第14讲 导数概念、运算及几何意义讲义——2025届高三数学一轮复习

第14讲 导数概念、运算及几何意义 一.【基础知识整合】 1．导数的概念：(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . (2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的 (瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为 (3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x 3.导数的运算法则： (1)[f(x)±g(x)]′＝ ；(2)[f(x)·g(x)]′＝ ； (3)′＝ ． 4．复合函数的导数：复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝ ，即y对x的导数等于 的导数与 的导数的乘积． 二.【典例精析】 题型一：导数的运算 例1：求下列函数的导数： (1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sin x；(3)y＝；(4)y＝ln(2x－5)． 【变式训练1】求下列函数的导数： (1)y＝xnex；(2)y＝；(3)y＝exln x；(4)y＝(1＋sin x)2. 题型二：导数的几何意义 例2：(1)已知曲线y＝x3＋，则①曲线在点P(2,4)处的切线方程为 ；②曲线过点P(2,4)的切线方程为 ；③满足斜率为1的曲线的切线方程为 ． (2)设曲线y＝ax－ln x在点(1，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝ (3)设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为 【变式训练2】（1）曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为 （2）曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程 ． (3)若曲线y＝x2＋x－的某一切线与直线y＝4x＋3平行，则切线方程为________． （4）已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)的图象与直线x－y＋1＝0相切，则实数a的值为 ． 三.方法规律总结 1．导数计算的原则和方法：：(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导． 2．求曲线切线方程的步骤：①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． 3．求曲线的切线方程需注意两点：①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解． 四.课后练习作业 一、选择题 1．函数y＝x2cos x在x＝1处的导数是(　　) A．0　　　B．2cos 1－sin 1 C．cos 1－sin 1 D．1 2．.函数f（x）＝2x2－3x，则＝（　　） A．－1　 B．1 C．2　 D．－3 3．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为(　　) A．3 B．2 C．1 D. 4．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝(　　) A．. B．－ C．. D．－或 5．若直线y1＝ax＋a与曲线y2＝ln x＋2相切，则a＝（　　） A．.4　 B．3 C．2　D．.1 6．若函数f(x)＝cos x＋2xf′，则f与f的大小关系是(　　) A．f＝f B．f>f C．f<f D．不确定 7．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　) A. B. C. D. 8．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″ (x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．则下列四个函数①f(x)＝sin x＋cos x；②f(x)＝ln x－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.在上是凸函数的是（ ） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 2、 多选题 9．下列求导运算正确的是（　　） A．若f（x）＝sin（2x＋3），则f'（x）＝2cos（2x＋3） 8．若f（x）＝e－2x＋1，则f'（x）＝e－2x＋1 C．若f（x）＝，则f'（x）＝ D．若f（x）＝xln x，则f'（x）＝ln x＋1 10．已知函数f（x）的图象如图，f'（x）是f（x）的导函数，则下列结论正确的是（　　） A．.f'（3）＞f'（2） 8．f'（3）＜f'（2） C．f（3）－f（2）＞f'（3） D．f（3）－f（2）＜f'（2） 11．已知函数f(x)=ln(2x)+x2,下列直线是曲线y=f(x)的切线的是 (　　) A． B．.12x-4y-5=0 C．8x-4y-3=0 D．.3x-y-2+ln 2=0 三、填空题 12．已知函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________． 13．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________． 14．已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2 016＝________． 四、解答题 15．求下列函数的导数． (1)y＝xnlg x；(2)y＝＋＋；(3)y＝ln . 16．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝2xf'（e）＋ln x. （1）求f'（e）及f（e）的值； （2）求f（x）在点（e2，f（e2））处的切线方程. 17．已知函数f（x）＝x－1＋（a∈R，e为自然对数的底数）. （1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值； （2）当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f（x）相切，求直线l的方程. 18．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求： (1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围． 19．已知函数f（x）＝ax3＋3x2－6ax－11，g（x）＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f'（－1）＝0. （1）求a的值； （2）是否存在k，使直线m既是曲线y＝f（x）的切线，又是曲线y＝g（x）的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 导数概念、运算及几何意义 一.【基础知识整合】 1．导数的概念：(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . (2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1(n∈Q*) f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 3.导数的运算法则： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0)． 4．复合函数的导数：复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 二.【典例精析】 题型一：导数的运算 (1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝；(4)y＝ln(2x－5)． 【解】(1)∵y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，∴y′＝18x2－10x－4.(2)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.(3))y′＝＝＝.(4)令u＝2x－5，y＝ln u，则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，即y′＝. 变式训练1：.求下列函数的导数： (1)y＝xnex；(2)y＝；(3)y＝exln x；(4)y＝(1＋sin x)2. 【解】(1)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)．(2)y′＝＝－. (3)y′＝exln x＋ex·＝ex.(4)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x. 题型二：导数的几何意义 例2：(1)已知曲线y＝x3＋，则①曲线在点P(2,4)处的切线方程为 ；②曲线过点P(2,4)的切线方程为 ；③满足斜率为1的曲线的切线方程为 ． (2)设曲线y＝ax－ln x在点(1，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝ (3)设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数．若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为 【解析】(1)∵y′＝x2，∴①在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.②设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x.∴切线方程为y－＝x(x－x0)， 即y＝xx－x＋.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.③设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k＝x＝1，解得x0＝±1，故切点为，(－1,1)．故所求切线方程为y－＝x－1和y－1＝x＋1，即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.(2)令f(x)＝ax－ln x，则f′(x)＝a－.由导数的几何意义可得在点(1，0)处的切线的斜率为f′(1)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3.(3)函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)＝ex－a·e－x.又f′(x)是奇函数，所以f′(x)＝－f′(－x)，即ex－a·e－x＝－(e－x－a·ex)，则ex(1－a)＝e－x(a－1)，所以(e2x＋1)(1－a)＝0，解得a＝1.所以f′(x)＝ex－e－x.令ex－e－x＝，解得ex＝2或ex＝－(舍去，因为ex>0)，所以x＝ln 2. 变式训练2：（1）曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为 （2）曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程 ． (3)若曲线y＝x2＋x－的某一切线与直线y＝4x＋3平行，则切线方程为________． （4）已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)的图象与直线x－y＋1＝0相切，则实数a的值为 ． 【解析】（1）依题意得y′＝2cos x－sin x，y′|x＝π＝(2cos x－sin x)|x＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0（2）f′(x)＝3x2－6x＋2.设切线的斜率为k.(2)①当切点是原点时k＝f′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y＝2x.②当切点不是原点时，设切点是(x0，y0)，则有y0＝x－3x＋2x0，k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2，又k＝＝x－3x0＋2，由①②得x0＝，k＝－.∴所求曲线的切线方程为y＝－x.综上，曲线f(x)＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程为y＝2x或y＝－x.设切点为(x0，y0)，切线的斜率k＝y′|x＝x0＝3x0＋1，3x0＋1＝4⇒x0＝1.又y0＝x＋x0－＝2，则切点为(1，2)，故切线的方程为y－2＝4(x－1)⇒y＝4x－2.（4）设直线x－y＋1＝0与函数f(x)＝ln x－ax的图象的切点为P(x0，y0)，因为f′(x)＝－a，所以由题意，得，解得a＝－1. 三.方法规律总结 1．导数计算的原则和方法：：(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导． 2．求曲线切线方程的步骤：①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． 3．求曲线的切线方程需注意两点：①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解． 四.课后练习作业 一、选择题 1．函数y＝x2cos x在x＝1处的导数是(　　) A．0　　　B．2cos 1－sin 1 C．cos 1－sin 1 D．1 【答案】B【解析】∵y′＝(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2xcos x－x2sin x，∴y′|x＝1＝2cos 1－sin 1. 2．.函数f（x）＝2x2－3x，则＝（　　） A．－1　 B．1 C．2　 D．－3 【答案】B【解析】由题意有f'（x）＝4x－3，由导数定义知f'（1）＝，所以＝4×1－3＝1.故选B. 3．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为(　　) A．3 B．2 C．1 D. 【答案】A【解析】设切点坐标为(x0，y0)，且x0>0，由y′＝x－，得k＝x0－＝2，∴x0＝3. 4．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝(　　) A．. B．－ C．. D．－或 【答案】D【解析】∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a>0.∴a＝－1，∴f(－1)＝－. 5．若直线y1＝ax＋a与曲线y2＝ln x＋2相切，则a＝（　　） A．.4　 B．3 C．2　D．.1 【答案】D【解析】由题设，y'2＝，根据＝a知x＝，所以当x＝时，y1＝1＋a，即切点为（，1＋a），则1＋a＝ln＋2，解得a＝1. 6．若函数f(x)＝cos x＋2xf′，则f与f的大小关系是(　　) A．f＝f B．f>f C．f<f D．不确定 【答案】C【解析】依题意得f′(x)＝－sin x＋2f′，∴f′＝－sin ＋2f′，f′＝，f′(x)＝－sin x＋1，∵当x∈时，f′(x)>0，∴f(x)＝cos x＋x在上是增函数，又－<－<<，∴f<f. 7．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 【答案】C【解析】设曲线在点P处的切线斜率为k，则k＝y′＝＝.因为ex>0，所以由均值不等式可得k≥＝－1.又k<0，所以－1≤k<0，即－1≤tan α<0.所以≤α<π 8．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″ (x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．则下列四个函数①f(x)＝sin x＋cos x；②f(x)＝ln x－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.在上是凸函数的是（ ） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D【解析】①中，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x＝－sin＜0在区间上恒成立；②中，f′(x)＝－2(x＞0)，f″(x)＝－＜0在区间上恒成立；③中，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x在区间上恒小于0.故①②③为凸函数．④中，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝2ex＋xex＝ex(x＋2)＞0在区间上恒成立，故④中函数不是凸函数． 2、 多选题 9．下列求导运算正确的是（　　） A．若f（x）＝sin（2x＋3），则f'（x）＝2cos（2x＋3） 8．若f（x）＝e－2x＋1，则f'（x）＝e－2x＋1 C．若f（x）＝，则f'（x）＝ D．若f（x）＝xln x，则f'（x）＝ln x＋1 【答案】ACD【解析】f（x）＝sin（2x＋3），f'（x）＝cos（2x＋3）·（2x＋3）'＝2cos（2x＋3），故A正确；f（x）＝e－2x＋1，则f'（x）＝－2e－2x＋1，故B错误；f（x）＝，f'（x）＝＝，故C正确；f（x）＝xln x，f'（x）＝x'ln x＋x（ln x）'＝ln x＋1，故D正确. 10．已知函数f（x）的图象如图，f'（x）是f（x）的导函数，则下列结论正确的是（　　） A．.f'（3）＞f'（2） 8．f'（3）＜f'（2） C．f（3）－f（2）＞f'（3） D．f（3）－f（2）＜f'（2） 【答案】BCD【解析】f'（x0）的几何意义是f（x）在x＝x0处的切线的斜率.由题图知f'（2）＞f'（3）＞0，故A错误，B正确；设A（2，f（2）），B（3，f（3）），则f（3）－f（2）＝＝kAB，由题图知f'（3）＜kAB＜f'（2），即f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2），故C、D正确.故选B、C、D. 11．已知函数f(x)=ln(2x)+x2,下列直线是曲线y=f(x)的切线的是 (　　) A． B．.12x-4y-5=0 C．8x-4y-3=0 D．.3x-y-2+ln 2=0 【答案】ABD【解析】 由于f(x)=ln(2x)+x2,x>0,所以f'(x)=+2x≥2,因此y=f(x)切线斜率的最小值为2对于选项A,在点(,f())处的切线的斜率为+e,切点为(,1+),切线方程为(+e)x-y-=0,故A满足;对于选项B,在点(,f())处的切线斜率为3,切点为(),切线方程为12x-4y-5=0,故B满足;对于选项C,直线8x-4y-3=0的斜率为2<2,故C不可能为y=f(x)的切线;对于选项D,在点(1,f(1))处的切线斜率为3,切点为(1,1+ln 2),切线方程为3x-y-2+ln 2=0,故D满足.故选ABD. 三、填空题 12．已知函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________． 【解析】∵f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，∴f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8. 13．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________． 【解析】设P(x0，y0)到直线y＝x－2的距离最小，则y′|x＝x0＝2x0－＝1，得x0＝1或x0＝－(舍去)．∴P点坐标为(1，1)．∴点P到直线y＝x－2的距离d＝＝. 14．已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2 016＝________． 【解析】f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x，以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)，又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0， ∴f1＋f2＋…＋f2 016＝504＝0. 四、解答题 15．求下列函数的导数． (1)y＝xnlg x；(2)y＝＋＋；(3)y＝ln . 【解】(1)y′＝nxn－1lg x＋xn·＝xn－1(nlg x＋)．(2)y′＝′＋′＋′＝(x－1)′＋(2x－2)′＋(x－3)′＝－x－2－4x－3－3x－4＝－－－.(3)y′＝[ln(2x－1)－ln(2x＋1)]′＝[ln(2x－1)]′－[ln(2x＋1)]′＝(2x－1)′－(2x＋1)′＝－＝. 16．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝2xf'（e）＋ln x. （1）求f'（e）及f（e）的值； （2）求f（x）在点（e2，f（e2））处的切线方程. 【解】（1）∵f（x）＝2xf'（e）＋ln x，∴f'（x）＝2f'（e）＋，f'（e）＝2f'（e）＋， ∴f'（e）＝－，f（x）＝－＋ln x，∴f（e）＝－＋ln e＝－1.（2）∵f（x）＝－＋ln x，f'（x）＝－＋，∴f（e2）＝－＋ln e2＝2－2e，f'（e2）＝－＋，∴f（x）在点（e2，f（e2））处的切线方程为y－（2－2e）＝（－＋）（x－e2），即（2e－1）x＋e2y－e2＝0. 17．已知函数f（x）＝x－1＋（a∈R，e为自然对数的底数）. （1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值； （2）当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f（x）相切，求直线l的方程. 【解】（1）f'（x）＝1－，∵曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴f'（1）＝1－＝0，解得a＝e.（2）当a＝1时，f（x）＝x－1＋，f'（x）＝1－. 设切点为（x0，y0），∵f（x0）＝x0－1＋＝kx0－1，　①f'（x0）＝1－＝k，　② ①＋②得x0＝kx0－1＋k，即（k－1）（x0＋1）＝0.若k＝1，则②式无解， ∴x0＝－1，k＝1－e.∴直线l的方程为y＝（1－e）x－1. 18．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求： (1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围． 【解】(1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，∴当x＝2时，y′＝－1，y＝，∴斜率最小的切线过，斜率k＝－1，∴斜率最小的切线方程为x＋y－＝0.(2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，∴α∈∪. 19．已知函数f（x）＝ax3＋3x2－6ax－11，g（x）＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f'（－1）＝0. （1）求a的值； （2）是否存在k，使直线m既是曲线y＝f（x）的切线，又是曲线y＝g（x）的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 【解】（1）由已知得f'（x）＝3ax2＋6x－6a，因为f'（－1）＝0，所以3a－6－6a＝0， 所以a＝－2.（2）存在.由已知得，直线m恒过定点（0，9），若直线m是曲线y＝g（x）的切线，则设切点为（x0，3＋6x0＋12）.因为g'（x）＝6x＋6，g'（x0）＝6x0＋6，所以切线方程为y－（3＋6x0＋12）＝（6x0＋6）（x－x0），将（0，9）代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由（1）知f（x）＝－2x3＋3x2＋12x－11，f'（x）＝－6x2＋6x＋12，①由f'（x）＝0得－6x2＋6x＋12＝0， 解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f（x）的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f（x）的切线方程为y＝9.所以y＝f（x）与y＝g（x）的公切线是直线y＝9.②由f'（x）＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f（x）的切线方程为y＝12x－11； 在x＝1处，y＝f（x）的切线方程为y＝12x－10.所以此时y＝f（x）与y＝g（x）无公切线.综上所述，y＝f（x）与y＝g（x）的公切线是直线y＝9，此时k＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$