3.4　直线与圆的位置关系 (第2课时) 同步练习 2024-2025学年青岛版九年级数学上册

3.4　直线与圆的位置关系(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　切线的判定 1.(教材再开发·P93例2变式)如图,AB是☉O的直径,BC交☉O于点D,DE⊥AC于点E,要使DE是☉O的切线,还需补充一个条件,则补充的条件不正确的是 () A.DE=DO B.AB=AC C.CD=DB D.AC∥OD 2.如图,在△ABC中,∠BAC=45°,以点A为圆心,AC长为半径作圆,要使BC为圆的切线,则边AC与BC所满足的条件是　　.  3.(2023·乐山中考改编)如图,已知☉O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,D是圆上一点,E是DC延长线上一点,连接AD,AE,且AD=AE,CA=CE.求证:直线AE是☉O的切线. 知识点2　切线的性质 4.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,∠APB=60°,则∠AOB的度数为 ( ) A.100°　 B.110°　 C.120°　 D.130° 5.(2023·邵阳中考)如图,AD是☉O的直径,AB是☉O的弦,BC与☉O相切于点B,连接OB,若∠ABC=65°,则∠BOD的大小为　 　.  6.(2023·衡阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为 　.  7.(2023·金华中考)如图,点A在第一象限内,☉A与x轴相切于点B,与y轴相交于点C,D,连接AB,过点A作AH⊥CD于点H. (1)求证:四边形ABOH为矩形. (2)已知☉A的半径为4,OB=,求弦CD的长. 【B层 能力进阶】 8.如图,点D是△ABC中BC边的中点,DE⊥AC于E,以AB为直径的☉O经过D,连接AD,有下列结论:①AD⊥BC;②∠EDA=∠B;③OA=AC;④DE是☉O的切线.其中正确的结论是 ( ) A.①②　 B.①②③ C.②③　 D.①②③④ 9.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)直线AB与☉O相切于点B,C是☉O与OA的交点,点D是☉O上的动点(D与B,C不重合),若∠A=40°,则∠BDC的度数是 ( ) A.25°或155° B.50°或155° C.25°或130° D.50°或130° 10.(2023·鸡西中考)如图,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,PO交☉O于点C,连接BC,若∠B=28°,则∠P=　 　°.  11.(2023·黄冈中考节选)如图,△ABC中,以AB为直径的☉O交BC于点D,DE是☉O的切线,且DE⊥AC,垂足为E,求证:AB=AC. 12.(2023·内江中考)如图,以线段AB为直径作☉O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交☉O于点D,过点D作直线DE⊥AC,交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F,连接BD并延长交AC的延长线于点M. (1)求证:直线DE是☉O的切线; (2)当∠F=30°时,判断△ABM的形状,并说明理由; (3)在(2)的条件下,ME=1,连接BC交AD于点P,求AP的长. 【C层 创新挑战（选做）】 13.(抽象能力、模型观念、推理能力)(2023·威海中考)如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限内,☉P与x轴相切于点C,与y轴相交于点A(0,8),B(0,2).连接AC,BC. (1)求点P的坐标; (2)求cos∠ACB的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4　直线与圆的位置关系(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　切线的判定 1.(教材再开发·P93例2变式)如图,AB是☉O的直径,BC交☉O于点D,DE⊥AC于点E,要使DE是☉O的切线,还需补充一个条件,则补充的条件不正确的是 (A) A.DE=DO B.AB=AC C.CD=DB D.AC∥OD 2.如图,在△ABC中,∠BAC=45°,以点A为圆心,AC长为半径作圆,要使BC为圆的切线,则边AC与BC所满足的条件是　AC=BC或AC⊥BC　.  3.(2023·乐山中考改编)如图,已知☉O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,D是圆上一点,E是DC延长线上一点,连接AD,AE,且AD=AE,CA=CE.求证:直线AE是☉O的切线. 【证明】∵∠ACB=90°,∴AB是☉O的直径, ∵AD=AE,∴∠E=∠D, ∵∠B=∠D,∴∠E=∠B, ∵CA=CE,∴∠E=∠CAE,∴∠CAE=∠B, ∴∠OAE=∠CAE+∠CAB=∠B+∠CAB=90°, ∵OA是☉O的半径,且AE⊥OA, ∴直线AE是☉O的切线. 知识点2　切线的性质 4.如图,P为☉O外一点,PA,PB分别切☉O于A,B两点,∠APB=60°,则∠AOB的度数为 (C) A.100°　 B.110°　 C.120°　 D.130° 5.(2023·邵阳中考)如图,AD是☉O的直径,AB是☉O的弦,BC与☉O相切于点B,连接OB,若∠ABC=65°,则∠BOD的大小为　50°　.  6.(2023·衡阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6.以点C为圆心,r为半径作圆,当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时,r的值为 　.  7.(2023·金华中考)如图,点A在第一象限内,☉A与x轴相切于点B,与y轴相交于点C,D,连接AB,过点A作AH⊥CD于点H. (1)求证:四边形ABOH为矩形. (2)已知☉A的半径为4,OB=,求弦CD的长. 【解析】(1)∵☉A与x轴相切于点B, ∴AB⊥x轴, 又∵AH⊥CD,HO⊥OB,∴∠AHO=∠HOB=∠OBA=90°,∴四边形ABOH是矩形; (2)连接AD, ∵四边形AHOB是矩形,∴AH=OB=, ∵AD=AB=4, ∴DH===3, ∵AH⊥CD,∴CD=2DH=6. 【B层 能力进阶】 8.如图,点D是△ABC中BC边的中点,DE⊥AC于E,以AB为直径的☉O经过D,连接AD,有下列结论:①AD⊥BC;②∠EDA=∠B;③OA=AC;④DE是☉O的切线.其中正确的结论是 (D) A.①②　 B.①②③ C.②③　 D.①②③④ 9.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)直线AB与☉O相切于点B,C是☉O与OA的交点,点D是☉O上的动点(D与B,C不重合),若∠A=40°,则∠BDC的度数是 (A) A.25°或155° B.50°或155° C.25°或130° D.50°或130° 10.(2023·鸡西中考)如图,AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,PO交☉O于点C,连接BC,若∠B=28°,则∠P=　34　°.  11.(2023·黄冈中考节选)如图,△ABC中,以AB为直径的☉O交BC于点D,DE是☉O的切线,且DE⊥AC,垂足为E,求证:AB=AC. 【证明】连接OD(图略), ∵DE是☉O的切线,∴半径OD⊥DE, ∵DE⊥AC,∴OD∥AC,∴∠C=∠ODB, ∵OD=OB,∴∠B=∠ODB, ∴∠B=∠C,∴AB=AC. 12.(2023·内江中考)如图,以线段AB为直径作☉O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交☉O于点D,过点D作直线DE⊥AC,交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F,连接BD并延长交AC的延长线于点M. (1)求证:直线DE是☉O的切线; (2)当∠F=30°时,判断△ABM的形状,并说明理由; (3)在(2)的条件下,ME=1,连接BC交AD于点P,求AP的长. 【解析】(1)连接OD, ∵AD平分∠CAB, ∴∠CAD=∠BAD, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA, ∴∠CAD=∠ODA, ∴OD∥AC, ∵DE⊥AC,∴OD⊥DE, ∵OD是☉O的半径, ∴直线DE是☉O的切线; (2)△ABM是等边三角形,理由如下: ∵DE⊥AC,∠F=30°, ∴∠EAF=60°, ∴∠EAD=∠DAF=30°, ∴∠CBD=∠CAD=30°, ∵AB为☉O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ABC=90°-∠EAF=30°, ∴∠ABM=∠ABC+∠CBD=60°, ∴△ABM是等边三角形; (3)∵△ABM是等边三角形, ∴∠M=60°, ∴∠MDE=30°, ∵ME=1,DE⊥AM, ∴MD=2ME=2, ∴AB=MB=4, ∵AB为☉O的直径,∠ABC=30°, ∴AC=AB=2, ∵∠CAD=30°, ∴AP=2CP, ∵AP2=CP2+AC2, ∴AP=. 【C层 创新挑战（选做）】 13.(抽象能力、模型观念、推理能力)(2023·威海中考)如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限内,☉P与x轴相切于点C,与y轴相交于点A(0,8),B(0,2).连接AC,BC. (1)求点P的坐标; (2)求cos∠ACB的值. 【解析】(1)∵点A(0,8),B(0,2), ∴AB=6, 过P作PH⊥AB于H, ∴AH=BH=3,∴OH=5, 连接PC,PB, ∵☉P与x轴相切于点C, ∴PC⊥x轴, ∴∠PHB=∠PCO=∠COH=90°, ∴四边形PCOH是矩形, ∴PC=OH=5, ∵PH==4, ∴点P的坐标为(4,5); (2)连接AP并延长交☉P于M,连接BM, 则∠ABM=90°, ∴BM===8, ∴cos∠ACB=cos∠AMB===. 学科网（北京）股份有限公司 $$