2024年九年级数学中考专项训练：不规则图形面积计算

不规则图形面积计算 知识精讲 弧长与扇形面积 1、弧长公式： 2、扇形面积公式： 3、弓形面积： （1）S弓形=S扇形-S△AOB    （2）S弓形=S扇形+S△AOB      （3）S弓形=S半圆 不规则图形面积的巧算 一般利用拼凑法、割补法，把不规则图形变成面积容易计算的图形再进行计算 例如：如下图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。 【分析】阴影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中（Ⅰ）的面积之差。而图中（Ⅰ）的面积等于边长为6的正方形面积减去的以6为半径的圆的面积。 旋转相关面积计算 旋转的性质： （1）旋转前后的图形是全等的； （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 如图,在Rt△AOB中,∠AOB=30°,∠A=90°,AB=1,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°得到Rt△COD,则在旋转过程中线段AB扫过的面积为__________. 【解析】 本题中阴影部分是由相关图形的旋转形成的,阴影部分的面积与两个扇形的面积之间的关系为: 解: 在Rt△AOB中,∵∠AOB=30°∴OB=2AB=2 由勾股定理得: ∴                 三点剖析 一．考点：弧长与扇形面积公式，旋转相关计算   二．重难点： 1.在计算面积问题时，对阴影面积的分割问题； 2.旋转扫过面积问题   三．易错点： 1.解题时，注意旋转所带来的隐含条件； 2.计算扫过路径问题时，先弄清楚扫过的路径为直线段还是弧．3.扇形计算时要找准圆心角和半径 题模精讲 题模一：不规则面积巧算 例1.1.1 如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，扇形AEF的半径为2，圆心角为60°，则阴影部分的面积是______． 例1.1.2 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交 于点C，若OA=2，则阴影部分的面积为_________． 例1.1.3 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为________． 例1.1.4 如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，那么阴影部分的面积是________． 例1.1.5 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜边AB=2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，弧EF经过点C，则图中阴影部分的面积为_____________. 题模二：旋转相关计算 例1.2.1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为________． 例1.2.2 如图矩形ABCD中，AD=1，CD=，连接AC，将线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90°至AE、AF，线段AE与弧BF交于点G，连接CG，则图中阴影部分面积为　 　． 例1.2.3 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是 度，阴影部分的面积为 ． 例1.2.4 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，现把菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°得到菱形AB′C′D′，若AB＝4，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D.4π＋12 例1.2.5 如图，将矩形绕点沿顺时针方向旋转到矩形的位置，，，则阴影部分的面积为________． 随堂练习 随练1.1 如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是__________（结果保留π）． 随练1.2 如图所示，半圆O的直径AB=4，以点B为圆心，2为半径作弧，交半圆O于点C，交直径AB于点D，则图中阴影部分的面积是_______． 随练1.3 如图，是的直径，弦，，．则（ ） A. B. C. D. 随练1.4 如图，在扇形中，，点，为半径，的中点，点为的中点，连接，，若，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 随练1.5 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，，以点B为圆心，AB为半径作弧交AC于点E，则图中阴影部分面积是________． 随练1.6 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，D，E分别是AB，AC边的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转60°到△A′BC′的位置，则整个旋转过程中线段DE所扫过部分的面积（即图中阴影部分面积）为__________． 随练1.7 如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（ ） 随练1.8 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上的A′处，若AO＝OB＝2，则阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 随练1.9 如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是　 　． 能力拓展 拓展1 如图，正方形ABCD的面积为36cm2，点E在BC上，点G在AB的延长线上，四边形EFGB是正方形，以B为圆心，BC长为半径画弧AC，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为（ ）cm2． A.6π B.8π C.9π D.12π 拓展2 如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于点E，则阴影部分面积为（ ） A.π B. C.6－π D. 拓展3 如图，正方形ABCD的边长为2，分别以A、D为圆心，2为半径画弧BD、AC，则图中阴影部分的面积为________． 拓展4 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°，CD是⊙O的切线：若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为________． 拓展5 在扇形OAB中，∠AOB＝90°，正方形OCED的顶点C，D分别在半径OA，OB上，顶点E在上，以O为圆心，OC长为半径作，若OA＝2，则阴影部分面积为（ ） A.π B. C. D.1 拓展6 如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为____． 拓展7 将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4cm，则图中阴影部分面积为________cm2． 拓展8 如图，在等腰中，，，在同一平面内，将绕点逆时针旋转，得到△，为的运动轨迹，则图中阴影部分的面积为________． 拓展9 如图所示，格点△ABC绕点B逆时针旋转得到△EBD，图中每个小正方形的边长是1，则图中阴影部分的面积为________． 答案解析 不规则图形面积计算 题模精讲 题模一：不规则面积巧算 例1.1.1 【答案】﹣ 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B=∠D=60°，AB=AD=DC=BC=2， ∴∠BCD=∠DAB=120°， ∴∠1=∠2=60°， ∴△ABC、△ADC都是等边三角形， ∴AC=AD=2， ∵AB=2， ∴△ADC的高为，AC=2， ∵扇形BEF的半径为1，圆心角为60°， ∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°， ∴∠3=∠4， 设AF、DC相交于HG，设BC、AE相交于点G， 在△ADH和△ACG中， ， ∴△ADH≌△ACG（ASA）， ∴四边形AGCH的面积等于△ADC的面积， ∴图中阴影部分的面积是：S扇形AEF﹣S△ACD=﹣×2×=﹣， 故答案为：﹣． 例1.1.2 【答案】- 【解析】连接OC、AC， 由题意得，OA=OC=AC=2， ∴△AOC为等边三角形，∠BOC=30°， ∴扇形△COB的面积为： △AOC的面积为：， 扇形AOC的面积为：， 则阴影部分的面积为：-， 例1.1.3 【答案】 【解析】连接OE，阴影部分面积=扇形EOB的面积+三角形ECO的面积－扇形COD的面积，∵OA=2，点C为OA的中点，∴CO=AC=1， 又∵OE=2，EC⊥CO， ∴∠CEO=30º，∠EOC=60º，∠EOB=90－60=30º，． ∴阴影部分面积． 例1.1.4 【答案】 【解析】如图，作于，则是梯形的中位线， ，， ． ． 例1.1.5 【答案】 【解析】连接OC，作OM⊥BC，ON⊥AC． ∵CA=CB，∠ACB=90°，点O为AB的中点， ∴OC=AB=1，四边形OMCN是正方形，OM=． 则扇形FOE的面积是：　． ∵OA=OB，∠AOB=90°，点D为AB的中点， ∴OC平分∠BCA， 又∵OM⊥BC，ON⊥AC， ∴OM=ON， ∵∠GOH=∠MON=90°， ∴∠GOM=∠HON， 则在△OMG和△ONH中， ， ∴△OMG≌△ONH（AAS）， ∴S四边形OGCH=S四边形OMCN=（）2=． 则阴影部分的面积是：　． 题模二：旋转相关计算 例1.2.1 【答案】 【解析】△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB， ， ， ∴． 例1.2.2 【答案】﹣． 【解析】在矩形ABCD中， ∵AD=1，CD=， ∵AC=2，tan∠CAB=， ∴∠CAB=30°， ∵线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90°至AE、AF， ∴∠CAE=∠BAF=90°， ∴∠BAG=60°， ∵AG=AB=， ∴阴影部分面积=S△ABC+S扇形ABG﹣S△ACG=××1+﹣××2=﹣， 故答案为：﹣． 例1.2.3 【答案】﹣ 【解析】∵AC=A′C，且∠A=60°， ∴△ACA′是等边三角形． ∴∠ACA′=60°， ∴∠A′CB=90°﹣60°=30°， ∵∠CA′D=∠A=60°， ∴∠CDA′=90°， ∵∠B′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB=90°﹣30°=60°， ∴∠CB′D=30°， ∴CD=CB′=CB=×2=1， ∴B′D==， ∴S△CDB′=×CD×DB′=×1×=， S扇形B′CB==， 则阴影部分的面积为：﹣， 故答案为：﹣． 例1.2.4 【答案】A 【解析】由题意：AB＝AD＝DC＝AB′＝CB′＝4，∠DAC＝∠DCA＝∠DC′F＝30°， ∵∠C′DC＝60°， ∴∠DFC′＝90°， ∵，， ∴，， ∴ 例1.2.5 【答案】 【解析】∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积是． 随堂练习 随练1.1 【答案】3﹣π 【解析】过D点作DF⊥AB于点F． ∵AD=2，AB=4，∠A=30°， ∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=2， ∴阴影部分的面积： 4×1﹣﹣2×1÷2 =4﹣π﹣1 =3﹣π． 随练1.2 【答案】 【解析】连接BC、OC、AC． ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∵AB=4，BD=BC=2， ∴AC==2， ∴AC=OA=OC=2， ∴AB=2AC， ∴∠ABC=30°， ∴S阴=S扇形OAC+S△BOC﹣S扇形BDC=+×2×﹣=﹣ 随练1.3 【答案】D 【解析】 ∵， ∴， 在中，， 则， 在中，， 则， ∴， ． 随练1.4 【答案】B 【解析】连接，作于点，作于点，如图所示， 由题意可得， ，， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是：． 随练1.5 【答案】 【解析】连接BE， ∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，， ∴AB＝1，∠BAE＝60°， ∵BA＝BE， ∴△ABE是等边三角形， ∴图中阴影部分面积是：， 随练1.6 【答案】 【解析】连接BE、BF，如右图所示， 由题意可得， △BDE≌△BCF， ∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，D，E分别是AB，AC边的中点， ∴AB=12，AC=6， ∴EC=3，BD=6， ∴BE=， ∴图中阴影部分面积是：． 随练1.7 【答案】C 【解析】连接OO′，BO′， ∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°， ∴∠OAO′=60°， ∴△OAO′是等边三角形， ∴∠AOO′=60°， ∵∠AOB=120°， ∴∠O′OB=60°， ∴△OO′B是等边三角形， ∴∠AO′B=120°， ∵∠AO′B′=120°， ∴∠B′O′B=120°， ∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°， ∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣（S扇形O′OB﹣S△OO′B）=×1×2﹣（﹣×2×）=2﹣． 随练1.8 【答案】D 【解析】∵∠ACB＝90°，OA＝OB＝2， ∴， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝2OA＝4， ∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处， ∴BA′＝AB＝4， ∴BA′＝2OB， ∴∠OA′B＝30°， ∴∠A′BA＝60°， 即旋转角为60°， S阴影＝S扇形BAA′＋S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形BCC′ ＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′ 随练1.9 【答案】8﹣π 【解析】作DH⊥AE于H， ∵∠AOB=90°，OA=3，OB=2， ∴AB==， 由旋转的性质可知，OE=OB=2，DE=EF=AB=，△DHE≌△BOA， ∴DH=OB=2， 阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积 =×5×2+×2×3+﹣ =8﹣π， 故答案为：8﹣π． 能力拓展 拓展1 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD和四边形EFGB是正方形，且正方形ABCD的面积为36cm2， ∴∠G=∠ABC=∠CEF=90°，AB=BC=6，EF=BE=GF=BG， 设EF=BE=GF=BG=a， 则阴影部分的面积S=S扇形BAC+S正方形EFGB+S△CEF﹣S△AGF =+a2+•a•（6﹣a）﹣•（6+a）a =9π 拓展2 【答案】C 【解析】由题意可得， BC＝CD＝4，∠DCB＝90°， 连接OE，则OE＝BC， ∴OE∥DC， ∴∠EOB＝∠DCB＝90°， ∴阴影部分面积为： 拓展3 【答案】 【解析】如图所示，过点F作FE⊥AD于点E， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴， ∴∠AFE＝∠BAF＝30°， ∴． ∴， ∴ ． 拓展4 【答案】 【解析】连接OC， ∵AC＝CD，∠ACD＝120°， ∴∠CAD＝∠D＝30°， ∵DC切⊙O于C， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝90°， ∴∠COD＝60°， 在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，∠D＝30°，OC＝2， ∴， ∴阴影部分的面积是， 拓展5 【答案】D 【解析】连接OE，交于W，连接DE，则OA＝OE＝OB＝2， ∵四边形OCED是正方形， ∴∠AOE＝∠BOE＝45°，∠ECO＝∠COD＝∠ECO＝∠EDO＝90°，CE＝OC， 在等腰三角形OCE中，， ∴S扇形AOE－S△EOC＝S扇形EOB－S△EOD， ∴阴影部分的面积 ＝1． 拓展6 【答案】+- 【解析】 连接CD′和BC′， ∵∠DAB=60°， ∴∠DAC=∠CAB=30°， ∵∠C′AB′=30°， ∴A、D′、C及A、B、C′分别共线． ∴AC= ∴扇形ACC′的面积为：=， ∵AC=AC′，AD′=AB ∴ ∴△OCD′≌△OC′B（AAS）． ∴OB=OD′，CO=C′O ∵∠CBC′=60°，∠BC′O=30° ∴∠COD′=90° ∵CD′=AC-AD′=-1 OB+C′O=1 ∴在Rt△BOC′中，BO2+（1-BO）2=（-1）2 解得BO=-，C′O=-， ∴S△ OC′B=•BO•C′O=- ∴图中阴影部分的面积为：S扇形ACC′-2S△ OC′B=+-． 故答案为：+-． 拓展7 【答案】4π 【解析】∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4cm， ∴BC＝2，，∠A′BA＝120°，∠CBC′＝120°， ∴阴影部分面积＝（S△A′BC′＋S扇形BAA′）－S扇形BCC′－S△ABC． 拓展8 【答案】 【解析】． 拓展9 【答案】 【解析】∵由图可知∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝90°． ∵， ∴S阴影＝S扇形ABE＋S△ABC－S△BDE－S扇形DBC ＝S扇形ABE－S扇形DBC ． 0 1 学科网（北京）股份有限公司 $$