2024年中考数学复习专项训练：动点函数图像问题

第3讲 动点函数图像问题 知识图谱 知识精讲 列函数关系式法 如图,在Rt ABC中,∠C=900,AC=1cm,BC=2cm,点P从A出发,以1cm/s的速度沿折线AC-CB-BA运动,最终回到A点。设点P的运动时间为x(s),线段AP的长度为y(cm),则能反映y与x之间函数关系的图象大致是( ) 【解析】由P点运动过程AC—CB—BA知,分为三个阶段: 第一阶段AC段,y=x(0≤x≤1), 第二阶段CB段,y=(1≤x≤3),是一个增函数,但不是一次函数。 第三阶段BA段,y=+3-x(3≤x≤+3),所以本题选A 分析淘汰法 如图,在平面直角坐标系中,四边形OBCD是边长为4的正方形,平行于对角线BD的直线l从O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,运动到直线l与正方形没有交点为止.设直线l扫过正方形OBCD的面积为S,直线l运动的时间为t(秒),下列能反映S与t之间函数关系的图象是( ) 【解析】由l运动的过程,分为两个阶段, 第一阶段从O到BD,的过程中,X轴,Y轴方向上都在增加,而要表示面积这两个方向上都能用上,所以这必然为开口向上增大的二次函数模式,选择增长的曲线段。 第二阶段从BD到C的过程,面积在DC,BC两条边上增大,而此时面积的表示与这两边没有直接的联系,但可以断定是一个增长的二次函数模式,所以本题选D. 特值法 如图,点P是以O为圆心,AB为直径的半圆上的动点,AB=2.设弦AP的长为x, APO的面积为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是( ) 【解析】P点运动过程中,AP的长度与 AOP的面积不易建立关系,可分析面积找到特殊点,当P运动到O的正上方时, AOP的面积最大为,此时AP=x=,排除B,D另外x轴上标出1,所以x=1时, AOP的面积为,比较A,C图,本题应选A. 三点剖析 一.考点: 动态几何与函数图像的综合 二.重难点: 动态几何与函数图像的综合 三.重难点:动点不同的运动阶段与函数自变量取值范围的对应关系 题模精讲 题模一:动点函数图像问题 例1.1.1 如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A D B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时, FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为( ) A. B.2 C. D. 例1.1.2 如图(1)所示,E为矩形ABCD的边AD上一点,动点P、Q同时从点B出发,点P以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止,点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止.设P、Q同时出发t秒时, BPQ的面积为ycm2.已知y与t的函数关系图象如图(2)(其中曲线OG为抛物线的一部分,其余各部分均为线段),则下列结论: ①当0<t≤5时,;②当t=6秒时, ABE≌ PQB; ③;④当秒时, ABE∽ QBP;其中正确的是( ) A.①② B.①③④ C.③④ D.①②④ 例1.1.3 如图1,在矩形MNPQ中,动点R从点N出发,沿N P Q M方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x, MNR的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则当x=9时,点R应运动到( ) A.N处 B.P处 C.Q处 D.M处 A. B. C. D. 例1.1.4 如图,已知边长为4的正方形ABCD,E是BC边上一动点(与B、C不重合),连结AE,作EF⊥AE交正方形的外角∠DCG的平分线于点F,设BE=x, ECF的面积为y,下列图象中,能大致表示y与x的函数关系的是( ) 例1.1.5 如图,直角梯形AOCD的边OC在x轴上,O为坐标原点,CD垂直于x轴,D(5,4),AD=2.若动点E、F同时从点O出发,E点沿折线OA AD DC运动,到达C点时停止;F点沿OC运动,到达C点时停止,它们运动的速度都是每秒1个单位长度.设E运动x秒时, EOF的面积为y(平方单位),则y关于x的函数图象大致为( ) A. B. C. D. 例1.1.6 如图,等边三角形的边长为3,为的三等分点,三角形边上的动点从点出发,沿的方向运动,到达点时停止.设点运动的路程为,,则关于的函数图像大致为( ) A. B. C. D. 例1.1.7 如图, ABC是等腰直角三角形,∠A=90 ,BC=4,点P是 ABC边上一动点,沿B A C的路径移动,过点P作PD⊥BC于点D,设BD=x, BDP的面积为y,则下列能大致反映y与x函数关系的图象是( ) A. B. C. D. 例1.1.8 如图1,则等边三角形中,点为边上的任意一点,且,交于点,设线段的长度为,的长度为,若与的函数关系的大致图像如图2,则等边三角形的面积为_. 例1.1.9 如图1,在中,,,点、点同时从点出发,点以的速度沿运动,终点为,点以的速度沿运动,当点到达终点时两个点同时停止运动,设点,出发秒时,的面积为,已知与的函数关系的图象如图2(曲线和均为抛物线的一部分),给出以下结论:①;②曲线的解析式为;③线段的长度的最大值为;④若与相似,则秒.其中正确的是( ) A.①②④ B.②③④ C.①③④ D.①②③ 例1.1.10 如图,将边长为4的正方形的一边与直角边分别是2和4的的一边重合.正方形以每秒1个单位长度的速度沿向右匀速运动,当点和点重合时正方形停止运动.设正方形的运动时间为秒,正方形与重叠部分面积为,则关于的函数图象为( ) A. B. C. D. 随堂练习 随练1.1 如图, ABCD中,AB=cm,BC=2cm,∠ABC=45 ,点P从点B出发,以1cm/s的速度沿折线BC CD DA运动,到达点A为止.设运动时间为t(s), ABP的面积为S(cm2),则S与t的大致图象是( ) A. B. C. D. 随练1.2 如图,AC、BD为圆O的两条互相垂直的直径,动点P从圆心O出发,沿O C D O的路线作匀速运动,设运动时间为t秒,∠APB的度数为y度,那么表示y与t之间函数关系的图象大致为( ) A. B. C. D. 随练1.3 如图,动点S从点A出发,沿线段AB运动至点B后,立即按原路返回,点S在运动过程中速度不变,则以点B为圆心,线段BS长为半径的圆的面积m与点S的运动时间t之间的函数关系图象大致为( ) A. B. C. D. 随练1.4 如图,在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG,动点P从点A出发,沿A D E F G B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B),则 ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是( ) A. B. C. D. 随练1.5 如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,AC=1cm,BC=2cm,点P从点A出发,以1cm/s的速度沿折线AC CB BA运动,最终回到点A,设点P的运动时间为x(s),线段AP的长度为y(cm),则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是( ) A. B. C. D. 随练1.6 在中,,如图①,点从的顶点出发,沿的路线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点,在运动过程中,线段的长度随时间变化的关系图象如图②,则的长为( ) A. B. C. D. 随练1.7 如图,点、分别是正方形中边和的中点,动点从点向点运动,到点时停止运动;同时,动点从点出发,沿运动,点、的运动速度相同.设点的运动路程为,的面积为,与的大致函数图象如图所示,则的最大面积为_. 随练1.8 如图,四边形为正方形,若,是边上一点(点与点、不重合),的中垂线交于,交于,设,则图中阴影部分的面积与的大致图象是( ) A. B. C. D. 随练1.9 如图,在菱形中,,,点从点出发,沿以的速度运动到点停止,同时,点从点出发,沿以相同的速度运动到点停止,若的面积为,运动时间为,则下列能反映与之间的函数关系的图像大致为( ) A. B. C. D. 随练1.10 如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点P是BC边上的一个动点(点P不与点B、C重合),现将 PCD沿直线PD折叠,使点C落到点C′处;作∠BPC′的角平分线交AB于点E.设BP=x,BE=y,则下列图像中,能表示y与x的函数关系的图像大致是( ) A. B. C. D. 能力拓展 拓展1 如图,在正方形中,点从点出发,沿着正方形的边顺时针方向运动一周,的面积与点运动的路程之间形成的函数关系图象如图所示,则正方形的边长是( ) A.2 B.4 C. D. 拓展2 如图1,点P从 ABC的顶点B出发,沿B C A匀速运动到点A,图2是点P运动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则 ABC的面积是_. 拓展3 如图,在等腰中,,,点从点出发,以的速度沿方向运动到点停止,同时点从点出发,以的速度沿方向运动到点停止,若的面积为,运动时间为,则下列最能反映与之间函数关系的图象是( ) A. B. C. D. 拓展4 如图1,在矩形中,对角线与交于点,动点从点出发,沿匀速运动,到达点时停止,设点所走的路程为,线段的长为,若与之间的函数图象如图2所示,则矩形的周长为( ) A.14 B.28 C.40 D.48 拓展5 如图1,点,,分别是等边三角形三边,,上的动点,且始终保持,设的面积为,的长为,关于的函数图像大致为图2所示,则等边三角形的边长为_. 拓展6 如图1,在中,,点以每秒的速度从点出发,沿折线运动,到点停止.过点作,垂足为,的长与点的运动时间(秒)的函数图象如图2所示.当点运动5秒时,的长的值为_. 拓展7 如图①,四边形ABCD中,BC∥AD,∠A=90 ,点P从A点出发,沿折线AB BC CD运动,到点D时停止,已知 PAD的面积s与点P运动的路程x的函数图象如图②所示,则点P从开始到停止运动的总路程为( ) A.4 B. C.5 D. 拓展8 如图,已知正方形ABCD的边长为4,E是BC边上的一个动点,AE⊥EF,EF交DC于点F,设BE=x,FC=y,则当点E从点B运动到点C时,y关于x的函数图像是( ) A. B. C. D. 拓展9 如图①,在边长为的正方形中,点以每秒的速度从点出发,沿的路径运动,到点停止.过点作,与边(或边)交于点,的长度与点的运动时间(秒)的函数图象如图②所示.当点运动2.5秒时,的长度是_. 拓展10 如图①,在正方形ABCD中,点E是AB的中点,点P是对角线AC上一动点,设PC的长度为x,PE与PB的长度和为y,图②是y关于x的函数图象,则图象上最低点H的坐标为_. 答案解析 动点函数图像问题 题模精讲 题模一:动点函数图像问题 例1.1.1 【答案】C 【解析】过点D作DE⊥BC于点E 由图象可知,点F由点A到点D用时为as, FBC的面积为acm2. ∴AD=a ∴ ∴DE=2 当点F从D到B时,用 ∴ Rt DBE中, ∵ABCD是菱形 ∴EC=a-1,DC=a Rt DEC中, a2=22+(a-1)2 解得 . 例1.1.2 【答案】D 【解析】根据图(2)可得,点Q到达点C时时间为5秒,点P到达点E时间为10秒, ∵点P、Q的运动的速度分别是1cm/秒、2cm/秒 ∴BC=BE=10, ∴AD=BC=10. 又∵从M到N的变化是4, ∴ED=4, ∴AE=AD-ED=10-4=6. ∵AD∥BC, ∴∠1=∠2, ∴. 故③错误; 如图1,过点P作PF⊥BC于点F, ∵AD∥BC, ∴∠1=∠2, ∴, ∴, ∴当0<t≤5时,,故①正确; 如图3, 当t=6秒时,点P在BE上,点Q静止于点C处. 在 ABE与 PQB中,, ∴ ABE≌ PQB(SAS). 故②正确; 如图4, 当秒时,点P在CD上,此时,, , ∵,, ∴ 又∵∠A=∠Q=90 , ∴ ABE∽ QBP,故④正确. 综上所述,正确的结论是①②④. 例1.1.3 【答案】C 【解析】解:当点R运动到PQ上时, MNR的面积y达到最大,且保持一段时间不变; 到Q点以后,面积y开始减小; 故当x=9时,点R应运动到Q处. 例1.1.4 【答案】C 【解析】过F作FG⊥BC于G, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠DCG=90 , ∵CF平分∠DCG, ∴∠FCG=∠DCG=45 , ∵∠G=90 , ∴∠GCF=∠CFG=45 , ∴FG=CG, ∵四边形ABCD是正方形,EF⊥AE, ∴∠B=∠G=∠AEF=90 , ∴∠BAE+∠AEB=90 ,∠AEB+∠FEG=90 , ∴∠BAE=∠FEG, ∵∠B=∠G=90 , ∴ BAE∽ GEF, ∴, ∵BE=x, ∴EG=BC﹣BE+CG=4﹣x+FG, ∴, 解得:FG=x, ∴y= CE FG= (4﹣x)•x, 即:y=2x﹣x2, 例1.1.5 【答案】C 【解析】∵D(5,4),AD=2. ∴OC=5,CD=4,, ∴运动x秒(x<5)时,OE=OF=x, 作EH⊥OC于H,AG⊥OC于点G, ∴EH∥AG, ∴ EHO∽ AGO, , 即:, ∴, ∴, 故A、B选项错误; 当点F运动到点C时,点E运动到点A,此时点F停止运动,点E在AD上运动, EOF的面积不变, 点在DC上运动时,如右图, EF=11-x,OC=5, ∴是一次函数. 例1.1.6 【答案】B 【解析】∵等边三角形的边长为3,为的三等分点, ∴. ∴当点位于点处时,,. ①当动点从点出发到的过程中,随的增大而减小,故排除; ②当动点到达点时,,,即此时的值与点在点处时的值不相等.故排除、. 例1.1.7 【答案】B 【解析】过A点作AH⊥BC于H, ∵ ABC是等腰直角三角形, ∴∠B=∠C=45 ,BH=CH=AH, 当0≤x≤2时,如图1, ∵∠B=45 , ∴PD=BD=x, ∴; 当2<x≤4时,如图2, ∵∠C=45 , ∴PD=CD=4-x, ∴. 例1.1.8 【答案】 【解析】由题可得,,, ∴, ∴, ∴, 设,则, ∴, 当时,取得最大值2, 即为中点时,的最大值为2, ∴此时,, ∴, ∴等边三角形的边长为为8, ∴根据等边三角形的性质,可得. 例1.1.9 【答案】A 【解析】①由图2可知:时,, , ,, , 故①正确; ②当在上时,如图3,过作于, 此时:, , 由题意得:,, , , , , ; 故②正确; ③当与重合时,最大,如图4,此时, , 过作于, , , , 同理:, , ; 线段的长度的最大值为; 故③不正确; ④若与相似,点只有在线段上, 分两种情况:,, 当,如图5,则, , 解得不合题意. 当时,如图5, , , ; 若与相似,则秒, 故④正确; 其中正确的有:①②④, 例1.1.10 【答案】B 【解析】当时,如图, ,, , , ,即, , ; 当时,; 当时,如图, ,, , , ,即, , , 综上所述,当时,关于的函数图象为开口向下的抛物线的一部分;当时,关于的函数图象为平行于轴的一条线段;当时,关于的函数图象为开口向上的抛物线的一部分. 随堂练习 随练1.1 【答案】A 【解析】如图,当点P在BC上时,过P作PE⊥AB于E,则PE=BP=t, ∴S=AB PE= t=t(0≤t≤2), 当点P在CD上时, ABP的面积为平行四边形的面积的一半, 即S= =1(2<t<2+); 当点P在AD上时,过P'作P'F⊥AB于F,则FP'=AP'=(4+﹣t)=2+1﹣t, ∴S=AB P'F= (2+1﹣t)=2+﹣t(2+≤t≤4+); 综上所述,S与t的大致图象是由从左往右上升、水平方向、从左往右下降的三条线段连接而成的折线. 随练1.2 【答案】C 【解析】当P与O重合时,∠APB的度数为90度; P向C运动过程中,∠APB的度数逐渐减小; 当P运动到C时,利用圆周角定理得到∠APB的度数为45度; 当P在弧CD上运动时,∠APB的度数不变,都为45度; 当P从D运动到O时,∠APB的度数逐渐增大, 作出函数y与t的大致图象,如图所示: 故选C. 随练1.3 【答案】C 【解析】设线段AB的长为b,点S的速度为a, 则S= (b﹣at)2=a2 t2﹣2ab t+b2 =a2 (t﹣)2, ∵a2 >0, ∴在点P从A到B的运动过程中,S随t的增大而减小,此时对应的函数图像开口向上,顶点坐标为(,0), 当点P从点B向点A运动时,S随着t的增大而减小,此时对应的函数图像开口向上,顶点坐标为(,0), 故选C. 随练1.4 【答案】D 【解析】当点P在AD上时, ABP的底AB不变,高增大,所以 ABP的面积S随着时间t的增大而增大; 当点P在DE上时, ABP的底AB不变,高不变,所以 ABP的面积S不变; 当点P在EF上时, ABP的底AB不变,高减小,所以 ABP的面积S随着时间t的减小而减小; 当点P在FG上时, ABP的底AB不变,高不变,所以 ABP的面积S不变; 当点P在GB上时, ABP的底AB不变,高减小,所以 ABP的面积S随着时间t的减小而减小; 随练1.5 【答案】A 【解析】①当点P在AC边上,即0≤x≤1时,y=x,它的图象是一次函数图象的一部分; ②点P在边BC上,即1<x≤3时,根据勾股定理得,即,则其函数图象是y随x的增大而增大,且不是一次函数.故B、C、D错误; ③点P在边AB上,即时,,其函数图象是直线的一部分. 综上所述,A选项符合题意. 随练1.6 【答案】C 【解析】过点作于点 由图象可知,最小时,点到达点. 则 点从点到路程为 在中, , 则 随练1.7 【答案】 【解析】结合题意和图象可知,时,点在中点,点到点 当时, 当时, 随练1.8 【答案】C 【解析】在中,, 是正方形, , , 阴影部分的面积. 根据二次函数的图形和性质,这个函数的图形是开口向下,对称轴是轴,顶点是,自变量的取值范围是. 随练1.9 【答案】D 【解析】当时, 过点作于点 则可知,此时是的二次函数,则、选项排除. 当点到达点后,点在上运动,此时,的面积保持不变, 则排除。 随练1.10 【答案】D 【解析】如图,连接DE,∵ PC′D是 PCD沿PD折叠得到, ∴∠CPD=∠C′PD, ∵PE平分∠BPC′, ∴∠BPE=∠C′PE, ∴∠EPC′+∠DPC′= 180 =90 , ∴ DPE是直角三角形, ∵BP=x,BE=y,AB=3,BC=5, ∴AE=AB﹣BE=3﹣y,CP=BC﹣BP=5﹣x, 在Rt BEP中,PE2=BP2+BE2=x2+y2, 在Rt ADE中,DE2=AE2+AD2=(3﹣y)2+52, 在Rt PCD中,PD2=PC2+CD2=(5﹣x)2+32, 在Rt PDE中,DE2=PE2+PD2, 则(3﹣y)2+52=x2+y2+(5﹣x)2+32, 整理得,﹣6y=2x2﹣10x, 所以y=﹣x2+x(0<x<5), 纵观各选项,只有D选项符合. 故选:D. 能力拓展 拓展1 【答案】A 【解析】观察点运动可知,函数图象中第一个最大值是点到点时形成的 的面积为 拓展2 【答案】12 【解析】根据图象可知点P在BC上运动时,此时BP不断增大, 由图象可知:点P从B向C运动时,BP的最大值为5, 即BC=5, 由于M是曲线部分的最低点, ∴此时BP最小, 即BP⊥AC,BP=4, ∴由勾股定理可知:PC=3, 由于图象的曲线部分是轴对称图形, ∴PA=3, ∴AC=6, ∴ ABC的面积为: 4 6=12 拓展3 【答案】D 【解析】作于, , , , ,, , 点运动的速度为,点运动的速度为, 点从点运动到需,点运动到需, 当时,作于,如图1,,, 在中,, , 当时,作于,如图2,, 在中,, , 综上所述,. 拓展4 【答案】B 【解析】当时,最小,且此时,, ,, . 拓展5 【答案】2 【解析】设等边三角形边长为,则可知等边三角形的面积为 设,则 易证 当时,的面积为最小. 此时,的边长为1 等边三角形的中位线,则。 拓展6 【答案】2.4cm 【解析】∵以每秒的速度从点出发, ∴从图2中得出,, ∵中,, ∴, ∴, ∵当点运动5秒时,, ∴, 拓展7 【答案】D 【解析】作CE⊥AD于点E,如下图所示, 由图象可知,点P从A到B运动的路程是2,当点P与点B重合时, ADP的面积是5,由B到C运动的路程为2, ∴, 解得,AD=5, 又∵BC∥AD,∠A=90 ,CE⊥AD, ∴∠B=90 ,∠CEA=90 , ∴四边形ABCE是矩形, ∴AE=BC=2, ∴DE=AD-AE=5-2=3, ∴, ∴点P从开始到停止运动的总路程为:. 拓展8 【答案】C 【解析】∵AE⊥EF,∴∠AEB+∠FCE=90 ∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90 AB=BC=4, ∴∠BAE+∠AEB=90 ,∴∠BAE=∠FCE, ∴ ABE∽ ECF,∴ , ∵BE=x,FC=y,∴EC=4﹣x,则有 , 整理后得 y=x2+x 配方后得到y=﹣(x﹣2)2+1 从而得到图像为抛物线,开口朝下,顶点坐标为(2,1). 故选C. 拓展9 【答案】 【解析】由题可得:点运动2.5秒时,点运动了, 此时,点在上, , 中,由勾股定理,得 , 拓展10 【答案】 【解析】如图,连接PD. ∵B、D关于AC对称, ∴PB=PD, ∴PB+PE=PD+PE, ∴当D、P、E共线时,PE+PB的值最小, 观察图象可知,当点P与A重合时,PE+PB=9, ∴AE=EB=3,AD=AB=6, 在Rt AED中,, ∴PB+PE的最小值为, ∴点H的纵坐标为, ∵AE∥CD, ∴, ∵, ∴, ∴点H的横坐标为, ∴. 0 1 学科网(北京)股份有限公司 $$