7.3频率与概率（教学课件）-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

北师大版（2019）必修第一册 7.3频率与概率 学习目标 Learning Objectives 探索新知 Explore new knowledge 题型突破 Breakthrough in question types 当堂检测 Classroom test 学习目录 Parent Conference Directory 壹 叁 贰 肆 学习目标 PART 01 学习目标 01 在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性 01 正确理解概率的意义，利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题 02 理解概率的意义以及频率与概率的区别 03 探索新知 PART 02 探索新知 02 问题提出 知识点1 频数与频率 对于任何一位篮球运动员，在一次投篮中，命中与否是一个随机事件，但是，我们经常能够听到球迷说某某球员投篮很准，这个“很准”是怎么得来的？是否有一个量化的标准？ 探索新知 02 分析理解 此外，我们经常能够看到在篮球比赛决定胜负的一投时，往往会将这决定胜负的一投交给“最有把握”的球员.既然能否投中是一个随机事件，那么最后一投交给谁都应该一样，不都是听天由命吗？这里的“最有把握”是怎么得来的呢？ 在篮球比赛的统计中有一项技术指标叫“投篮命中率”，是用来衡量运动员投篮准确性的. “投篮命中率”往往用一个比值表示，其中n表示投篮的总次数，m表示在这n次投篮中命中的次数. 在一般情况下，称m为投篮命中的频数，称为投篮命中的频率，简称投篮命中率.显然，频率的值位于区间[0，1]之间， 的值可以反映运动员投篮的准确度， 的值越大，说明其投篮越准. 知识点1 频数与频率 探索新知 02 分析理解 下表是某篮球运动员在2021年11月的5场比赛中的投篮命中率(结果精确度0.001). 知识点1 频数与频率 比赛场次 总投篮次数 投篮命中次数 投篮命中率 1 13 5 0.385 2 18 10 0.556 3 15 5 0.333 4 18 10 0.556 5 19 8 0.421 总计 83 38 0.458 探索新知 02 分析理解 下表是该运动员五个赛季的投篮命中率(结果精确度0.001). 知识点1 频数与频率 赛季 总投篮次数 投篮命中次数 投篮命中率 2016年—2017年 1941 824 0.425 2017年—2018年 1687 757 0.449 2018年—2019年 1473 630 0.428 2019年—2020年 1281 604 0.472 2020年—2021年 1238 544 0.439 总计 7620 3359 0.441 思考：观察以上两个表，说说该运动员投篮命中的频率具有什么特征. 大量重复进行同一试验时，频率在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性. 探索新知 02 分析理解 历史上曾有很多人做过抛掷硬币试验，试验结果如下表(结果精确度0.0001). 知识点1 频数与频率 试验者 总抛掷次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率 德·摩根 4092 2048 0.5005 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 24000 12012 0.5005 罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923 与篮球运动员的投篮命中率类似，在抛掷硬币试验中，当抛掷次数较小时,由于受用力不均匀、桌面细微的凹凸不平等偶然因素的影响,使得正面朝上的频率并不稳定.但当抛掷次数逐渐增大时，试验逐渐摆脱了许多微小偶然因素的影响，而使正面朝上的频率有一种较好的稳定性，即正面朝上的频率稳定在0.5左右. 探索新知 02 分析理解 著名数学家拉普拉斯对男婴和女婴的出生规律做了详细的研究.他对英国伦敦、俄罗斯圣彼得堡、德国柏林和法国各地的情形进行了分析，得到庞大的统计资料. 知识点1 频数与频率 出生年份 出生总人数 男孩数 频率 1927 958 733 496 544 0.518 1928 990 933 513 654 0.518 1929 994 101 514 765 0.518 1930 1 022 811 528 072 0.516 1931 964 573 496 986 0.515 1932 934 663 482 431 0.516 总计 5 865 814 3 032 452 50.17 从表格可以看出，与拉普拉斯得到的结果：10年间，男孩出生的频率在附近摆动，非常相近 下表是20世纪波兰的一些统计资料(结果精确度0.001). 探索新知 02 抽象概括 概率：在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性.这时，把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A). 显然，0≤P(A)≤1.我们通常用频率来估计概率. 概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值. 知识点1 频数与频率 思考交流：1.随机事件A发生的概率P(A)是一个常数，这个常数是用来度量什么的？有何意义？ 由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否事随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映. 探索新知 02 思考交流 2.随机事件A发生的概率与A发生的频率有什么区别和联系？ 知识点1 频数与频率 区别 联系 频率 频率是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，且随着试验次数的改变而改变，与试验次数有关.例如，同一个人掷硬币5次，6次······得到正面朝上的频率可能是不同的. 频率是概率的近似值.随着试验次数的增加，频率通常会稳定在概率附近.在实际问题中，通常随机事件的概率是未知的，常用频率作为概率的估计值. 概率 概率是一个确定的常数，是客观存在的，它是频率的稳定值，与每次试验无关，与试验的次数无关.例如，如果一个硬币质地均匀，则掷该硬币出现正面朝上的概率是0.5，与做多少次试验无关. 探索新知 02 概率和日常生活有着密切的联系，对于生活中的随机事件，我们可以利用概率进行合理的判断与决策. 1.游戏的公平性 2.天气预报的概率解释 在各类游戏中，如果每个人获胜的概率相等，那么游戏是公平的. 天气预报是气象专家依据观测到的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的. 知识点2 生活中的概率 3.决策中的概率思想 随机事件在一次试验中是否发生是随机的，但随机性中含有规律心，认识这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性大小.知道事件发生的概率可以为人们做决策提供依据. 探索新知 02 概率和日常生活有着密切的联系，对于生活中的随机事件，我们可以利用概率进行合理的判断与决策. 4.彩票中奖的概率解释 （1）“买1张某种彩票中奖的概率为1‰”并不是指买1 000张这种彩票就能有1张中奖，而是指 中奖的可能性是1‰，中奖的可能性很小. （2）每期摇号摇出任何一个号码的概率都是相等的，并且这次摇号摇出哪个号码与下次摇奖摇出哪个号码是互不影响的. 知识点2 生活中的概率 题型突破 PART 03 题型突破 03 题型1 概率概念的理解 例1. 试从概率角度解释下列说法的含义: (1)掷一枚均匀的正方体骰子得到6点的概率是 ,是否意味着把它掷6次能得到1次6点? (2)某种病的治愈率是0.3,那么前7个人没有治愈,后3个人一定能治愈吗?如何理解治愈率是0.3? 解：(1)把一枚均匀的骰子掷6次相当于做6次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做6次试验的结果也是随机的.这就是说,每掷一次总是随机地出现一个点数,可以是1点,2点,也可以是其他点数,不一定出现6点.所以掷一枚骰子得到6点的概率是,并不意味着把它掷6次能得到1次6点. (2)如果把治疗一个病人作为一次试验,治愈率是0.3,是指随着试验次数的增加,即治疗病人人数的增加,大约有30%的人能够治愈,对于一次试验来说,其结果是随机的,因此前7个病人没治愈是可能的,对后3个人来说,其结果仍然是随机的,即有可能治愈,也可能没有治愈. 题型突破 03 解题通法 对概率的正确理解： (1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值. (2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映. (3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件. 题型1 概率概念的理解 题型突破 03 题型1 概率概念的理解 变式探究 我们知道,每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都为0.5,则连续抛掷质地均匀的硬币两次,是否一定出现“一次正面向上,一次反面向上”呢? 解：不一定.这是因为统计规律不同于确定的数学规律,对于具体的一次试验而言,它带有很大的随机性(即偶然性),通过具体试验可以知道除上述结果外,也可能出现“两次都是正面向上”“两次都是反面向上”.尽管随机事件不像函数关系那样具有确定性,但是如果我们知道某事件发生的概率的大小,也能作出科学的决策.例如:做连续抛掷两枚质地均匀的硬币的试验1 000次,可以预见:“两个都是正面向上”大约出现250次,“两个都是反面向上”大约出现250次,而“一个正面向上、一个反面向上”大约出现500次. 题型突破 03 题型2 概率与频率的关系及求法 例2. 某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示: (1)填写表中击中靶心的频率; (2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少(结果精确到0.01)? 解(1)表中依次填入的数据为0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91. (2)由于频率稳定在常数0.89附近,所以这个射手射击一次,击中靶心的概率约是0.89. 射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率             题型突破 03 解题通法 频率与概率的解题策略： (1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率.频率是变化的，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定值就是概率. (2)解此类题目的步骤是：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率. 题型2 概率与频率的关系及求法 题型突破 03 题型3 概率的应用 例3. 为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法:先从该保护区中捕出一定数量的天鹅,例如200只,给每只天鹅做上记号,不影响其存活,然后放回保护区,经过适当的时间,让其和保护区中其余的天鹅充分混合,再从保护区中捕出一定数量的天鹅,例如150只,查看其中有记号的天鹅,设有20只,试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量. 所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只. 题型突破 03 解题通法 概率的实际应用： 由于概率体现了随机事件发生的可能性,所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生,从而对某些事情作出决策.当某随机事件的概率未知时,可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率. 题型3 概率的应用 题型突破 03 题型4 生活中的公平性问题 题型突破 03 解题通法 游戏公平性的标准及判断方法： (1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同.若相同，则规则公平，否则就是不公平的. (2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，在进行比较. 题型4 生活中的公平性问题 当堂检测 PART 04 当堂检测 04 当堂检测 04 AC 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 D 当堂检测 04 C 当堂检测 04 A 当堂检测 04 谢谢观看 Learn to report 例4.　如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B，转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字．现为甲、乙两人设计游戏规则：自由转动转盘A和B，转盘停止后，指针指上一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜，你认为这个规则公平吗？ 解析：列表如下： 　B A　 3 4 5 6 1 4 5 6 7 2 5 6 7 8 3 6 7 8 9 由表可知，可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．因此，甲获胜的概率为eq \f(3,12)＝eq \f(1,4)，乙获胜的概率为eq \f(9,12)＝eq \f(3,4)，甲、乙获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平． $$