第16讲 导数与函数的极值、最值讲义——2025届高三数学一轮复习

第16讲 导数与函数极值、最值 一.基础知识整合 .1．函数的极值与导数 条件 f'（x0）＝ x0附近的左侧f'（x）　0，右侧f'（x）　　0 x0附近的左侧f'（x）　0，右侧f'（x）　0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f（x0）为极　　值 f（x0）为极　　值 极值点 x0为极　　值点 x0为极　　值点 注意：f'（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件.如：f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是极值点. 2．.函数的最值与导数 （1）如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条　 　的曲线，那么它必有最大值和最小值； （2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的　 　，f（b）为函数的　　；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的　 　，f（b）为函数的　 　. 3．常用结论 （1）若函数f（x）在（a，b）上是单调函数，则f（x）在（a，b）上无极值. （2）若函数f（x）在[a，b]上是单调函数，则f（x）一定在区间端点处取得最值. （3）若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则该极值点一定是函数相应的最值点. （4）若函数f（x）在x=a处取极值b，则f'（a）＝0且f（a）=b 二.典例精析 题型一：求函数的极值（极值点） 例1：已知函数f（x）＝ln x－ax（a∈R）. （1）当a＝ 时，求f（x）的极值； （2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数. 【变式训练1】已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点． （1）求a和b的值；（2）设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点． 题型二：函数的极值的简单应用 例2：（1）已知函数f（x）＝在x＝1处取得极值，则f（x）的极小值为 （2）已知函数f（x）＝－ax在（1，＋∞）上有极值，则实数a的取值范围为 【变式训练2】.（1）若函数f（x）＝的极大值点与极小值点分别为a，b，则a＋b＝ （2）若函数f（x）＝ln（2x）＋ax有大于零的极值，则实数a的取值范围是 题型三：函数的最值 例3：（1）函数f（x）＝x＋sin x在x∈[0，2π]上的最大值是　π　，最小值是　　； （2）函数f（x）＝－x3＋x在（a，10－a2）上有最大值，则实数a的取值范围为　　. 【变式训练3】（1）函数f（x）＝在[2，＋∞）上的最小值为 （2）已知函数f（x）＝x2－ln x在区间（a，a＋）（其中a＞0）上存在最小值，则实数a的取值范围为　　. 题型四：函数极值和最值的综合问题 例4：已知函数f（x）＝xsin x. （1）判断函数f（x）在区间（0，）上的单调性，并说明理由； （2）求证：函数f（x）在（，π）内有且只有一个极值点； （3）求函数g（x）＝在区间（1，π]上的最小值. 【变式训练4】设函数f（x）＝ex（ax2＋x＋1）（x∈R），且函数f（x）在x＝1处取得极大值. （1）求a的值，并讨论f（x）的单调性； （2）求f（x）在区间[0，5]上的最值. 三.方法规律总结 1．由图象判断函数y＝f（x）的极值要抓住两点：（1）由y＝f'（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值点；（2）由导函数y＝f'（x）的图象可以看出y＝f'（x）的值的正负，从而可得函数y＝f（x）的单调性.两者结合可得极值点. 2．利用导数求函数极值（极值点）的一般流程 3．已知函数极值点或极值求参数的2个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 注意：若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内不是单调函数. 4．利用导数求给定区间上的最值的步骤 （1）求函数f（x）的导数f'（x）； （2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有可能极值点的函数值； （3）求f（x）在给定区间上的端点值； （4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值. 注意：若最值在端点处取得，且所给区间为开区间，则f（x）的最值不存在. 5．解决函数极值、最值综合问题的策略 （1）求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小； （2）函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值； （3）求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 四.课后练习作业 一、单项选择题 1．如图是f（x）的导函数f'（x）的图象，则f（x）的极小值点的个数为（　　） A．1　 　B．2　 C．3　 　 D．4 2．当x＝1时，函数f（x）＝aln x＋取得最大值－2，则f'（2）＝（　　） A．－1　　B．－　 C．.　　D．.1 3．函数f（x）＝x2＋ln x－2x的极值点的个数是（　　） A．.0　 B．1 C．2　 D．无数 4．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是(　　) A．－　　　B．－ C．－4 D．－ 5．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为(　　) A． c≤ B．c< C．c≥ D．c> 6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为(　A　) A．－ B．－2 C．－2或－ D．2或－ 7．若函数f（x）＝x3－3x在区间（－2，m）上有最大值，则m的取值范围是（　　） A.（－1，）　B.（－1，3] C.（－1，]　D.（－1，2] 8．已知函数f（x）＝＋ln x－x有唯一的极值点t，则f（t）的取值范围是（　　） A．[－2，＋∞） B．[－3，＋∞） C．[2，＋∞）　D．[3，＋∞） 二、多选题 9．如图是y＝f（x）的导函数f'（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（　　） A．.当x＝－1时，f（x）取得极小值 B．f（x）在[－2，1]上单调递增 C．当x＝2时，f（x）取得极大值 D．f（x）在[－1，2]上不具备单调性 10．若函数f（x）＝ aln x＋＋（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　） A．bc＞0　 B．.ab＞0 C．.b2＋8ac＞0　 D．.ac＜0 11．下列说法正确的是（　　） A．f（x）＝x＋（x∈R）的最小值为1 B．f（x）＝（x＞0）的最小值为1 C．f（x）＝x－ln x（x＞0）的最小值为1 D．f（x）＝x（x＞0）的最小值1 三、填空题 12．函数f（x）＝xln x在［，e］上的最大值是　　. 13．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________． 14．设函数f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________． 3． 解答题 15．已知函数f(x)=ln x+x2+ax+2在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直. (1)求a; (2)求f(x)的单调区间和极值. 16．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值． (1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3，1]上的最大值和最小值． 17．函数f(x)＝aln x－bx2(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切． (1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值． 18．已知函数f(x)=(x-a-1)ex-1-x2+ax. (1)当a=1时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)若函数f(x)在(0,+∞)的最小值为-,求a的最大值. 19．已知函数f（x）＝2ax－ln（2x），x∈（0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R. （1）当a＝1时，求函数f（x）的极值； （2）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 导数与函数极值、最值 一.基础知识整合 .1．函数的极值与导数 条件 f'（x0）＝0 x0附近的左侧f'（x）　＞　0，右侧f'（x）　＜　0 x0附近的左侧f'（x）　＜　0，右侧f'（x）　＞　0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f（x0）为极　大　值 f（x0）为极　小　值 极值点 x0为极　大　值点 x0为极　小　值点 注意：f'（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件.如：f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是极值点. 2．.函数的最值与导数 （1）如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条　连续不断　的曲线，那么它必有最大值和最小值； （2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的　最小值　，f（b）为函数的　最大值　；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的　最大值　，f（b）为函数的　最小值　. 3．常用结论 （1）若函数f（x）在（a，b）上是单调函数，则f（x）在（a，b）上无极值. （2）若函数f（x）在[a，b]上是单调函数，则f（x）一定在区间端点处取得最值. （3）若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则该极值点一定是函数相应的最值点. （4）若函数f（x）在x=a处取极值b，则f'（a）＝0且f（a）=b 二.典例精析 题型一：求函数的极值（极值点） 例1：已知函数f（x）＝ln x－ax（a∈R）. （1）当a＝ 时，求f（x）的极值； （2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数. 【解】（1）当a＝时，f（x）＝ln x－x，函数的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝－＝， 令f'（x）＝0，得x＝2， 于是当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表： x （0，2） 2 （2，＋∞） f'（x） ＋ 0 － f（x） ↗ ln 2－1 ↘ 故f（x）在定义域上的极大值为f（2）＝ln 2－1，无极小值. （2）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－a＝（x＞0）.当a≤0时，f'（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立，则函数在（0，＋∞）上是增函数，此时函数在定义域上无极值点；当a＞0时，若x∈，则f'（x）＞0，若x∈，则f'（x）＜0， 故函数在x＝处有极大值.综上可知，当a≤0时，函数f（x）无极值点；当a＞0时，函数y＝f（x）有一个极大值点，且为x＝. 【变式训练1】已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点． （1）求a和b的值；（2）设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点． 【解】（1）由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.（2）由①知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是x＝1或x＝－2.当x<－2时，g′(x)<0；当－2<x<1时，g′(x)>0，故x＝－2是g(x)的极小值点．当－2<x<1或x>1时，g′(x)>0，故x＝1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极小值点为x＝－2，无极大值点． 题型二：函数的极值的简单应用 例2：（1）已知函数f（x）＝在x＝1处取得极值，则f（x）的极小值为 （2）已知函数f（x）＝－ax在（1，＋∞）上有极值，则实数a的取值范围为 【解】（1）求导得f'（x）＝，由已知得f'（1）＝0，所以a＝－1，则f（x）＝，f'（x）＝.令f'（x）＝0，得x＝0或x＝1.当x∈（－∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.所以f（x）的极小值为f（0）＝1.（2）由题意可知，f'（x）＝－a，设g（x）＝＝－.∵函数f（x）在区间（1，＋∞）上有极值，∴f'（x）＝g（x）－a在（1，＋∞）上有变号零点.令＝t，由x＞1可得ln x＞0，即t＞0，得到y＝t－t2＝－（t－）2＋≤，解得a＜. 【变式训练2】.（1）若函数f（x）＝的极大值点与极小值点分别为a，b，则a＋b＝ （2）若函数f（x）＝ln（2x）＋ax有大于零的极值，则实数a的取值范围是 【解析】（1）f'（x）＝，当－＜x＜时，f'（x）＞0；当x＜－或x＞时，f'（x）＜0.故f（x）＝的极大值点与极小值点分别为，－，则a＝，b＝－，所以a＋b＝0.（2）函数f（x）＝ln（2x）＋ax的定义域为（0，＋∞），求导得f'（x）＝＋a，当a≥0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数，无极值，不符合题意；当a＜0时，当0＜x＜－时，f'（x）＞0，当x＞－时，f'（x）＜0，则当x＝－时，函数f（x）取得极大值f（－），因此f（－）＝ln（－）－1＞0，即ln（－）＞1，解得－＜a＜0. 题型三：函数的最值 例3：（1）函数f（x）＝x＋sin x在x∈[0，2π]上的最大值是　π　，最小值是　0　； （2）函数f（x）＝－x3＋x在（a，10－a2）上有最大值，则实数a的取值范围为　[－2，1）　. 【解析】（1）f'（x）＝＋cos x，令f'（x）＝0，又x∈[0，2π]，解得x＝或x＝，计算得f（0）＝0，f（2π）＝π，f＝＋，f＝－.所以当x＝0时，f（x）有最小值f（0）＝0；当x＝2π时，f（x）有最大值f（2π）＝π. （2）由于f'（x）＝－x2＋1，易知f（x）在（－∞，－1）和（1，＋∞）上单调递减，在（－1，1）上单调递增，故若函数f（x）在（a，10－a2）上有最大值，则即－2≤a＜1. 【变式训练3】（1）函数f（x）＝在[2，＋∞）上的最小值为 （2）已知函数f（x）＝x2－ln x在区间（a，a＋）（其中a＞0）上存在最小值，则实数a的取值范围为　　. 　【解析】（1）f'（x）＝，令f'（x）＞0，解得x＞3，令f'（x）＜0，解得2≤x＜3，故f（x）在[2，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，故f（x）min＝f（3）＝. （2）f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－，令f'（x）＞0，得x＞1，令f'（x）＜0，得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.因为f（x）在区间（a，a＋）（其中 a＞0）上存在最小值，所以解得＜a＜1. 题型四：函数极值和最值的综合问题 例4：已知函数f（x）＝xsin x. （1）判断函数f（x）在区间（0，）上的单调性，并说明理由； （2）求证：函数f（x）在（，π）内有且只有一个极值点； （3）求函数g（x）＝在区间（1，π]上的最小值. 【解】（1）因为f（x）＝xsin x，所以f'（x）＝sin x＋xcos x，因为0＜x＜，所以f'（x）＞0，所以函数f（x）在区间（0，）上单调递增. （2）证明：设h（x）＝f'（x），则h'（x）＝cos x＋cos x－xsin x＝2cos x－xsin x， 当＜x＜π时，h'（x）＜0，所以h（x）在（，π）上单调递减，又h（）＝1＞0，h（π）＝－π＜0，所以存在唯一x0∈（，π），使得h（x0）＝0，即存在唯一x0∈（，π），使得f'（x0）＝0，f（x）与f'（x）在区间（，π）内的变化情况如下： x （，x0） x0 （x0，π） f'（x） ＋ 0 － f（x） ↗ 极大值 ↘ 所以函数f（x）在（，π）内有且只有一个极值点. （3）由（1）（2）知，f（x）在（1，x0）内单调递增，在（x0，π）内单调递减，又因为f（1）＝sin 1＞0，f（π）＝0，所以当x∈（1，π]时，f（x）＋1≥1，又因为当x∈（1，π]时，0＜ln x≤ln π.所以g（x）＝≥，当且仅当x＝π时等号成立，所以g（x）在（1，π]上的最小值为. 【变式训练4】设函数f（x）＝ex（ax2＋x＋1）（x∈R），且函数f（x）在x＝1处取得极大值. （1）求a的值，并讨论f（x）的单调性； （2）求f（x）在区间[0，5]上的最值. 【解】（1）由函数f（x）＝ex（ax2＋x＋1），得f'（x）＝ex[ax2＋（2a＋1）x＋2]，因为函数f（x）在x＝1处取得极大值，则f'（1）＝e（3a＋3）＝0，解得a＝－1，当a＝－1时，f'（x）＝ex（－x2－x＋2）＝－（x＋2）（x－1）ex，当x＜－2或x＞1时，f'（x）＜0，当－2＜x＜1时，f'（x）＞0，即函数f（x）在（－∞，－2）和（1，＋∞）上单调递减，在（－2，1）上单调递增，且函数f（x）在x＝1处取得极大值.所以a＝－1，函数f（x）在（－∞，－2）和（1，＋∞）上单调递减，在（－2，1）上单调递增. （2）当x∈[0，5]时，由（1）知，f（x）＝ex（－x2＋x＋1）在[0，1]上单调递增，在[1，5]上单调递减，因为f（0）＝1，f（5）＝－19e5，所以当x＝5时，f（x）min＝f（5）＝－19e5，当x＝1时，f（x）max＝f（1）＝e，所以函数f（x）在[0，5]上的最小值为－19e5，最大值为e. 三.方法规律总结 1．由图象判断函数y＝f（x）的极值要抓住两点：（1）由y＝f'（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值点；（2）由导函数y＝f'（x）的图象可以看出y＝f'（x）的值的正负，从而可得函数y＝f（x）的单调性.两者结合可得极值点. 2．利用导数求函数极值（极值点）的一般流程 3．已知函数极值点或极值求参数的2个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 注意：若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内不是单调函数. 4．利用导数求给定区间上的最值的步骤 （1）求函数f（x）的导数f'（x）； （2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有可能极值点的函数值； （3）求f（x）在给定区间上的端点值； （4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值. 注意：若最值在端点处取得，且所给区间为开区间，则f（x）的最值不存在. 5．解决函数极值、最值综合问题的策略 （1）求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小； （2）函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值； （3）求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 四.课后练习作业 一、单项选择题 1．如图是f（x）的导函数f'（x）的图象，则f（x）的极小值点的个数为（　　） A．1　 　B．2　 C．3　 　 D．4 【答案】A【解析】由题意知，只有在x＝－1处，f'（－1）＝0，且其两侧导数符号为左负右正，故f（x）的极小值点只有1个. 2．当x＝1时，函数f（x）＝aln x＋取得最大值－2，则f'（2）＝（　　） A．－1　　B．－　 C．.　　D．.1 【答案】B【解析】由题意知，f（1）＝aln 1＋b＝b＝－2.求导得f'（x）＝－（x＞0），因为f（x）的定义域为（0，＋∞），所以易得f'（1）＝a－b＝0，所以a＝－2，所以f'（2）＝－＝－.故选B. 3．函数f（x）＝x2＋ln x－2x的极值点的个数是（　　） A．.0　 B．1 C．2　 D．无数 【答案】A【解析】函数定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝x＋－2＝＝≥0，即f（x）在定义域上是增函数，由结论1可知f（x）无极值点. 4．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是(　　) A．－　　　B．－ C．－4 D．－ 【答案】A【解析】.f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0，得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，故f(x)在[0，2]上的最小值是f(1)＝－. 5．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为(　　) A． c≤ B．c< C．c≥ D．c> 【答案】B【解析】.f′(x)＝x2－x＋c.因为函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则方程x2－x＋c＝0有两个不同的实根，所以Δ＝1－4c>0⇒c<. 6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为(　A　) A．－ B．－2 C．－2或－ D．2或－ 【解析】由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即，解得或，经检验满足题意，故＝－. 7．若函数f（x）＝x3－3x在区间（－2，m）上有最大值，则m的取值范围是（　　） A.（－1，）　B.（－1，3] C.（－1，]　D.（－1，2] 【答案】D【解析】f'（x）＝3x2－3＝3（x2－1）＝3（x＋1）·（x－1），当x＜－1或x＞1时，f'（x）＞0；当－1＜x＜1时，f'（x）＜0，所以f（x）在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，在（－1，1）上单调递减，所以f（x）在x＝－1处取得极大值，在x＝1处取得极小值，因为f（x）在（－2，m）上有最大值，所以－1∈（－2，m），又f（－1）＝2，当x3－3x＝2时，即（x＋1）2（x－2）＝0，解得x＝2或x＝－1，所以－1＜m≤2. 8．已知函数f（x）＝＋ln x－x有唯一的极值点t，则f（t）的取值范围是（　　） A．[－2，＋∞） B．[－3，＋∞） C．[2，＋∞）　D．[3，＋∞） 【答案】A【解析】因为f（x）＝＋ln x－x，所以f'（x）＝a·＋－1＝（1－x）（＋），因为f（x）有唯一的极值点t，所以t＝1，且y＝＋在x＞0时无变号零点.令h（x）＝（x＞0），则h'（x）＝，令h'（x）＞0得x＞1，令h'（x）＜0得0＜x＜1，所以函数h（x）＝在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以－a≤h（1）＝e.所以f（t）＝f（1）＝－1≥－1＝－2.故选A. 二、多选题 9．如图是y＝f（x）的导函数f'（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（　　） A．.当x＝－1时，f（x）取得极小值 B．f（x）在[－2，1]上单调递增 C．当x＝2时，f（x）取得极大值 D．f（x）在[－1，2]上不具备单调性 【答案】AC【解析】由导函数f'（x）的图象知，当x＝－1时，f（x）取得极小值，故选项A正确；f（x）在[－2，1]上有减有增，故选项B错误；当x＝2时，f（x）取得极大值，故选项C正确；f（x）在[－1，2]上单调递增，故选项D错误. 10．若函数f（x）＝ aln x＋＋（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　） A．bc＞0　 B．.ab＞0 C．.b2＋8ac＞0　 D．.ac＜0 【答案】BCD【解析】因为函数f（x）＝aln x＋＋（a≠0），所以函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝，因为函数f（x）既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则即所以故选B、C、D. 11．下列说法正确的是（　　） A．f（x）＝x＋（x∈R）的最小值为1 B．f（x）＝（x＞0）的最小值为1 C．f（x）＝x－ln x（x＞0）的最小值为1 D．f（x）＝x（x＞0）的最小值1 【答案】AC【解析】f（x）＝x＋（x∈R），f'（x）＝1－＝，函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，故函数f（x）的最小值为f（0）＝1，A正确；f（x）＝（x＞0），f'（x）＝，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，故函数f（x）的最小值为f（1）＝e，B错误；f（x）＝x－ln x（x＞0），f'（x）＝1－＝，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，故函数f（x）的最小值为f（1）＝1，C正确；f（x）＝x（x＞0），f'（x）＝＋x·（－）＝，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，故函数f（x）的最小值为f（1）＝e，D错误；故选A、C. 三、填空题 12．函数f（x）＝xln x在［，e］上的最大值是　　. 【解析】由f（x）＝xln x，得f'（x）＝ln x＋1，令f'（x）＝0，得x＝，当≤x≤e时，f'（x）≥0，所以f（x）在［，e］上单调递增，由结论2可知f（x）的最大值为f（e）＝eln e＝e. 13．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________． 【解析】令f′(x)＝3x2－3a＝0，得x＝±，则f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表： x (－∞，－) － (－，) (，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  从而，解得，所以f(x)的单调递减区间是(－1，1)． 14．设函数f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________． 【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.∴f′(x)＝－ax＋a－1＝.①若a≥0，当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以x＝1是f(x)的极大值点．②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－>1，解得－1<a<0.综合①②得a的取值范围是a>－1. 3． 解答题 15．已知函数f(x)=ln x+x2+ax+2在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直. (1)求a; (2)求f(x)的单调区间和极值. 【解析】(1)f'(x)=+2x+a,则f'(2)=+2×2+a=+a,由题意可得(+a)×(-)=-1,解得a=-3. (2)由(1)知f(x)=ln x+x2-3x+2,则f'(x)=+2x-3=,x>0,故当0<x<时,f'(x)>0;当<x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0,故f(x)的单调递增区间为(0,),(1,+∞),f(x)的单调递减区间为(,1),f(x)的极大值为f()=ln+()2-3+2=-ln 2,极小值为f(1)=ln 1+12-3×1+2=0. 16．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值． (1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3，1]上的最大值和最小值． 【解】(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4.所以1＋a＋b＋c＝4.所以c＝5. (2)由(1)，可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝. 当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示： x －3 (－3，－2) －2 1 f′(x) ＋ ＋ 0 － 0 ＋ ＋ f(x) 8  13   4 所以y＝f(x)在[－3，1]上的最大值为13，最小值为. 17．函数f(x)＝aln x－bx2(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切． (1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值． 【解】(1)f′(x)＝－2bx∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切∴解得(2)f(x)＝ln x－x2，f′(x)＝－x＝，∵当≤x≤e时，令f′(x)>0，得≤x<1；令f′(x)<0，得1<x≤e，∴f(x)在上单调递增，在[1，e]上单调递减∴f(x)max＝f(1)＝－. 18．已知函数f(x)=(x-a-1)ex-1-x2+ax. (1)当a=1时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)若函数f(x)在(0,+∞)的最小值为-,求a的最大值. 【解】 (1)当a=1时,f(x)=(x-2)·ex-1-x2+x,则f'(x)=(x-1)·ex-1-x+1=(x-1)(ex-1-1),令g(x)=(x-1)(ex-1-1),g'(x)=xex-1-1,令g'(x)=0,解得x=1,当x<1时,g'(x)<0,当x>1时,g'(x)>0,即g(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,故g(x)≥g(1)=0,所以f'(x)=(x-1)(ex-1-1)≥0恒成立,即f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).(2)f'(x)=(x-a)ex-1-x+a=(x-a)(ex-1-1),当a≤0时,由x∈(0,1),f'(x)<0,x∈(1,+∞),f'(x)>0,则f(x)在x=1取得最小值-,符合题意;当0<a<1时,由x∈(0,a),f'(x)>0,x∈(a,1),f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,因为f(x)的最小值为-=f(1),所以f(0)≥f(1),得a-1,即0<a-1;当a=1时,由(1)可知f(x)单调递增,则当x>0时f(x)无最小值,不合题意; 当a>1时,由x∈(0,1),f'(x)>0,x∈(1,a),f'(x)<0,x∈(a,+∞),f'(x)>0,则有f(a)<f(1)=-,不合题意.综上可得,a的最大值为-1. 19．已知函数f（x）＝2ax－ln（2x），x∈（0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R. （1）当a＝1时，求函数f（x）的极值； （2）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）当a＝1时，f（x）＝2x－ln（2x），f'（x）＝2－＝，x∈（0，e]， 当0＜x＜时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减；当＜x≤e时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增.所以函数f（x）的极小值为f（）＝1，无极大值. （2）假设存在实数a，使f（x）＝2ax－ln（2x），x∈（0，e]的最小值是3， f'（x）＝2a－＝，x∈（0，e].①当a≤0时，因为x∈（0，e]，所以f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，所以f（x）min＝f（e）＝2ae－ln（2e）＝3，解得a＝（舍去）；②当0＜＜e时，即a＞时，当0＜x＜时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增.所以f（x）min＝f（）＝1－ln＝3，解得a＝e2，满足条件；③当≥e时，即0＜a≤时，对任意的x∈（0，e]，f'（x）≤0，f（x）在（0，e]上单调递减，所以f（x）min＝f（e）＝2ae－ln（2e）＝3，解得a＝（舍去）.综上，存在实数a＝e2，使得当x∈（0，e]时，f（x）的最小值为3 学科网（北京）股份有限公司 $$