋x)4＋x(1＋x)5＝________． (1)上述探究方法中，第一步分解因式时使用的方法是______________； (2)请运用上述探究方法分解因式： 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n. 1．下列各式从左到右，属于因式分解的是(　　) A．2(x－1)＝2x－2 B．m(a＋b)＝ma＋mb C．(x＋3)(x－3)＝x2－9 D．ma＋mb＋mc＋md＝m(a＋b＋c＋d) 2．填空： (1)多项式4x2－8x3y的公因式是________；(2)多项式8a3b2－2a2b－4ab2c的公因式是________． 3．分解因式： (1)7x3－21x2；　　(2)6p(p＋q)－4q(p＋q)；　　(3)－3a2b＋6ab2－3ab. 4．下面有六张写着不同整式的卡牌，如图所示．从六张卡牌中选取三张用加号或减号连接组成一个多项式，使其恰好可以使用提公因式的方法进行因式分解，并将你所组成的多项式因式分解(写出2个即可)． 第12章　整式的乘除 12.5 因式分解 第2课时　公式法——平方差公式 学习目标 了解平方差公式的特点，会用平方差公式分解因式. 知识点1　运用平方差公式分解因式 例1　在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图①)，然后将剩余部分剪拼成一个长方形(如图②)． 观察并说明上述操作能验证的等式． 归纳：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积． 整式乘法(平方差公式)：(a＋b)(a－b)＝a2－b2； 因式分解：a2－b2＝______________． 练1－1　把下列各式因式分解： (1)x2－9＝x2－32＝____________； (2)x2－16＝________＝____________； (3)25－16x2＝52－(4x)2＝__________； (4)3x3－12xy2＝________________＝ ______________＝______________． 练1－2　将下列多项式进行因式分解： (1)81(a＋b)2－4(a－b)2； (2)x2－y2＋2x－2y. 归纳：能用平方差公式分解因式的条件：①二项式；②能化成两个平方相减的形式． 知识点2　平方差公式在因式分解中的应用 例2　如图，在一块边长为a的正方形纸板的四个角上各剪去一个边长为b的小正方形，做一个无盖长方体，长方体所用纸板(图中阴影部分)的面积是多少？(用含a，b的式子表示)当a＝22.4，b＝3.8时，该面积是多少？请利用因式分解的方法计算． 练2　(1)1993－199能被198整除吗？能被200整除吗？说明你的理由； (2)说明：当n为正整数时，n3－n的值必为6的倍数． 例3　完成下列各题： (1)已知x2－4y2＝12，x＋2y＝4，求x－2y的值； (2)计算：×××…×(1－)×. 1．将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是(　　) A．a(a－1) B．a(a－2) C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1) 2．若多项式x2－m可以用平方差公式分解因式，则m的值可以为(　　) A．－4 B．－6 C．9 D．－9 3．计算：a×1 0012－a×9992＝(　　) A．5 000a B．1 999a C．10 001a D．10 000a 4．把下列各式因式分解： (1)16x2－1＝____________＝______________；(2)36x2－y2＝____________＝______________． 5．因式分解： (1)4a2－b2；　　(2)x2(a－b)＋4y2(b－a)；　　 (3)m3n2－m5n2；　　(4)(3m＋2n)2－(2m－3n)2. 6．若20.82＝202＋a，求a的值． 第12章　整式的乘除 12.5 因式分解 第3课时　公式法——两数和(差)的平方公式 学习目标 了解两数和(差)的平方公式的特点，会运用两数和(差)的平方公式分解因式. 知识点1　两数和(差)的平方公式的特征 例1　填空： (1)整式乘法(两数和(差)的平方公式)： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； (a－b)2＝a2－2ab＋b2. 因式分解：a2＋2ab＋b2＝________； a2－2ab＋b2＝________． (2)把下列各式因式分解： ①m2＋2m＋1＝m2＋2·m·1＋12＝________； ②m2－10m＋25＝m2－2·m·5＋52＝________． 归纳：两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的和或差的平方． 例2　用两数差的平方公式说明(a－b)2与(b－a)2相等． 练1－1　把下列各式因式分解： (1)m2－10mn＋25n2＝__________________ ________________＝________； (2)4x2＋12xy＋9y2＝________________ ______________＝________． 练1－2　因式分解：3ax2＋6axy＋3ay2. 归纳：能用两数和(差)的平方公式分解因式的条件：①三项式；②首尾能化为平方，中间是首尾底数积的2倍． 练2　已知一个正方形的面积为25x2＋40xy＋16y2(x，y为正数)，请求出它的边长. 知识点2　利用两数和(差)的平方公式因式分解 例3　请用换元法对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解． 练3　已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数(a、b、c均不相同)，且满足a2＋b2－10a－12b＋61＝0，求△ABC的最大边c的值． 例4　阅读材料解题： (1)利用上述方法分解因式： ①x2＋7x＋10；　　　②x2＋5x－6. (2)若3x2＋px＋5可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数p的所有可能值． 1．能用两数和(差)的平方公式因式分解的是(　　) A．a2－4ab＋4b2 B．a2－4ab－4b2 C．－a2＋4ab＋4b2 D．a2－2ab＋4b2 2．分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是(　　) A．(x－1)(x－2) B．x2 C．(x＋1)2 D．(x－2)2 3．已知正方形的面积是(16－8x＋x2)cm2(x>4)，则正方形的边长是________． 4．把下列多项式因式分解： (1)a2＋12a＋36；　　(2)(x－1)(x＋3)＋4；　　(3)20ax2－45ay2；　(4)x2－5x＋6. 5．已知a－b＝8，ab＋c2－16c＋80＝0，求a＋b＋c的值． 章末复习 第12章　整式的乘除 请将下面的思维导图补充完整． 问题1　已知整式A＝[(2x3)2－3x2x4]÷x3，整式B＝(x＋1)(x－1)－(x－2)2＋1， 整式C＝x(x＋3)＋5，整式D＝ax－1. 回答以下问题： (1)填空：(2x3)2＝________，3x2x4＝________，则A＝________； (2)填空：(x＋1)(x－1)＝________，(x－2)2＝________，则B＝________； (3)因式分解：①B－4＝________；②A－xB＝________； (4)①C－D＝__________________，(x－2)(x－3)＝________； ②若C－D可以因式分解为(x－2)(x－3)，求a的值； ③若C＋D可以写成一个多项式的平方的形式，求a的值； ④若C·D的结果中不含x2项，求a的值． 问题2　 (1)已知m＝－1，n＝2，求[(m＋3n)(m－n)－(m－2n)2]÷n的值； (2)已知a＝2 023x＋2 022，b＝2 023x＋2 023，c＝2 023x＋2 024，求a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值． 问题3　拓展应用： (1)已知(x＋y－z)(x－y＋z)＝(A＋B)(A－B)，若A＝x，则B＝________； (2)已知x2＋y2＝(x＋y)2－P＝(x－y)2＋Q，则P＝Q＝________； (3)计算：(2a－b＋3)(2a－3＋b)． 第13章　全等三角形 13.1 命题、定理与证明 1. 命　题 学习目标 1.了解命题的概念，掌握命题的分类和组成. 2.能举出反例说明一个命题是假命题. 知识点1　命题 例1　下列语句中，是命题的打“√”，不是命题的打“×”． (1)三角形的内角和等于180°.(　　) (2)直角都相等．(　　) (3)动物都需要水．(　　) (4)两数相加．(　　) (5)你喜欢数学吗？(　　) (6)玫瑰花是动物．(　　) 归纳：判断某一件事情的语句是命题． 练1　【华师八上P55练习T1】把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并分别指出它们的条件和结论： (1)全等三角形的对应边相等； (2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 知识点2　真命题与假命题 例2　判断下列命题是真命题还是假命题． (1)相等的角是对顶角； (2)同位角相等，两直线平行； (3)两个锐角之和一定是钝角； (4)邻补角的平分线互相垂直． 练2　下列命题中，是真命题的是(　　) A．负数没有立方根 B．正数有两个立方根 C．0没有平方根 D．2是4的一个平方根 知识点3　举反例 例3　若通过举例说明“如果a＋b>0，那么ab>0”是假命题，则下列选项中可以作为例子的是(　　) A．a＝1，b＝3　　　　　　 B．a＝3，b＝－1 C．a＝－3，b＝－2 D．a＝－1，b＝－1 练3　用下列图形中的∠1和∠2能说明“同位角相等”是假命题的是(　　) ) 例4　如图，已知△ABC，E是BA延长线上一点．有下列三个论断：AD∥BC；∠B＝∠C；AD平分∠EAC. (1)请从这三个论断中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，构成一个真命题，并用“如果……，那么……”的形式写出来(写出所有的真命题)； (2)请你在上述真命题中选择一个进行说明． 1．下列句子是命题的是(　　) A．画∠AOB＝30° B．小于直角的角是锐角吗？ C．连结CD D．两点之间线段最短 2．下列说法中错误的是(　　) A．判断一件事情的语句是命题 B．判断一件事情为错误的语句也是命题 C．命题必须是一个完整的语句 D．一个完整的语句就是命题 3．命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是(　　) A．两条直线互相平行 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线平行于同一条直线 4．说明“若a是实数，则a2＞a”是假命题，可以举的反例是(　　) A．a＝－2 B．a＝－0.5 C．a＝0 D．a＝ 5．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式． (1)绝对值相等的两个数相等；　　　　(2)直角三角形的两个锐角互余． 6．判断下列命题的真假，如果是假命题，请举一个反例，真命题不需要举例． (1)钝角的补角是锐角； (2)一个角的余角小于这个角． 第13章　全等三角形 13.1 命题、定理与证明 2.定理与证明 学习目标 了解基本事实和定理的概念，了解证明的步骤，会用演绎推理进行简单的几何证明. 知识点1　基本事实与定理 例1　下列各项中，不属于定理的是(　　) A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．三角形内角和为180° 练1　下列命题中，既不是定理又不是基本事实的是(　　) A．两点之间，线段最短 B．等角的补角相等 C．任意多边形的外角和都为360° D．锐角小于它的余角 知识点2　证明 例2　在证明过程中，演绎推理的依据是(　　) A．基本事实、定理 B．定义、基本事实、定理 C．基本事实、定理、题设(已知条件) D．定义、基本事实、定理、题设(已知条件) 例3　如图，AB，CD相交于点O. 求证：∠AOC＝∠BOD. 练2　如图所示，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC＋∠AOB＝∠BOD＋∠AOB.这个推理的依据是(　　) A．等式的基本性质 B．等量减等量差相等 C．等角的余角相等 D．整体大于部分 练3　如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，求证：∠AOD＝∠BOC. 例4　证明：邻补角的角平分线互相垂直． 归纳：证明一个几何命题的步骤：(1)根据命题画图；(2)根据图形和命题写出已知和求证；(3)根据已知对求证进行证明． 1．下列说法正确的是(　　) A．命题是定理，定理是命题 B．命题不一定是定理，定理不一定是命题 C．真命题有可能是定理，假命题不可能是定理 D．定理可能是真命题，也可能是假命题 2．补充完成下列证明过程和推理的依据． 已知：如图，∠BEC＝∠B＋∠C.求证：AB∥CD. 证明：如图，延长BE交CD于点F， 则∠BEC＝∠EFC＋∠C.(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　) 又∵∠BEC＝∠B＋∠C，∴∠B＝________，(等量代换) ∴AB∥CD.(　　　　　　　　　　　　) 3．请写出你所知道的数学基本事实(至少写出2条)． 4．如图，已知四边形ABDC，E、F分别是CA、BD延长线上的点，连结EF.现有以下三个条件：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F.请你以其中两个作为已知条件，另一个作为结论构造命题． (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题是真命题的有________个，请选择一个给予证明． 第13章　全等三角形 13.2 三角形全等的判定 1. 全等三角形 2. 全等三角形的判定条件 学习目标 1.了解全等三角形的概念，理解和掌握全等三角形的性质. 2.了解全等三角形对应顶点、对应边和对应角的概念，能准确找到全等三角形的对应顶点、对应边和对应角. 知识点1　全等三角形的概念及其性质 例1　能够________的两个图形称为全等图形，能够________的两个三角形称为全等三角形(即形状、大小完全相同)．则下列每组图形中是全等图形的是______．(填序号) 练1　如图，△BCD与△BCA关于直线BC成轴对称，指出它们的对应顶点、对应边和对应角． 例2－1　如图，AC和BD相交于点O，△AOB≌△COD，完成填空． ∵△AOB≌△COD， ∴OA＝________，OB＝________，AB＝________， ∠A＝________，∠B＝________，∠AOB＝________． 例2－2　如图，若△ABD≌△ACE，则BD＝________，∠BDA＝________． 练2　如图，△ABC≌△ADE. 求证：∠1＝∠2. 知识点2　全等变换 例3　【人教8上P31思考改编】 (1)在图①中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF，则△ABC________△DEF； (2)在图②中，把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC，则△ABC________△DBC； (3)在图③中，把△ABC绕点A旋转，得到△ADE，则△ABC______△ADE. 　 练3　对于图形的全等，下列说法不正确的是(　　) A．一个图形经过旋转后得到的图形，与原来的图形全等 B．一个图形经过中心对称变换后得到的图形，与原来的图形全等 C．一个图形放大后得到的图形，与原来的图形全等 D．一个图形经过轴对称变换后得到的图形，与原来的图形全等知识点3　全等三角形的判定条件 例4　探究题． (1)如果两个三角形只有一组对应相等的元素，那么会出现几种可能的情况？这两个三角形全等吗？ (2)试一试：①画几个有一边长为1.5 cm的三角形，这样得到的三角形是否全等？ ②画几个有一个角为60°的三角形，这样得到的三角形是否全等？ 归纳：如果两个三角形只有一组对应相等的元素，那么这两个三角形不一定全等． 练4　用刻度尺和量角器画三角形，并和周围的同学比较，所画的图形是否一定全等． (1)三角形的一边长为1.7 cm，一个角为30°； (2)三角形的两个角分别为30°和70°. 1．如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△DEC，且B、C、D在同一直线上，若CE＝5，AC＝7，则BD的长为(　　) A．12 B．7 C．2 D．14 2．如图，AD∥BC，AD＝BC，AE⊥BC于点E，将△ABE沿AD方向平移，使点A与点D重合，点E平移至点F，则△ABE≌________，∠F＝________°. 3．如图，D是△ABC内一点，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转90°，点B旋转至点C，点D旋转至点E，则△ABD≌________，AD＝________，BD＝________． 4．如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠ACB＝113°，∠CAD＝24°，∠B＝30°，求∠DFB、∠DGB的度数． 第13章　全等三角形 13.2 三角形全等的判定 3.边角边 学习目标 1.会探索三角形全等判定条件的过程，知道分类的思想. 2.会运用S.A.S.证明两个三角形全等，并进行简单应用. 知识点1　全等三角形的判定：“边角边” 例1　全等三角形的判定： ____________分别相等的两个三角形全等(S.A.S.)． 几何语言： 如图，在△ABC和△DEF中， 已知____________，____________，____________， ∴△ABC________△DEF. 练1　如图，已知AB＝AD，AC平分∠BAD，则△ABC与△ADC全等吗？请说明理由． 例2　如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2.求证：∠B＝∠D. 练2　如图，点B、F、C、E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E.求证：∠A＝∠D. 知识点2　“边角边”的简单应用 例3　如图，A、B是池塘的两端且无法直接测量A、B两点之间的距离．请你应用所学数学知识设计一种方案，粗略测出A、B两点之间的距离． 练3　【北师7下P104练习T2改编】小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH＝∠FDH，ED＝FD，小明不用测量就能知道EH＝FH吗？ 1．如图，已知AB∥DE，AB＝DE，请你添加一个条件：________，使可以运用S.A.S.证明△ABC≌△DEF. 2．如图，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量AB＝9 cm，则容器的内径A′B′为(　　) A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm 3．如图，AD＝BC，AD∥BC，求证：△ABC≌△CDA. 4．【北师7下P104习题T4】如图，△EFG的三条边相等，三个内角也相等，且EH＝FI＝GJ，△EHJ，△FIH，△GJI全等吗？△HIJ的三边相等吗？ 第13章　全等三角形 13.2 三角形全等的判定 4. 角边角 第1课时　角边角 学习目标 1.探索并理解三角形全等的判定条件A.S.A.. 2.会运用A.S.A.证明两个三角形全等，并进行简单应用. 知识点1　全等三角形的判定：“角边角” 例1　全等三角形的判定： ________________分别相等的两个三角形全等(A.S.A.)． 几何语言： 如图，在△ABC和△DEF中， 已知____________，____________，____________， ∴△ABC________△DEF. 练1　【华师8上P67例3】如图，已知∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC.求证：△ABC≌△DCB，AB＝DC. 例2　如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD平分∠BAC. 求证：△ABD≌△ACD. 练2　如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF.求证：AB＝DE. 知识点2　“角边角”的简单应用 例3　如图，有两个四边形ABCD，EFGH，其中甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH.若∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，则下列叙述中正确的是(　　) A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等 C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等 练3　【华师8上P69练习T3】课间，小明和小聪在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高．这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不要争了，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长！”你知道数学老师为什么能从他们的影长相等就断定他们的身高相同吗？你能运用全等三角形的有关知识说明其中的道理吗？(假定太阳光线是平行的) 1．如图，BC∥EF，∠F＝∠A，AB＝FB，∠1＝∠2.若∠1＝55°，则∠C的度数为(　　) A．25° 　　 B．55° C．45° 　　 D．35° 2．【华师8上P68练习T1】如图，∠A＝∠B，CA＝CB，△CAD和△CBE全等吗？CD和CE相等吗？试说明理由． 3．杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻的平行线间的距离相等，AC，BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为D，已知AB＝18 m，请根据上述信息求标语CD的长度． 第13章　全等三角形 13.2 三角形全等的判定 4. 角边角 第2课时　角角边 学习目标 1.探索并理解三角形全等的判定条件A.A.S.. 2.会运用A.A.S.证明两个三角形全等，并进行简单应用. 知识点1　全等三角形的判定：“角角边” 例1　【人教8上P40例4改编】 (1)请运用“A.S.A.”证明： 已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF. (2)推论：______________________________的两个三角形全等(A.A.S.)． 几何语言：如图，在△ABC和△DEF中， 已知________，________，________， ∴△ABC________△DEF(A.A.S.)． 练1　如图，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠C，AD＝AE，求证：△ABD≌△ACE. 例2　【华师8上P69例4】如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E.求证：AD＝ED. 练2　【华师8上P69例5】求证：全等三角形对应边上的高相等． 已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC的BC边和△A′B′C′的B′C′边上的高．求证：AD＝A′D′. 知识点2　“角角边”的简单应用 例3　如图，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的铅直高度(即垂线段DB的长度)，小亮在D处立一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根细绳(细绳末端挂一重物，使细绳与水平线垂直)．细绳与斜坡AD交于点E，此时他测得AD＝CE，DE＝2 m，求DB的长度． 练3　如图，操场上有两根旗杆AC和BD，它们相距12 m，小强同学从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM＝DM，已知旗杆AC的高为3 m，小强同学行走的速度为0.5 m/s. (1)请你求出另一旗杆BD的高度； (2)小强从点M到达点A还需要多长时间？ 1．如图，在△ABC和△ABD中，∠CAB＝∠DAB，点A，B，E在同一条直线上，则添加以下条件后，仍然不能判定△ABC≌△ABD的是(　　) A．BC＝BD　　　　　 B．∠C＝∠D　　　　　 C．∠CBE＝∠DBE　　　　　 D．AC＝AD 2．如图，AB∥CF，E为DF的中点．若AB＝13 cm，CF＝7 cm，则BD＝________cm. 3．小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点置于地面上，AC∥BD.现将晒衣架完全张开稳固，扣链EF成一条直线，过点O作OG⊥BD于点G，经测量，OA＝OB，OG＝48 cm.若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到100 cm，则挂在衣架上后是否会碰到地面？ 第13章　全等三角形 13.2 三角形全等的判定 5.边边边 学习目标 1.探索并理解三角形全等的判定条件S.S.S.. 2.会运用S.S.S.证明两个三角形全等，并进行简单应用. 知识点1　全等三角形的判定：“边边边” 例1　【华师8上P72例6】如图，在四边形ABCD中，AD＝CB，AB＝CD，求证：∠B＝∠D. 练1　如图，点D，E在边BC上，AB＝AC，BE＝CD，AD＝AE，求证：△ABD≌△ACE. 知识点2　“边边边”的简单应用 例2　如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的： ①分别在BA和CA上取BE＝CG； ②在BC上取BD＝CF； ③量出DE的长为a m，FG的长为b m. 若a＝b，则说明∠B和∠C是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？ 练2　【人教8上P37练习T2】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．为什么？ 知识点3　判定两个三角形全等的四种方法的综合应用 例3　如图，已知AE∥DF，CE∥BF，AB＝CD. 求证：BE∥CF. 练3　如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B. (1)求证：△AED≌△EBC； (2)当AB＝6时，求CD的长． 1．如图，(1)连结AD后，当AB＝________，BD＝________时，可用“S.S.S.”推得△ABD≌△DCA； (2)连结BC后，当AB＝________，AC＝________时，可用“S.S.S.”推得△ABC≌△DCB. 2．如图，AB＝CB，AD＝CD，求证：∠A＝∠C. 3．如图，在一个风筝ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，分别在AB、AD的中点E、F处挂两根彩线EC、FC.求证：EC＝FC. 第13章　全等三角形 13.2 三角形全等的判定 6.斜边直角边 学习目标 1.探索并理解直角三角形全等的判定条件H.L.. 2.会运用H.L.证明两个直角三角形全等. 知识点1　全等三角形的判定“斜边直角边” 例1　________________分别相等的两个直角三角形全等(H.L.)． 几何语言：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， 已知______________，____________， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′. 练1　如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E、F，且DE＝DF.求证：∠B＝∠C. 知识点2　直角三角形全等的综合判定 例2　【华师8上P75练习T3】如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的跨度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠CBA与∠EFD的大小有什么关系？说说你的想法和理由． 练2　如图所示，C、D分别位于东西向公路上两点A、B的正北处与正南处，现有两车分别从E、F两处出发，以相同的速度沿直线行驶，相同时间后分别到达C、D两地，休整一段时间后又以原来的速度沿直线行驶，最终同时到达A、B两点，那么CE与DF平行吗？为什么？ 例3　如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O. (1)求证：Rt△ABC≌Rt△DEF； (2)若∠A＝50°，求∠BOF的度数. 1．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是(　　) A．斜边和一条直角边对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一个锐角和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是经过点A的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，AD＝CE，则∠BAC的度数是(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，连结AD，过点D作DE⊥AB于点E，且DE＝DC.若AB＝5，AC＝3，则EB＝________． 4．如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E与路段AB的距离相等吗？请说明理由． 第13章　全等三角形 13.3 等腰三角形 1. 等腰三角形的性质 学习目标 1.理解并掌握等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质解决有关问题. 2.掌握等边三角形的性质. 知识点1　等腰三角形的性质1：等边对等角 例1　探究题： (1)等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角______，简写成“____________”． 几何语言：如图，已知AB＝AC，∴__________． (2)下列各图中，已知AB＝AC，写出x的值． 练1　如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE. 知识点2　等腰三角形的性质2：“三线合一” 例2　【北师8下P4习题T3改编】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC＝80°，求∠BAD的度数． 练2　如图，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AC于点E，∠C＝60°，求∠ADE的度数． 例3　如图所示的三角测平架中，AB＝AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂．调整架身，使点A恰好在重锤线上．试问：此时BC是否正好处于水平位置？为什么？ 练3　如图是西安半坡博物馆屋顶的截面图，已经知道它的两边AB和AC是相等的．建筑工人师傅对这个建筑物做出了两个判断：①工人师傅在测量了∠B的度数是37°以后，并没有测量∠C，就说∠C的度数也是37°；②工人师傅要加固屋顶，他们通过测量找到了横梁BC的中点D，然后在AD两点之间钉上一根木桩，他们认为木桩是垂直于横梁的．请同学们想想，工人师傅的说法对吗？请说明理由． 知识点3　等边三角形的性质 例4　(1)若△ABC是等边三角形，则 ①AB＝________＝________； ②∠A＝________°，∠B＝________°， ∠C＝________°. (2)若等边三角形ABC的周长为15 cm，则AC＝________cm. 练4　如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E是AC上的一点，且AE＝AD，求∠EDC的度数． 1．等腰三角形的周长为20 cm，其中一边长为8 cm，那么腰长为(　　) A．8 cm B．10 cm C．6 cm或8 cm D．12 cm或8 cm 2．(1)等腰三角形的一个角为36°，它的另外两个角为________________； (2)等腰三角形的一个角为120°，它的另外两个角为________． 3．如图，点E在AD上，△ABC和△BDE都是等边三角形． (1)求证：△ABE≌△CBD； (2)猜想：BD、CD、AD三条线段之间的关系是__________，并说明理由． 第13章　全等三角形 13.3 等腰三角形 2. 等腰三角形的判定 学习目标 1.探索等腰三角形和等边三角形的判定条件. 2.综合运用等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定. 知识点1　等腰三角形的判定 例1　【华师8上P83例4】如图，AB∥CD，∠1＝∠2.求证：AB＝AC. 练1　【北师8下P9练习T1】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由． 知识点2　等边三角形的判定 例2　如图，∠A＝∠B，CE∥DA. (1)求证：CE＝CB. (2)需再增加什么条件，可使△BCE成为等边三角形？ 练2　如图，在等边三角形ABC中，点D是AB上一点，作AE∥BC，且AE＝BD.求证： (1)△BCD≌△ACE； (2)△CDE是等边三角形． 例3　【华师8上P84习题T3】有两个三角形，它们的三个角分别为：①20°，40°，120°；②20°，60°，100°.怎样把它们分成两个等腰三角形？画出图形试试看． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，∠DAC＝60°，AD＝2AC，AC＝2，则BD的长为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 2．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有(　　) A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 3．【人教8上P79练习T2】如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 4．如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，DE与边AB，AC分别交于点D，E，求证：△ADE是等边三角形． 第13章　全等三角形 13.4 尺规作图 1. 作一条线段等于已知线段 2. 作一个角等于已知角 学习目标 了解尺规作图的概念，会用尺规作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角. 知识点1　尺规作图的概念 例1　尺规作图是指(　　) A．用直尺规范作图 B．用刻度尺和圆规作图 C．用没有刻度的直尺和圆规作图 D．直尺和圆规是作图工具 练1　对下列关于尺规功能的说法判断正误． (1)直尺的功能是：在两点间连结一条线段，将线段向两方向延长；(　　) (2)直尺的功能是：可作平角和直角；(　　) (3)圆规的功能是：以任意长为半径，以任意点为圆心作一段弧．(　　) 知识点2　作一条线段等于已知线段 例2　如图，已知线段a，请用尺规作出AB，使AB＝a. 练2　如图，已知线段a和b，求作一线段，使它的长度等于a＋2b. 例3　如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使AB＝c，BC＝a，AC＝b. 练3　如图，已知线段a，b，求作△ABC，使AB＝a，BC＝2a，AC＝b. 知识点3　作一个角等于已知角 例4　如图，已知∠α，请用尺规作出∠AOB，使∠AOB＝∠α. 练4　如图，已知线段a，b，∠α，求作△ABC，使BC＝a，AB＝b，∠B＝∠α. 例5　已知一个三角形的两条边长分别是1 cm和2 cm，一个内角为40°. (1)请你借助如图所示的角画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与(1)中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你用尺规作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列作图属于尺规作图的是(　　) A．画线段MN＝3 cm B．用量角器画出∠AOB的平分线 C．用三角尺作过点A垂直于直线l的直线 D．已知∠α，用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB＝2∠α 2．如图，用尺规作出∠OBF＝∠AOB，作图痕迹是(　　) A．以点B为圆心，OD为半径的弧 B．以点B为圆心，DC为半径的弧 C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DC为半径的弧 3．如图，已知线段a，b，c，用圆规和直尺作一条线段，使它等于2b＋c－a. 4．已知：∠α，∠β和线段c，如图所示． 求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c. 第13章　全等三角形 13.4 尺规作图 3.作已知角的平分线 学习目标 会用尺规作已知角的平分线，理解作图的依据. 知识点1　作已知角的平分线 例1　如图，已知∠A，试作∠B＝∠A.(不写作法，保留作图痕迹) 练1　如图，已知△ABC，CA＝CB，∠ACD是△ABC的一个外角．用尺规作图法，求作直线CP，使CP∥AB.(保留作图痕迹，不写作法) 知识点2　作已知角的平分线的简单应用 例2　如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D.再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点E，作射线OE，连结CD，则下列说法错误的是(　　) A．射线OE是∠AOB的平分线 B．△COD是等腰三角形 C．C、D两点关于OE所在直线对称 D．O、E两点关于CD所在直线对称 练2　如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交边BC于点D，则∠ADB的度数为________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．如图，用尺规作已知角的平分线，其依据是构造两个三角形全等，它所用到的判定方法是(　　) A．S.A.S. B．A.S.A. C．A.A.S. D．S.S.S. 2．阅读以下作图步骤：①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC＝OD；②分别以C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点M；③作射线OM，连结CM，DM，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是(　　) A．∠1＝∠2且CM＝DM B．∠1＝∠3且CM＝DM C．∠1＝∠2且OD＝DM D．∠2＝∠3且OD＝DM 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，请你用尺规作图将△ABC分成两个全等的三角形，并说明这两个三角形全等的理由．(保留作图痕迹，不写作法) 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC.以点A为圆心，任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点，分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G.若AB＝8 cm，求△BFG的周长． 第13章　全等三角形 13.4 尺规作图 4.经过一已知点作已知直线的垂线 学习目标 利用尺规作图，会经过一点作已知直线的垂线. 知识点1　过一点作已知直线的垂线 例1　如图，已知直线AB和AB上一点C，用直尺和圆规准确地经过点C作出直线AB的垂线． 练1　【华师8上P89例题】利用直尺和圆规作一个等于45°的角． 例2　如图，已知直线l和点A，过点A作直线l的垂线AB，垂足为点B.(不写作法，保留作图痕迹) 练2　【华师8上P89练习T2】如图，作△ABC边BC上的高． 知识点2　过一点作已知直线的垂线的简单应用 例3　如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于AD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE，交AB于点F，则∠ACF的度数是________． 练3　如图所示，根据尺规作图的痕迹有下列说法：①CF是∠ACB的平分线；②AD是△ABC的边BC上的高；③CF是△ABC的边AB上的高；④BE是△ABC的边AC上的高．其中说法正确的为________．(填序号) 1．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为(　　) A．40° B．45° C．50° D．60° (第1题)　(第2题)　　(第3题) 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，下列结论一定正确的是(　　) A．BC＝EC B．BE＝EC C．BC＝BE D．AE＝EC 3．如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC＝90°，D是边BC的中点，分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连结BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A＝∠EBA；③EB平分∠AED；④ED∥AB.其中，一定正确的是__________．(填序号) 4．如图，已知△ABC，用尺规作图法在BC上作一点P，使得∠B＋∠PAB＝90°.(保留作图痕迹，不写作法) 5．如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺在图中的线段AB上作点Q，使PQ最短．(保留作图痕迹) 第13章　全等三角形 13.4 尺规作图 5.作已知线段的垂直平分线 学习目标 利用尺规作图，能作出已知线段的垂直平分线. 知识点1　作已知线段的垂直平分线 例1　如图，已知△ABC，用尺规作图的方法作AC的垂直平分线DE，交AB于点E，交AC于点D，连结CE.(保留作图痕迹，不写作法) 练1　下列尺规作图中，能确定AD是△ABC的中线的是(　　) 例2　【北师8下P25例3改编】如图，已知线段a和h. 求作：△ABC，使得AB＝AC，BC＝a，且边BC上的高AD＝h.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．) 练2　【北师8下P26习题T1】如图，已知线段a，求作以α为底边、以a为高的等腰三角形，这个等腰三角形有什么特征？ 知识点2　作已知线段的垂直平分线的简单应用 例3　如图，在△ABC中，用尺规作图，分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N.作直线MN交AC于点D，交BC于点E，连结AE，则下列结论不一定正确的是(　　) A．AB＝AE B．AD＝CD C．ED⊥AC D．∠ADE＝∠CDE 练3　如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，连结CD，则∠BCD的度数为________． 1．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于点C，D，连结AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是(　　) A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD 2．如图，在长方形ABCD中进行如下作图，依据尺规作图的痕迹，则∠α的余角等于________． 3．如图，在△ABC中，D为边AB上的点，且AD∶BD＝1∶3，求作点D.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 4．【福州期中】如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线． (1)在边AB上求作一点E，使得点E到A、D的距离相等，连结DE；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)所作的图中，求证：DE∥AC. 第13章　全等三角形 13.5 逆命题与逆定理 1. 互逆命题与互逆定理 学习目标 理解互逆命题和互逆定理的概念，能写出一个命题的逆命题并判定其真假，能判断一个定理的逆命题是不是逆定理. 知识点1　互逆命题 例1　写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假． (1)如果a＞0，b＞0，那么a＋b＞0. (2)直角三角形的两个锐角互余． 练1　分别写出符合下列要求的一个原命题及其逆命题． (1)原命题及其逆命题都是真命题． 原命题： 逆命题： (2)原命题是真命题，其逆命题是假命题． 原命题： 逆命题： 知识点2　互逆定理 例2　写出两对你熟悉的互逆定理． 归纳：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理． 注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理一定是真命题． 注意2：不是所有的定理都有逆定理． 练2－1　下列定理中，没有逆定理的是(　　) A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 练2－2　下列说法错误的是(　　) A．任何命题都有逆命题 B．真命题的逆命题不一定是正确的 C．任何定理都有逆定理 D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列命题的逆命题是真命题的是(　　) A．同位角相等 B．对顶角相等 C．等边对等角 D．全等三角形的面积相等 2．写出下列命题的条件和结论，并写出它们的逆命题： ①全等三角形的对应角相等． 条件是________________，结论是________________． 逆命题是______________________________________________________． ②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上． 条件是________________，结论是________________． 逆命题是__________________________________________________． 3．下列命题中，其逆命题成立的是____________．(填序号) ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等． 4．下列说法对吗？请说明理由． (1)每个定理都有逆定理； (2)每个命题都有逆命题； (3)假命题没有逆命题； (4)真命题的逆命题是真命题． 第13章　全等三角形 13.5 逆命题与逆定理 2.线段垂直平分线 学习目标 理解和掌握线段垂直平分线的性质定理和逆定理，并能运用它们进行证明和运算. 知识点1　线段垂直平分线的性质 例1　线段垂直平分线上的点到线段两端的距离________． 几何语言：如图， ∵CD是线段AB的垂直平分线， ∴__________． 已知： 求证： 证明： 练1　【北师8下P23随堂练习】已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点． 求证：∠ECF＝∠EDF. 例2　如图，AB＝AC，∠A＝50°，DE垂直平分AB，求∠DBC的大小． 练2　【北师8下P23习题T1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连结AF，求∠AFC的度数． 知识点2　线段垂直平分线的判定 例3　到线段两端距离相等的点在________________________． 几何语言：如图， ∵____________， ∴点P在AB的垂直平分线上． 已知：PA＝PB， 求证：点P在线段AB的垂直平分线上． 证明： 练3－1　如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD＋AD＝BC.求证：点D在AC的垂直平分线上． 练3－2　如图，AB＝AC，MB＝MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？请说明理由． 1．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝(　　) A．50° B．100° C．120° D．130° (第1题)　　　　(第2题) 2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　) A．AB与CD互相垂直平分 B．CD垂直平分AB C．AB垂直平分CD D．CD平分∠ACB 3．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连结BD. (1)求证：DB⊥BC； (2)若AC＝12，求DB的长． 第13章　全等三角形 13.5 逆命题与逆定理 3.角平分线 学习目标 理解和掌握角平分线的性质定理和它的逆定理，应用这两个定理解决一些简单的实际问题. 知识点1　角平分线的性质 例1　角平分线上的点到角两边的距离相等． 几何语言：如图， ∵________________，____________，____________， ∴____________． 练1　如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，且DE＝3 cm，BC＝8 cm，求BD的长． 例2　如图，E是∠AOB的平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为点C和点D. 求证：∠ECD＝∠EDC. 练2　如图，OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB于点D，BC⊥OA于点E. 求证：AC＝BC. 知识点2　角平分线的判定 例3　角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 已知：如图，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC. 求证：AP平分∠BAC. 证明： 练3　【华师8上P98练习T2】如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上． 例4　证明：三角形的三条角平分线交于一点． 已知： 求证： 证明： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于点E，若DC＝4，则DE＝(　　) A．3 B．5 C．4 D．6 (第1题)　　(第2题) 2．如图， OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为点A，B，连结AB，则下列结论中不一定成立的是(　　) A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP 3．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的________________的交点，到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的________________的交点． 4．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F. (1)若AD是∠BAC的平分线，求证：BE＝CF. (2)若BE＝CF，求证：AD平分∠BAC. 章末复习 第13章　全等三角形 请将下面的思维导图补充完整． 问题1　命题与证明 已知命题“全等三角形的对应边相等”． (1)这个命题是________(填“真”或“假”)命题； (2)它的逆命题是_________________________________________________； (3)逆命题是________(填“真”或“假”)命题．原命题和逆命题________(填“是”或“不是”)互逆命题，原命题和逆命题________(填“是”或“不是”)互逆定理． 问题2　全等图形的性质与判定 如图，已知AB∥CE，点D在CE上，∠BAC＋∠CDF＝180°. (1)若△ABC≌△DEF，则∠BAC＝________，∠ABC＝________，∠ACB＝________； AB＝________，BC＝________，AC＝________． (2)①若AC＝DF，要使△ABC≌△DEF，则需添加一个条件：___________________________________________________________； ②若∠BAC＝90°，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，则需添加一个条件：___________________________________________________________. (3)已知AB＝AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB. ①求证：△BOC是等腰三角形； ②连结AO并延长交BC于点M，说明AM与BC的位置关系，BM与MC的数量关系； ③若∠BAC＝60°，延长CO交AB于点N，连结MN，求证：△BMN为等边三角形． (4)已知△DEF，利用尺规作图． ①作出△D′E′F′，使得△DEF≌△D′E′F′，不写作法，保留作图痕迹．(线段D′E′已给出) ②在△DEF中，作∠FED处的外角的平分线，以及边EF的垂直平分线，垂足为点G，两线交于点P，连结PF，并过点P作DE的垂线交DE的延长线于点Q，求证：△PQE≌△PGF. 第14章　勾股定理 14.1 勾股定理 1. 直角三角形三边的关系 第1课时　勾股定理及其证明 学习目标 掌握勾股定理，理解勾股定理的一般探究方法. 知识点1　勾股定理 例1　探究题 活动一：若Rt△ABC的直角边分别为a，b，斜边为c，以Rt△ABC的三边为边长向外作三个正方形，如图①②，请填表． SA SB SC 发现 图① 4 9 SA＋SB＝________， 即________________ 图② 16 9 活动二：在如下方框内画一个直角三角形，再测量它的三条边的长度，看看三边长的平方之间有怎样的关系？ 发现：____________________． 练1－1　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，则AC2＋BC2＝(　　) A．4　　　　　　　B．8　　　 C．9　　　　　　　D．16 练1－2　补全下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度． 练1－3　图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为________． 归纳： 勾股定理：直角三角形两直角边的________等于__________．知识点2　勾股定理的证明 例2　据传，当年毕达哥拉斯借助如图所示的图形验证了勾股定理，你能说明其中的道理吗？ 练2　【华师8上P110改编】利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，人们称之为赵爽弦图．观察图形， 试说明：a2＋b2＝c2. 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，那么BC的长是(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 2．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，AH＝6，那么EF等于________． 3．以a，b为直角边，c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼在一起，使A，E，B三点在同一条直线上，请利用这个图形验证勾股定理． 4．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，△ABC的三个顶点均为格点． (1)求△ABC的周长； (2)仅用不带刻度的直尺作BD⊥AC，垂足为D，并简要说明你的作法和理由． 第14章　勾股定理 14.1 勾股定理 1. 直角三角形三边的关系 第2课时　直角三角形三边关系的应用 学习目标 掌握勾股定理的简单应用. 知识点1　勾股定理在几何中的应用 例1　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，求AB的长． 练1　【北师8上P4习题T4】如图，求等腰三角形ABC的面积． 例2　【华师8上P111例2】如图，Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2 cm，另一直角边BC长为6 cm，求AC的长． 练2　【华师8上P112练习T1】如图，小方格都是边长为1的正方形．求四边形ABCD的面积与周长．(精确到0.1) 知识点2　勾股定理在测量中的应用 例3　【华师8上P111例3改编】如图，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形．通过测量，得到AC的长为160 m，BC的长为128 m．问从点A穿过湖到点B有多远？ 练3　【华师8上P112练习T2】假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游．按照探宝图(如图)，他们在点A处登陆后先往东走8 km，又往北走2 km，遇到障碍后又往西走3 km，再折向北走到6 km处往东一拐，仅走1 km就找到了宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米？ 例4　在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知Rt△ABC的两直角边分别是6 cm，8 cm，则Rt△ABC的斜边上的高是(　　) A．4.8 cm B．2.4 cm C．48 cm D．10 cm 2．【北师8上P5例题】如图，我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶．他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400 m，10 s后，汽车与他相距500 m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？ 3．如图，高速公路上有A、B两点相距25 km，C、D为两村庄，已知DA＝10 km，CB＝15 km.DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到服务站E的距离相等，求AE的长． 第14章　勾股定理 14.1 勾股定理 2.直角三角形的判定 学习目标 了解直角三角形的判定条件，利用勾股定理的逆定理解决实际问题. 知识点1　勾股定理的逆定理 例1－1　【华师8上P113试一试】试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形： (1)a＝3, b＝4，c＝5；(2)a＝4，b＝6，c＝8； (3)a＝6，b＝8，c＝10. 例1－2　求证：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形． 已知：如图，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，a2＋b2＝c2. 求证：∠C＝90°. 证明： 归纳：勾股定理的逆定理的几何语言： 如图，∵a2＋b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形． 练1－1　如图，在△ABC中，已知AC＝5，BC＝12，AB＝13，求证：△ABC是直角三角形． 练1－2　【北师8上P9例题改编】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示． (1)这个零件符合要求吗？ (2)求图中四边形ABCD的面积． 知识点2　勾股数 例2－1　下列各组数是勾股数的是(　　) A．7，8，9　　　　　　 B．0.3，0.4，0.5 C．52，122，132 D．6，8，10 例2－2　下列是勾股数的有________(填序号)． ①3，4，5；②5，12，13；③9，40，41； ④13，14，15；⑤，，；⑥11，60，61. 归纳：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除非整数，再计算最大数的平方是否等于其他两数的平方和即可． 练2　我们知道3，4，5是一组勾股数，那么3k，4k，5k(k是正整数)也是一组勾股数吗？请说明理由．一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck(k是正整数)也是一组勾股数吗？请说明理由． 例3　已知a，b，c为△ABC的三边长，并且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状． 1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(　　) A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 2．若一个三角形的三边分别为1、、，则其面积为________． 3．请你写两个数，使得它们与8可以组成一组勾股数：________． 4．如图所示，有一块地ABCD，已知AD＝4 m，CD＝3 m，∠ADC＝90°，AB＝13 m，BC＝12 m，求这块地的面积． 第14章　勾股定理 14.1 勾股定理 3.反证法 学习目标 了解反证法的证明步骤，能够运用反证法证明一些问题. 知识点　反证法 例1　【华师8上P117练习T1改编】在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C. 证明：假设________，则________， 这与____________矛盾，∴假设不成立， ∴________________． 总结：反证法的步骤： ①假设结论的反面成立；②逻辑推理得出矛盾；③肯定原结论正确． 练1　用反证法证明“△ABC中至少有两个锐角”，第一步应为(　　) A．假设△ABC中至多有一个锐角 B．假设△ABC中有一个直角 C．假设△ABC中有两个直角 D．假设△ABC中有两个锐角 例2　【华师8上P116例5】 求证：两条直线相交只有一个交点． 已知：两条相交直线l1与l2. 求证：l1与l2只有一个交点． 练2　【华师8上P116例6】 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°. 已知：△ABC. 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 1．用反证法证明“若a2≠b2，则a ≠ b”的第一步是________________． 2．求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行线中的一条相交，那么和另一条也相交． 已知：如图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥l2，l3与l1相交于点P. 求证：l3与l2相交． 证明：假设______________，那么________．因为已知________，所以过直线l2外一点P，有两条直线与l2平行，这与“____________________________”矛盾，所以假设不成立，即求证的命题正确． 3．如图，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠C≠90°，请问结论a2＋b2≠c2成立吗？请说明理由． 4．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角． 第14章　勾股定理 14.2 勾股定理的应用 第1课时　勾股定理的应用(1) 学习目标 运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际应用问题. 知识点1　利用勾股定理求最短距离 例1　如图，在正方形ABCD中，边AB上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短，求EP＋BP的最短长度． 练1　如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长等于18 cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，那么蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 知识点2　勾股定理在生活中的应用 例2　【华师8上P121例2】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 m，宽1.6 m，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门(厂门上方为半圆形拱门)? 练2　【北师8上P13例题】如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE＝3 m，CD＝1 m，试求滑道AC的长． 本章总结 (1)勾股定理有两种考法：①已知任意两边求第三边； ②已知一边及另两边的数量关系，则要借助方程解答． (2)几何体中最短路径基本模型如下． 圆柱 长方体 图例 基本思路 将立体图形展开成平面图形→利用两点之间线段最短，确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解 1．【北师8上P14随堂练习】甲、乙两位探险者到沙漠进行探险．某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走.1 h后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙二人相距多远？ 2．如图，一架长2.5 m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，∠AOB＝90°，这时AO＝2.4 m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4 m到点C处，底端B到点D处，那么梯子底端B向外移了多少米？ 3．如图，长方体的长为4 cm，宽为2 cm，高为5 cm，若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长． 第14章　勾股定理 14.2 勾股定理的应用 第2课时　勾股定理的应用(2) 学习目标 能灵活运用勾股定理及其逆定理解决一些数学问题. 知识点1　网格作图与计算 例1　如图，每个小正方形的边长均为1. (1)求△ABC的各边长的平方； (2)△ABC是直角三角形吗？为什么？ 练1　如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，求证：∠BAC＝90°. 例2　如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请在给定网格中按下列要求画出图形： (1)从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点B在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为； (2)画出所有的以(1)中的AB为底边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数． 练2　如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)在图①中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图②中以格点为顶点画一个三角形，使得三角形的三边长分别为2，，； (3)如图③，点A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数． 知识点2　勾股定理及其逆定理的综合应用 例3　如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在边AB的中点C′处．若AB＝6，BC＝9，求BF的长． 练3　如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10.在边AC上取一点E，将△ABE沿BE折叠，使AB与直线BC重合，点A的对应点为点D，求CE的长． 1．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断∠B是否为直角，这样做的依据是(　　) A．勾股定理 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余 2．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形： (1)画出长为的线段AB； (2)画出一个腰长为、面积为3的等腰三角形DEF. 3．如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，BC＝16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，求重叠部分(阴影部分)的面积． 章末复习 第14章　勾股定理 思维导图 略． 大单元串联 解：(1)5组勾股数(答案不唯一)：3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25；8，15，17. 当每一组勾股数分别是a，b，c时，△ABC是直角三角形． (2)由题图可得正方形ACFD的面积＝四边形ABFE的面积＝Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和， 即S正方形ACFD＝S△BAE＋S△BFE，∴b2＝c2＋， 整理，得a2＋b2＝c2. (3)①如图，过点C作CD⊥AB于点D. ∵AC＝30 km，BC＝40 km，AB＝50 km， ∴易得AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，则AC·BC＝CD·AB， ∴30×40＝50×CD，∴CD＝＝24(km)． ∵以沙尘暴中心为圆心周围25 km以内为受影响区域， ∴城镇C会受到沙尘暴的影响． ②如图，在线段AB上点D的两侧各取一点E，F，使EC＝FC＝25 km，此时正好影响C城镇． 在Rt△CDE中，ED＝＝7 km， ∴易得EF＝14 km. ∵沙尘暴中心的移动速度为20 km/h， ∴沙尘暴影响该城镇持续的时间为14÷20＝0.7(h)． 第15章　数据的收集与表示 15.1 数据的收集 1. 数据有用吗 2. 数据的收集 学习目标 通过实际问题理解频数与频率的概念，了解收集数据的方法和步骤，会分析数据并能根据数据进行合理的解释和推断. 知识点1　收集数据 例1　豌豆荚里豆子的粒数有规律吗？ (1)明确调查问题：完整的豌豆荚里通常会有几粒豆子； (2)确定调查对象：____________； (3)选择调查方法：打开每个豌豆荚，数清其中的豆子粒数，约定怎样成熟度的豆子才计数，如直径大于3 mm； (4)展开调查：数出每个豌豆荚中豆子的粒数； (5)记录结果：一名同学数数，一名同学记录，一名同学监督； (6)得出结论． 我们经常通过________、________等方式获得数据信息．当调查或试验项目很大，我们个人无法完成时，还可以通过查阅________、________或________的方式，获得数据信息． 练1　临近期末，想知道班里同学对已经学过的八年级数学各章节的掌握情况，以便老师更有针对性地复习，班委需对此进行调查，然后再加以总结，那么： (1)调查的问题是：__________________； (2)调查的对象是：__________________； (3)调查的方法是：__________________； (4)记录结果(用划记法记录)： 章节名称 记录 出现次数 数的开方 整式的乘除 全等三角形 勾股定理 数据的收集与表示 合计 例2　设计调查问卷时要注意(　　) ①问题应尽量简明； ②不要提问被调查者不愿意回答的问题； ③提问不能涉及提问者的个人观点； ④提供的选择答案要尽可能全面； ⑤问卷应简洁． A．①②④⑤ B．①③④⑤ C．①②③④⑤ D．①⑤ 练2　某电脑厂家为了安排台式电脑和手提电脑的生产比例，准备进行一次市场调查．调查员在调查问卷中设计了下面几个问题，你认为其中提问不合理的是(　　) A．你明年是否准备购买电脑？(1)是　(2)否 B．如果你明年购买电脑，打算买什么类型的？ (1)台式　　(2)手提 C．你喜欢哪―类型的电脑？(1)台式　(2)手提 D．你认为台式电脑是否应该被淘汰？ (1)是　　(2)否 知识点2　频数与频率 例3－1　根据班里同学对已学过的八年级数学各章节的掌握情况的数据，你能计算出“数的开方”，“整式的乘除”，“全等三角形”，“勾股定理”以及“数据的收集与表示”出现的频数和频率各是多少吗？ 例3－2　我们把每一组数的频数与数据总数的比叫做这一组数据的频率(relative frequency)．在“relative”中，字母“e”出现的频率是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 练3　将一组数据分为5个小组，第1～4小组的频数分别是12，10，8，6. (1)若这组数据的总数是50，求第5小组的频率； (2)若第1小组的频率是0.2，求第5小组的频数； (3)若第5小组的频率是0.1，求这组数据的总数． 归纳：频数是某个事件出现的次数：例如，在20个球里任意选出10个，出现了6次黄球，________就是黄球的频数．频率＝. 1．下列5个数：－， ，，，(－1)2 025中，无理数出现的频数是(　　) A．2 B．3 C．0.4 D．0.6 2．收集数据的方法是(　　) A．查资料 B．做试验 C．做调查 D．以上三者都是 3．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.2左右，则袋子中的红球大约有__________个． 4．放学时，门房老张在校门口观察了20 min，期间共有50辆车通过，其中汽车5辆，摩托车20辆，其他车25辆．在这段时间内，汽车通过的频数是________，摩托车通过的频率是________． 5．为满足学生锻炼身体的需求，学校将大批量添置运动器械，在购买之前对学生进行了调查，找出学生最喜欢的体育项目，然后按比例分配资金．在开始调查前应考虑好如下一些问题： (1)你要调查的内容是什么？ (2)你要调查哪些人？ (3)你用什么方法调查？ (4)你要向调查对象提什么问题？ 6．小李在家门口进行了一项社会调查，对某天从家门口经过的车辆进行记录，分析出本地车辆与外地车辆的数据，同时也对汽车牌照的尾号进行记录． (1)在这个过程中，他要收集哪些数据？ (2)请你设计出记录用的表格． 第15章　数据的收集与表示 15.2 数据的表示 1. 扇形统计图 学习目标 理解反映出来的整体与部分的关系，会制作扇形统计图，并会从扇形统计图中提取有用信息. 知识点1　扇形统计图的特点 例1　【华师8上P136问题1改编】根据如图信息，回答下列问题． 全体人群失去牙齿的原因扇形统计图 (1)图中各个扇形分别代表什么？ (2)人们失去牙齿最主要的原因是__________． (3)图中的所有百分比之和等于________． (4)各个扇形的圆心角度数之和等于________． 练1－1　在扇形统计图中，如果其中一个扇形的圆心角为108°，那么这个扇形所表示的量占总体的(　　) A．30%　　　　　 B．33.3% C．50% D．60% 练1－2　某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数之比为2∶7∶3，绘制成如图所示的扇形统计图，则甲地区所对应扇形的圆心角度数为__________． 知识点2　制作扇形统计图 例2　某校八年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，调查结果如下表： 最想去的地方 占总人数的百分比 钟鼓索道 20% 曾厝垵 40% 鼓浪屿 30% 其他地方 10% (1)求各扇形的圆心角度数； (2)作出扇形统计图并写上各部分名称及百分比． 练2　一所中学准备搬迁到新校舍，在迁校舍之前就该校300名学生如何到新校舍进行了一次调查，并得到如下数据．请将这些数据制成扇形统计图． 步行 60人 骑自行车 100人 坐公共汽车 130人 其他 10人 知识点3　扇形统计图的应用 例3　【华师8上P150T7改编】如图是某市场调查公司调查A、B、C、D、E、F、G等各大手机品牌占我国智能手机市场份额情况得到的统计图． (1)图中最大的扇形表示__________手机占我国智能手机市场份额的__________%，这个扇形的圆心角约为________°(精确到1°)． (2)你从图中还能得到什么信息？写出一条即可． 练3　如图是某市甲、乙、丙等多家蛋糕店门店数量的扇形统计图，已知乙蛋糕店有150家． (1)该市共有多少家蛋糕店？ (2)甲蛋糕店比乙蛋糕店少多少家？ 1．榕榕对全班同学进行“你最喜欢的球类项目(只能选一项)”的调查，然后依据所得数据绘制成如图所示的扇形统计图．由图可知，最受该班同学欢迎的球类项目是(　　) A．羽毛球 B．乒乓球 C．排球 D．篮球 (第1题)　(第2题) 　　　　 2．某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1 000棵该品种苗进行抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度x(cm)的统计图，则此时该基地高度不低于300 cm的“无絮杨”品种苗约有________棵. 3．中考结束后，九年级(8)班全体同学和老师举行了户外研学活动，出发前，班委对全体成员的活动意向进行了调查(每人仅可选择一项)，得到的统计图如图所示. 若九年级(8)班共有学生45人，老师5人，则选择野营的比选择观海的多________人． (第3题) 4．大量事实表明：治理垃圾污染刻不容缓！据调查统计，某城市某一天的生活垃圾达2.09万吨．请你根据下列所给的数据制作适当的统计图，通过你所作的统计图可以得到哪些信息？ 第15章　数据的收集与表示 15.2 数据的表示 2.利用统计图表传递信息 学习目标 会根据各种图表所提供的信息解决实际问题，会从图表中获取信息进行决策. 知识点1　条形统计图 例1　【华师8上P149T3改编】一名同学在调查50名同班同学的出生月份时记录的数据如下： 2，5，11，7，9，3，12，1，8，10，12，7，8，2，11，10，2，9，6，4，9，11，5，12，3，8，4，10，12，7，8，6，7，1，8，11，7，5，3，9，11，4，2，9，6，5，8，3，8，12. 请将上面的数据用条形统计图表示． 练1　联合国规定每年的6月5日是“世界环境日”．昆明市某中学“环保小卫士”研学小组对周边小区部分居民开展了以“爱护环境，从我做起”为主题的问卷调查，调查内容如下： A：能将垃圾放到规定地点，并会考虑垃圾分类； B：能将垃圾放到规定地点，但不会考虑垃圾分类； C：基本能将垃圾放到规定地点，偶尔会乱扔垃圾． 研学小组将调查结果制成了下面两幅不完整的统计图： (1)研学小组一共调查了________人； (2)将上面的条形统计图和扇形统计图补充完整； (3)如果你是“环保小卫士”，请根据以上调查结果谈谈你的想法． 知识点2　折线统计图 例2　下表给出了在某次奥运会上获得金牌前四名的国家的奖牌情况，请制作折线统计图，反映以下四个国家获得奖牌数的情况． 国家 金牌 银牌 铜牌 美国 35 39 29 中国 32 17 14 俄罗斯 27 27 38 澳大利亚 17 16 16 练2　两支篮球队进行4场对抗赛的结果如下表(单位：分)． 　场次 得分 球队 第一场 第二场 第三场 第四场 球队1 66 72 88 90 球队2 95 90 89 80 (1)你认为用哪种统计图反映这两支篮球队四场对抗赛的比赛结果的变化情况比较合适？画出你选用的统计图． (2)你怎样评价这两支球队？如果再进行一场比赛，你预测结果会如何？ 知识点3　选择适当的统计图表示数据 例3　全班有50人，小明、小芳和小红三人竞选班干部，得票情况见下表，请根据表中信息填空． 姓名 划记 得票 小明 正正正正正 25 小芳 正正正 15 小红 正正 10 (1)如果想清楚地表示三人得票的数量，宜选择制作________统计图； (2)如果想清楚地表示三人得票的百分比，宜选择制作________统计图； (3)如果想清楚地表示三人得票的变化情况，宜选择制作________统计图． 练3　空气的成分(除去水汽、杂质等)中，氮气约占78%，氧气约占21%，其他气体约占1%.要反映上述信息，宜采用的统计图是(　　) A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．频数直方图 1．某农民在池塘里养了许多鱼，有草鱼、鲇鱼、鲤鱼、鲫鱼等，为了能更清楚地表示出各种鱼的条数，最适合使用的统计图是(　　) A．扇形统计图 B．折线统计图 C．频数直方图 D．条形统计图 2．小明家5—9月的用电量情况如图所示，则相邻两个月中，用电量增长最快的是(　　) A．5月至6月 B．6月至7月 C．7月至8月 D．8月至9月 3．如图是某校四个年级男生、女生人数的条形统计图，则学生最多的年级是________年圾． 4．小暑是二十四节气的第十一个节气，这时候天气非常热，但还不是最热，所以称为小暑．小暑时节大江南北有着多种习俗，为了解学生最感兴趣的习俗，小莉从向阳中学中随机抽取了200名学生进行调查，将调查结果绘制成如下不完整的统计图． (1)补全条形统计图； (2)计算最感兴趣习俗为吃杧果的学生中男生的人数； (3)小亮看到折线统计图后，认为女生喜欢晒衣服的人数比吃杧果的人数多，你同意吗？请说明理由． 章末复习　 第15章　数据的收集与表示 请将下面的思维导图补充完整． 问题1　厦门某商场去年前5个月的销售总额共计600万元，为了确定销售方向，商场对每月销售总额的变化情况进行了问卷调查，收集数据并整理了如下表格以及如图所示的条形统计图和折线统计图： 商场去年1—5月的销售总额统计表 月份 1月 2月 3月 4月 5月 销售总额(万元) 180 90 115 95 每月销售额占前5个月销售 总额的百分比(精确到千分位) 　 (1)请根据以上信息，填写商场去年1—5月的销售总额统计表，并将条形统计图补充完整； (2)请根据统计表绘制对应的扇形统计图，并在条形统计图中绘制对应的折线统计图； (3)商场总经理想清楚地知道家电部某品牌冰箱的销量变化情况，以便确定是否继续销售该品牌，建议他选择________统计图； (4)家电部5月的销售额是________万元，小亮同学观察折线统计图后，认为家电部5月的销售额比4月少，你同意他的看法吗？请说明理由. 问题2　该商场家电部内有A、B、C、D、E五个卖区，如图是5月家电部各卖区销售额占5月家电部销售总额的百分比扇形统计图． (1)________卖区的销售额最高，该卖区占5月商场销售总额的百分比是________； (2)根据各卖区的销售情况，请你为商场的家电部提一条合理的建议． 第11章　数的开方 11.1 平方根与立方根 1. 平方根 新课学习 例1　4；9；＋4，－4；0 练1－1　(1)36　(2)5 练1－2　解：(1)有．平方根为±10. ( 2)有．平方根为±.　(3)没有平方根． 例2　(1)2；相反　(2)1　(3)±1　(4)没有 练2　解：因为x2＝361，所以开平方得x＝±＝±19. 例3　解：根据题意，得(3a－5)＋(a－3)＝0， 解得a＝2，所以这个正数为(3a－5)2＝(3×2－5)2＝1. 练3　解：由题意得(2a－1)＋(－a＋2)＝0，解得a＝－1， 所以m＝(2a－1)2＝[2×(－1)－1]2＝(－3)2＝9. 所以m的值为9. 例4　解：±；；±2；；3　说明略． 练4　(1)3　(2)±6　(3)－10　(4)5　(5)5　(6)1 例5　解：(1)＝23.　(2)≈6.69. 练5　解：(1) ＝26.　 (2)≈2.06. 深挖拓展 例6　解：因为y＝－＋4， 所以解得x＝9， 所以y＝－＋4＝4， 所以x－y＝9－4＝5. 课堂小测 1．C　2.A　3.C　4.9　5.±4 6．解：因为2a－1的平方根是±3， 所以2a－1＝9，所以a＝5. 因为3a＋b－1的算术平方根是5， 所以3a＋b－1＝25，把a＝5代入， 得3×5＋b－1＝25，解得b＝11. 所以a＋b＝5＋11＝16， 所以a＋b的平方根是±4. 第11章　数的开方 11.1 平方根与立方根 2. 立方根 新课学习 例1　8；－8；3；－3；0 归纳：逆 练1－1　解：设正方体的棱长为x cm， 则x3＝216，解得x＝6. 答：正方体的棱长是6 cm. 练1－2解：(1)－＝－7. (2) ＝＝－. (3)－÷＋＝－(－2)÷＋1＝＋1＝. 例2　2；0；－2；－2；0；2 练2－1　(1)×　(2)√　(3)√ 练2－2　解：(1)因为(x＋3)3＝－27， 所以x＋3＝－3，解得x＝－6. (2)3x3－81＝0， 所以3x3＝81，即x3＝27，解得x＝3. 例3　解：(1)＝11.　(2)≈2.10. 练3　解：(1)≈4.11.　(2)≈19.03. 深挖拓展 例4　解：(1)＋＝5＋(－5)＝0(答案不唯一) (2)a＋b＝0 (3)因为与的值互为相反数， 8，所以3x＋y＝3×＋8＝9. 课堂小测 1．B　2.D　3.D 4．解：(1)依题意得＝18(cm)，即正方形纸板的边长为18 cm. (2)够用．依题意得＝7(cm)， 则需要纸板的面积＝7×7×5＝245(cm2)， 所以剩余纸板的面积＝162×2－245＝79(cm2)． 第11章　数的开方 11.2　实　数 第1课时　实数及其相关概念 新课学习 例1 练1　无限不循环；实数 例2　 练2－1　　 练2－2　B 例3　解：(1)－ 的相反数是 ，绝对值是 . (2)－ 的相反数是 －，绝对值是 －. (3)π－3的相反数是3－π，绝对值是π－3. 思考：略． 练3　解：(1)2－　 (2)2 (3)因为|2c＋d|与互为相反数， 所以|2c＋d|＋＝0， 所以2c＋d＝0，d＋4＝0， 解得d＝－4，c＝2. 所以C，D两点分别表示的数为2，－4. 因为2－(－4)＝6， 所以C，D两点相距6个单位长度． 课堂小测 1．B　2.C　 3．<；－2；－2　4.①② 5．解：如图，点A表示. 因为点A为BC的中点， 所以AB＝AC，设点C表示的数为x， 因为点A表示的数为，点B表示的数为3， 所以3－＝－x， 解得x＝2 －3，则点C表示的数为2 －3. 第11章　数的开方 11.2　实　数 第2课时　实数的运算 新课学习 例1－1　解：用计算器求得＋≈3.146， π≈3.142， 所以＋>π. 例1－2　解：－1－(2－)＝－1－2＋＝－3＋2 ， 因为<1.5，所以2 <3， 所以－3＋2 <0，即－1<2－. 练1－1　解：(1)因为8<10，所以 <. (2)因为4<5，所以<，所以2<， 所以1<－1，所以<，即>0.5. 练1－2　解：|－3.5|＝3.5，＝－3. 在数轴上表示各数，如图． 所以<－2<<|－3.5|. 例2　解：－ ＝－＋ ≈0.32. 练2　解：(1)原式＝5－4＋1－＝2－. (2)原式＝6－×20＝6＋30＝36. 深挖拓展 例3　解：(1)7 (2)由题意得，＝8， 解得k＝2， 所以2(k＋1)＝2×(2＋1)＝6， 所以b＝26. (3)是定值． 因为m，n都是“跟斗数”，且m＋n＝100， 设m＝10x＋y，则n＝10(9－x)＋(10－y)， 所以ω(m)＋ω(n)＝＋ ＝＋ ＝x＋y＋19－x－y ＝19. 课堂小测 1．B　2.B　3.2－ 4．解：(1)－＋＝4－3＋－1＝. (2)＋－＝＋－＝＋0.3－＝2.6. 5．解：(1)< (2)因为x＋2y－2＝0， 所以x＝2－2y， 因为x是正数，即x>0， 所以2－2y>0，所以－y＋1>0， 所以A－B＝(5xy＋y＋1)－(5xy＋2y)＝－y＋1>0， 所以A>B. 章末复习　 第11章数的开方 思维导图 略． 大单元串联 问题1　解：(1)－3.5；π；－ (2)①如图． ②－3.5<－<<π<4 (3)π，；－3.5，－ (4)①－2 ②由(1)可得AD＝1，∴NI＝2AD＝2， ∵n的值为－2， ∴当点I在点N的右边时， i＝－2＋2＝； 当点I在点N的左边时， i＝－2－2＝－4. ∴i的值为或－4. 问题2　解：(1)－2；－3；－1；3；－4 原式＝c＋a－b－(a－c)＝2c－b＝2(－1)＋3＝2 ＋1. (2)根据题意，得|2m＋n|＋＝0， 可得解得 所以3m－2n＝14，所以3m－2n的平方根、算术平方根、立方根分别是±、、. 第12章　整式的乘除 12.1 幂的运算 1. 同底数幂的乘法 新课学习 例1　(1)105　(2)a7 归纳：不变；相加；m＋n 练1　解：am·an＝(a·a·…·a),m个)(a·a·…·a),n个) ＝a·a·…·a,(m＋n)个)＝am＋n. 例2－1　(1)107　(2)a4 例2－2　解：(1)原式＝23×23×24×25＝23＋3＋4＋5＝215. (2)原式＝23×4＝23×22＝25. (3)原式＝b2×b2×b3＝b7. 练2　(1)25　(2)37　(3)(x－y)5　(4)－(n－m)9 例3　解：因为am－1·a2＝am－1＋2＝am＋1＝a7， 所以m＋1＝7，所以m＝6. 练3　解：(x－y)2·(x－y)p·(x－y)5＝(x－y)2＋p＋5， 由题意得2＋p＋5＝2 024， 解得p＝2 017. 例4　解：xm＋n＝xm·xn＝5×6＝30. 练4　解：因为3x＋2＋3x＋1＝108， 所以3×3x＋1＋3x＋1＝4×27， 所以4×3x＋1＝4×33，所以3x＋1＝33， 所以x＋1＝3，所以x＝2. 深挖拓展 例5　解：(1)①2×106　②6×1011 ③1.2×1012　④2×1016 (2)(a×10n)×(b×10m)＝ab×10m＋n＝c×10p， 因为a，b，c均为大于或等于1且小于10的数，m，n，p均为正整数， 所以当1≤ab<10时，m＋n＝p；当ab≥10时，m＋n＋1＝p. 课堂小测 1．D　2.ab 3．解：(1)不正确，改正：b5·b5＝b10. (2)不正确，不能计算． (3)正确． (4)不正确，改正：－x2·(－x)4＝－x6. (5)不正确，改正：(－a)m(－a)m＋1＝(－a)2m＋1＝－a2m＋1. 4．解：(1)因为2x×2y＝2x＋y＝32＝25， 所以x＋y＝5， 因为x、y是正整数， 所以x＝1，y＝4或x＝2，y＝3或x＝3，y＝2或x＝4，y＝1，共有4对． (2)因为x－1＋y＋1＝x＋y， 所以2x－1·2y＋1＝2x＋y＝25＝32. 第12章　整式的乘除 12.1 幂的运算 2.幂的乘方 新课学习 例1　(1)26；52×52×52；56　 (2)a12 归纳：不变；相乘；mn 练1　解：(am)n＝am·am·…·am,n个) ＝an个,m＋m＋…＋m) ＝amn. 例2　(1)1015　(2)b20　(3)a3x (4)　(5)－x3m　(6)(－x)mn 练2　(1)－212　(2)212　 (3)x30　(4)(x＋y)8 例3　解：(1)原式＝x12·x12＝x24. (2)原式＝2x12＋x12＝3x12. 练3　解：(1)原式＝3a8·a9－(－a)·a16＝3a17－(－a17)＝3a17＋a17＝4a17. (2)原式＝(a＋b)6·(a＋b)8＝(a＋b)14. 例4　解：(1)8　(2)a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12. (3)由题可得，3m＋n＝3m×3n＝ab， 33m＋4n＝33m×34n＝(3m)3×(3n)4＝a3b4， 33m＋34n＝(3m)3＋(3n)4＝a3＋b4. 练4　解：因为x＝5m－3， 所以5m＝x＋3， 所以y＝－25m＝－(52)m＝－(5m)2＝－(x＋3)2. 深挖拓展 例5　解：243；256；125；533；355；444 (1)因为2125＝(25)25＝3225，3100＝(34)25＝8125，475＝(43)25＝6425，且32<64<81，所以3225<6425<8125， 所以2125<475<3100. (2)因为a2＝2，所以a6＝8， 因为b3＝3，所以b6＝9.所以b6>a6， 又因为a，b为正数，所以b>a. 课堂小测 1．D　2.B　 3．(1)675　(2)6 4．解：(1)原式＝a6＋a6＋5a6＝7a6. (2)原式＝(a－b)6－(b－a)6＝(a－b)6－(a－b)6＝0. 5．解：因为a2n＝4，所以(an)2＝4，所以an＝±2. 因为a3n－(a3)2n＝(an)3－a6n＝(an)3－(an)6， 所以当an＝2时，a3n－(a3)2n＝23－26＝8－64＝－56； 当an＝－2时，a3n－(a3)2n＝(－2)3－(－2)6＝－8－64＝－72. 综上，a3n－(a3)2n的值为－56或－72. 第12章　整式的乘除 12.1 幂的运算 3. 积的乘方 例1　36；36；＝ 归纳：乘方的积；anbn 练1　n；n；n 例2　(1)8b3　(2)22·a6；4a6 (3)－a3　(4)(－3)4·x4；81x4 练2　解：(1)原式＝x4y4.　(2)原式＝－8a6b9.　 (3)原式＝－2.7×107.　(4)原式＝9a4(m＋n)6. 例3　解：(1)原式＝16x6·＝－2x9. (2)原式＝(－x6)·x6＝－x12. 练3　解：(1)原式＝16a8b12＋a8·8b12＝24a8b12. (2)原式＝64×1015××106＝16×1021＝1.6×1022. 例4　解：(1)原式＝(－1)2 024＝1. (2)原式＝×(42)1 012＝×42 024＝×(－1)2 024＝－. 练4　解：(－0.125)15×(215)3＋× ＝－0.12515×(23)15＋× ＝－0.12515×815＋×× ＝－(0.125×8)15＋× ＝－115＋12 023× ＝－1＋1× ＝－. 深挖拓展 例5　解：3(mx2＋x－y)－2(3x2－3nx＋y2)＝3mx2＋3x－3y－6x2＋6nx－2y2＝(3m－6)x2＋(3＋6n)x－3y－2y2. 因为代数式3(mx2＋x－y)－2(3x2－3nx＋y2)的值与x的取值无关， 所以3m－6＝0，3＋6n＝0， 所以m＝2，n＝－. 所以m2 023n2 024＝m2 023n2 023·n ＝(mn)2 023·n＝×＝(－1)2 023×＝－1×＝. 课堂小测 1．D　2.B 3．解：(1)a3·a5＋(a2)4＋(－2a4)2＝a8＋a8＋4a8＝6a8. (2)0.256×212－×(－3)5＝×212－×(－3)4×(－3)＝×212－×(－3)＝－(－1)4×(－3)＝112－(－3)＝1＋3＝4. 4．解：因为正方体的棱长为3×103 mm， 所以它的底面周长为4×3×103＝1.2×104(mm)， 它的体积为(3×103)3＝2.7×1010(mm3)． 5．解：(1)因为2m＝a，2n＝b， 所以2m＋n＝2m×2n＝ab. (2)因为2m＝a，2n＝b， 所以42m＋3n＝(22)2m＋3n＝24m×26n＝(2m)4×(2n)6＝a4b6. (3)因为3m＝c，2m＝a， 所以36m＝(62)m＝(6m)2＝＝(2m×3m)2＝(ac)2＝a2c2. 第12章　整式的乘除 12.1 幂的运算 4. 同底数幂的除法 新课学习 例1　108；x7；104；x3；相加；相减；am＋n；am－n 练1－1　(1)8　(2)104　(3)a4　(4)－a7　(5)8a3 练1－2　(1)x7－2－3；x2　(2)(ab)4；a4b4 (3)x6÷x5；x　(4)x2m 例2　解：(1)原式＝－x11÷x6·(－x5)＝x11－6＋5＝x10. (2)原式＝(x－2y)4÷(x－2y)2÷(x－2y)＝x－2y. (3)原式＝a2＋a2－9a2＝－7a2. 练2－1　解：原式可转化为x4÷xm÷xn＝x， 即x4－m－n＝x，所以4－m－n＝1，即m＋n＝3， 因为m、n为正整数，所以当m＝1时，n＝2； 当m＝2时，n＝1.所以m＝1，n＝2或m＝2，n＝1. 练2－2　解：因为2x－3y－2＝0， 所以2x－3y＝2， 所以9x÷27y＝(32)x÷(33)y＝32x÷33y＝32x－3y＝32＝9. 例3　解：a3x－2y＝a3x÷a2y＝(ax)3÷(ay)2＝－8÷9＝－. 练3　解：92m＋n÷27m＋n＝(32)2m＋n÷(33)m＋n＝34m＋2n÷33m＋3n＝3m－n＝3m÷3n＝4÷6＝. 课堂小测 1．C　2.D 3．解：(1)(－ab)7÷(－ab)2÷(－ab)2＝(－ab)7－2－2＝(－ab)3＝－a3b3. (2)(m4)2÷m3＝m8÷m3＝m5. (3)(－x2)·x6÷(－x)4＝－x8÷x4＝－x4. 4．解：原式＝(x－y)6÷(x－y)4÷(x－y)＝x－y.当x＝2，y＝－1时，原式＝2－(－1)＝3. 5．解：根据题意，得1.5×102×1.2×102×0.8×102＝(1.5×1.2×0.8)×(102×102×102)＝1.44×106(cm3)． 答：每块大理石的体积为1.44×106 cm3. 第12章　整式的乘除 12.2 整式的乘法 1. 单项式与单项式相乘 新课学习 例1　解：(1)原式＝2×5×105＝10×105＝106. (2)原式＝10x5. (3)原式＝－6x3y4. (4)原式＝20a2b5c. (5)原式＝－x6y3·4x2y6＝－4x8y9. 归纳：系数；相同字母的幂 练1　解：(1)原式＝－a2×2＋1＋3b2＋1c1＋3＝－a8b3c4. (2)原式＝a2＋3＋1b1＋3＋2c1＋2×3＋1＝a6b6c8. (3)原式＝··12a3b ＝－××12a2＋3＋3b4＋3＋1c2＋6＝－a8b8c8. (4)原式＝(x＋y)2＋1a2＋1b3＝－6(x＋y)3a3b3. 例2　a2－ 练2　解：因为a＋2a＋2a＋2a＋a＝8a(cm)，2.5a＋1.5a＝4a(cm)， 所以变压器铁芯片的面积＝8a×4a－2.5a×2a×2＝22a2(cm2)． 深挖拓展 例3　　　解：(1)因为－2x3m＋1y2n·4xn－2y6－m＝－8x3m＋n－1y2n－m＋6， －2x3m＋1y2n与4xn－2y6－m的积和－4x4y2是同类项， 所以解得 (2)因为单项式－axby＋8与单项式4a2yb3x－y的和为单项式，所以单项式－axby＋8与单项式4a2yb3x－y是同类项， 所以解得 所以这两个单项式为－a4b10和4a4b10，所以这两个单项式的积为－a4b10·4a4b10＝－a8b20. 课堂小测 1．A　2.B　 3．2a2×106 4．(1)－8xy3　(2)10x3　(3)12m8　(4)－a8b7c6 5．解：原式＝－30xm＋5yn＋5＝－30x7y8，由此可得m＋5＝7，n＋5＝8， 解得m＝2，n＝3，所以m＋n＝5. 6．解：长方体废水池中废水的体积为(2×103)×(4×102)×(8×10)＝6.4×107(dm3)， 因为6.4×107＝(4×102)3， 所以该正方体贮水池的棱长为4×102 dm. 第12章　整式的乘除 12.2 整式的乘法 2.单项式与多项式相乘 新课学习 例1　解：(1)2x－2y；ma＋mb＋mc (2)如图． 归纳：每一项 练1　解：(－2a2)·(3ab2－5ab3) ＝(－2a2)·3ab2＋(－2a2)·(－5ab3) ＝－6a3b2＋10a3b3. 例2　解：(1)原式＝ab2·ab－2ab·ab＝a2b3－a2b2. (2)原式＝16x2y2－6xy3－4x2y2 ＝12x2y2－6xy3. 练2　解：(1)原式＝x3－x＋2x3＋2x2－6x2＋15x＝3x3－4x2＋14x. (2)x(x－3)＋6(x2＋x－1) ＝x2－3x＋6x2＋6x－6＝7x2＋3x－6. 当x＝1时， 原式＝7×12＋3×1－6＝7＋3－6＝4. 例3　解：由题意知，V长方体＝(3a－4)·2a·a＝6a3－8a2. 练3　解：卧室的面积为(4x－2x)2y＝4xy(m2)，卧室以外的部分的面积为2x·4y＋x·(4y－2y)＋(4x－2x－x)y＝11xy(m2).4xy(a－10)＋11xy·a＝15axy－40xy(元)， 则需要11xy m2的地砖，购买地板和地砖共需要(15axy－40xy)元． 课堂小测 1．C　2.C 3．243 4．解：(1)原式＝6x4y3－9x4y2. (2)原式＝6x3－2x2y＋2xy2. (3)原式＝－8x3－12x2＋4x. 5．解：如图，延长FE，CB，交于点A，则四边形AFDC是长方形，所以图中阴影部分的面积为(a＋b)b－b2－a(a＋b)－a(b－a)＝ab＋b2－b2－a2－ab－ab＋a2＝b2. 第12章　整式的乘除 12.2 整式的乘法 3.多项式与多项式相乘 新课学习 例1　a＋b；(m＋n)(a＋b)；na；nb；ma＋mb＋na＋nb 归纳：每一项；每一项 练1　解：(1)设m＋n＝p，则(m＋n)(a＋b)＝p(a＋b)＝pa＋pb＝(m＋n)a＋(m＋n)b＝ma＋na＋mb＋nb. (2)(x＋a)(x＋b)＝x2＋bx＋ax＋ab＝x2＋(a＋b)x＋ab. 例2　解：(1)(x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6. (2)(2x＋3y)(3x－2y)＝6x2－4xy＋9xy－6y2＝6x2＋5xy－6y2. (3)(－2m－1)(3m－2)＝－6m2＋4m－3m＋2＝－6m2＋m＋2. (4)(x－2y)2＝(x－2y)(x－2y)＝x2－4xy＋4y2. (5)(2m2＋3m) ＝2m2×＋2m2×＋3m×＋3m× ＝－m3＋m2－m2＋m ＝－m3－m2＋m. 练2　解：(1)原式＝2x2＋xy＋4xy＋2y2－(3x2＋6xy－xy－2y2) ＝2x2＋xy＋4xy＋2y2－3x2－6xy＋xy＋2y2 ＝4y2－x2. 当x＝3，y＝时， 原式＝4×－32 ＝1－9 ＝－8. (2)因为(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab， (x＋a)(x＋b)＝x2－10x＋16， 所以a＋b＝－10，ab＝16. 所以3a－2ab＋3b＝3(a＋b)－2ab＝3×(－10)－2×16＝－62. 例3　解：(1)依题意得(3a－b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋3ab－2ab－b2－a2－2ab－b2＝5a2－ab－2b2(m2)． 答：绿化部分的面积是(5a2－ab－2b2)m2. (2)当a＝3，b＝1时， 5a2－ab－2b2＝5×32－3×1－2×12＝45－3－2＝40. 答：绿化部分的面积是40 m2. 练3　解：(1)2m－1 (2)根据题意得4x＝2(m＋7＋m＋1)＋2(m＋4＋m＋2)， 即4x＝8m＋28，解得x＝2m＋7. 课堂小测 1．D　2.C　3.6 4．解：(1)原式＝15x2－5xy＋6xy－2y2＝15x2＋xy－2y2. (2)原式＝2a·(3a2－2ab＋b2)－5b·(3a2－2ab＋b2)＝6a3－4a2b＋2ab2－(15a2b－10ab2＋5b3)＝6a3－4a2b＋2ab2－15a2b＋10ab2－5b3＝6a3－19a2b＋12ab2－5b3. (3)原式＝a3－a2b＋ab2－a2b＋ab2－b3＋ab2－a2b＝a3－3a2b＋3ab2－b3. 5．解：(1)由题图可知休息区域的面积为 (m＋3n)(2m＋n)－(m＋2n)(m＋n)＝2m2＋7mn＋3n2－m2－3mn－2n2＝m2＋4mn＋n2(m2)． (2)当m＝10，n＝20时，m2＋4mn＋n2＝100＋4×10×20＋400＝1 300.所以休息区域的面积为1 300 m2. 第12章　整式的乘除 12.3 乘法公式 1. 两数和乘以这两数的差 新课学习 例1　解：(1)①原式＝x2－3x＋3x－9＝x2－9. ②原式＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2. (2)a2－b2；这两数的平方差 (3)(a＋b)(a－b)；a2；b2 练1－1　(1)(2y－1)　(2)(5a＋b)　(3)m2－4　(4)4x2－y2 练1－2　C 例2　解：(1)(1＋2c)(1－2c) ＝12－(2c)2 ＝1－4c2. (2)(－2x－y)(2x－y) ＝(－y－2x)(－y＋2x) ＝(－y)2－(2x)2 ＝y2－4x2. 练2　解：(1)原式＝x2－1. (2)原式＝(x2－9)(x2＋9)＝x4－81. 例3　解：(1)原式＝(2 000－2)×(2 000＋2) ＝2 0002－22 ＝4 000 000－4 ＝3 999 996. (2)原式＝(500－1)×(500＋1)＋1 ＝5002－12＋1＝250 000－1＋1＝250 000. 练3－1　解：原式＝(60－0.2)×(60＋0.2)＝602－0.22＝3 599.96 练3－2　解：(a＋b＋c)(a－b＋c) ＝[(a＋c)＋b]×[(a＋c)－b] ＝(A＋B)(A－B)， 故A代表a＋c，B代表b. 例4　解：改造前的面积：m2 m2， 改造后的面积：(m＋2)(m－2)＝(m2－4)m2. m2－(m2－4)＝4(m2)． 答：改造后的菜地与原来的菜地相比，面积减少了4 m2. 练4－1　4 练4－2　少；4 深挖拓展 例5　解：A＝(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)×(216＋1) ＝(2－1)×(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)×(216＋1) ＝(22－1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)×(216＋1) ＝(24－1)×(24＋1)×(28＋1)×(216＋1) ＝(28－1)×(28＋1)×(216＋1) ＝(216－1)×(216＋1) ＝232－1. 因为21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256…… 且32÷4＝8，所以232的末位数字是6，所以A的末位数字是5. 课堂小测 1．C　2.±6　 3．[(x＋1)＋2y][(x＋1)－2y] 4．解：(1) ＝－52 ＝x2－25. (2)(－2y＋x)(－2y－x) ＝(－2y)2－x2 ＝4y2－x2. (3)(3x＋2)(3x－2)(9x2＋4) ＝[(3x)2－22](9x2＋4) ＝(9x2－4)(9x2＋4) ＝(9x2)2－42 ＝81x4－16. (4)(x＋5)(x－5)＋(x－3)(3＋x) ＝x2－52＋(x2－9) ＝2x2－34. 第12章　整式的乘除 12.3 乘法公式 2.两数和(差)的平方 新课学习 例1　解：(1)①原式＝a2＋ab＋ba＋b2＝a2＋2ab＋b2. ②原式＝a2－ab－ba＋b2＝a2－2ab＋b2. (2)①a2＋2ab＋b2 ②a2－2ab＋b2 (3)大正方形的面积可表示为(a＋b)2，也可表示为a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2，故(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2. 练1－1　解：方法一：(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ba＋b2＝a2－2ab＋b2； 方法二：(a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2·a·(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2. 练1－2　(1)x2＋2·x·1＋12；x2＋2x＋1 (2)x2－2·x·4＋42；x2－8x＋16 (3)(－x)2＋2·(－x)·5＋52；x2－10x＋25 (4)(－2x)2－2·(－2x)·y＋y2；4x2＋4xy＋y2 例2　解：(1)原式＝x2＋2·x·＋＝x2＋2＋. (2)原式＝x2＋10x＋25－(x2＋x－6)＝x2＋10x＋25－x2－x＋6＝9x＋31. 练2　解：(1)原式＝[(m＋2n)－p]2＝(m＋2n)2－2p(m＋2n)＋p2＝m2＋4mn＋4n2－2pm－4pn＋p2. (2)原式＝[2a＋(3－b)][2a－(3－b)]＝4a2－(3－b)2 ＝4a2－(9－6b＋b2)＝4a2－9＋6b－b2. 例3　解：(1)因为(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2， 所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝42－2×2＝12. (2)3x2－xy＋3y2＝3(x2＋y2)－xy＝3×12－2＝34. (3)因为(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝12－2×2＝8， 所以x－y＝±. 练3　解：因为边长为a－b的正方形周长为12， 所以4(a－b)＝12，所以a－b＝3. 因为阴影部分的面积为10，所以ab＝10， 所以a2＋b2－ab＝(a－b)2＋ab＝32＋10＝19. 深挖拓展 例4　解：(1)x2－3x＋2 024＝x2－3x＋－＋2 024＝＋， 因为≥0，所以＋≥， 所以当x－＝0，即x＝时， 代数式x2－3x＋2 024有最小值. (2)－2x2＋x＋3＝－2＋3＝－2＋＋3＝－2＋. 因为－2≤0，所以－2＋≤， 所以当x－＝0，即x＝时，代数式－2x2＋x＋3有最大值. 课堂小测 1．C　2.D　 3．－16　4.11 5．解：(2x＋3)2－(x－3)(2x＋1)＝4x2＋12x＋9－(2x2－5x－3)＝4x2＋12x＋9－2x2＋5x＋3＝2x2＋17x＋12. 第12章　整式的乘除 12.4 整式的除法 1. 单项式除以单项式 温故知新 6x5；2x3 新课学习 例1　解：(1)24a3b2÷3ab2 ＝(24÷3)(a3÷a)(b2÷b2) ＝ 8a2. (2)－21a2b3c÷3ab ＝(－21÷3)a2－1b3－1c ＝－7ab2c. (3)(6xy2)2÷3xy ＝36x2y4÷3xy ＝12xy3. 练1　解：(1)(－3.6×1010)÷(－2×102)2 ＝－3.6×1010÷(4×104)＝－0.9×106＝－9×105. (2)(x－y)4·(y－x)3÷(x－y)5 ＝－(x－y)4·(x－y)3÷(x－y)5 ＝－(x－y)4＋3－5＝－(x－y)2＝－x2＋2xy－y2. 例2　解：设底面长方形的另一边为m，根据题意得abm＝4a2b，所以m＝4a2b÷ab＝4a， 故原来长方形纸板的面积为(4a＋2a)(2a＋b)＝12a2＋6ab. 练2　解：因为A2·(－3x2y3)＝－12x6y5， 所以A2＝－12x6y5÷(－3x2y3)＝4x4y2， 所以A＝±2x2y. 深挖拓展 例3　解：(a－b)m(a－b)2[2(b－a)]3·[(b－a)5]2÷(a－b)m＝(a－b)m＋2·[－8(a－b)3]·(a－b)10÷(a－b)m＝－8(a－b)m＋2＋3＋10－m＝－8(a－b)15， 当a＝3，b＝4时， 原式＝－8×(3－4)15＝－8×(－1)＝8. 课堂小测 1．C　2.C　 3．(1)4a2　(2)4；3　 4．5ab 5．解：(1)原式＝－m2n. (2)原式＝－abc. (3)原式＝－64x4y3÷(－8x3y3)＝8x. (4)原式＝(－8.4÷7)×(1010÷105)＝－1.2×105. 第12章　整式的乘除 12.4 整式的除法 2.多项式除以单项式 温故知新 am＋bm；a＋b；每一项 新课学习 例1　(1)2m－3　(2)2x＋y (3)－4a＋2b　(4)－2x2－3x＋1 练1　解：原式＝(4y－2x)(2x－y)÷(2x－y)＝4y－2x. 例2　　　解：÷ ＝÷ ＝÷ ＝x6y6－. 当x＝－2，y＝时， 原式＝(－2)6×6－＝1－＝. 练2　解：因为21x4y3÷(－7x2y)＝－3x2y2，7x2y2÷(－7x2y)＝－y， 所以“ ”处的内容是(－5xy)·(－7x2y)的结果，即35x3y2，“△”处的内容是－3x2y2. 例3　解：因为长方形的面积为4a2－6ab＋2a，它的一边长为2a， 所以这一边的邻边长为(4a2－6ab＋2a)÷2a＝2a－3b＋1， 所以它的周长为2×(2a－3b＋1＋2a)＝8a－6b＋2. 练3　解：设这条边上的高为a， 由题意得·2y·a＝3xy－4y， 所以ay＝3xy－4y， 所以a＝3x－4， 所以这条边上的高为3x－4. 深挖拓展 例4　解：(1)(xn－1)÷(x－1)＝xn－1＋xn－2＋…＋x2＋x＋1. (2)原式＝(264－1)÷(2－1)＝264－1. 课堂小测 1．A　2.C　3.B　4.A 5．解：(1)原式＝9x2y÷3xy－6xy2÷3xy＝3x－2y. (2)原式＝x3÷(－x2)－2x2y÷(－x2)＝－x＋2y. (3)原式＝9x3y2÷(－3xy)－6x2y÷(－3xy)＋3xy2÷(－3xy)＝－3x2y＋2x－y. (4)原式＝3x2y÷－xy2÷＋xy÷＝－6x＋2y－1. 6．解：由题意知，等边三角形框架的边长为2×(4a2－2a2b＋ab2)÷2a＝4a－2ab＋b2，所以该三角形框架的周长为3×(4a－2ab＋b2)＝12a－6ab＋3b2. 第12章　整式的乘除 12.5 因式分解 第1课时　提公因式法 新课学习 例1　解：(1)①ma＋mb＋mc　②a2－b2　③a2＋2ab＋b2 (2)①m(a＋b＋c)　②(a＋b)(a－b)　③(a＋b)2 (3)不同点：(1)中的三个等式是整式的乘法运算，(2)中的三个等式是把一个多项式化为几个整式的积的形式． 联系：两组等式可以互逆变形． 归纳：整式的积 练1－1　C 练1－2　D 例2　(1)3　(2)8x　(3)a＋b 练2　(1)2x　(2)2xy 例3　解：(1)－5a2＋25a＝－5a(a－5)． (2)3a2－9ab＝3a(a－3b)． 练3　解：原式＝－3mn(mn2－2n＋1)． 深挖拓展 例4　解：(1＋x)；(1＋x)2；(1＋x)2；(1＋x)；(1＋x)3；(1＋x)6 (1)提公因式法 (2)1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n ＝(1＋x)(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n ＝(1＋x)2(1＋x)＋x(1＋x)3＋…＋x(1＋x)n ＝(1＋x)3(1＋x)＋…＋x(1＋x)n ＝(1＋x)n－1(1＋x)＋x(1＋x)n ＝(1＋x)n(1＋x) ＝(1＋x)n＋1. 课堂小测 1．D　 2．(1)4x2　(2)2ab 3．解：(1)原式＝7x2(x－3)． (2)原式＝2(p＋q)(3p－2q)． (3)原式＝－3ab(a－2b＋1)． 4．解：组成的多项式为a2＋2ab＋2a和b2＋2ab＋ab2，将其因式分解如下：a2＋2ab＋2a＝a(a＋2b＋2)；b2＋2ab＋ab2＝b(b＋2a＋ab)．(答案不唯一) 第12章　整式的乘除 12.5 因式分解 第2课时　公式法——平方差公式 新课学习 例1　解：由题图①得阴影部分的面积为a2－b2，题图②长方形的宽为a－b，长为a＋b，所以题图②长方形的面积为(a＋b)(a－b)，所以上述操作能验证的等式是a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 归纳：(a＋b)(a－b) 练1－1　(1)(x＋3)(x－3) (2)x2－42；(x＋4)(x－4) (3)(5＋4x)(5－4x) (4)3x(x2－4y2)；3x[x2－(2y)2]；3x(x＋2y)(x－2y) 练1－2　解：(1)原式＝[9(a＋b)]2－[2(a－b)]2 ＝[9(a＋b)＋2(a－b)][9(a＋b)－2(a－b)] ＝(9a＋9b＋2a－2b)(9a＋9b－2a＋2b) ＝(11a＋7b)(7a＋11b)． (2)原式＝(x2－y2)＋(2x－2y) ＝(x＋y)(x－y)＋2(x－y) ＝(x－y)(x＋y＋2)． 例2　解：长方体所用纸板的面积是a2－4b2. 当a＝22.4，b＝3.8时， a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)＝(22.4＋2×3.8)×(22.4－2×3.8) ＝30×14.8＝444. 练2　解：(1)1993－199能被198整除，1993－199能被200整除，理由如下： 因为1993－199＝199×(1992－1)＝199×(199＋1)×(199－1)＝199×200×198， 所以1993－199能被198整除，1993－199能被200整除． (2)n3－n＝n(n2－1)＝n(n＋1)(n－1)， 因为n为正整数，所以n－1、n、n＋1为三个连续的整数，必有2的倍数和3的倍数， 所以当n为正整数时，n3－n的值必为6的倍数． 深挖拓展 例3　解：(1)因为x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y)＝12，x＋2y＝4，所以4(x－2y)＝12，所以x－2y＝3. (2)原式＝(1－)×(1＋)×(1－)×(1＋)×(1－)×(1＋)×…×(1－)×(1＋)×(1－)×(1＋)＝××××××…××××＝×＝. 课堂小测 1．B　2.C　3.D　 4．(1)(4x)2－12；(4x＋1)(4x－1) (2)(6x)2－； 5．解：(1)原式＝(2a＋b)(2a－b)． (2)原式＝x2(a－b)－4y2(a－b)＝(x2－4y2)(a－b) ＝(x＋2y)(x－2y)(a－b)． (3)原式＝m3n2(1－m2)＝m3n2(1－m)(1＋m)． (4)原式＝[3m＋2n＋(2m－3n)][3m＋2n－(2m－3n)] ＝(5m－n)(m＋5n)． 6．解：因为20.82＝202＋a， 所以a＝20.82－202＝(20.8＋20)×(20.8－20)＝40.8×0.8＝32.64. 第12章　整式的乘除 12.5 因式分解 第3课时　公式法——两数和(差)的平方公式 例1　(1)(a＋b)2；(a－b)2　 (2)①(m＋1)2　②(m－5)2 练1－1　(1)m2－2·m·5n＋(5n)2；(m－5n)2 (2)(2x)2＋2·2x·3y＋(3y)2；(2x＋3y)2 练1－2　解：原式＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2. 例2　解：(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝b2－2ab＋a2＝(b－a)2. 练2　解：25x2＋40xy＋16y2＝(5x)2＋2·5x·4y＋(4y)2＝(5x＋4y)2， 因为x，y为正数，所以5x＋4y>0， 所以正方形的边长为5x＋4y. 例3　解：设x2－4x＝y， 所以原式＝(y＋2)(y＋6)＋4 ＝y2＋8y＋16 ＝(y＋4)2 ＝(x2－4x＋4)2 ＝(x－2)4. 练3　解：因为a2＋b2－10a－12b＋61＝0， 所以(a2－10a＋25)＋(b2－12b＋36)＝0， 所以(a－5)2＋(b－6)2＝0， 所以a－5＝0，b－6＝0， 所以a＝5，b＝6. 因为6－5<c<6＋5， 所以1<c<11. 因为c为△ABC的最大边， 且a、b、c均不相同，所以c>6， 所以6<c<11. 又因为c为正整数， 所以△ABC的最大边c的值可能是7、8、9、10. 深挖拓展 例4　解：(1)①x2＋7x＋10＝(x＋2)(x＋5)． ②x2＋5x－6＝(x＋6)(x－1)． (2)分解二次项为3x2＝3x·x， 分解常数项为5＝(－1)×(－5)＝1×5， 画“十字图”如下： 所以整数p的所有可能值为－8或8或－16或16. 课堂小测 1．A　2.D　3.(x－4)cm 4．解：(1)a2＋12a＋36＝a2＋12a＋62＝(a＋6)2. (2)(x－1)(x＋3)＋4＝x2＋2x－3＋4＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2. (3)20ax2－45ay2＝5a(4x2－9y2)＝5a(2x－3y)(2x＋3y)． (4)x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)． 5．解：因为a－b＝8，所以b＝a－8， 又因为ab＋c2－16c＋80＝0， 所以a(a－8)＋16＋(c－8)2＝0，所以(a－4)2＋(c－8)2＝0， 所以a－4＝0，c－8＝0，所以a＝4，c＝8， 所以b＝a－8＝4－8＝－4， 所以a＋b＋c＝4－4＋8＝8. 章末复习 第12章　整式的乘除 思维导图 略． 大单元串联 问题1　解：(1)4x6；3x6；x3 (2)x2－1；x2－4x＋4；4x－4 (3)①4(x－2)　②x(x－2)2 (4)①x2＋x＋6；x2－5x＋6 ②由题意可知x2＋x＋6＝x2－5x＋6， 所以3－a＝－5，解得a＝8. ③C＋D＝x(x＋3)＋5＋ax－1＝x2＋(3＋a)x＋4， 由题意得，3＋a＝±4， 所以a＝1或－7. ④C·D＝[x(x＋3)＋5](ax－1) ＝(x2＋3x＋5)(ax－1) ＝ax3＋3ax2＋5ax－x2－3x－5 ＝ax3＋(3a－1)x2＋(5a－3)x－5， 因为C·D的结果中不含x2项， 所以3a－1＝0，所以a＝. 问题2　解：(1)原式＝(m2＋3mn－mn－3n2－m2＋4mn－4n2)÷n＝÷n＝6m－7n. 当m＝－1，n＝2时， 原式＝6×－7×2＝－20. (2)由题意易得a－b＝－1，a－c＝－2，b－c＝－1， 则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc ＝(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc) ＝(a2－2ab＋b2＋a2－2ac＋c2＋b2－2bc＋c2) ＝[(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2] ＝×(1＋4＋1) ＝3. 问题3　解：(1)y－z (2)2xy (3)(2a－b＋3)(2a－3＋b) ＝[2a＋(3－b)][2a－(3－b)] ＝(2a)2－(3－b)2 ＝4a2－(9－6b＋b2) ＝4a2－9＋6b－b2. 第13章　全等三角形 13.1 命题、定理与证明 1. 命　题 新课学习 例1　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√ 练1　解：(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等． 条件：两个三角形全等，结论：这两个三角形的对应边相等． (2)如果在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 条件：在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，结论：这两条直线互相平行． 例2　解：(1)假命题．　(2)真命题．　(3)假命题．　(4)真命题． 练2　D　例3　B　练3　B 深挖拓展 例4　解：(1)①如果AD∥BC，∠B＝∠C，那么AD平分∠EAC； ②如果AD∥BC，AD平分∠EAC，那么∠B＝∠C； ③如果∠B＝∠C，AD平分∠EAC，那么AD∥BC. (2)选择①. ∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠B，∠DAC＝∠C. 又∵∠B＝∠C，∴∠DAE＝∠DAC，∴AD平分∠EAC. 选择②. ∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠B，∠DAC＝∠C. ∵AD平分∠EAC，∴∠DAE＝∠DAC，∴∠B＝∠C. 选择③. ∵∠EAC＝∠B＋∠C，∠B＝∠C，∴∠EAC＝2∠B. ∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD， ∴∠EAD＝∠B，∴AD∥BC. (选择其中一个说明即可) 课堂小测 1．D　2.D　3.D　4.C 5．解：(1)条件：两个数的绝对值相等，结论：这两个数相等．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等． (2)条件：两个角是一个直角三角形的两个锐角，结论：这两个锐角互余．如果两个角是一个直角三角形的两个锐角，那么这两个锐角互余． 6．解：(1)真命题． (2)假命题，反例：若∠A＝30°，则∠A的余角为90°－∠A＝60°，∠A的余角大于∠A. 第13章　全等三角形 13.1 命题、定理与证明 2.定理与证明 新课学习 例1　C　练1　D　例2　D　练2　A 例3　证明：∵AB，CD相交于点O， ∴∠AOC＋∠AOD＝180°，∠BOD＋∠AOD＝180°， ∴∠AOC＝∠BOD. 练3　　　证明：∵∠AOD＝90°－∠COD，∠BOC＝90°－∠COD， ∴∠AOD＝∠BOC. 深挖拓展 例4　解：已知：如图，∠AOC与∠AOD是邻补角，OE、OF分别平分∠AOC、∠AOD. 求证：OE⊥OF. 证明：∵OE平分∠AOC， ∴∠AOE＝∠AOC. ∵OF平分∠AOD， ∴∠AOF＝∠AOD. ∵∠AOC＋∠AOD＝180°， ∴∠AOE＋∠AOF＝(∠AOC＋∠AOD)＝90°， 即∠EOF＝90°，∴OE⊥OF. 课堂小测 1．C 2．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；∠EFC；内错角相等，两直线平行 3．①两点确定一条直线． ②两点之间，线段最短． (答案不唯一) 4．解：(1)可构造三个命题： 如果AB∥CD，∠B＝∠C，那么∠E＝∠F； 如果AB∥CD，∠E＝∠F，那么∠B＝∠C； 如果∠B＝∠C，∠E＝∠F，那么AB∥CD. (2)3 选择“如果AB∥CD，∠B＝∠C，那么∠E＝∠F”进行证明： ∵AB∥CD，∴∠B＝∠CDF. ∵∠B＝∠C，∴∠C＝∠CDF， ∴CE∥BF，∴∠E＝∠F.(选择其中一个说明即可) 第13章　全等三角形 13.2 三角形全等的判定 1. 全等三角形 2. 全等三角形的判定条件 新课学习 例1　完全重合；完全重合；②③ 练1　解：对应顶点：点D和点A，点B和点B，点C和点C. 对应边：CD和CA，BD和BA，BC和BC. 对应角：∠DCB和∠ACB，∠DBC和∠ABC，∠D和∠A. 例2－1　OC；OD；CD；∠C；∠D；∠COD 例2－2　CE；∠CEA 练2　证明：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC， 即∠1＝∠2. 例3　(1)≌　(2)≌　(3)≌　 练3　C 例4　解：(1)两种：一条边或一个角对应相等．这两个三角形不一定全等． (2)①如图①，有一条边对应相等的三角形不一定全等． ① ②如图②，有一个角对应相等的三角形不一定全等． ② 练4　解：(1)如图①. (2)如图②. 　 课堂小测 1．A　2.△DCF；90　3.△ACE；AE；CE 4．解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠D＝∠B＝30°. 又∵∠AFB＝∠GFD，∴∠DGF＝∠BAF. ∵∠BAF＝∠BAC＋∠FAC＝(180°－30°－113°)＋24°＝61°， ∴∠DGB＝61°，∴∠DFB＝∠DGB＋∠D＝61°＋30°＝91°. 第13章　全等三角形 13.2 三角形全等的判定 3.边角边 新课学习 例1　两边及其夹角；AB＝DE；∠B＝∠E；BC＝EF；≌ 练1　解：△ABC≌△ADC.理由如下： ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC. 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(S.A.S.)． 例2　证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，即∠DAE＝∠BAC. 在△ABC与△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(S.A.S.)，∴∠B＝∠D. 练2　证明：∵BF＝EC， ∴BF＋CF＝EC＋CF，即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(S.A.S.)，∴∠A＝∠D. 例3　解：如图，在岸上找一点O，使点O能直接到达池塘两端A、B.连结AO、BO并分别延长至点C、D，使OA＝OC，OB＝OD，连结CD，量出CD的长即为A、B两点之间的距离． 练3　解：在△EDH和△FDH中， ∵ED＝FD，∠EDH＝∠FDH，DH＝DH， ∴△EDH≌△FDH(S.A.S.)，∴EH＝FH. ∴小明不用测量就能知道EH＝FH. 课堂小测 1．BE＝CF(答案不唯一)　2.B 3．解：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA， 在△ABC和△CDA中， ∴△ABC≌△CDA(S.A.S.)． 4．解：由题意得EF＝FG＝EG，∠E＝∠F＝∠G， 又∵EH＝FI＝GJ， ∴FH＝GI＝EJ. 在△EHJ与△FIH中， ∴△EHJ≌△FIH，∴HJ＝IH. 同理可得△FIH≌△GJI，∴IH＝JI， △EHJ，△FIH，△GJI全等， ∴HJ＝IH＝JI，即△HIJ的三边相等． 第13章　全等三角形 13.2 三角形全等的判定 4. 角边角 第1课时　角边角 新课学习 例1　两角及其夹边；∠B＝∠E；BC＝EF；∠C＝∠F；≌ 练1　证明：在△ABC和△DCB中， ∵∠ABC＝∠DCB，BC＝CB， ∠ACB＝∠DBC， ∴△ABC≌△DCB(A.S.A.)． ∴AB＝DC. 例2　证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. 在△ABD与△ACD中， ∴△ABD≌△ACD(A.S.A.)． 练2　证明：∵AB∥DE，AC∥DF， ∴∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F. ∵BE＝CF，∴BE＋EC＝EC＋CF，即BC＝EF. 在△ABC与△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(A.S.A.)， ∴AB＝DE. 例3　B 练3　解：根据题意画出示意图(如图)，ME、NF是太阳光线，AB、CD分别是小明和小聪的身高，EB、FD分别是小明、小聪的影长． 由ME∥NF，易知∠AEB＝∠CFD. 在△AEB和△CFD中， ∵∠AEB＝∠CFD，EB＝FD，∠ABE＝∠CDF＝90°， ∴△AEB≌△CFD(A.S.A.)， ∴AB＝CD， ∴小明和小聪的身高相同． 课堂小测 1．B 2．解：△CAD≌△CBE，CD＝CE.理由： 在△CAD和△CBE中， ∴△CAD≌△CBE(A.S.A.)， ∴CD＝CE. 3．解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO， ∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°， ∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB. ∵相邻的平行线间的距离相等， ∴OD＝OB， 在△ABO与△CDO中， ∴△ABO≌△CDO(A.S.A.)， ∴CD＝AB＝18 m. 第13章　全等三角形 13.2 三角形全等的判定 4. 角边角 第2课时　角角边 新课学习 例1　(1)证明：∵∠C＝180°－∠A－∠B，∠F＝180°－∠D－∠E， 且∠A＝∠D，∠B＝∠E， ∴∠C＝∠F. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(A.S.A.)． (2)两角分别相等且其中一组等角的对边相等； ∠A＝∠D；∠B＝∠E；BC＝EF；≌ 练1　证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(A.A.S.)． 例2　证明：∵D是边BC的中点，∴BD＝CD. ∵CE∥AB， ∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED. 在△ABD与△ECD中， ∵∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED， BD＝CD， ∴△ABD≌△ECD(A.A.S.)， ∴AD＝ED. 练2　证明：∵△ABC≌△A′B′C′(已知)， ∴AB＝A′B′(全等三角形的对应边相等)， ∠B＝∠B′(全等三角形的对应角相等)． 在△ABD和△A′B′D′中， ∵∠ADB＝∠A′D′B′＝90°(已知)， ∠B＝∠B′(已证)，AB＝A′B′(已证)， ∴△ABD≌△A′B′D′(A.A.S.)， ∴AD＝A′D′(全等三角形的对应边相等)． 例3　解：如图，延长CE交AB于点F，则∠1＋∠A＝90°. ∵CD⊥AD，∴∠2＋∠C＝90°. 又∵∠1＝∠2，∴∠A＝∠C. 由题意得∠ABD＝∠CDE＝90°. 在△ABD和△CDE中， ∴△ABD≌△CDE(A.A.S.)， ∴DB＝DE＝2 m. 练3　解：(1)由题意知∠CMD＝90°， ∴∠CMA＋∠DMB＝90°， ∵∠DBA＝90°， ∴∠DMB＋∠D＝90°，∴∠CMA＝∠D. 在△CAM和△MBD中， ∴△CAM≌△MBD(A.A.S.)， ∴AM＝BD，AC＝BM， ∵AC＝3 m，∴BM＝3 m， ∵AB＝12 m，∴DB＝AM＝9 m. 答：另一旗杆BD的高度为9 m. (2)9÷0.5＝18(s)． 答：小强从点M到达点A还需要18 s. 课堂小测 1．A　2.6 3．解：如图所示，延长GO交AC于点H， ∵AC∥BD，OG⊥BD， ∴OH⊥AC， ∴∠OHA＝∠OGB＝90°， 在△AOH和△BOG中， ∴△AOH≌△BOG(A.A.S.)， ∴OH＝OG＝48 cm， ∴GH＝OH＋OG＝96 cm. ∵96 cm<100 cm， ∴小红的连衣裙挂在衣架上后会碰到地面． 第13章　全等三角形 13.2 三角形全等的判定 5.边边边 新课学习 例1　证明：在△ABC和△CDA中， ∵CB＝AD，AB＝CD(已知)，AC＝CA(公共边)， ∴△ABC≌△CDA(S.S.S.)． ∴∠B＝∠D(全等三角形的对应角相等)． 练1　证明：∵BE＝CD， ∴BE－DE＝CD－DE， 即BD＝CE. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(S.S.S.)． 例2　解：合理．理由如下： 在△EBD与△GCF中， ∴△EBD≌△GCF(S.S.S.)， ∴∠B＝∠C. 练2　解：在△CMO和△CNO中， ∴△CMO≌△CNO(S.S.S.)， ∴∠COM＝∠CON， ∴OC是∠AOB的平分线． 例3　证明：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D. ∵CE∥BF，∴∠ECA＝∠FBD. ∵AB＝CD，∴AB＋BC＝BC＋CD，即AC＝DB. ∴△AEC≌△DFB(A.S.A.)． ∴EC＝BF. 又∵∠ECA＝∠FBD，BC＝CB， ∴△ECB≌△FBC(S.A.S.)． ∴∠EBC＝∠FCB. ∴BE∥CF. 练3　(1)证明：∵AD∥EC，∴∠A＝∠BEC. ∵E是AB的中点，∴AE＝EB. 又∵∠AED＝∠B，∴△AED≌△EBC(A.S.A.)． (2)解：∵△AED≌△EBC，∴AD＝EC. ∵AD∥EC，∴∠ADE＝∠CED. 又∵DE＝ED，∴△ADE≌△CED(S.A.S.)． ∴AE＝CD. ∵AE＝AB＝3，∴CD＝3. 课堂小测 1．(1)DC；CA　(2)DC；DB 2．证明：连结BD，如图． 在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD(S.S.S.)， ∴∠A＝∠C. 3．证明：连结AC. 在△ABC与△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(S.S.S.)， ∴∠EAC＝∠FAC. ∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴AE＝AB，AF＝AD， ∵AB＝AD，∴AE＝AF. 在△AEC与△AFC中， ∴△AEC≌△AFC(S.A.S.)，∴EC＝FC. 第13章　全等三角形 13.2 三角形全等的判定 6.斜边直角边 新课学习 例1　斜边和一条直角边；AB＝A′B′；CB＝C′B′ 练1　证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. 又∵DE＝DF，∴Rt△BED≌Rt△CFD(H.L.)， ∴∠B＝∠C. 例2　解：∠CBA＋∠EFD＝90°.理由如下： ∵CA⊥AB，ED⊥DF，∴∠BAC＝∠EDF＝90°. 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠CBA＝∠DEF. ∵∠DEF＋∠EFD＝90°， ∴∠CBA＋∠EFD＝90°. 练2　解：CE∥DF.理由： ∵C、D分别位于东西向公路上两点A、B的正北处与正南处， ∴∠A＝∠B＝90°， 由题意可得CE＝DF，AC＝BD. 在Rt△ACE和Rt△BDF中， ∴Rt△ACE≌Rt△BDF (H.L.)， ∴∠AEC＝∠BFD ，∴CE∥DF. 深挖拓展 例3　(1)证明：∵AE＝DB，∴AE＋EB＝DB＋EB， 即AB＝ED. 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(H.L.)． (2)解：∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠D＝∠A＝50°， ∴∠FED＝90°－∠D＝40°. ∵∠CBA＝90°－∠A＝40°， ∴∠BOF＝∠CBA＋∠FED＝40°＋40°＝80°. 课堂小测 1．B　2.C　3.2　 4．解：D，E与路段AB的距离相等． 理由：∵C是路段AB的中点，∴AC＝BC. 由题意可得DC＝EC， ∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°. 在Rt△ACD和Rt△BCE中， ∴Rt△ACD≌Rt△BCE(H.L.)， ∴AD＝BE，即D，E与路段AB的距离相等． 第13章　全等三角形 13.3 等腰三角形 1. 等腰三角形的性质 新课学习 例1　(1)相等；等边对等角；∠B＝∠C (2)70；30；35 练1　证明：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵∠ADE＝∠B＋∠BAD，∠AED＝∠C＋∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE. 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(S.A.S.)， ∴BD＝CE. 例2　解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°. 练2　解：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC. ∴∠DAC＝180°－90°－∠C＝90°－60°＝30°. ∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°. ∴∠ADE＝90°－∠DAC＝90°－30°＝60°. 例3　解：是．理由： ∵D是BC的中点，∴BD＝DC. ∵AB＝AC，∴AD⊥BC. ∵重锤线AD垂直于水平线， ∴此时BC处于水平位置． 练3　解：工人师傅的说法都对． 理由：①∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝37°. ②∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC. 例4　(1)①AC；BC　②60；60；60　(2)5 练4　解：∵AD是等边三角形ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°. ∴∠ADC＝90°. ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝(180°－∠CAD)＝75°. ∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝90°－75°＝15°. 课堂小测 1．C 2．(1)72°，72°或36°，108°　(2)30°，30° 3．(1)证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝BC，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝60°， ∴∠ABC－∠EBC＝∠EBD－∠EBC， 即∠ABE＝∠CBD. 在△ABE和△CBD中， ∴△ABE≌△CBD(S.A.S.)． (2)解：AD＝CD＋BD 理由：∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD， 由题意易知DE＝BD， ∴AD＝AE＋ED＝CD＋BD. 第13章　全等三角形 13.3 等腰三角形 2. 等腰三角形的判定 新课学习 例1　证明：∵AB∥CD(已知)， ∴∠B＝∠2(两直线平行，同位角相等)． 又∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠B＝∠1(等量代换)， ∴AB＝AC(等角对等边)． 练1　解：△BDE是等腰三角形．理由： ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵BC∥ED， ∴∠BDE＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠BDE， ∴BE＝DE， ∴△BDE是等腰三角形． 例2　(1)证明：∵CE∥DA，∴∠A＝∠CEB， 又∵∠A＝∠B，∴∠CEB＝∠B，∴CE＝CB. (2)解：增加条件∠B＝60°可使△BCE成为等边三角形．(答案不唯一) 练2　证明：(1)∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°. ∵AE∥BC， ∴∠EAC＝∠ACB＝60°， ∴∠EAC＝∠B. 在△BCD和△ACE中， ∴△BCD≌△ACE(S.A.S.)． (2)∵△BCD≌△ACE， ∴CD＝CE，∠BCD＝∠ACE. ∵∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝60°， ∴∠ACE＋∠ACD＝60°，即∠DCE＝60°， ∴△CDE是等边三角形． 深挖拓展 例3　解：如图①②.(画法不唯一) 课堂小测 1．B　2.D 3．解：是，理由：由折叠的性质可知，∠EBD＝∠CBD. ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠EDB＝∠CBD， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴△EBD是等腰三角形，即重合部分是一个等腰三角形． 4．证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝∠A＝60°. ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°， ∴∠ADE＝∠AED＝∠A＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 第13章　全等三角形 13.4 尺规作图 1. 作一条线段等于已知线段 2. 作一个角等于已知角 新课学习 例1　C 练1　(1)√　(2)×　(3)√ 例2　解：如图． 练2　解：如图，AB就是所求作的线段． 例3　解：如图所示，△ABC即为所求． 练3　解：如图，△ABC即为所求． 例4　解：如图，∠AOB即为所求． 练4　解：如图，△ABC即为所求． 深挖拓展 例5　解：(1)如图①所示． (2)能．如图②所示． 课堂小测 1．D　2.D 3．解：如图，线段AE即为所求． 4．解：如图，△ABC即为所求作． 第13章　全等三角形 13.4 尺规作图 3.作已知角的平分线 新课学习 例1　解：如图所示．∠B就是所求作的角． 练1　解：如图，直线CP即为所求作． 例2　D 练2　115° 课堂小测 1．D　2.A 3．解：如图． 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD(S.A.S.)． 4．解：由作图知，AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠GAF. ∵FG⊥AB，∴∠AGF＝90°＝∠C. 在△ACF和△AGF中， ∴△ACF≌△AGF(A.A.S.)， ∴AC＝AG，CF＝GF， ∴△BFG的周长为FG＋BG＋BF＝CF＋BF＋BG＝CB＋BG＝CA＋BG＝AG＋BG＝AB＝8 cm. 第13章　全等三角形 13.4 尺规作图 4.经过一已知点作已知直线的垂线 新课学习 例1　解：如图，直线CD就是要求作的垂线． 练1　解：1.作直线AB； 2．过点A作直线AB的垂线AC； 3．作∠CAB的平分线AD. ∠DAB就是要求作的角，如图． 例2　解：如图，AB即为所求． 练2　解：如图，线段AF即为所求． 例3　18° 练3　②③④ 课堂小测 1．C　2.C　 3．①②④ 4．解：如图，点P即为所求． 5．解：如图，点Q即为所求． 第13章　全等三角形 13.4 尺规作图 5.作已知线段的垂直平分线 新课学习 例1　解：如图． 练1　A 例2　解：如图，△ABC即为所求． 练2　解：如图，△ABC即为所求，△ABC是等腰直角三角形． 例3　A 练3　10° 课堂小测 1．D　2.34° 3．解：如图，点D即为所求． 4．(1)解：如图所示． (2)证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD. 由作图可知ED＝EA，∴∠ADE＝∠BAD， ∴∠CAD＝∠ADE，∴DE∥AC. 第13章　全等三角形 13.5 逆命题与逆定理 1. 互逆命题与互逆定理 新课学习 例1　解：(1)逆命题：如果a＋b＞0，那么a＞0，b＞0. 原命题是真命题，逆命题是假命题． (2)逆命题：有两个锐角互余的三角形是直角三角形. 原命题是真命题，逆命题是真命题． 练1　解：(答案不唯一) (1)两直线平行，内错角相等． 内错角相等，两直线平行． (2)对顶角相等． 相等的角是对顶角． 例2　解：①两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． ②等边三角形的三个角都相等；三个角都相等的三角形是等边三角形． (答案不唯一) 练2－1　D 练2－2　C 课堂小测 1．C 2．①两个三角形全等；这两个三角形的对应角相等； 如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等 ②一个点到一个角两边的距离相等；这个点在这个角的平分线上； 如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角两边的距离相等 3．① 4．解：(1)说法错误．理由如下：每个定理不一定有逆定理，若一个定理有逆定理，那么它的逆命题是真命题． (2)说法正确．理由如下：每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题． (3)说法错误．理由如下：每个命题都有逆命题，只需要将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题． (4)说法错误．理由如下：原命题为真命题，但是逆命题不一定是真命题，例如：原命题为“对顶角相等”是真命题，逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题． 第13章　全等三角形 13.5 逆命题与逆定理 2.线段垂直平分线 新课学习 例1　解：相等；CA＝CB 已知：CD是线段AB的垂直平分线， 求证：CA＝CB. 证明：∵CD是线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，∠CDA＝∠CDB. 在△ACD和△BCD中， ∴△ACD≌△BCD， ∴CA＝CB. 练1　证明：∵AB是线段CD的垂直平分线． ∴EC＝ED，CF＝DF， ∴∠ECD＝∠EDC，∠FCD＝∠FDC， ∴∠ECD＋∠FCD＝∠EDC＋∠FDC， 即∠ECF＝∠EDF. 例2　解：∵AB＝AC，∠A＝50°， ∴∠ABC＝＝65°. ∵DE垂直平分AB， ∴AD＝DB， ∴∠ABD＝∠A＝50°， ∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝65°－50°＝15°. 练2　解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝＝30°. ∵EF垂直平分AB， ∴BF＝AF，∴∠BAF＝∠B＝30°， ∴∠AFC＝∠BAF＋∠B＝60°. 例3　解：线段的垂直平分线上；PA＝PB 证明：(1)当点P在线段AB上时， ∵PA＝PB， ∴点P为线段AB的中点， 显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； (2)当点P在线段AB外时， ∵PA＝PB，∴△PAB是等腰三角形． 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， ∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线， 即PC⊥AB且AC＝BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上． 练3－1　证明：∵BD＋AD＝BC，BD＋DC＝BC， ∴AD＝CD， ∴点D在AC的垂直平分线上． 练3－2　解：直线AM是线段BC的垂直平分线． 理由：∵AB＝AC，MB＝MC， ∴点A，点M都在线段BC的垂直平分线上， ∴直线AM是线段BC的垂直平分线． 课堂小测 1．B　2.C　 3．(1)证明：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°. ∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝30°， ∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝120°－30°＝90°， ∴DB⊥BC. (2)解：由(1)可知∠DBC＝90°，∠C＝30°， ∴CD＝2DB. ∵DE垂直平分AB，∴AD＝DB. ∵AD＋CD＝AC，∴3DB＝AC＝12， ∴DB＝4. 第13章　全等三角形 13.5 逆命题与逆定理 3.角平分线 新课学习 例1　解：AP平分∠BAC；PB⊥AB；PC⊥AC；PB＝PC 练1　解：在△ABC中，∠C＝90°，∴AC⊥DC. ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE. ∵DE＝3 cm，∴CD＝3 cm. ∵BC＝8 cm，∴BD＝BC－CD＝8－3＝5(cm)． 例2　证明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB， ∴ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD. 练2　证明：∵OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB，BC⊥OA， ∴CE＝CD. 在△AEC和△BDC中， ∴△AEC≌△BDC，∴AC＝BC. 例3　证明：∵PB⊥AB，PC⊥AC， ∴∠ABP＝∠ACP＝90°. 在Rt△ABP和Rt△ACP中， ∴Rt△ABP≌Rt△ACP， ∴∠BAP＝∠CAP即AP平分∠BAC. 练3　证明：如图，过点F分别作FP⊥AE、FM⊥BC、FN⊥AD，垂足分别为点P、M、N. ∵CF是∠BCE的平分线，FP⊥AE，FM⊥BC， ∴FP＝FM. ∵BF是∠CBD的平分线，FM⊥BC，FN⊥AD， ∴FM＝FN，∴FP＝FN. 又∵FP⊥AE，FN⊥AD， ∴点F在∠DAE的平分线上． 深挖拓展 例4　解：已知：AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，AD，BE相交于点O， 求证：AD，BE，CF交于一点O. 证明：过点O作OI⊥AB于点I，OG⊥BC于点G，OH⊥AC于点H，如图所示． ∵点O在∠ABC的平分线上，OI⊥AB，OG⊥BC， ∴OI＝OG. ∵点O在∠BAC的平分线上，OH⊥AC，OI⊥AB， ∴OH＝OI，∴OG＝OH. 又∵OG⊥BC，OH⊥AC， ∴点O在∠ACB的平分线上， ∴三角形的三条角平分线交于一点． 课堂小测 1．C　2.D 3．三个内角平分线；三边垂直平分线 4．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF. ∵D是BC的中点，∴BD＝CD. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴BE＝CF. (2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°. ∵D是BC的中点，∴BD＝CD. 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∴Rt△BED≌Rt△CFD，∴DE＝DF. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC. 章末复习 第13章　全等三角形 思维导图 略． 大单元串联 问题1　(1)真　(2)对应边相等的两个三角形全等 (3)真；是；是 问题2　(1)∠EDF；∠E；∠F；DE；EF；DF (2)①AB＝DE(答案不唯一)　②AB＝DE(答案不唯一) (3)①证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC， ∴△BOC为等腰三角形． ②解：在△AOB与△AOC中， ∴△AOB≌△AOC(S.S.S.)， ∴∠BAO＝∠CAO，∴ AO平分∠BAC， 又∵AB＝AC，∴AM⊥BC，BM＝MC. ③证明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC. ∵CO平分∠ACB，AO平分∠BAC， ∴易得BM＝BC，BN＝AB，∴BM＝BN. 又∵∠ABC＝60°， ∴△BMN为等边三角形． (4)解：①如图，△D′E′F′即为所作． ②作图如下图所示． 证明：∵EP平分∠GEQ，PQ⊥EQ，PG⊥EF， ∴∠PGF＝∠PQE＝90°，PQ＝PG. ∵PG垂直平分EF，∴PE＝PF. ∴Rt△PQE≌Rt△PGF(H.L.)． 第14章　勾股定理 14.1 勾股定理 1. 直角三角形三边的关系 第1课时　勾股定理及其证明 新课学习 例1　活动一　13；25；SC；a2＋b2＝c2 活动二　解：(答案不唯一)如图． 1．52＋22＝2.52 练1－1　D 练1－2 练1－3　64 cm2 归纳：平方和；斜边的平方 例2　解：大正方形的面积可以表示为(a＋b)2， 也可以表示为c2＋4·， ∴(a＋b)2＝c2＋4· ∴a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab， ∴a2＋b2＝c2. 练2　解：中间正方形的面积为(b－a)2，也可表示为c2－4×ab， ∴(b－a)2＝c2－4×ab，整理，得a2＋b2＝c2. 课堂小测 1．C　2.2 3．解：∵Rt△EAD≌Rt△CBE， ∴∠ADE＝∠BEC. ∵∠AED＋∠ADE＝90°， ∴∠AED＋∠BEC＝90°， ∴∠DEC＝180°－90°＝90°， ∴△DEC是等腰直角三角形，易得它的面积是c2. 又∵直角梯形ABCD的面积为(a＋b)2，Rt△ADE的面积为ab，Rt△BCE的面积为ab， ∴(a＋b)2＝ab×2＋c2， 整理，得a2＋b2＝c2. 4．解：(1)∵AC＝＝，BC＝＝5，AB＝5， ∴△ABC的周长＝＋5＋5＝＋10. (2)如图，取AC的中点D，连结BD. 理由：∵BA＝BC＝5， ∴△ABC为等腰三角形， ∴BD⊥AC， ∴BD即为所求作． 第14章　勾股定理 14.1 勾股定理 1. 直角三角形三边的关系 第2课时　直角三角形三边关系的应用 新课学习 例1　解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝＝＝10. 练1　解：过点C作CD⊥AB于点D. ∵AC＝BC＝5 cm，AB＝6 cm， ∴AD＝3 cm， ∴CD＝＝＝4(cm)， ∴S△ABC＝AB·CD＝×6×4＝12(cm2)． 例2　解：由已知AB＝AC－2，BC＝6 cm， 根据勾股定理，可得AB2＋BC2＝(AC－2)2＋62＝AC2， 解得AC＝10 cm. 练2　解：∵AD＝＝，AB＝＝， CB＝＝，DC＝＝， ∴四边形ABCD的周长为＋＋＋≈14.6. 四边形ABCD的面积为×5×2＋×5×3＝5＋7.5＝12.5. 例3　解：在Rt△ABC中，AC＝160 m，BC＝128 m， 根据勾股定理，可得AB＝＝＝96(m)． 答：从点A穿过湖到点B有96 m. 练3　解：如图，过点B作AD的垂线，垂足为点C， 则△ABC为直角三角形，且AC＝8－3＋1＝6(km)， BC＝6＋2＝8(km)， 所以AB＝＝10(km)． 答：登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是10 km. 深挖拓展 例4　解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，设BD＝x，则CD＝14－x， 由勾股定理，得AB2－BD2＝AD2，AC2－CD2＝AD2， ∴152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9，∴BD＝9. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝＝12， ∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84. 课堂小测 1．A 2．解：由勾股定理，可以得到AB2＝BC2＋AC2，也就是5002＝BC2＋4002，所以BC＝300 m. 敌方汽车10 s行驶了300 m，那么它1 h行驶的距离为300×6×60＝108 000(m)，即它行驶的速度为108 km/h. 3．解：设AE＝x km，则BE＝(25－x)km. 在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE2＝AD2＋AE2＝102＋x2， 在Rt△BCE中，由勾股定理得，CE2＝BC2＋BE2＝152＋(25－x)2， 由题意可知DE＝CE，∴102＋x2＝152＋(25－x)2， 解得x＝15.∴AE＝15 km. 第14章　勾股定理 14.1 勾股定理 2.直角三角形的判定 新课学习 例1－1　解：(1)如图①，所画三角形是直角三角形． (2)如图②，所画三角形不是直角三角形． (3)如图③，所画三角形是直角三角形． 例1－2　证明：如图，作△A′B′C′，使∠C′＝90°，A′C′＝b，B′C′＝a， 则A′B′2＝a2＋b2＝c2，即A′B′＝c. 在△ABC和△A′B′C′中， ∵BC＝a＝B′C′，AC＝b＝A′C′，AB＝c＝A′B′， ∴△ABC≌△A′B′C′. ∴∠C＝∠C′＝90°. 练1－1　证明：∵AB2＝132＝169， AC2＝52＝25，BC2＝122＝144， ∴AB2＝AC2＋BC2，∴△ABC是直角三角形． 练1－2　解：(1)∵AD＝12，AB＝9，DC＝17，BC＝8，BD＝15， ∴AB2＋AD2＝92＋122＝152＝BD2，BD2＋BC2＝152＋82＝172＝DC2， ∴△DAB，△DBC为直角三角形， 且∠A＝90°，∠DBC＝90°， ∴这个零件符合要求． (2)S四边形ABCD＝S△ABD＋S△DBC＝×12×9＋×15×8＝114. 例2－1　D 例2－2　①②③⑥ 练2　解：3k，4k，5k(k是正整数)是一组勾股数，理由如下： ∵k是正整数，∴3k，4k，5k都是正整数． ∵(3k)2＋(4k)2＝(5k)2， ∴3k，4k，5k(k是正整数)是一组勾股数． ak，bk，ck(k是正整数)是一组勾股数，理由如下： ∵a，b，c是一组勾股数，且k是正整数， ∴ak，bk，ck都是正整数，且a2＋b2＝c2. ∵(ak)2＋(bk)2＝a2k2＋b2k2＝(a2＋b2)k2＝c2k2＝(ck)2， ∴ak，bk，ck(k是正整数)是一组勾股数． 深挖拓展 例3　解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4， ∴c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)． 当a2－b2≠0时，化简得c2＝a2＋b2，此时△ABC是直角三角形； 当a2－b2＝0时， a＝b，此时△ABC是等腰三角形． 综上，△ABC是直角三角形或等腰三角形． 课堂小测 1．B　2.　3.6，10(答案不唯一) 4．解：如图，连结AC. 在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，AD＝4 m，CD＝3 m， ∴AC＝＝＝5(m)． 在△ABC中，∵BC＝12 m，AB＝13 m， ∴AC2＋BC2＝52＋122＝169，AB2＝132＝169， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC－S△ACD＝－＝－＝24(m2)． 第14章　勾股定理 14.1 勾股定理 3.反证法 温故知新 间接 新课学习 例1　∠B＝∠C；AB＝AC；AB≠AC；∠B≠∠C 练1　A 例2　证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B. 这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与两点确定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾． 所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点． 练2　证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°， 即∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°. 于是∠A＋∠B＋∠C>60°＋60°＋60°＝180°， 这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾． 所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 课堂小测 1．假设a＝b 2．l3与l2不相交；l3∥l2；l1∥l2；在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 3．解：成立．理由如下： 假设a2＋b2＝c2，由勾股定理可知△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾． ∴假设不成立，∴a2＋b2≠c2成立． 4．解：已知：在△ABC中，AB＝AC. 求证：∠B，∠C必定是锐角． 证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. 假设∠B不是锐角，则∠B是直角或钝角． (1)若∠B是直角，即∠B＝90°，则∠C＝90°， 故∠A＋∠B＋∠C>180°.这与三角形的内角和定理矛盾， ∴∠B不是直角． (2)若∠B是钝角，即∠B>90°，则∠C>90°， 故∠A＋∠B＋∠C>180°.这与三角形的内角和定理矛盾， ∴∠B不是钝角． ∴∠B，∠C既不是直角也不是钝角，即∠B，∠C必定是锐角，即等腰三角形的底角必定是锐角． 第14章　勾股定理 14.2 勾股定理的应用 第1课时　勾股定理的应用(1) 新课学习 例1　解：如图，连结BD交AC于点O，连结ED与AC交于点P，连结BP. 易知BD⊥AC，且BO＝OD， ∴BP＝PD，∴BP＋EP＝ED，此时EP＋BP最短． ∵AE＝3，EB＝1，∴AB＝4， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝4. 由勾股定理得ED2＝AE2＋AD2＝32＋42＝25＝52， ∴ED＝5，即EP＋BP的最短长度为5. 练1　解：如图，圆柱的侧面展开图是长方形．由题意知，AC＝12 cm，BC＝×18＝9(cm)， 由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2＝122＋92＝225， ∴AB＝15 cm. 易知蚂蚁沿圆柱爬行的最短路程是AB的长， ∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm. 例2　解：在Rt△OCD中，由勾股定理，可得 CD＝＝＝0.6(米)， ∴CH＝CD＋DH＝0.6＋2.3＝2.9(米)>2.5米． 可见高度上有0.4米的余量，因此卡车能通过厂门． 练2　解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长度为x m，AE的长度为(x－1)m. 在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，由勾股定理得AE2＋CE2＝AC2，即(x－1)2＋32＝x2，解得x＝5. 故滑道AC的长为5 m. 课堂小测 1．解：如图，由题意得，OA＝2×6＝12(km)，OB＝1×5＝5(km)， 在Rt△OAB中，AB＝＝13(km)， 因此，上午10：00，甲、乙二人相距13 km. 2．解：∵在Rt△OAB中，AB＝2.5 m，AO＝2.4 m， ∴OB＝＝＝0.7(m)． ∵在Rt△OCD中， CD＝2.5 m，OC＝2.4－0.4＝2(m)， ∴OD＝＝＝1.5(m)， ∴BD＝OD－OB＝1.5－0.7＝0.8(m)， 即梯子底端B向外移了0.8 m. 3．解：长方体的侧面展开图如图所示． ∵长方体的长为4 cm，宽为2 cm，高为5 cm， ∴PA＝2＋4＋2＋4＝12(cm)，QA＝5 cm. ∴PQ＝＝13 cm. ∴蚂蚁爬行的最短路径长为13 cm. 第14章　勾股定理 14.2 勾股定理的应用 第2课时　勾股定理的应用(2) 新课学习 例1　解：(1)AB2＝32＋42＝25， BC2＝12＋22＝5，AC2＝22＋42＝20. (2)△ABC是直角三角形． ∵AC2＋BC2＝20＋5＝25＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． 练1　证明：∵AB2＝12＋32＝10，AC2＝12＋32＝10，BC2＝22＋42＝20，∴AB2＋AC2＝20＝BC2， ∴△BAC是直角三角形，且∠BAC＝90°. 例2　解：(1)如图，AB的长度为，即所要画的线段． (2)如图，△ABC，△ABD即为所求． 练2　解：(1)如图①.　(2)如图②. (3)连结AC. ∵AC＝BC＝＝，AB＝＝， ∴AC2＋BC2＝20＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°. ∵AC＝BC，∴∠ABC＝45°. 例3　解：由题意得BC′＝AB＝3，CF＝C′F， 设BF＝x，则CF＝C′F＝9－x. 在Rt△BC′F中，根据勾股定理，得C′F2＝BF2＋C′B2， 即(9－x)2＝x2＋32， 解得x＝4，∴BF＝4. 练3　解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 AC＝＝＝8. 由折叠知，BD＝AB＝10，AE＝DE， ∴CD＝10－6＝4. 在Rt△CDE中，根据勾股定理，得CE2＋CD2＝DE2， 即CE2＋42＝(8－CE)2，解得CE＝3. 课堂小测 1．B 2．解：(1)如图①，线段AB即为所求． (2)如图②，△DEF即为所求． 3．解：∵在△ABC中，AB＝20，AC＝12，BC＝16， ∴AC2＋BC2＝122＋162＝400＝AB2， ∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴∠DCB′＝90°. 设CD＝x，则BD＝16－x. 由折叠知BD＝B′D＝16－x，AB′＝AB＝20， ∴B′C＝AB′－AC＝20－12＝8. 在Rt△DCB′中，根据勾股定理，得CD2＋B′C2＝DB′2， ∴x2＋82＝(16－x)2，解得x＝6， ∴重叠部分(阴影部分)的面积为×6×12＝36. 章末复习 第14章　勾股定理 思维导图 略． 大单元串联 解：(1)5组勾股数(答案不唯一)：3，4，5；6，8，10；5，12，13；7，24，25；8，15，17. 当每一组勾股数分别是a，b，c时，△ABC是直角三角形． (2)由题图可得正方形ACFD的面积＝四边形ABFE的面积＝Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和， 即S正方形ACFD＝S△BAE＋S△BFE，∴b2＝c2＋， 整理，得a2＋b2＝c2. (3)①如图，过点C作CD⊥AB于点D. ∵AC＝30 km，BC＝40 km，AB＝50 km， ∴易得AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，则AC·BC＝CD·AB， ∴30×40＝50×CD，∴CD＝＝24(km)． ∵以沙尘暴中心为圆心周围25 km以内为受影响区域， ∴城镇C会受到沙尘暴的影响． ②如图，在线段AB上点D的两侧各取一点E，F，使EC＝FC＝25 km，此时正好影响C城镇． 在Rt△CDE中，ED＝＝7 km， ∴易得EF＝14 km. ∵沙尘暴中心的移动速度为20 km/h， ∴沙尘暴影响该城镇持续的时间为14÷20＝0.7(h)． 第15章　数据的收集与表示 15.1 数据的收集 1. 数据有用吗 2. 数据的收集 新课学习 例1　(2)一定数量的豌豆荚 (答案不唯一)调查；试验；报纸；相关文献；上网 练1　略．　例2　C　练2　D　 例3－1　略．　例3－2　A 练3　解：(1)(50－12－10－8－6)÷50＝0.28. (2)12÷0.2＝60，60－12－10－8－6＝24. (3)(12＋10＋8＋6)÷(1－0.1)＝40. 归纳：6 课堂小测 1．A　2.D　3.4　4.5；0.4 5．解：(1)学校各个年级学生最喜欢的体育项目． (2)学校各个年级的学生． (3)采用问卷调查的方式，向不同年级学生发放问卷进行调查． (4)你最喜欢的体育项目是什么？(答案合理即可) 6．解：(1)收集两种数据：①本地车辆与外地车辆数据；②汽车牌照的尾号数据． (2)(表格合理即可)记录用的表格如下： 上午车辆数 下午车辆数 车牌尾号 外地 本地 第15章　数据的收集与表示 15.2 数据的表示 1. 扇形统计图 新课学习 例1解：(1)全体人群失去牙齿的原因中，牙周病占44%，龋齿占38%，其他原因占18%. (2)牙周病　(3)100%　(4)360° 归纳：360°；360°；该部分所占的百分比 练1－1　A 练1－2　60° 例2　解：(1)最想去“钟鼓索道”所对应扇形的圆心角为360°×20%＝72°，最想去“曾厝垵”所对应扇形的圆心角为360°×40%＝144°，最想去“鼓浪屿”所对应扇形的圆心角为360°×30%＝108°，最想去“其他地方”所对应扇形的圆心角为360°×10%＝36°. (2)略． 练2　解：各部分占总体的百分比如下： 步行：60÷300＝20%； 骑自行车：100÷300≈33.3%； 坐公共汽车：130÷300≈43.3%； 其他：1－20%－33.3%－43.3%＝3.4%. 各部分对应扇形圆心角的度数如下： 步行：60÷300×360°＝72°； 骑自行车：100÷300×360°＝120°； 坐公共汽车：130÷300×360°＝156°； 其他：10÷300×360°＝12°. 扇形统计图如图． 信息：①坐公共汽车去新校舍的人数最多． ②步行去新校舍的人数最少．(信息不唯一，合理即可) 例3　解：(1)A；24.86；89 (2)最小的扇形代表的是G手机占我国智能手机市场份额的6.19%(答案不唯一)． 练3　解：(1)150÷＝600(家)． 答：该市共有600家蛋糕店． (2)600×＝100(家)，150－100＝50(家)． 答：甲蛋糕店比乙蛋糕店少50家． 课堂小测 1．D　2.280　3.12 4．解：制作扇形统计图如图． 通过统计图，可以看出该城市垃圾回收利用量较小．(答案不唯一) 第15章　数据的收集与表示 15.2 数据的表示 2.利用统计图表传递信息 新课学习 例1　解：经过统计，1月份出生的有2人，2月份出生的有4人，3月份出生的有4人，4月份出生的有3人，5月份出生的有4人，6月份出生的有3人，7月份出生的有5人，8月份出生的有7人，9月份出生的有5人，10月份出生的有3人，11月份出生的有5人，12月份出生的有5人，条形统计图如图． 练1　解：(1)1 000 (2)补全条形统计图和扇形统计图如图． (3)应将垃圾放到规定地点，并分类放置，保护环境，从自身做起(答案不唯一，合理即可)． 例2　解：折线统计图如图． 练2　解：(1)用折线统计图比较合适，如图所示． (2)球队1虽然开始成绩不佳，但是渐入佳境，得分稳步提升；球队2虽然开始成绩不错，但是有逐步下降的趋势，预计下场比赛球队1会明显优于球队2(答案不唯一，合理即可)． 例3　(1)条形　(2)扇形　(3)折线 练3　C 课堂小测 1．D　2.B　3.七 4．解：(1)补全条形统计图如图． (2)最感兴趣习俗为吃杧果的学生中男生的人数为80－80×70%＝24(人)． (3)不同意，理由如下： 女生喜欢晒衣服的人数为20×80%＝16(人)，女生喜欢吃杧果的人数为80×70%＝56(人)，16<56， 所以女生喜欢晒衣服的人数比吃杧果的人数少． 章末复习　 第15章　数据的收集与表示 思维导图 略． 大单元串联 问题1　解：(1) 商场去年1—5月的销售总额统计表 月份 1月 2月 3月 4月 5月 销售总额(万元) 180 90 115 95 120 每月销售额占前5个 月销售总额的百分比 (精确到千分位) 30.0% 15.0% 19.2% 15.8% 20.0% 补全条形统计图如图①. (2)扇形统计图如图②，折线统计图如图①. (3)折线　(4)36 不同意他的看法，理由：家电部4月的销售额是95×32%＝30.4(万元)＜36万元．所以家电部5月的销售额比4月多． 问题2　解：(1)B；8.4% (2)D卖区销售额最低，应该加强管理(答案不唯一)． ( 4 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$