1.2.3 简单复合函数的求导 同步练习-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

1.2.3　简单复合函数的求导 A级 必备知识基础练 1.下列求导运算正确的是(　　) A.()'= B.(x2+ex)'=2x-ex C.(xcos x)'=-sin x D.(x-)'=1+ 2.已知函数f(x)=cos 2x,那么f'()的值为(　　) A.- B. C. D.- 3.已知f(x)=x2ln 2x,若f'(x0)=x0,则x0等于(　　) A. B.e C.ln 2 D.1 4.已知直线y=x-1与曲线y=ex+a相切,则实数a的值为(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.2 5.(多选题)下列求导正确的是(　　) A.若y=cos,则y'=-sin B.若y=sin x2,则y'=2xcos x2 C.若y=cos 5x,则y'=-5sin 5x D.若y=xsin 2x,则y'=xcos 2x 6.(多选题)以下函数求导正确的是(　　) A.若f(x)=,则f'(x)= B.若f(x)=e2x,则f'(x)=e2x C.若f(x)=,则f'(x)= D.若f(x)=cos(2x-),则f'(x)=-sin(2x-) 7.已知函数f(x)=ex+ln(2x+1),e是自然对数的底数,设函数f(x)的导函数为f'(x),则f'(0)=　　　　　,曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为　　　　　　　.  8.求下列函数的导数: (1)y=ln(ex+x2); (2)y=102x+3; (3)y=; (4)y=sin 2xcos 3x. B级 关键能力提升练 9.已知函数f(x)在R上可导,函数F(x)=f(x2-4)+f(4-x2),则F'(2)等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 10.已知点P为函数f(x)=e2x的图象上一点,则点P到直线l:y=2x的距离的最小值为(　　) A. B. C. D. 11.随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中,其含量P(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系P(t)=P0,其中P0为初始时刻该放射性同位素的含量.已知t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-,则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为(　　) A.20天 B.30天 C.45天 D.60天 12.(多选题)已知函数f(x)在x=1处的导数为-,则f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)=-x2+ln x B.f(x)=xex C.f(x)=sin(2x+) D.f(x)= 13.设函数f(x)=g(2x-1)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是　　　　　　　　.  14.已知函数y=e2x+4-ln(2x+5). (1)求该函数的导数; (2)求该函数的图象在x=-2处的切线的倾斜角. C级 学科素养创新练 15.已知函数f(x)=asin 3x+bx3+3(a∈R,b∈R),f'(x)为f(x)的导函数,则f(2 022)+f(-2 022)+f'(2 023)-f'(-2 023)=(　　) A.0 B.2 022 C.2 023 D.6 16.已知向量a=,b=,令f(x)=a·b,是否存在实数x∈[0,π],使f(x)+f'(x)=0(其中f'(x)是f(x)的导函数)?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由. 参考答案 1.D　'=,故A错误; (x2+ex)'=2x+ex,故B错误; (xcos x)'=cos x-xsin x,故C错误; x-'=1+,故D正确.故选D. 2.D　∵f(x)=cos 2x,∴f'(x)=-2sin 2x, ∴f'()=-2sin=-.故选D. 3.A　因为f(x)=x2ln 2x,所以f'(x)=2xln 2x+x, 又f'(x0)=x0,所以2x0ln 2x0=0,因为x0>0,所以ln 2x0=0,所以x0=.故选A. 4.A　设切点为(x0,y0),易知y'=ex+a,则解得故选A. 5.BC　若y=cos,则y'=sin,故A错误; 若y=sin x2,则y'=2xcos x2,故B正确; 若y=cos 5x,则y'=-5sin 5x,故C正确; 若y=xsin 2x,则y'=sin 2x+xcos 2x,故D错误. 故选BC. 6.AC　对于A,f'(x)=,故A正确; 对于B,f'(x)=e2x·2=2e2x,故B错误; 对于C,f'(x)=[(2x-1]'=·(2x-1·2=(2x-1,故C正确; 对于D,f'(x)=(-sin(2x-))·2=-2sin(2x-),故D错误. 故选AC. 7.3　y=3x+1　因为f(x)=ex+ln(2x+1),则f'(x)=ex+,所以f'(0)=3. 因此曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3x,即y=3x+1. 8.解(1)令u=ex+x2,则y=ln u. ∴yx'=yu'·ux'=·(ex+x2)'=·(ex+2x)=. (2)令u=2x+3,则y=10u,∴yx'=yu'·ux'=10u·ln 10·(2x+3)'=2ln 10·102x+3. (3)设y=,u=1-x2,则yx'=yu'·ux'=()'(1-x2)'=-·(-2x)=x(1-x2. (4)∵y=sin 2xcos 3x,∴y'=(sin 2x)'cos 3x+sin 2x(cos 3x)'=2cos 2xcos 3x-3sin 2xsin 3x. 9.B　∵F(x)=f(x2-4)+f(4-x2), ∴F'(x)=2xf'(x2-4)-2xf'(4-x2), ∴F'(2)=4f'(0)-4f'(0)=0.故选B. 10.A　设直线m平行于直线l,则直线m的斜率为2, 当直线m与函数f(x)的图象相切,P为切点时,点P到直线l:y=2x的距离最小,设切点坐标为(x0,y0),因为f'(x)=2e2x,则f'(x0)=2=2,解得x0=0,又点(x0,y0)在函数f(x)=e2x的图象上,则y0==1,则切点坐标为(0,1),到直线l:2x-y=0的距离d=,则点P到直线l:y=2x的距离的最小值为.故选A. 11.D　由P(t)=P0,得P'(t)=-·P0·ln 2,因为t=15时,该放射性同位素的瞬时变化率为-,即P'(15)=-P0=-,解得P0=18,则P(t)=18·.当该放射性同位素含量为4.5贝克时,即P(t)=4.5,所以18·=4.5,即,所以-=-2,解得t=60.故选D. 12.AD　对于A,f'(x)=-x+,f'(1)=-1+=-,故A满足题意; 对于B,f'(x)=ex+xex,f'(1)=2e,故B不满足题意; 对于C,f'(x)=2cos(2x+),f'(1)≠-,故C不满足题意; 对于D,f'(x)=-,f'(1)=-1+=-,故D满足题意.故选AD. 13.6x-y-2=0　把x=1代入y=2x+1,解得y=3,即g(1)=3,由y=2x+1的斜率为2,得到g'(1)=2. ∵f'(x)=2g'(2x-1)+2x, ∴f'(1)=2g'(1)+2=6,即所求切线的斜率为6. 又f(1)=g(1)+1=4,即切点坐标为(1,4),则所求切线的方程为y-4=6(x-1),即6x-y-2=0. 14.解(1)∵y=e2x+4-ln(2x+5), ∴y'=e2x+4×(2x+4)'-×(2x+5)'=e2x+4×2-×2=e2x+4-. (2)由(1),知y'=e2x+4-, 所以当x=-2时,y'=e-2×2+4-=1-2=-1. 设该函数的图象在x=-2处的切线的倾斜角为α, 则tan α=-1.又α∈[0,π),所以α=,所以该函数的图象在x=-2处的切线的倾斜角为. 15.D　依题意,f(x)的定义域为R,令g(x)=asin 3x+bx3,则g(-x)=asin 3(-x)+b(-x)3=-g(x),即g(x)是奇函数,有g(2 022)+g(-2 022)=0,则f(2 022)+f(-2 022)=g(2 022)+3+g(-2 022)+3=6.又f'(x)=3acos 3x+3bx2,且有f'(-x)=3acos 3(-x)+3b(-x)2=f'(x),即f'(x)是偶函数,f'(2 023)-f'(-2 023)=0,所以f(2 022)+f(-2 022)+f'(2 023)-f'(-2 023)=6.故选D. 16.解存在.f(x)=a·b=2cossin+tantan=2cossincos)+=2sincos+2cos2-1=sin x+cos x. 令f(x)+f'(x)=0,即f(x)+f'(x)=sin x+cos x+cos x-sin x=2cos x=0. 可得x=+kπ(k为整数). 因为x∈[0,π],所以x=, 即存在实数x=∈[0,π],使得f(x)+f'(x)=0. 学科网（北京）股份有限公司 $$