精品解析：浙江省宁波市奉化中学2024-2025学年高一上学期分班考试数学试卷

奉化中学2024分班考数学 一、单选题 1. 已知函数在R上单调递增，则a取值范围是（ ） A B. C. D. 2. “四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 4. 已知，且，则下列不等式中恒成立是（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，定义集合，则中元素的个数为 A 77 B. 49 C. 45 D. 30 二、多选题 6. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数成为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是偶函数 C. 任意一个非零有理数，对任意恒成立 D. 存在三个点，使得为等边三角形 7. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 三、填空题 8. ，则的最小值为______. 9. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 四、解答题 10. 已知集合，集合． （1）当时，求和； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 奉化中学2024分班考数学 一、单选题 1. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 2. “四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】四边形是平行四边形不能推出四边形是菱形，但是四边形是菱形能推出四边形是平行四边形，所以“四边形是平行四边形”是“四边形是菱形”的必要不充分条件． 故选：B． 3. 已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（ ） A 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】由题意有，通过分析得到，是满足题意的唯一解，注意检验. 【详解】由题意若不等式在上恒成立， 则必须满足，即， 由，两式相加得， 再由，两式相加得， 结合（4），（5）两式可知，代入不等式组得， 解得， 经检验，当，时，， 有，，满足在上恒成立， 综上所述：满足要求的有序数对为：，共一个. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到，进一步由不等式的性质通过分析即可求解. 4. 已知，且，则下列不等式中恒成立是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用不等式的性质的应用和基本不等式的应用求出结果． 【详解】解：①已知，，且，所以，则，故错误． ②利用分析法：要证，只需证明即可，即，由于，，且，所以：，，故正确． ③，故错误． ④由于，，且， 利用分析法：要证成立，只需对关系式进行平方，整理得，即，故，当且仅当时，等号成立．故错误． 故选：． 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 5. 已知集合，，定义集合，则中元素的个数为 A. 77 B. 49 C. 45 D. 30 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个． 考点：1．集合的相关知识，2．新定义题型． 二、多选题 6. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数成为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是偶函数 C. 任意一个非零有理数，对任意恒成立 D. 存在三个点，使得为等边三角形 【答案】ABCD 【解析】 【分析】依次判断每个选项：，故；判断，为偶函数；判断；取为等边三角形，得到答案. 【详解】，正确； ，偶函数，正确； ，正确； 易知三点构成等边三角形，正确； 故选： 【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数性质的应用能力. 7. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对抽象函数采用赋值法，令、，结合题意可得，对A：令、，代入计算即可得；对B、C、D：令，可得，即可得函数及函数函数性质，代入，即可得. 【详解】令、，则有， 又，故，即， 令、，则有， 即，由，可得， 又，故，故A正确； 令，则有， 即，故函数是奇函数， 有，即， 即函数是减函数， 令，有， 故B正确、C错误、D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到，再重新赋值，得到，再得到. 三、填空题 8. ，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据条件等式可设，代入所求式子，利用二倍角公式和辅助角公式化简，根据三角函数的性质可求出最值. 【详解】，则，即， 设，则， ，其中是辅助角，且， 当时，原式取得最小值. 故答案为：. 【点睛】本题考查条件等式求最值，解题的关键是设，利用三角恒等变换化简可求出. 9. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 【答案】 ①. 130. ②. 15. 【解析】 【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得的最大值. 【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为元, 元时,李明得到的金额为,符合要求. 元时,有恒成立,即,即元. 所以的最大值为. 【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 四、解答题 10. 已知集合，集合． （1）当时，求和； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或，；（2）或. 【解析】 【分析】 （1）当时，得出集合，解分式不等式即可得集合，再根据补集和并集的运算，从而可求出； (2)由题意知，当时，；当时，或，从而可求出实数的取值范围. 【详解】解：（1）由题可知，当时，则， 或， 则， 所以. （2）由题可知，是的必要不充分条件，则， 当时，，解得：； 当时，或， 解得：或； 综上所得：或. 【点睛】结论点睛： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$