贵州省清镇市贵化中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年第二学期 高一数学试卷 2024年6月 注意事项： 1.试卷共4页，满分100分，考试时间120分钟. 2.答案一律写在答题卡上，写在试卷上不给分. 3.考试过程中不得使用计算器. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.每小题有四个选项，其中只有一个选项正确，请将你认为正确的选项填在答题卡相应的位置上.） 1．设，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法错误的是（   ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为300，450，250，500件，为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取90件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件数为（   ） A．15 B．18 C．27 D．30 4. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 两条直线和一个平面所成的角相等是这两条直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6．已知，，且，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7. 正方体的棱长为，则平面到平面的距离为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（   ） A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心 C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心 二、多项选题（本大题共2小题，每小题4分，共8分.每小题有四个选项，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，选全对得4分，部分选对得2分，有选错得0分.） 9．下列命题正确的是（   ） A．若复数，则在复平面内对应的点在第四象限 B．若复数，则 C．若复数，则或 D．若复数是纯虚数，则或 10. 过大小为二面角内一点向半平面作，垂足为,向半平面作,垂足为,且,则下列说法正确的是（ ） A. B. 的面积的最大值为 C. 点到的距离为2 D. 若二面角的半平面过直线,半平面过直线,则二面角的大小为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请将你认为正确的答案填在答题卡的相应位置上.） 11. 已知向量，则 . 12. 若某校高一年级10个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，96，95，则这组数据的众数是 ；中位数是 ． 13. 长方形中，，沿对角线把平面折起，使平面平面，则折叠后的余弦值为 . 14. 已知中角所对的边分别为，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出.若的周长为18，，则的面积为 . 15. 在一个棱长为4的正方体封闭容器内放入一个半径为1的小球，摇晃容器使得小球在容器内朝着任意方向自由运动，则容器内小球不可能到达的容积为 . 四、解答题（本大题共4小题，每小题8分，共32分.解答写相应的文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．在中，已知在线段上，且，设． (1)用向量表示； (2)若，求． 17. 如图，在四面体ABCD中，平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且． （1）求证：平面BCD． （2）若三角形为边长为2的正三角形，, 求异面直线BM和AC所成角的余弦值 . 18. 记的内角的对边分别为，，，已知. (1) 求角的大小； (2) 设，求的周长. 19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，， 侧面侧面为的中点. （1）求证：平面平面. （2）若直线与平面所成的角为时，求二面角的大小. 五、阅读与探究（本大题共1小题，共8分.解答应写出文字说明，条理清晰.） 20．阅读下面的两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为．这个公式称之为秦九韶公式. 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》或称《测地术》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式 . 请你解答下面的两个问题： (1)已知的三条边为，，，求这个三角形的面积； (2)请从秦九韶公式和海伦公式中任选一个公式进行证明．（如果多做，则按所做的第一个证明记分） 高一数学第4页，共4页 高一数学第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 2023-2024学年第二学期“参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C B D B A AB ABC 填空题 11、或 12、96, 92.5 13、 14、 15、 解答题 16．【详解】（1）因为，所以， 由题得；………………4分 （2）由已知得， ．………………8分 17.【详解】（1）证明：如图所示，取BD中点O，且P是BM中点， ∴ PO//MD且POMD， 取CD的四等分点H，使DH＝3CH，且AQ＝3QC， ∴ PO//QH且PO＝QH， ∴ 四边形OPQH为平行四边形， ∴ PQ//OH，PQ在平面BCD外，且OH⊂平面BCD， ∴ PQ//平面BCD．………………4分 (2) 取CD的中点E，连接ME，则角为异面直线BM和AC所成的角， 通过解三角形可得余弦值为. ………………8分 18．【详解】（1）由及正弦定理， 得，即， 所以，因为，所以. ………………4分 （2）∵，∴，∵，∴， ∵，，∴， ∴， ∴的周长为.………………8分 19.（1）证明：且为的中点，. 又. 为的中点，平面为菱形，， . 又平面平面， 平面.平面平面平面.………………4分 （2）取的中点，连接. 平面平面平面. 又与平面所成角的大小为. . 由（1）知平面，又平面. . 取的中点，连接， ， 即是二面角的平面角. 又， ， ，即.………………8分 20． 【详解】（1）由题意得：， 由海伦公式得：.………………4分 （2）证明秦九韶公式如下： 在中，，，， 过点作，设，，， 由得：，，， . 证明海伦公式如下： 根据秦九韶公式得： 设， .………………………………………………………8分 答案第2页，共3页 答案第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$