2024年中考数学二轮专项训练讲义：二次函数与三角形综合压轴

二次函数与三角形综合 知识精讲 一、二次函数与特殊三角形存在性问题 等腰三角形存在性问题 主要考查数形结合思想和综合分析问题的能力，这类问题主要是以一点（或以一条线段）为依托，动点和函数思想相结合的几何图形为背景，动点为元素，构造动态型几何问题．本类题型考察的方向有两个： ①考查“分类讨论”的基本思想，分类讨论主要讨论谁为腰谁为底； ②考查“函数与方程的思想”．利用两腰相等或其他数量关系建立方程． 等腰三角形——“两圆一线” 常用到的解题方法： 1.求某线段的垂直平分线解析式：两直线斜率乘积为-1；中点坐标公式 2.灵活的运用二次函数的对称性简化运算 3.利用等腰三角形三线合一 直角三角形存在性问题 1．找点： 在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点；以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直；以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点． 2．求解方法： 以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则利用勾股定理或者构造相似求解；以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者三边分别表示之后，利用勾股定理求解． 本类题型考察的方向有两个； ①考查“分类讨论”的基本思想；②考查“勾股定理”． 直角三角形——“两线一圆 常用到的解题方法： 1.求过某点的已知直线的垂线：利用两直线斜率乘积为-1求解 2.直径所对圆周角是直角，适当的时候可以通过构造辅助圆解题 3.直角三角形斜边中线等于斜边一半 4.除勾股定理外还可以利用相似求解线段长 （1）射影定理 AC2=AD·AB；BC2=BD·BA；DC2=DA·DB （2）K型图 BD·BE=AD·CE   二、二次函数与相似三角形相结合 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径  ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。  ②利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。   ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解 两个定三角形相似 1．已知有一个角相等的情形：运用两点之间的距离公式求出已知角的两条边，验证是否成比例，若成比例，则相似，否则不相似； 2．不知道是否有一个角相等的情形：运用两点之间的距离公式求出两个三角形各边的长，验证是否成比例，若成比例，则相似，否则不相似． 动△和定△相似 1．已知有一个角相等的情形：先借助相应的函数关系式，把动点坐标表示出来（用字母表示），然后把两个目标三角形中相等的那个已知角作为夹角，分别计算或者表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的两边对应成比例（要注意是否有两种情况），列出方程，解此方程即可求出动点的横坐标，进而求出纵坐标，注意舍去不合题意的点； 2．不知道是否有一个角相等的情形：在定三角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观察法得出某一个角是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，在动点坐标用字母表示后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，然后为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题，最后验证已知角的两边是否成比例，若成比例，则动点坐标符合题意，否则满足条件的点不存在． [例]如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C，P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由   【方法点拨】 1.根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度；  2.待定系数法求解相关函数的解析式；  3.相似三角形中，注意寻找不变的量和相等的量（角和线段）；  4.当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时，注意利用相似三角形的转化求解；  5.根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想；  6.注意利用好二次函数的对称性；  7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。 8.认真审题，检验结果是否符合题目中的范围限制；或利用题目中所给范围减少分类的情况，简化运算 三点剖析 一、考点：二次函数中等腰、直角三角形存在性问题；二次函数与相似三角形结合 二、重难点： 1.数形结合思想、方程思想、分类讨论思想的综合运用； 2.特殊三角形、相似三角形的判定方法 三、易错点： 1.分类讨论； 2.找准对应角与对应线段； 3.不要忽略二次函数本身的对称性，还有等腰、直角三角形本身的性质； 4.注意题目中的范围限制 题模精讲 题模一：二次函数与三角形综合 例1.1.1 如图，直线y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B． （1）求点B的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N． ①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标； ②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值． 例1.1.2 如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC． （1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状； （2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？ （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例1.1.3 已知：如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标； （3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例1.1.4 如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B（﹣2，0）、C（8，0）两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC、AB． （1）求该二次函数的表达式； （2）判断△ABC的形状，并加以说明； （3）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． （4）若点P是抛物线上的动点，则能使△PDC称为等腰三角形的点P的个数有 个． 例1.1.5 如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标． 随堂练习 随练1.1 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A（8，0）、B（0，4）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段CA、OA、AB和抛物线于点M、E、Q和点P，连接PA、PB，设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，当t为何值时，线段PQ最长？ （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使△PAM的内角为直角？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（温馨提示：若直线y＝k1x＋b1与直线y＝k2x＋b2垂直，则k1•k2＝－1）． 随练1.2 如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP． （1）填空：抛物线的解析式为________，点C的坐标________； （2）点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标； （3）如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q'，请直接写出当点Q'落在坐标轴上时点P的坐标． 随练1.3 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c关于直线对称，且经过A、C两点，与x轴交于另一点为B． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，过点P作PQ⊥x轴于M，交AC于Q，求PQ的最大值，并求此时△APC的面积； （3）在抛物线的对称轴上找出使△ADC为直角三角形的点D，直接写出点D的坐标． 随练1.4 如图，直线y＝－x－4与抛物线y＝ax2＋bx＋c相交于A，B两点，其中A，B两点的横坐标分别为－1和－4，且抛物线过原点． （1）求抛物线的解析式； （2）在坐标轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点P是线段AB上不与A，B重合的动点，过点P作PE∥OA，与抛物线第三象限的部分交于一点E，过点E作EG⊥x轴于点G，交AB于点F，若S△BGF＝3S△EFP，求的值． 随练1.5 如图，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连结，点在抛物线上，直线与轴交于点． （1）求的值及直线的函数表达式； （2）点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，连结与直线交于点，连结并延长交于点，若为的中点． ①求证：； ②设点的横坐标为，求的长（用含的代数式表示）． 能力拓展 拓展1 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y＝ax2＋bx过A、C两点． （1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E． ①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？ ②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值． 拓展2 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0）和点B，与y轴交于C（0，3），直线经过点C，与抛物线的另一交点为点D，点P是直线CD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线解析式并求出点D的坐标； （2）连接PD，△CDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△CPE是等腰三角形时，请直接写出m的值． 拓展3 如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0） （1）求抛物线的解析式及其对称轴． （2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由． （3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值； （4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 拓展4 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度的最大值． （3）线段，当线段（点在点的下方）在线段上滑动时，是否存在以，，为顶点的三角形和相似？若存在，直接写出所有符合条件的点的横坐标；若不存在，请说明理由． 答案解析 二次函数与三角形综合 题模精讲 题模一：二次函数与三角形综合 例1.1.1 【答案】（1）B（0，2）；y=﹣x2+x+2（2）；m的值为或﹣1或﹣ 【解析】（1）∵y=﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B， ∴0=﹣2+c，解得c=2， ∴B（0，2）， ∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2； （2）①由（1）可知直线解析式为y=﹣x+2， ∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N， ∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2）， ∴PM=﹣m+2，PA=3﹣m，PN=﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m2+4m， ∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM， ∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°， 当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN， ∴BN=OM=m， ∴=，即=，解得m=0（舍去）或m=2.5， ∴M（2.5，0）； 当∠NBP=90°时，则有=， ∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣m+2）， ∴BP==m，AP==（3﹣m）， ∴=，解得m=0（舍去）或m=， ∴M（，0）； 综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）； ②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2）， ∵M，P，N三点为“共谐点”， ∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点， 当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）=﹣m2+m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m=； 当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1； 当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2=2（﹣m2+m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣； 综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣． 例1.1.2 【答案】（1）y=x2﹣x，直角三角形 （2） （3）存在，M1（，），M2（，），M3（，），M4（，﹣） 【解析】（1）∵直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点， ∴A（5，0），B（0，10）， ∵抛物线过原点，∴设抛物线解析式为y=ax2+bx， ∵抛物线过点A（5，0），C（8，4），∴， ∴，∴抛物线解析式为y=x2﹣x， ∵A（5，0），B（0，10），C（8，4）， ∴AB2=52+102=125，BC2=82+（10﹣4）2=100，AC2=42+（8﹣5）2=25， ∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形． （2）如图1， 当P，Q运动t秒，即OP=2t，CQ=10﹣t时， 由（1）得，AC=OA，∠ACQ=∠AOP=90°， 在Rt△AOP和Rt△ACQ中，， ∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，∴OP=CQ， ∴2t=10﹣t，∴t=，∴当运动时间为时，PA=QA； （3）存在，∵y=x2﹣x，∴抛物线的对称轴为x=， ∵A（5，0），B（0，10），∴AB=5 设点M（，m），①若BM=BA时， ∴（）2+（m﹣10）2=125， ∴m1=，m2=， ∴M1（，），M2（，）， ②若AM=AB时，∴（）2+m2=125， ∴m3=，m4=﹣， ∴M3（，），M4（，﹣）， ③若MA=MB时，∴（﹣5）2+m2=（）2+（10﹣m）2， ∴m=5，∴M（，5），此时点M恰好是线段AB的中点，构不成三角形，舍去， ∴点M的坐标为：M1（，），M2（，），M3（，），M4（，﹣）， 例1.1.3 【答案】（1）y=﹣x2+x+4 （2）（1，0） （3）存在，P（1+，2）或P（1﹣，2）或P（1+，3）或P（1﹣，3） 【解析】（1）由题意，得 解得（2分） ∴所求抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+4． （2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G． 由﹣x2+x+4=0，得x1=﹣2，x2=4 ∴点B的坐标为（﹣2，0）∴AB=6，BQ=m+2 ∵QE∥AC∴△BQE∽△BAC∴即 ∴∴S△CQE=S△CBQ﹣S△EBQ=BQ•CO﹣BQ•EG =（m+2）（4﹣）==﹣（m﹣1）2+3 又∵﹣2≤m≤4∴当m=1时，S△CQE有最大值3，此时Q（1，0）． （3）存在．在△ODF中． （ⅰ）若DO=DF ∵A（4，0），D（2，0） ∴AD=OD=DF=2 又在Rt△AOC中，OA=OC=4 ∴∠OAC=45度 ∴∠DFA=∠OAC=45度 ∴∠ADF=90度．此时，点F的坐标为（2，2） 由﹣x2+x+4=2， 得x1=1+，x2=1﹣ 此时，点P的坐标为：P（1+，2）或P（1﹣，2）． （ⅱ）若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M 由等腰三角形的性质得：OM=OD=1 ∴AM=3∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3∴F（1，3） 由﹣x2+x+4=3，得x1=1+，x2=1﹣ 此时，点P的坐标为：P（1+，3）或P（1﹣，3）． （ⅲ）若OD=OF∵OA=OC=4，且∠AOC=90°∴AC= ∴点O到AC的距离为，而OF=OD=2，与OF≥2矛盾，所以AC上不存在点使得OF=OD=2， 此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形 综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形 所求点P的坐标为：P（1+，2）或P（1﹣，2）或P（1+，3）或P（1﹣，3）． 例1.1.4 【答案】见解析 【解析】（1）∵二次函数y=ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于B（﹣2，0）、C（8，0）两点， ∴ 解得， ∴该二次函数的解析式为y=﹣x2+x+4； （2）令x=0，则y=﹣x2+x+4=4， ∴A（0，4）， ∵B（﹣2，0）、C（8，0）， ∴AB2=42+22=20，AC2=82+42=80，BC2=（8+2）2=100， ∴AB2+AC2=BC2， ∴△ABC是直角三角形； （3）在线段BC上是存在点E，使得△CDE为等腰三角形， 由二次函数y=﹣x2+x+4知对称轴x=3， ∴D（3，0）． ∵C（8，0）， ∴CD=5． 设AC的解析式为y=kx+b， 将A、C点坐标代入，得， 解得， AC的解析式为y=﹣x+4． E在线段AC上，设E点坐标为（m，﹣m+4）． ①当CD=DE时，即（m﹣3）2+（﹣m+4）2=25，解得m1=0，m2=8（不符合题意舍去）， 当m=0时，﹣m+4=4， ∴E1（0，4）； ②当EC=DE时，（m﹣8）2+（﹣m+4）2=（m﹣3）2+（﹣m+4）2，解得m3=， 当m=时，﹣m+4=， ∴E2（，）； ③当CD=CE时，（m﹣8）2+（﹣m+4）2=25，解得m4=8+2，m5=8﹣2（不符合题意舍）， 当m=8+2时，﹣m+4=﹣，即E3（8+2，﹣）； 综上所述：所有符合条件的点E的坐标为E1（0，﹣4）； E2（，）；E3（8+2，﹣）． （4）①当CD是等腰三角形的底时，线段CD的垂直平分线与抛物线的一个交点即为P点； ②当CP为底时，以D为圆心，以5为半径的圆与抛物线的4个交点中的2个（除去B、C点）即为所求的P点； ③当PD为底时，以C为圆心，以5为半径的圆与抛物线的2个交点即为P点； 故能使△PDC称为等腰三角形的点P的个数有5个． 故答案为5． 例1.1.5 【答案】（1）；（2）见解析；（3）D（2，1） 【解析】（1）∵该抛物线过点C（0，﹣2）， 设该抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣2． 将A（4，0），B（1，0）代入， 得， 解得， ∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2． （2）存在． 如图，设P点的横坐标为m， 则点P的纵坐标为， 当1＜m＜4时， AM=4﹣m，PM=， 又∵∠COA=∠PMA=90°， ∴①当=2时，△APM∽△ACO， ∴=2，即|4﹣m|=2（）， ∴4﹣m=m2+5m﹣4， ∴m2﹣6m+8=0， ∴（m﹣2）（m﹣4）=0， 解得：m1=2，m2=4（舍去） ∴P（2，1） ②当= ，△APM∽△CAO， 那么有：2|4﹣m|=， ∴2（4﹣m）=﹣m2+m﹣2， ∴m2﹣9m+20=0， ∴（m﹣4）（m﹣5）=0， 解得：m1=4（舍去），m2=5（舍去）， ∴当1＜m＜4时，P（2，1）， 类似地可求出当m＞4时，P（5，﹣2）， 当m＜1时，P（﹣3，﹣14）， 当P，C重合时，△APM≌△ACO，P（0，﹣2）． 综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）或（0，﹣2）； （3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2． 过D作y轴的平行线交AC于E． 由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2． ∴E点的坐标为（t，t﹣2）． ∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t． ∴S△DAC=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4． ∴当t=2时，△DAC面积最大． ∴D（2，1）． 随堂练习 随练1.1 【答案】（1） （2）t＝2 （3）见解析 【解析】（1）由题意可得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）设直线AB解析式为y＝kx＋b， 由题意可得，解得， ∴直线AB解析式为， 由题意可得OE＝2t， ∴E（2t，0）， ∴P（2t，－2t2＋7t＋4），Q（2t，－t＋4）， ∴PQ＝（－2t2＋7t＋4）－（－t＋4）＝－2t2＋8t＝－2（t－2）2＋8， ∵－2＜0， ∴当t＝2时，PQ有最大值，最大值为8； （3）∵PM∥y， ∴∠AMP＝∠ACO＝90°， ∵∠APM是锐角， ∴要使△PAM的内角为直角，只能是∠PAM＝90°， ∴AC⊥AP， ∵AB＝AC，AO⊥BC， ∴OB＝OC＝4， ∴C（0，－4）， ∴可设直线AC解析式为y＝sx－4， 把A点坐标代入可得0＝8s－4，解得， ∴直线AC解析式为， ∴可设直线AP解析式为y＝－2x＋m， 把A点坐标代入解得m＝16， ∴直线AP解析式为y＝－2x＋16， 联立直线AP和抛物线解析式可得，解得或（舍去）， ∴P点坐标为（3，10）， 即存在满足条件的P点，其坐标为（3，10）． 随练1.2 【答案】（1）y＝－x2＋3x＋4；（－1，0） （2）或 （3）（4，0）或（5，－6）或（2，6） 【解析】（1）把A（0，4），B（4，0）分别代入y＝－x2＋bx＋c得，解得， ∴抛物线解析式为y＝－x2＋3x＋4， 当y＝0时，－x2＋3x＋4＝0，解得x1＝－1，x2＝4， ∴C（－1，0）； （2）∵△AQP∽△AOC， ∴， ∴，即AQ＝4PQ， 设P（m，－m2＋3m＋4）， ∴m＝4|4－（－m2＋3m＋4|，即4|m2－3m|＝m， 解方程4（m2－3m）＝m得m1＝0（舍去），，此时P点坐标为； 解方程4（m2－3m）＝－m得m1＝0（舍去），，此时P点坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）设P（m，－m2＋3m＋4）（）， 当点Q′落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图2， 则PQ＝4－（－m2＋3m＋4）＝m2－3m， ∵△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q'， ∴∠AQ′P＝∠AQP＝90°，AQ′＝AQ＝m，PQ′＝PQ＝m2－3m， ∵∠AQ′O＝∠Q′PH， ∴Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP， ∴，即，解得Q′B＝4m－12， ∴OQ′＝m－（4m－12）＝12－3m， 在Rt△AOQ′中，42＋（12－3m）2＝m2， 整理得m2－9m＋20＝0，解得m1＝4，m2＝5，此时P点坐标为（4，0）或（5，－6）； 当点Q′落在y轴上，则点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形， ∴PQ＝AQ′， 即|m2－3m|＝m， 解方程m2－3m＝m得m1＝0（舍去），m2＝4，此时P点坐标为（4，0）； 解方程m2－3m＝－m得m1＝0（舍去），m2＝2，此时P点坐标为（2，6）， 综上所述，点P的坐标为（4，0）或（5，－6）或（2，6） 随练1.3 【答案】（1） （2）4 （3），，， 【解析】（1）令，解得：x＝4， 即点A的坐标为（4，0）． ∵A、B关于直线对称， ∴点B的坐标为（﹣1，0）． 令x＝0，则y＝2， ∴点C的坐标为（0，2）， ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、B、C， ∴有 解得：，，c＝2． 故抛物线解析式为； （2）直线AC的解析式为，即， 设点Q的坐标为；则P点坐标为， ∴， ∴当m＝2时，PQ最大＝2， 此时点P（2，3）S△PAC＝S梯形OCPM＋S△PMA﹣S△AOC＝5＋3﹣4＝4； （3）D点的坐标为，，，． 解法如下：假设存在，设D点的坐标 △ADC为直角三角形分三种情况： ①当点C为直角顶点时：作DM⊥y轴于M 由△CD1M∽△ACO可得： ∴，CM＝3∴OM＝5即 ②同理当点A为直角顶点时可求 ③当点D为直角顶点时： 过D3作MN⊥y轴 由△CD3M∽△D3NA可得： ∴，可得： 解得：，， 故D点的坐标为，，，． 随练1.4 【答案】（1）y＝x2＋4x （2）（0，）或（0，）或（，0）或（，0）或（－1，0）或（0，1）或（2，0）或（0，）或（0，） （3） 【解析】（1）∵A，B两点在直线y＝－x－4上，且横坐标分别为－1、－4， ∴A（－1，－3），B（－4，0）， ∵抛物线过原点， ∴c＝0， 把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为y＝x2＋4x； （2）∵△ABC为等腰三角形， ∴有AB＝AC、AB＝BC和CA＝CB三种情况， ①当AB＝AC时，当点C在y轴上，设C（0，y）， 则，， ∴，解得或， ∴C（0，）或（0，）； 当点C在x轴上时，设C（x，0），则， ∴，解得x＝－4或x＝2，当x＝－4时，B、C重合，舍去， ∴C（2，0）； ②当AB＝BC时，当点C在x轴上，设C（x，0）， 则有，BC＝|x＋4|， ∴，解得或， ∴C（，0）或（，0）； 当点C在y轴上，设C（0，y），则， ∴，解得或， ∴C（0，）或（0，）； ③当CB＝CA时，则点C在线段AB的垂直平分线与y轴的交点处， ∵A（－1，－3），B（－4，0）， ∴线段AB的中点坐标为， 设线段AB的垂直平分线的解析式为y＝x＋d， ∴，解得d＝1， ∴线段AB的垂直平分线的解析式为y＝x＋1， 令x＝0可得y＝1，令y＝0可求得x＝－1， ∴C（－1，0）或（0，1）； 综上可知存在满足条件的点C，其坐标为（0，）或（0，）或（，0）或（，0）或（－1，0）或（0，1）或（2，0）或（0，）或（0，）； （3）过点P作PQ⊥EF，交EF于点Q，过点A作AD⊥x轴于点D， ∵PE∥OA，GE∥AD， ∴∠OAD＝∠PEG，∠PQE＝∠ODA＝90°， ∴△PQE∽△ODA， ∴，即EQ＝3PQ， ∵直线AB的解析式为y＝－x－4， ∴∠ABO＝45°＝∠PFQ， ∴PQ＝FQ，BG＝GF， ∴EF＝4PQ， ∴GE＝GF＋4PQ， ∵S△BGF＝3S△EFP， ∴， ∴， ∴． 随练1.5 【答案】（1）； （2）①见解析；② 【解析】（1）把点坐标代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为， 令可得，解得或， ∴， 设直线的函数表达式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线的函数表达式为； （2）①∵在中，，在中，， ∴， ∵在中，为的中点， ∴， ∴，且， ∴， ∴； ②如图，过点作轴于点，则， ∵点的横坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 能力拓展 拓展1 【答案】（1） （2）①,最长为2，②有三个时刻，，， 【解析】（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）． 将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y＝ax2＋bx得， 解得，b＝4． 故抛物线的解析式为：； （2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，，即． ∴．PB＝8－t． ∴点E的坐标为（，8－t）． ∴点G的纵坐标为：． ∴． ∵，∴当t＝4时，线段EG最长为2． ②共有三个时刻． （①）当EQ＝QC时， 因为Q（8，t），E（，8－t），QC＝t， 所以根据两点间距离公式，得： ． 整理得13t2－144t＋320＝0， 解得或（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）． （②）当EC＝CQ时， 因为E（，8－t），C（8，0），QC＝t， 所以根据两点间距离公式，得： ． 整理得t2－80t＋320＝0，，（此时Q不在矩形的边上，舍去）． （③）当EQ＝EC时， 因为Q（8，t），E（，8－t），C（8，0）， 所以根据两点间距离公式，得：， 解得t＝0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或． 于是，，． 拓展2 【答案】（1）； （2）存在； （3）或或 【解析】（1）把A（－1，0），C（0，3）分别代入y＝－x2＋bx＋c得，解得， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3； 把C（0，3）代入y，解得n＝3， ∴直线CD的解析式为， 解方程组，解得或， ∴D点坐标为； （2）存在． 设P（m，－m2＋2m＋3），则E（m，）， ∴， ∴， 当，△CDP的面积存在最大值，最大值为1； （3）当PC＝PE时，，解得m＝0（舍去）或； 当CP＝CE时，，解得m＝0（舍去）或（舍去）或； 当EC＝EP时，，解得（舍去）或， 综上所述，m的值为或或． 拓展3 【答案】（1）抛物线的解析式为；对称轴为直线 （2）△AOC∽△COB；理由见解析 （3）4 （4）点Q的坐标为或或（3，0）时，△ACQ为等腰三角形． 【解析】（1）∵点B（8，0）在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 对称轴为直线； （2）△AOC∽△COB． 理由如下：令y＝0，则， 即x2－6x－16＝0， 解得：x1＝－2，x2＝8， ∴点A的坐标为（－2，0）， 令x＝0，则y＝4， ∴点C的坐标为（0，4）， ∴OA＝2，OB＝8，OC＝4， ∵，∠AOC＝∠COB＝90°， ∴△AOC∽△COB； （3）设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 则， 解得：， ∴直线BC的解析式为， ∵MN∥y轴， ∴， ， ， ， ∴当x＝4时，MN的值最大，最大值为4； （4）由勾股定理得，， 过点C作CD⊥对称轴于D，则CD＝3， ①AC＝CQ时，， 点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为， 此时点， 点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为， 此时点， ②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ＝5， ， ∴AQ＝CQ， 此时，点Q3（3，0）， ③当AC＝AQ时，∵，点A到对称轴的距离为5，， ∴这种情形不存在． 综上所述，点Q的坐标为或或（3，0）时，△ACQ为等腰三角形． 拓展4 【答案】（1） （2）4 （3）存在；或 【解析】（1）当时，，则， 当时，，解得，则， 把，代入得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）设，则， ∴， 当时，线段长度有最大值，最大值为4； （3）存在． 在中，，， ∴， 设，，则，， ∵， ∴， ∴当时，，即，解得，（舍去）； ∴当时，，即，解得，（舍去）； 综上所述，当点的横坐标为或时，以，，为顶点的三角形和相似． 0 1 学科网（北京）股份有限公司 $$