精品解析：2024年辽宁省锦州市第九中学中考数学模拟题1

辽宁省锦州市第九中学中考数学模拟题1 一．选择题 1. 如果风车顺时针旋转66°，记作，那么逆时针旋转，记作（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在数轴上表示正确的是（ ） A B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 7. 一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（ ） A. 直线是的垂直平分线 B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 二．填空题 11. 计算：_____． 12. 在平面直角坐标系中，点P（-1，2）向右平移3个单位长度得到的点的坐标是 ______ ． 13. 一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B都在反比例函数图象上，延长交y轴于点C，过点A作轴于点D，连接并延长，交x轴于点E，连接．若，的面积是，则k的值为_____． 15. 如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当点H为三等分点时，的长为_______． 三．解答题 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 17. 某校兴趣小组通过调查，形成了如下调查报告（不完整）． 调查目的 1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目 2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 调查内容 你最喜爱的一个球类运动项目（必选） A．篮球 B．乒乓球 C．足球 D．排球 E．羽毛球 调查结果 建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽查了多少名学生？ （2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数． （3）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 18. 风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； （2）卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？ 19. 如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 20. 如图，是的直径，A是延长线上的一点，点E在上，，交的延长线于点C，交于点F，且点E是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何探测弹射飞机的轨道设计 素材1 图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x与飞行时间t的函数关系式为：、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）的变化满足二次函数关系，数据如表所示． （图1） 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行高度 0 10 16 18 16 … 素材2 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为飞机回收区域，已知，． （图2） 问题解决 任务1 确定函数表达式 求y关于t函数表达式 任务2 探究飞行距离 当飞机落地（高度为）时，求飞机飞行水平距离． 任务3 确定弹射口高度 当飞机落到内（不包括端点A，B），求发射台弹射口高度（结果为整数） 23. 矩形ABCD中，＝（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F． （1）【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF； 小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整． 证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH． ∵k＝2， ∴AB＝BC． ∵∠B＝90°，BH＝BE， ∴∠1＝∠2＝45°， ∴∠AHE＝180°-∠1＝135°． ∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°， ∴∠3＝∠DCG＝45°． ∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°． ∴…… （只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程） （2）【类比探究】如图（2），当k≠2时，求的值（用含k的式子表示）； （3）【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，，求BC的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省锦州市第九中学中考数学模拟题1 一．选择题 1. 如果风车顺时针旋转66°，记作，那么逆时针旋转，记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，明确相反意义的量是解答本题的关键，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．正确审题明确正负的意义，即得答案． 【详解】如果风车顺时针旋转，记作，那么逆时针旋转，记作． 故选：A． 2. 如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从上往下看得到的图形就是俯视图，可得答案． 【详解】解：根据题意得： 这个几何体的俯视图是： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上往下看得到的图形就是俯视图． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方及积的乘方可进行求解． 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算正确，故符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法、幂的乘方及积的乘方，熟练掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方及积的乘方是解题的关键． 4. 在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式解集，注意区分方向和实心、空心点．表示数轴上2左边的部分，且2处是实心点，据此来判断． 【详解】解：表示数轴上2左边的部分，且2处是实心点， 故选：C． 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】对于，当, 方程有两个不相等的实根，当, 方程有两个相等的实根，, 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 6. 如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7. 一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】挂重后弹簧长度等于不挂重时的长度加上挂重后弹簧伸长的长度，据此即可求得函数关系式． 【详解】解：由题意知：； 故选：B． 【点睛】本题考查了求函数关系式，正确理解题意关键． 8. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（ ） A. 直线是的垂直平分线 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线是的垂直平分线、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质等知识，分别进行判断即可． 【详解】解：A．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，故选项正确，不符合题意； B．由作图过程可知，直线是的垂直平分线， ∴点E是的中点，， 在中，， ∴， ∴， 即点D是的中点， ∴， 故选项正确，不符合题意； C．∵点D是的中点，点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选项正确，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∴， 故选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键． 9. 如图，在菱形中，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接与交于O．先证明是等边三角形，由，得到，，即可得到，利用勾股定理求出的长度，即可求得的长度． 【详解】解：连接与交于O． ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵，且， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、角所对直角边等于斜边的一半，关键是熟练掌握菱形的性质． 10. 如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，求出，，求出，根据勾股定理求出，求出，根据三角形的中位线求出，根据相似三角形的判定得出，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解析：四边形是矩形，，， ，，， 点E、F分别为、的中点， ，， ， ， ， ． 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键． 二．填空题 11. 计算：_____． 【答案】4 【解析】 【分析】分别进行乘方运算和开根号，相加即可． 【详解】原式=1+3=4． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，准确进行幂的运算是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中，点P（-1，2）向右平移3个单位长度得到的点的坐标是 ______ ． 【答案】（2，2） 【解析】 【分析】将点P的横坐标加3，纵坐标不变即可求解． 【详解】解：点P（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的点的坐标是（﹣1+3，2），即（2，2）． 故答案为：（2，2）． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 13. 一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出总的所有可能结果数及摸出的球是红球的所有可能数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：不透明的袋子里装有将5个球，其中3个红色的， 任意摸出1个，摸到红球的概率是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，用到知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B都在反比例函数的图象上，延长交y轴于点C，过点A作轴于点D，连接并延长，交x轴于点E，连接．若，的面积是，则k的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出是解题的关键． 过点作于点，连接，设点坐标为，点的坐标为，则，证明，则，得到，根据，进一步列式即可求出的值． 【详解】解：过点作于点，连接， 设点的坐标为，点的坐标为，则， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 则， 即， 解得：， 故答案为：6． 15. 如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当点H为三等分点时，的长为_______． 【答案】4或 【解析】 【分析】根据点为三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明，得到，证明，求出的长，过点作于点，则，设，根据勾股定理列方程求出即可． 【详解】解：当时，， ∵将矩形纸片折叠，折痕为， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：4或． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定及性质，考查了分类讨论的思想，根据勾股定理列方程求解是解题的关键． 三．解答题 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）6；（2），5 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，分式的化简求值，正确掌握分式和有理数混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数混合运算的法则把原式进行化简即可； （2）首先对括号内的分式进行通分相减，转化为乘法运算，然后进行约分即可，最后把x的值代入化简的结果中即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ， 将代入得． 17. 某校兴趣小组通过调查，形成了如下调查报告（不完整）． 调查目的 1．了解本校初中生最喜爱的球类运动项目 2．给学校提出更合理地配置体育运动器材和场地的建议 调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分初中生 调查内容 你最喜爱的一个球类运动项目（必选） A．篮球 B．乒乓球 C．足球 D．排球 E．羽毛球 调查结果 建议 …… 结合调查信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽查了多少名学生？ （2）估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数． （3）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 【答案】（1）100 （2）360 （3）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】（1）根据乒乓球人数和所占比例，求出抽查的学生数； （2）先求出喜爱篮球学生比例，再乘以总数即可； （3）从图中观察或计算得出，合理即可． 【小问1详解】 被抽查学生数：， 答：本次调查共抽查了100名学生． 【小问2详解】 被抽查的100人中最喜爱羽毛球的人数为：， ∴被抽查的100人中最喜爱篮球的人数为：， ∴（人）． 答：估计该校900名初中生中最喜爱篮球项目的人数为360． 【小问3详解】 答案不唯一，如：因为喜欢篮球的学生较多，建议学校多配置篮球器材、增加篮球场地等． 【点睛】本题考查从条形统计图和扇形统计图获取信息的能力，并用所获取的信息反映实际问题． 18. 风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等． （1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； （2）卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？ 【答案】（1）一个部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨 （2）6套 【解析】 【分析】（1）设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．然后根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可； （2）设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．根据“载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行”列不等式再结合为整数求解即可． 【小问1详解】 解：设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨． 根据题意，得， 解得． 答：一个A部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨． 【小问2详解】 解：设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥． 根据题意，得． 解得． 因为为整数，取最大值，所以． 答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键． 19. 如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下： 课题 检测新生物到皮肤的距离 工具 医疗仪器等 示意图 说明 如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为． 测量数据 ，， 请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】新生物处到皮肤的距离约为 【解析】 【分析】过点作，垂足为，在，用 与的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，联立求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为． 由题意得，，， 在中，． 在中，． ∵， ∴， ∴． 答：新生物处到皮肤的距离约为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关键． 20. 如图，是的直径，A是延长线上的一点，点E在上，，交的延长线于点C，交于点F，且点E是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理及等腰三角形的性质可得，经过角的转化即可证明，再根据切线的判定定理可得答案； （2）设的半径为r，在中，由勾股定理可得关于r的方程，求出r的值，再根据等角，利用三角函数即可求出的值． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为直径， ∴， 又， ∴， 又， ∴， 又E为中点， ∴， ∴， 即 ∴， 则为的切线． 【小问2详解】 设半径为r ， ∵为的切线， ∴， 即为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中， ， ∴在中， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及锐角的三角函数等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 21. 【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析 【解析】 分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可； 任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； 任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值； （2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可； 任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素． 【详解】解：任务1：变化量分别，；； ；； 任务2：设， ∵时，，时，； ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． 任务3：（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． （2）设，则 ． 当时，w最小． ∴优化后的函数解析式为． 任务4：时间刻度方案要点： ①时间刻度的0刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大； ③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何探测弹射飞机的轨道设计 素材1 图1是某科技兴趣小组的同学们制做出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x与飞行时间t的函数关系式为：、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）的变化满足二次函数关系，数据如表所示． （图1） 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行高度 0 10 16 18 16 … 素材2 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为飞机回收区域，已知，． （图2） 问题解决 任务1 确定函数表达式 求y关于t的函数表达式 任务2 探究飞行距离 当飞机落地（高度为）时，求飞机飞行的水平距离． 任务3 确定弹射口高度 当飞机落到内（不包括端点A，B），求发射台弹射口高度（结果为整数） 【答案】（1）（2）（3），， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）令二次函数代入函数解析式即可求解； （3）设发射台弹射口的高度为，则飞机的飞行高度为，结合，即可求解． 【详解】解：（1）设y关于t的函数表达式为， 将，，代入得， ， 解得，， 故y关于t的函数表达式为； （2）当飞机落地时，即， ，即 解得，或（舍去）， ， 时，， 故飞机落地时，飞行的水平距离为； （3）若飞机落在内，则， 即， ， 设发射台弹射口的高度为，则飞机的飞行高度为， 当，时，，解得，， 当，时，，解得，， ， 故发射台弹射口高度为，，． 【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23. 矩形ABCD中，＝（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F． （1）【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF； 小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整． 证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH． ∵k＝2， ∴AB＝BC． ∵∠B＝90°，BH＝BE， ∴∠1＝∠2＝45°， ∴∠AHE＝180°-∠1＝135°． ∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°， ∴∠3＝∠DCG＝45°． ∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°． ∴…… （只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程） （2）【类比探究】如图（2），当k≠2时，求的值（用含k的式子表示）； （3）【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，，求BC的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明△AHE≌△ECF（ASA）即可； （2）在BA上截取BH=BE，连接EH．证明△AHE∽△ECF，即可求解； （3）以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H，设AB=3a，则BC=2a，连接P'E，HE，延长P'H交CD于点G，连接EG，证明△AEP'≌△AEP（SAS），△PEG≌△P'EH（AAS），可得四边形APEP'是正方形，再证明△APD≌△PEC（AAS），由（2）得△AHE∽△ECF，过点P作PK⊥AE交于K，进而证明四边形PKEF是矩形，则有PF==a，即可求出BC=． 【小问1详解】 证明：如图，在BA上截取BH=BE，连接EH． ∵k=2， ∴AB=BC． ∵∠B=90°，BH=BE， ∴∠1=∠2=45°， ∴∠AHE=180°-∠1=135°， ∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°， ∴∠3=∠DCG=45°， ∴∠ECF=∠3+∠4=135°， ∵AE⊥EF， ∴∠6+∠AEB=90°， ∵∠5+∠AEB=90°， ∴∠5=∠6， ∵AB=BC，BH=BE， ∴AH=EC， ∴△AHE≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF； 【小问2详解】 解：在BA上截取BH=BE，连接EH． ∵∠B=90°，BH=BE， ∴∠BHE=∠BEH=45°， ∴∠AHE=135°， ∵CF平分∠DCG，∠DCG=90°， ∴∠DCF=∠DCG=45°． ∴∠ECF=135°， ∵AE⊥EF， ∴∠FEC+∠AEB=90°， ∵∠BAE+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠FEC， ∴△AHE∽△ECF， ∴， ∵，E是BC边的中点， ∴EC=HB=BC， ∴AH=AB-BC=BC， ∴； 【小问3详解】 解：以A为旋转中心，△ADP绕A点旋转90°到△AP'H， ∵k=3， ∴， 设AB=3a，则BC=2a， ∵∠PAE=45°， ∴∠P'AP=90°， 连接P'E，HE，延长P'H交CD于点M，连接EM， ∵AH=AD=2a， ∴BH=a， ∵E是BC的中点， ∴BE=a， ∴HE=a，∠BHE=45°， ∴∠P'HE=135°， ∵CG=EC=a， ∴∠MEC=45°， ∴∠PME=135°， ∵AP'=AP，∠PAE=∠P'AE，AE=AE， ∴△AEP'≌△AEP（SAS）， ∴PE=P'E， ∴△PEM≌△P'EH（AAS）， ∴∠PEG=∠P'EH， ∵∠HEG=∠EGH=45°， ∴∠HEG=90°， ∴∠PEP'=90°， ∴∠AEP=∠AEP'=45°， ∴∠APE=∠AP'E=90°， ∴四边形APEP'是正方形， ∴AP=PE， ∵∠DAP+∠APD=90°，∠APD+∠EPC=90°， ∴∠DAP=∠EPC， ∵AP=PE， ∴△APD≌△PEC（AAS）， ∴AD=PC=2a，PD=ED=a， ∴PE=a， 由（2）得△AHE∽△ECF， ∴， ∵ ∴， ∵∠HEM=∠AEF=90°， ∴∠HEA=∠MEF， ∵∠PEM=∠P'EH， ∴∠PEF=∠P'EH=45°， 过点P作PK⊥AE交于K， ∵EF⊥AE， ∴PKEF， ∵， ∴PK=EF， ∴四边形PKEF是矩形， ∴PF=KE， ∵， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形是判定及性质，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$