第15讲 导数与函数单调性讲义——2025届高三数学一轮复习

第15讲 导数与函数单调性 一.基础知识整合 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f（x）在区间（a，b）上可导 f'（x）＞0 f（x）在区间（a，b）上　 　 f'（x）＜0 f（x）在区间（a，b）上　 　 f'（x）＝0 f（x）在区间（a，b）上是　 　 注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则. 2．常用结论 （1）若可导函数f（x）在（a，b）上单调递增，则当x∈（a，b）时， 恒成立；若可导函数f（x）在（a，b）上单调递减，则当x∈（a，b）时， 恒成立. （2）若可导函数f（x）在（a，b）上存在单调递增区间，则当x∈（a，b）时， 有解；若可导函数f（x）在（a，b）上存在单调递减区间，则当x∈（a，b）时， 有解. 二.典例精析 题型一：求函数的单调区间 例1：已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x. (1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间． 【变式训练1】已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)，求函数f(x)的单调区间． 题型二：利用导数判断或证明函数的单调性 例2：已知常数a＞0，函数f(x)＝ln(1＋ax)－.讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性． 【变式训练2】已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性. 题型三：已知函数的单调性求参数的范围 例3：已知函数f(x)＝x2＋2aln x(a≠0)． (1)若函数f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围． 【变式训练3】已知函数f(x)＝exln x－aex(a∈R)． （1）若f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋1垂直，求a的值； （2）若f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围． 三.方法规律总结 1．理清导数与函数单调性的关系：(1)f′(x)>0(或<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2)f′(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)＝0不恒成立)．注意：由函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或<0)恒成立，“＝”不能少 2．讨论函数f（x）单调性的步骤：（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根；（3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性. 提醒　研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 3．根据函数单调性求参数的一般思路：（1）由函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减）可知f'（x）≥0（f'（x）≤0）在区间[a，b]上恒成立，列出不等式；（2）利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；（3）对等号单独检验，检验参数的取值能否使f'（x）在整个区间恒等于0.若f'（x）恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f'（x）＝0，则参数可取这个值. 提醒：当已知函数在某区间上不单调时，则转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题. 四.课后练习作业 一、单项选择题 1．函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　） 2．下列函数中，在（0，＋∞）内单调递增的是（　　） A．.f（x）＝sin 2x 　B．.f（x）＝xex C．f（x）＝x3－x D．.f（x）＝－x＋ln x 3．.函数f（x）＝ln x－ax（a＞0）的单调递增区间为（　　） A．（0，）　B．（，＋∞） C．（－∞，）　D．（－∞，a） 4．若函数y＝cos x＋ax在上是增函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1]　B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 5．若f(x)＝，e<a<b，则(　　) A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b) C．f(a)<f(b) D．f(a)f(b)>1 6．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则a的取值范围是(　　) A．0<a< B. a≥ C．<a< D．0<a< 7．f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋x·f′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为 (　　) A．(－4,0)∪(4，＋∞) B．(－∞，－4)∪(0,4)C．(－∞，－4)∪(4，＋∞) D．(－4,0)∪(0,4) 8．已知f(x)为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有(　　) A．e2025f(－2025)<f(0)，f(2025)>e2025f(0) B．e2025f(－2025)<f(0)，f(2025)<e2025f(0) C．e2025f(－2025)>f(0)，f(2025)>e2025f(0) D．e2025f(－2025)>f(0)，f(225)<e2025f(0) 2、 多选题 9．若函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),则f(x)可能是(　　) A．f(x)=ln(x-2)+x B．.f(x)= C．f(x)=x+ D．.f(x)=x(ln x-1) 10．设f'(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f'(x)的图象画在同一直角坐标系中,可能正确的是(　　) 11．如果函数f（x）对定义域内的任意两实数x1，x2（x1≠x2）都有＞0，则称函数y＝f（x）为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是（　　） A．f（x）＝ex　 B．f（x）＝x2 C．.f（x）＝ln x D．.f（x）＝sin x 三、填空题 12．请写出一个同时满足下列三个条件的函数f（x）： （1）f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，＋∞）上单调递减； （3）f（x）的值域是（0，＋∞）.则f（x）＝　　. 13．已知函数f（x）＝＋＋ax＋1存在三个单调区间，则实数a的取值范围是　　. 14．已知函数f（x）＝－x2－3x＋4ln x在（t，t＋2）上不单调，则实数t的取值范围是　　. 四、解答题 15．已知函数f(x)=x2-(a-2)x-aln x(a∈R). (1)当a=1时,求函数y=f(x)在x=1处的切线方程 （2）当a=1时,求函数y=f(x)的单调区间; 16．讨论下列函数的单调性 （1）已知函数f（x）＝aln x＋2x2－2（a∈R），讨论函数f（x）的单调性. （2）已知函数f（x）＝8x－，x∈（0，），讨论f（x）的单调性 17．已知函数f(x)＝(m为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行． (1)求m的值；(2)求f(x)的单调区间． 18．已知函数f（x）＝ln x－ax2－2x（a≠0）. （1）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围； （2）若函数f（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围. 19．已知函数f（x）＝exln（1＋x）. （1）设g（x）＝f'（x），讨论函数g（x）在[0，＋∞）上的单调性； （2）证明：对任意的s，t∈（0，＋∞），有f（s＋t）＞f（s）＋f（t）. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 导数与函数单调性 一.基础知识整合 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f（x）在区间（a，b）上可导 f'（x）＞0 f（x）在区间（a，b）上　单调递增　 f'（x）＜0 f（x）在区间（a，b）上　单调递减　 f'（x）＝0 f（x）在区间（a，b）上是　常数函数　 注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则. 2．常用结论 （1）若可导函数f（x）在（a，b）上单调递增，则当x∈（a，b）时，f'（x）≥0恒成立；若可导函数f（x）在（a，b）上单调递减，则当x∈（a，b）时，f'（x）≤0恒成立. （2）若可导函数f（x）在（a，b）上存在单调递增区间，则当x∈（a，b）时，f'（x）＞0有解；若可导函数f（x）在（a，b）上存在单调递减区间，则当x∈（a，b）时，f'（x）＜0有解. 二.典例精析 题型一：求函数的单调区间 例1：已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x. (1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间． 【解】(1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，知 f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.(2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－，则f′(x)＝.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0，5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0，5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数． 【变式训练1】已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)，求函数f(x)的单调区间． 【解】f′(x)＝－a(x>0)，(1)当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．(2)当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，当0<x<时，f′(x)＝>0；当x>时，f′(x)＝<0，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.由(1)(2)知，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. 题型二：利用导数判断或证明函数的单调性 例2：已知常数a＞0，函数f(x)＝ln(1＋ax)－.讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性． 【解】f′(x)＝－＝.当a≥1时，f′(x)＞0. 此时f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．当0＜a＜1时，由f′(x)＝0，得x1＝2.当x∈(0，x1)时，f′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在区间(0，x1)上单调递减，在区间(x1，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≥1时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；当0＜a＜1时，f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增． 【变式训练2】已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性. 【解】由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1. 当a≤0时，易知f'（x）＜0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数. 当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln. 当x∈（－∞，ln）时，f'（x）＜0；当x∈（ln，＋∞）时，f'（x）＞0. 所以f（x）在（－∞，ln）上单调递减，在（ln，＋∞）上单调递增. 综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（－∞，ln）上单调递减，在（ln，＋∞）上单调递增. 题型三：已知函数的单调性求参数的范围 例3：已知函数f(x)＝x2＋2aln x(a≠0)． (1)若函数f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围． 【解】)(1)对f(x)求导，得f′(x)＝2x＋＝，由已知f′(2)＝2，得＝2，求得a＝－2.(2)对g(x)＝＋x2＋2aln x求导，得g′(x)＝－＋2x＋.由函数g(x)在[1，2]上是减函数，可得g′(x)≤0在[1，2]上恒成立，即－＋2x＋≤0在[1，2]上恒成立，即a≤－x2在[1，2]上恒成立．令h(x)＝－x2，当x∈[1，2]时，h′(x)＝－－2x＝－<0，由此知h(x)在[1，2]上为减函数，所以h(x)min＝h(2)＝－，故a≤－.于是实数a的取值范围为. 【变式训练3】已知函数f(x)＝exln x－aex(a∈R)． （1）若f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋1垂直，求a的值； （2）若f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围． 【解】(1)f′(x)＝exln x＋ex·－aex＝ex，f′(1)＝(1－a)e，由(1－a)e·＝－1，得a＝2.(2)由(1)f知f′(x)＝ex，若f(x)为单调递减函数，则f′(x)≤0，即－a＋ln x≤0，所以a≥＋ln x.令g(x)＝＋ln x(x>0)，则g′(x)＝－＋＝(x>0)，由g′(x)>0，得x>1，故g(x)在(0，1]上为单调递减函数，在[1，＋∞)上为单调递增函数，此时g(x)有最小值为g(1)＝1，但g(x)无最大值．故f(x)不可能是单调递减函数．若f(x)为单调递增函数，则f′(x)≥0，即－a＋ln x≥0，所以a≤＋ln x，由上述推理可知此时a≤1.故实数a的取值范围是(－∞，1]． 三.方法规律总结 1．理清导数与函数单调性的关系：(1)f′(x)>0(或<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2)f′(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f′(x)＝0不恒成立)．注意：由函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或<0)恒成立，“＝”不能少 2．讨论函数f（x）单调性的步骤：（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根；（3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性. 提醒　研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 3．根据函数单调性求参数的一般思路：（1）由函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减）可知f'（x）≥0（f'（x）≤0）在区间[a，b]上恒成立，列出不等式；（2）利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；（3）对等号单独检验，检验参数的取值能否使f'（x）在整个区间恒等于0.若f'（x）恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f'（x）＝0，则参数可取这个值. 提醒：当已知函数在某区间上不单调时，则转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题. 四.课后练习作业 一、单项选择题 1．函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　） 【答案】D【解析】利用导数与函数的单调性进行验证.f'（x）＞0的解集对应y＝f（x）的单调递增区间，f'（x）＜0的解集对应y＝f（x）的单调递减区间，验证只有D符合. 2．下列函数中，在（0，＋∞）内单调递增的是（　　） A．.f（x）＝sin 2x 　B．.f（x）＝xex C．f（x）＝x3－x D．.f（x）＝－x＋ln x 【答案】B【解析】由于x＞0，对于A选项，f'（x）＝2cos 2x，f'（）＝－1＜0，不符合题意；对于B选项，f'（x）＝（x＋1）ex＞0，符合题意；对于C选项，f'（x）＝3x2－1，f'（）＝－＜0，不符合题意；对于D选项，f'（x）＝－1＋，f'（2）＝－＜0，不符合题意.故选B. 3．.函数f（x）＝ln x－ax（a＞0）的单调递增区间为（　　） A．（0，）　B．（，＋∞） C．（－∞，）　D．（－∞，a） 【答案】A【解析】函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－a，令f'（x）＝－a＞0，得0＜x＜，所以f（x）的单调递增区间为（0，）. 4．若函数y＝cos x＋ax在上是增函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1]　B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 【答案】 D 【解析】y′＝－sin x＋a，若函数在上是增函数，则a≥sin x在上恒成立，所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞)． 5．若f(x)＝，e<a<b，则(　　) A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b) C．f(a)<f(b) D．f(a)f(b)>1 【答案】 A 【解析】f′(x)＝，当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，f(a)>f(b)． 6．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则a的取值范围是(　　) A．0<a< B. a≥ C．<a< D．0<a< 【答案】 B 【解析】.f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由题意当x∈[－1，1]时，f′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立．令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，则有即解得a≥. 7．f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋x·f′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为 (　　) A．(－4,0)∪(4，＋∞) B．(－∞，－4)∪(0,4)C．(－∞，－4)∪(4，＋∞) D．(－4,0)∪(0,4) 【答案】 B 【解析】令g(x)＝x·f(x)，则g(x)为奇函数且当x<0时，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)<0，∴g(x)的图象的变化趋势如图所示：所以xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)． 8．已知f(x)为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有(　　) A．e2025f(－2025)<f(0)，f(2025)>e2025f(0) B．e2025f(－2025)<f(0)，f(2025)<e2025f(0) C．e2025f(－2025)>f(0)，f(2025)>e2025f(0) D．e2025f(－2025)>f(0)，f(225)<e2025f(0) 【答案】 D 【解析】构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＝，因为∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，并且ex>0，所以g′(x)<0，故函数g(x)＝在R上单调递减，所以g(－2 025)>g(0)，g(2 025)<g(0)，即>f(0)，<f(0)，也就是e2 014f(－2025)>f(0)，f(2025)<e2 014f(0)，故选D. 2、 多选题 9．若函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),则f(x)可能是(　　) A．f(x)=ln(x-2)+x B．.f(x)= C．f(x)=x+ D．.f(x)=x(ln x-1) 【答案】D【解析】f(x)=ln(x-2)+x的定义域为(2,+∞),因此单调递增区间不可能为(1,+∞),故A错误;f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)=,令f'(x)>0,解得x>1,所以f(x)=的单调递增区间为(1,+∞),故B正确;f(x)=x+的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)=1-,令f'(x)=>0,解得x>1或x<-1,所以f(x)=x+的单调递增区间为(1,+∞)和(-∞,-1),故C错误;f(x)=x(ln x-1)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x-1+1=ln x,令f'(x)=ln x>0,解得x>1,因此f(x)=x(ln x-1)的单调递增区间为(1,+∞),故D正确.故选BD. 10．设f'(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f'(x)的图象画在同一直角坐标系中,可能正确的是(　　) 【答案】ABC【解析】对选项A,若图中的直线为f'(x)的图象,曲线为f(x)的图象,因为f'(x)的图象先负后正,f(x)的图象先减后增,故A可能正确;对选项B,若图中上面的曲线为f(x)的图象,下面曲线为f'(x)的图象,因为f'(x)的图象在x=0左右先负后正,f(x)的图象在x=0处先减后增,故B可能正确;对选项C,若图中上面的曲线为f'(x)的图象,下面的曲线为f(x)的图象,因为f'(x)>0恒成立,f(x)的图象为增函数,故C可能正确;对选项D,若图中上面的曲线为f'(x)的图象,下面的曲线为f(x)的图象,因为f'(x)的图象先负后正,但f(x)的图象为增函数,不符合,若图中上面的曲线为f(x)的图象,下面的曲线为f'(x)的图象,因为f'(x)<0恒成立,但f(x)的图象为增函数,不符合,故D错误,故选ABC. 11．如果函数f（x）对定义域内的任意两实数x1，x2（x1≠x2）都有＞0，则称函数y＝f（x）为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是（　　） A．.f（x）＝ex　 B．.f（x）＝x2 C．.f（x）＝ln x D．.f（x）＝sin x 【答案】ACD【解析】依题意，函数g（x）＝xf（x）为定义域上的增函数.对于A，g（x）＝xex，g'（x）＝（x＋1）ex，当x∈（－∞，－1）时，g'（x）＜0，∴g（x）在（－∞，－1）上单调递减，故A中函数不是“F函数”；对于B，g（x）＝x3在R上是增函数，故B中函数为“F函数”；对于C，g（x）＝xln x，g'（x）＝1＋ln x，当x∈（0，）时，g'（x）＜0，故C中函数不是“F函数”；对于D，g（x）＝xsin x，g'（x）＝sin x＋xcos x，当x∈（－，0）时，g'（x）＜0，故D中函数不是“F函数”. 三、填空题 12．请写出一个同时满足下列三个条件的函数f（x）： （1）f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，＋∞）上单调递减； （3）f（x）的值域是（0，＋∞）.则f（x）＝　x－2（x≠0）（答案不唯一）　. 【解析】设f（x）＝x－2（x≠0），因为f（－x）＝x－2＝f（x）（x≠0），所以f（x）是偶函数；x＞0时，f'（x）＝－2x－3＜0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减；f（x）＝x－2＞0，f（x）的值域是（0，＋∞）. 13．已知函数f（x）＝＋＋ax＋1存在三个单调区间，则实数a的取值范围是　（－∞，0）∪（4，＋∞）　. 【解析】由函数f（x）＝＋＋ax＋1，可得f'（x）＝x2＋ax＋a，由函数f（x）存在三个单调区间，可得f'（x）有两个不相等的实数根，则满足Δ＝a2－4a＞0，解得a＜0或a＞4，即实数a的取值范围是（－∞，0）∪（4，＋∞）. 14．已知函数f（x）＝－x2－3x＋4ln x在（t，t＋2）上不单调，则实数t的取值范围是　[0，1）　. 【解析】由题意，f（x）＝－x2－3x＋4ln x的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－x－3＋＝－，当f'（x）＝0时，有x2＋3x－4＝0，得x＝－4或x＝1，∵f（x）在（t，t＋2）上不单调，且（t，t＋2）⊆（0，＋∞），∴可得t∈[0，1）. 四、解答题 15．已知函数f(x)=x2-(a-2)x-aln x(a∈R). (1)当a=1时,求函数y=f(x)在x=1处的切线方程 （2）当a=1时,求函数y=f(x)的单调区间; 【解】(1)由题意得,当a=1时,f(x)=x2+x-ln x,定义域为(0,+∞),则f'(x)=2x+1-,设切线斜率为k,则k=f'(1)=2,又f(1)=2，所以切点为（1,2），所以切线方程为y-2=2(x-1)即2x-y=0(2)由题意得,当a=1时,f(x)=x2+x-ln x,定义域为(0,+∞),则f'(x)=2x+1-,令f'(x)<0,得0<x<;令f'(x)>0,得x>所以f(x)在(0,)内单调递减,(,+∞)内单调递增. 16．讨论下列函数的单调性 （1）已知函数f（x）＝aln x＋2x2－2（a∈R），讨论函数f（x）的单调性. （2）已知函数f（x）＝8x－，x∈（0，），讨论f（x）的单调性 【解】（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝＋4x＝. 当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数； 当a＜0时，令f'（x）＝0，解得x＝，由f'（x）≤0，得0＜x≤；由f'（x）≥0，得x≥.则函数f（x）在（0，］上单调递减，在［，＋∞）上单调递增. 综上，当a≥0时，函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数；当a＜0时，函数f（x）在（0，］上单调递减，在［，＋∞）上单调递增.（2）f（x）＝8x－（0＜x＜）， 则f'（x）＝＝＝.令f'（x）＞0，则cos x＞或cos x＜－.又0＜x＜，所以0＜x＜.令f'（x）＜0，则－＜cos x＜. 又0＜x＜，所以＜x＜.所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减. 17．已知函数f(x)＝(m为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行． (1)求m的值；(2)求f(x)的单调区间． 【解】(1)由题意得f′(x)＝，又f′(1)＝＝0，故m＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝.设h(x)＝－ln x－1(x>0)，则h′(x)＝－－<0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数． 由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0，从而f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，从而f′(x)<0. 综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)． 18．已知函数f（x）＝ln x－ax2－2x（a≠0）. （1）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围； （2）若函数f（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围. 【解】（1）f（x）＝ln x－ax2－2x，x∈（0，＋∞），所以f'（x）＝－ax－2，由于f（x）在（0，＋∞）上存在单调递减区间，所以当x∈（0，＋∞）时，－ax－2＜0有解. 即a＞－有解，设G（x）＝－，所以只要a＞G（x）min即可.而G（x）＝－1， 所以G（x）min＝－1.所以a＞－1.又a≠0，即a的取值范围是（－1，0）∪（0，＋∞）. （2）由f（x）在[1，4]上单调递减得，当x∈[1，4]时，f'（x）＝－ax－2≤0恒成立， 即a≥－恒成立.所以a≥G（x）max，而G（x）＝－1，因为x∈[1，4]，所以∈，所以G（x）max＝－（此时x＝4），所以a≥－，又a≠0，即a的取值范围是∪（0，＋∞）. 19．已知函数f（x）＝exln（1＋x）. （1）设g（x）＝f'（x），讨论函数g（x）在[0，＋∞）上的单调性； （2）证明：对任意的s，t∈（0，＋∞），有f（s＋t）＞f（s）＋f（t）. 【解】1）由题得g（x）＝f'（x）＝ex·ln（1＋x）＋ex·＝ex·［ln（1＋x）＋］，x∈[0，＋∞），则g'（x）＝ex·［ln（1＋x）＋－］＝ex·［ln（1＋x）＋］＝ex·［ln（1＋x）＋＋］.由于x∈[0，＋∞），故ln（1＋x）≥0，＞0，≥0，所以对任意x∈[0，＋∞），g'（x）＞0恒成立，故g（x）在[0，＋∞）上单调递增. （2）证明：设函数F（x）＝f（x＋t）－f（x）（x＞0），F'（x）＝f'（x＋t）－f'（x）＝g（x＋t）－g（x）.因为t＞0，所以x＋t＞x＞0.因为g（x）在[0，＋∞）上单调递增， 所以g（x＋t）＞g（x），即g（x＋t）－g（x）＞0，F'（x）＞0，所以F（x）在（0，＋∞）上单调递增.又因为s＞0，所以F（s）＞F（0），即f（s＋t）－f（s）＞f（t）－f（0）. 又f（0）＝0，所以f（s＋t）＞f（s）＋f（t 学科网（北京）股份有限公司 $$