[新课培优衔接]因数与倍数(讲义)-2024-2025学年五年级上册数学北师大版

因数与倍数 (思维导图+知识梳理+典例分析+高频真题+答案解析) 知识点一．因数和倍数的意义 【知识点归纳】 假如整数n除以m，结果是无余数的整数，那么我们称m就是n的因子． 需要注意的是，唯有被除数，除数，商皆为整数，余数为零时，此关系才成立． 反过来说，我们称n为m的倍数． 知识点二．2的倍数特征 【知识点归纳】 1、2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 2、偶数与奇数： ①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用2n表示。；最小的偶数是 0。 ②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用2n﹣1表示；最小的奇数是 1。 【方法总结】 奇数+奇数＝偶数 偶数+偶数＝偶数 奇数+偶数＝奇数 知识点三．5的倍数特征 【知识点归纳】 1、5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 2、如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。 【方法总结】 如果一个数是5的倍数，它的个位一定是0或5； 如果一个奇数是5的倍数，它的个位一定是5； 如果一个偶数是5的倍数，它的个位一定是0。 知识点四．3的倍数特征 【知识点归纳】 3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 【方法总结】 1、3的倍数既有奇数，也有偶数； 2、每相邻的3个自然数中，就会有一个是3的倍数。 知识点五．奇数与偶数的初步认识 【知识点归纳】 偶数：是2的倍数的数叫做偶数，又叫做双数，如：2、4、6、8等 奇数：不是2的倍数的数叫做奇数，又叫做单数，如：1、3、5、7等． 奇数和偶数的性质： 奇数+奇数＝偶数，奇数﹣奇数＝偶数 奇数+偶数＝奇数，奇数﹣偶数＝奇数 奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数 知识点六．找一个数的因数的方法 【知识点归纳】 1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6． 3．末尾是偶数的数就是2的倍数． 4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 6．最后一位是5或0的数是5的倍数． 7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 知识点七．找一个数的倍数的方法 【知识点归纳】 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是2的倍数． 2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 4．最后一位是5或0的数是5的倍数． 5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 【典例1】把18个苹果装在篮子里，至少分成2堆，每个篮子装的苹果个数同样多。有几种装法？每种装法各需要几个篮子？ 【答案】5，一个篮子装1个，要18个篮子；一个篮子装2个，需要9个篮子，一个篮子装9个，需要2个篮子；一个篮子装3个，需要6个篮子，一个篮子装6个，需要3个篮子。 【分析】首先根据题意，找出18的因数有哪些，即可判断出一共有多少种装法； 然后根据哪两个因数相乘是18，再根据这两个因数来确定每个篮子装几个，需要装几个篮子。 【解答】解：18的因数有：1、2、3、6、9、18，因为把18个苹果装在篮子里，至少分成2堆，所以共有5种装法， 18＝1×18，一个篮子装1个，需要18个篮子； 18＝2×9，一个篮子装2个，需要9个篮子或一个篮子装9个，需要2个篮子； 18＝3×6，一个篮子装3个，需要6个篮子或一个篮子装6个，需要3个篮子。 答：有5种装法，一个篮子装1个，要18个篮子；一个篮子装2个，需要9个篮子，一个篮子装9个，需要2个篮子；一个篮子装3个，需要6个篮子，一个篮子装6个，需要3个篮子。 【点评】此题主要考查了求一个数因数的方法。 【典例2】妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香。给了售货员100元，找回13元，你能帮妈妈判断一下找回的钱对不对吗？ 【答案】不对。 【分析】根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数。据此分析解答。 【解答】解：由题意，根据5的倍数的特征可知找回13元不对。 因为马蹄莲和郁金香的单价分别是10元、5元，都是5的倍数，所以不论买几盆，总钱数也应是5的倍数，付了50元，找回的钱数也应是5的倍数，即个位数应是0或5，所以找回13元不对。 【点评】此题考查了5的倍数特征的实际运用。 【典例3】四年级2班有60人，体育课上需要分组游戏，要求每组人数相等，并且每组不多于15人，不少于8人，问有几种分法？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据找一个数的因数的方法，首先找出60的因数，然后再判断即可． 【解答】解：60的因数：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60； 每组10人，可以分成6组；每组12人，可以分成5组；每组15人，可以分成4组；共3种． 答：有3种分法． 【点评】本题考查了找一个数的因数的方法． 【典例4】把48块月饼装在盒子里，每个盒子装得同样多，有几种装法？（装在至少两个盒子里）每种装法各需要几个盒子？如果有47块月饼呢？ 【答案】48块月饼有9种装法，每种装法各需要2个，3个，4个，6个，8个，12个，16个，24个，48个盒子； 47块月饼，只有1种装法，每盒装1块，需要47个盒子。 【分析】先找出48的所有因数，再根据哪两个因数相乘是48，再根据这两个因数来确定每盒装几个，装几盒；同理找到有47块月饼的方法即可解答。 【解答】解：48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24，48； 48块月饼有9种装法，每种装法各需要2个，3个，4个，6个，8个，12个，16个，24个，48个盒子； 47的因数有：1、47； 如果有47块月饼，只有1种装法，每盒装1块，需要47个盒子。 【点评】此题主要考查求一个数的约数的方法，关键根据题意找出符合条件的数。 【典例5】幼儿园大班有一些小朋友（多于10人，且少于40人），李老师拿了48颗糖平均分给他们，正好分完，小朋友的人数可能是多少？ 【答案】12，16，24。 【分析】根据因数与倍数的意义，和找一个数的因数的个数的方法，求出48的因数有哪些，根据题意可以平均分给多少个小朋友，由此解答。 【解答】解：48的因数有：1，2，3、4，6，8，12，16，24，48． 根据题意不可能分给1个小朋友，小朋友（多于10人，且少于40人），因此可以平均分给12，16，24个小朋友。 答：小朋友的人数可能是12，16，24。 【点评】此题主要考查求一个数的因数的方法，根据求一个数的因数的方法解决问题。 1．一个长方形的周长是18米，它的长、宽都是整米数，而且是两个质数。这个长方形的面积是多少平方米？ 2．学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 3．五（1）班同学参加社区举行的“保护家乡的青山绿水”活动，已经有35人来到社区广场，要是每8人一组，至少再来几人正好分完？ 4．秦始皇兵马俑是第一批全国重点文物保护单位，位于今陕西省西安市临渣区秦始皇陵以东1.5km处的兵马俑坑内。二号俑坑第三单元有264个步兵俑，3个3个地数能正好数完这些步兵俑吗？如果5个5个地数呢？为什么？ 5．东木小区开展闲置图书共享活动．参与共享的图书数量在100和200之间，并且比24的倍数多15．参与共享的图书最多有多少本？ 6．小鹏带了50元到文具店买日记本，每本日记本的单价为5元，他买了几本，售货员阿姨找回8元，你认为对吗？请解释原因。 7．体操队有28名同学，要分成人数相等的小组进行训练，可以怎样分？（不包括1人或28人一组的情况，其它分组方法都要写出来） 8．王老师今年的岁数正好是6的倍数，又是48的因数，王老师岁数的十位上是最小的质数，王老师今年多少岁？ 9．饶阳甜瓜皮薄肉厚，清香可口。是河北省饶阳县特产。李叔叔准备把摘下来的64个饶阳甜瓜打包，每个箱子装得同样多。刚好装完。有几种装法？（每箱的数量大于1小于64） 10．合唱队有32名同学，要站成若干、排表演，若每排人数相等，可以怎样站？（不包括每排一人或32人站一排的情况） 11．冬至这天丽丽包了56个饺子，现在要把这些饺子装在盘子里，每个盘子里装饺子的个数比5个多，比15个少，且每个盘子里装的饺子个数一样多，有多少种不同的装法？ 12．学校鼓号队进行鼓号操表演，一共有24人出场，每排人数要同样多，如果排数必须在2～12排之间，一共有几种不同的列队方式？ 13．在一次为灾区捐款献爱心活动中，明明和他的两个好朋友一共捐出了1257元，且他们捐出的钱数恰好是3个连续的奇数。这三名同学各捐了多少钱？ 14．五年级36名同学参加啦啦操排练，要求排成方阵，且每行人数相同（不允许一人一行，或一人一列），有哪几种排法？ 15．把18个苹果装在篮子里，每个篮子装的苹果个数同样多且至少装2个。有几种装法？每种装法各需要几个篮子？ 16．有48个蛋糕装要装在袋子里，每个袋子装同样多，正好装完，没有剩余；每袋至少装4个，至少装4袋，有几种装法？分别写出来。 17．明明、乐乐、天天三人的年龄正好是三个连续的偶数，他们的年龄总和是36岁，他们三人中最小的是多少岁？最大的是多少岁？ 18．筐里有30个苹果，将它们全部取出来，分成若干堆（堆数大于1，而小于30），使每堆中苹果的个数相等，有几种分法？ 19．“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，内容是“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数的和。”请你试举几例证明这一猜想，并把例子写在下面。 20．小明将45个面包准备分装到4个面包盒里，要使每个面包盒里装的面包数都是奇数，这样分装能做到吗？为什么？ 21．月饼厂有三种包装盒，规格分别为4块一盒、5块一盒和6块一盒。现某公司想订货54块月饼，请问选择哪一种规格的月饼盒能正好把54块月饼装完呢？为什么？ 22．晓晓在零售店买了一些纯牛奶和果汁，已知纯牛奶5元/瓶，果汁10元/瓶。晓晓给了100元，售货员阿姨找回18元。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？ 23．育英小学五（3）班有56人，现在要把这些学生分成人数相等的若干个小组，有几种分法？每组最多有多少人？ 24．6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1+2+3＝6。像6这样的数，叫做完全数（也叫完美数）。小明说：28也是完全数。他说得对吗？请写出你的验证过程。 25．新星小学五（2）班有学生30名，现在派他们到两个社区参加劳动，第一个社区只能派奇数名同学，第二个社区派的人数为奇数还是偶数？为什么？ 26．五（1）班有32名同学参加广播操比赛，要使每行人数都相等，可以排几行？共有几种排法？（每行或每列不少于2人） 27．有三个小朋友，他们的年龄正好是三个连续的偶数，且他们的年龄的积是960，这三个小朋友的年龄分别是多少岁？（写出思考过程） 28．把48块月饼分装在盒子里，每个盒子装同样多，既不能一盒装一个，也不能一盒装完，有几种不同的装法？ 29．张阿姨买回来18个水果，让乐乐把水果放入水果篮中，不可以一次放完，也不可以一个一个地放，并且每次放的个数要相同，放到最后正好一个不剩。乐乐有几种放法？每种放法每次各放几个水果？ 30．小明的球衣号码是一个质数，这个质数所有因数之和是20。你知道小明球衣的号码是多少吗？ 31．学校图书馆李阿姨买回一些故事书，平均分给16个班，正好分完，这些故事书比50本多，比100本少，那么李阿姨可能买回多少本故事书？ 32．奔跑团一共有45名成员，周日举行活动时有1名成员请假，其余的成员分成3组，乐乐说“这3组的人数可以都是奇数”，你认为他说得对吗？为什么？ 33．糕点师要把36块面包用袋子进行包装，每袋面包的数量相等（袋数大于1，但小于36），一共有几种包装方法？ 34．学校舞蹈、车模、书法这三个社团的人数正好是三个连续的奇数，已知三个社团共有87人，这三个社团中最少的是多少人？最多的是多少人？ 35．有60本笔记本以及分别能装3本、4本、8本、12本的包装袋若干个。选哪种包装袋能正好把这些笔记本装完？ 36．面包师要把28块面包用塑封袋进行包装，每个塑封袋装同样多，袋数大于1且小于28，共有几种包装方法？ 37．中国第一次参加奥运会的年份是一个四位数。千位上的数既不是质数也不是合数，百位上的数是一位数中最大的合数，十位上的数的最小倍数是3，个位上的数是最小的质数。中国第一次参加奥运会是哪一年？ 38．李老师和同学们折纸鹤，每人折的只数相同，一共折了473只纸鹤。这个班有学生多少人？每人折纸鹤多少只？ 39．小甜、小婷、小颖三人今年的年龄的积是630，其中小婷比小甜大2岁，小颖比小婷大1岁，她们三人今年分别是多少岁？ 40．一个小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐他付了100元，售货员阿姨找回了18元。已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？ 41．小明将黑板上的“一个两位数乘一个最小的合数”中的“最小的合数”误看成“最小的质数”，结果得到188，请你帮助他纠正错误，看正确的结果是多少？ 42．龙一鸣和壮壮玩抽数字卡片游戏，有意思的是，一次两人抽出卡片上的数都是质数，且两个数的和是奇数，还是小于50的7的倍数．这两个质数的积可能是多少？ 43．五年级同学48人排队做操，要求每行的人数相同（至少排成2行），有几种不同的排法？请你将他写出来． 44．有48名同学参加植树活动，现在要把他们平均分成若干组，每组至少3人，最多不超过20人，可以怎样分？有多少种分法？ 45．五（1）班50多名学生参加跳绳比赛，进行分组，按每组7人，恰好分完，五（1）班参加跳绳比赛的学生分了多少组？ 1．【答案】14平方米。 【分析】因为长方形的周长是18厘米，所以长+宽＝18÷2＝9（米），又因为长、宽均为质数，所以9＝7+2，所以长应该是7米，宽是2米，再根据长方形的面积公式S＝ab，即可求出面积。 【解答】解：因为长方形的周长是18米， 即（长+宽）×2＝18， 所以长+宽＝18÷2＝9（米）； 又因为长、宽均为质数， 所以9＝7+2， 所以长应该是7米，宽是2米； 长方形的面积是：7×2＝14（平方米）。 答：这个长方形的面积是14平方米。 【点评】关键是根据题意将9进行裂项，得出符合要求的长和宽，再利用长方形的面积公式S＝ab解决问题。 2．【答案】3种；①每组4人，分成12组；②每组6人，分成8组；③每组8人，分成6组。 【分析】由题意可知，小组的个数应是48的因数，根据求一个数因数的方法，求出48的因数，再结合每组人数不得少于4人，不得多于10人，解答即可。 【解答】解：48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 ①每组4人，分成12组； ②每组6人，分成8组； ③每组8人，分成6组。 答：共有3种分法。 【点评】本题考查求一个数的因数的方法，明确每组人数的范围，熟练掌握求一个数的因数的方法是解题的关键。 3．【答案】5人。 【分析】先求出比35大的8的最小倍数，再减去35即可求解。 【解答】解：比35大的8的最小倍数是40， 40﹣35＝5（人） 答：至少再来5人正好分完。 【点评】此题考查的目的是理解掌握找一个数的倍数的方法，100以内退位减法计算法则及应用。 4．【答案】3个3个地数能正好数完这些步兵俑。 264不能被5整除，所以不能5个5个数。 【分析】若整数a能够被b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【解答】解：264÷3＝88，所以3个3个地数能正好数完这些步兵俑。 因为264÷5＝52....4，264不能被5整除，所以不能5个5个数。 【点评】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 5．【答案】见试题解答内容 【分析】因为200÷24＝8…8，则求出24的8﹣1＝7倍，然后加上15即可得到参与共享的图书最多有多少本． 【解答】解：200÷24＝8…8 24×（8﹣1）+15 ＝168+15 ＝183（本） 答：参与共享的图书最多有183本． 【点评】明确200里面包含了多少个24，是解答此题的关键． 6．【答案】不对，因为不管买多少本日记本，所花的钱都应是5的倍数，但是42不是5的倍数，所以找回的钱不对。 【分析】根据题意，先求花了的钱，用50减去8元；花了的钱是42元，因为日记本的单价为5元，所花的钱应该是5的倍数，而42不是5的倍数，所以找回的钱不对。 【解答】解：50﹣8＝42（元） 答：不对，因为不管买多少本日记本，所花的钱都应是5的倍数，但是42不是5的倍数，所以找回的钱不对。 【点评】此题考查了5的倍数特征，要求学生掌握。 7．【答案】可以分成2组，每组14人；14组，每组2人；4组，每组7人；7组，每组4人。 【分析】由题意可知，每组的人数和分成的组数是28的因数，且组数大于1，小于28，根据28的因数找出符合题意的所有分法即可。 【解答】解：28＝2×14＝4×7，所以可以分成2组，每组14人；14组，每组2人；4组，每组7人；7组，每组4人。 答：可以分成2组，每组14人；14组，每组2人；4组，每组7人；7组，每组4人。 【点评】本题主要考查利用因数解决实际问题，掌握一个数因数的求法是解答题目的关键。 8．【答案】24岁。 【分析】找出48的因数，48以内6的倍数，得出即是6的倍数，又是48的因数的数，再根据十位上是最小的质数也就是2，解答即可。 【解答】解：48因6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48 48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48 即是6的倍数，又是48的因数：6，24，48 最小的质数是2，所以王老师今年24岁。 答：王老师今年24岁。 【点评】本题主要考查质数、因数、倍数的意义，要熟练掌握。 9．【答案】5种. 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，根据找一个数的因数的方法，一对一对的找，据此解答。 【解答】解：因为64＝1×64；（装一个箱子不算）； 64＝2×32，每个盒子里装2个或每个盒子里装32个； 64＝4×16，每个盒子里装4个或每个盒子里装16个； 64＝8×8，每个盒子里装8个，装成8个盒子； 装法有：2+2+1＝5（种）。 答：有5种不同的装法。 【点评】此题考查的目的是理解因数的意义，掌握求一个数的因数的方法。 10．【答案】每排2人，站16排或每排16人，站2排或每排4人，站8排或每排8人，站4排。 【分析】要求每排多少人，可以站多少排，实际上就是求32的因数有哪些，据此回答。 【解答】解：32＝1×32＝2×16＝4×8 32的因数有：1、2、4、8、16、32； 因为不包括每排一人或32人站一排的情况， 所以可以这样排列： 每排2人，站16排； 每排16人，站2排； 每排4人，站8排； 每排8人，站4排； 答：每排2人，站16排或每排16人，站2排或每排4人，站8排或每排8人，站4排。 【点评】此题的解题关键是掌握求一个数的因数的方法，灵活运用解决问题。 11．【答案】3种。 【分析】根据题意可知，每盒里饺子数是56个因数，根据求一个数的因数的方法解答即可。 【解答】解：56的因数有：1、2、4、7、8、14、28、56； 其中大于5小于15的因数有7、8、14。 答：有3种不同的装法。 【点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数的方法及应用。 12．【答案】6种。 【分析】根据找一个数的因数的方法，21＝24×1＝12×2＝8×3＝6×4，24的因数在2～12之间有2，12，3，8，4，6，据此解答即可。 【解答】解：21＝24×1＝12×2＝8×3＝6×4 24的因数在2～12之间有2，12，3，8，4，6。所以一共有6种列队方式。 【点评】本题考查了找一个数的因数的方法，结合题意分析解答即可。 13．【答案】417元、419元和421元。 【分析】根据奇数的意义：在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的是奇数，相邻的奇数相差2，若3个连续的奇数的和是1257，那么3个奇数中间的那个数应是这3个数的平均数，1257÷3＝419，所以这3个奇数是417、419、421，据此解答即可。 【解答】解：1257÷3＝419 答：这三名同学各捐了417元、419元和421元。 【点评】此题考查了奇数的意义，明确相邻的奇数相差2，先求出这3个连续奇数的平均数（中间的那个数），进而求出其它奇数，解答即可。 14．【答案】7种。 【分析】根据题意，总人数＝行数×列数，将36拆分成2人因数相乘，列出所有可能即可。 【解答】解：36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 ①2行，一行18人； ②3行，一行12人； ③4行，一行9人； ④6行，一行6人； ⑤9行，一行4人； ⑥12行，一行3人； ⑦18行，一行2人。 答：有7种排法。 【点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数的方法及应用。 15．【答案】有4种装法，一个篮子装2个，需要9个篮子；一个篮子装9个，需要2个篮子；一个篮子装3个，需要6个篮子；一个篮子装6个，需要3个篮子。 【分析】一个篮子装1个，要18个篮子；一个篮子装2个，需要9个篮子，一个篮子装9个，需要2个篮子；一个篮子装3个，需要6个篮子，一个篮子装6个，需要3个篮子。 【解答】解：18的因数有：1、2、3、6、9、18，因为把18个苹果装在篮子里，至少装2个，所以1、18不符合题意，舍去，所以共有4种装法。 18＝9×2，一个子装2个，需要9个篮子或一个篮子装9个，需要2个篮子； 18＝3×6，一个篮子装3个，需要6个篮子或一个篮子装6个，需要3个篮子。 答：有4种装法，一个篮子装2个，需要9个篮子；一个篮子装9个，需要2个篮子；一个篮子装3个，需要6个篮子；一个篮子装6个，需要3个篮子。 【点评】此题主要考查了求一个数因数的方法，关键是根据题意找出符合条件的数。 16．【答案】有四种装法：每袋装12个，装4袋；每袋装8个，装6袋；每袋装6个，装8袋；每袋装4个，装12袋。 【分析】有48个蛋糕装要装在袋子里，每个袋子装同样多，正好装完，没有剩余，就是找48的因数，且满足每袋至少装4个，至少装4袋，据此解答。 【解答】解：有四种装法：每袋装12个，装4袋；每袋装8个，装6袋；每袋装6个，装8袋；每袋装4个，装12袋。 【点评】本题考查找一个数因数方法的应用。 17．【答案】10；14。 【分析】根据题意，先求出它们的平均年龄，然后根据三个连续的偶数，即可求出答案。 【解答】解：36÷3＝12（岁） 12﹣2＝10（岁） 12+2＝14（岁） 答：他们三人中最小的是10岁，最大的14岁。 【点评】此题考查了奇数与偶数的初步认识，要求学生掌握。 18．【答案】有6种分法。 【分析】30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，一共有6个。据此求出有几种装法。 【解答】解：30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 所以每堆2个苹果，分15堆； 每堆3个苹果，分10堆； 每堆5个苹果，分6堆； 每堆6个苹果，分5堆； 每堆10个苹果，分3堆； 每堆15个苹果，分2堆。 答：有6种分法。 【点评】解答此题的关键是把30分成两个因数的乘积的形式，注意题干要求堆数大于1，而小于30。 19．【答案】12＝5+7，12是大于2的偶数，5和7都是质数，符合“哥德巴赫猜想”。 14＝3+11，14是大于2的偶数，3和11都是质数，符合“哥德巴赫猜想”。（答案不唯一） 【分析】根据题意“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”，举例子解答即可。 【解答】解：示例：12＝5+7，12是大于2的偶数，5和7都是质数，符合“哥德巴赫猜想”。 14＝3+11，14是大于2的偶数，3和11都是质数，符合“哥德巴赫猜想”。（答案不唯一） 【点评】此题考查了质数的意义以及拓展应用，要熟练掌握。在自然数中，注意特殊的数2既为偶数，同时也为质数。 20．【答案】不能做到，因为偶数个奇数相加，和是偶数。4个偶数，4个奇数的和是偶数，而45是奇数，所以这样分装不能做到。 【分析】此题可以从加法的角度理解：面包盒的个数是加数的个数，每个盒里的面包个数是加数，45是和。则本题可以理解为4个奇数的和能否是45，也就是偶数个奇数的和能否是奇数。因为奇数+奇数＝偶数，奇数+奇数+奇数＝奇数，奇数+奇数+奇数+奇数＝偶数，所以偶数个奇数相加，和是偶数。 【解答】45个面包分装到4个面包盒里，每个盒子里只放奇数个面包，不能做到。 因为偶数个奇数相加，和是偶数。4个偶数，4个奇数的和是偶数，而45是奇数，所以这样分装不能做到。 【点评】此题考查了奇数与偶数的初步认识，要求学生掌握。 21．【答案】每盒6块，理由是6是54的因数。 【分析】根据题意可知，每盒装的块数必须是54的因数，根据求一个数的因数的方法解答即可。 【解答】解：54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54。 所以选择每盒6块能正好把54块月饼装完，理由是6是54的因数。 【点评】此题考查的目的是理解掌握求一个数的因数的方法及应用。 22．【答案】不对，纯牛奶5元/瓶，所以纯牛奶的总价是5的倍数，个位上是0或5；果汁10元/瓶，所以果汁的总价是整十数，合起来的总价个位上应该是0或者5。 【分析】末尾有0或5的整数，一定是5的倍数，据此解答。 【解答】解：不对，因为纯牛奶5元/瓶，纯牛奶的总价是5的倍数，个位上是0或5；果汁10元/瓶，所以果汁的总价是整十数，合起来的总价个位上应该是0或者5。 【点评】本题考查了5的倍数特征的应用。 23．【答案】7种，28人。 【分析】求有几种分法，即求56的因数有多少，根据找一个数因数的方法，列举出56的所有因数，根据因数的个数，并结合题意，即可得出分法共有多少种。 【解答】解：56的因数有1、2、4、7、8、14、28、56共8个， ①分成2个小组，每组28人； ②分成4个小组，每组14人； ③分成7个小组，每组8人； ④分成8个小组，每组7人； ⑤分成14个小组，每组4人； ⑥分成28个小组，每组2人； ⑦分成56个小组，每组1人。 所以有7种分法，每组最多有28人。 【点评】此题考查了因数倍数问题，应明确56的因数的个数，是解答此题的关键。 24．【答案】见试题解答内容 【分析】由题目可知，如果一个自然数等于它的全部因数（不包括本身）的和，这样的数叫“完美数“。依照“完美数”的概念，可先列举出28的所有因数，并通过求和的方法来验证。 【解答】解：他说得对。因为28的因数有：1、2、4、7、14、28，这几个因数的关系是：1+2+4+7+14＝28。所以28是完美数。 【点评】通过题目举例，能够初步理解“完美数”的含义，运用因数的知识进行解答，其中的易错点在于相加的因数不包括这个数本身。 25．【答案】第二个社区派的人数是奇数，因为奇数+奇数＝偶数。 【分析】根据题意，总人数30是偶数，根据奇数和偶数的性质，奇数+奇数＝偶数，奇数+偶数＝奇数，第一个社区只能派奇数名同学，那么第二个社区必须是奇数，因为奇数加奇数才是偶数，据此解答。 【解答】解：若第一个社区只能派奇数名同学，第二个社区派的人数为奇数。因为奇数+奇数＝偶数。 答：第二个社区派的人数是奇数，因为奇数+奇数＝偶数。 【点评】考查了奇偶数意义的应用，本题关键是根据奇数+奇数＝偶数，偶数+偶数＝偶数来判断。 26．【答案】2行、4行、8行、16行；4种。 【分析】把32名同学平均分成若干行，那么行数和每行的人数相乘的积是32，根据找因数的方法，可以一对一的找，有多少个因数就有多少种排法，再结合题目进行分析即可。 【解答】解：由分析可得： 32＝1×32，即每行1人，排32行，不符合题意；或者每行32人，排1行，不符合题意。 32＝2×16，即每行2人，排16行；或每行16人，排2行； 32＝4×8，即每行4人，排8行；或每行8人，排4行； 答：可以排2行、4行、8行、16行。共有4种排法。 【点评】本题考查了找一个数因数的方法，解答此题的关键是把32分解因数，再对分解出来的因数结合题目进行分析，看是否需要排除。 27．【答案】8岁、10岁、12岁。 【分析】对960分解质因数，观察960的这些因数可以组成哪三个连续的偶数。 【解答】解：三个连续的偶数的积是960，则： 960＝2×2×2×2×2×2×3×5＝8×10×12 答：这三个小朋友分别是8岁、10岁、12岁。 【点评】本题考查了运用分解质因数法解决实际问题的能力。 28．【答案】8种。 【分析】利用找配对的方法求出48所有的因数，48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，根据题目要求，既不能一盒装一个，也不能一盒装完，因此1和48这两个数不符合题意；据此解答。 【解答】解：48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48，其中1和48不符合题意，因此有2，3，4，6，8，12，16，24这8种装法。 故答案为：8种。 【点评】本题考查了求一个数的因数的方法。 29．【答案】4种；每次放2个或每次放3个或每次放6个或每次放9个。 【分析】要使每次拿的个数相同，拿到最后正好一个也不剩，说明每次拿出的个数都是18的因数（除了1和18），由此求解。 【解答】解：18＝2×9＝3×6 那么18的因数（除了1和18）为：2、3、6、9，所以共有4个因数，不可以一次放完，也不可以一个一个地放，并且每次放的个数要相同，放到最后正好一个不剩的方法共有4种：每次放2个或每次放3个或每次放6个或每次放9个。 答：4种。每次放2个或每次放3个或每次放6个或每次放9个。 【点评】本题先把实际问题转化成数学问题，正好拿完，就没有余数，每次拿的个数就是18的因数（除了1和18），再根据求因数的方法求解。 30．【答案】19。 【分析】一个质数的因数只有两个，即1和它本身，据此解答即可。 【解答】解：20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，在这些质数中，只有19符合条件，19的因数是1和19，且1+19＝20。 答：小明球衣的号码是19。 【点评】解决此题的关键是明确质数的因数只有1和它本身。 31．【答案】李阿姨可能买回64本、80本或96本故事书。 【分析】根据题意，这些故事书平均分给16个班，正好分完，说明故事书的本数是16的倍数；找到50～100之间16的倍数，就是李阿姨可能买回的故事书的本数。 【解答】解：16×4＝64（本） 16×5＝80（本） 16×6＝96（本） 答：李阿姨可能买回64本、80本或96本故事书。 【点评】掌握求一个数的倍数的方法是解题的关键。 32．【答案】不对。三个奇数相加的和是奇数，而44是偶数，不能分成3个奇数，所以乐乐说的不对。 【分析】根据题意，45名成员，周日举行活动时有1名成员请假，其余的成员还剩44名，分成3组。根据奇数+奇数＝偶数，而偶数+奇数＝奇数，即三个奇数相加的和是奇数，而44是偶数，不能分成3个奇数，由此求解即可。 【解答】解：45﹣1＝44（名） 三个奇数相加的和是奇数，而44是偶数，不能分成3个奇数，所以乐乐说的不对。 【点评】解决本题根据三个奇数的和不能是偶数，结合题意分析解答即可。 33．【答案】7种。 【分析】根据找一个数的因数的方法，找出36的因数，并找出满足袋数大于1，但小于36的包装方法即可。 【解答】解：36的因数有：1、36、2、18、3、12、4、9、6，因为袋数大于1，但小于36，所以1和36不符合题意舍去，包装方法是： 每袋2块，装18袋；每袋18块，装2袋；每袋3块，装12袋；每袋12块，装3袋；每袋4块，装9袋；每袋9块，装4袋；每袋6块，装6袋。 答：共有7中包装方法。 【点评】此题考查了找一个数的因数的方法，要熟练掌握。 34．【答案】27人，31人。 【分析】连续的奇数，相邻的两个奇数相差2，最少的是x人，中间的就是（x+2）人，最多的就是（x+4）人，根据三个社团人数的和是87，列出方程，解即可。 【解答】解：设三个社团中最少的是x人 x+x+2+x+4＝87 3x+6＝87 3x＝87﹣6 x＝81÷3 x＝27 27+4＝31（人） 答：三个社团中最少的是27人，最多的是31人。 【点评】解答此题的关键是知道连续的奇数的意思，列出正确的方程。 35．【答案】3本、4本、12本。 【分析】根据题干可知：只要求出60的因数有哪些即可解决问题。 【解答】解：60÷3＝20 60÷4＝15 60÷8＝7……4 60÷12＝5 3，4，12都是60的因数，所以选3本、4本、12本的包装包装袋能正好把这些笔记本装完。 答：选3本、4本、12本的包装包装袋能正好把这些笔记本装完。 【点评】此题考查了求一个数因数的方法解决实际问题的灵活应用。 36．【答案】4种。 【分析】根据题意，面包师要把28块面包用塑封袋进行包装，每个塑封袋装同样多，袋数大于1且小于28，求共有几种包装方法，就是求28的因数，但不包括1和28本身，据此解答。 【解答】解：28的因数有1、18、2、14、4、7。 所以每袋2块，装14袋； 每袋14块，装2袋； 每袋4块，装7袋； 每袋7块，装4袋。 答：共有4种包装方法。 【点评】本题的关键是求出28的因数，但是根据题意，具体运用时不包括1和28本身。 37．【答案】1932。 【分析】质数是指在大于的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。合数是指在大于的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0 除外）整除的数。1既不属于质数也不属于合数。据此解答即可 【解答】解：根据质数和合数的定义可知，不是质数也不是合数的是1，最大的一位数合数是9，最小的倍数是3的数是3，最小的质数是2。 答：中国第一次参加奥运会是1932年。 【点评】本题考査质数、合数、倍数的认识，根据质数、合数、倍数的定义进行解答即可。 38．【答案】42人，11只。 【分析】因为每人折纸鹤的只数乘这个班学生人数，可得一共折了多少只纸鹤，可得每人折纸鹤的只数和这个班学生人数都是473的因数，找出473的因数，再解答即可。 【解答】解：473＝11×43 根据实际情况可得学生有43﹣1＝42（人） 答：这个班有学生42人，每人折纸鹤11只。 【点评】本题主要考查了找一个数的因数的方法，关键是找出473的因数。 39．【答案】小颖10岁，小婷9岁，小甜7岁。 【分析】小婷比小甜大2岁，小颖比小婷大1岁，则小颖比小甜大3岁，把630分解质因数，然后再进一步解答即可。 【解答】解：小颖比小婷大1岁，小婷比小甜大2岁，则小颖比小甜大3岁。 630＝2×3×5×3×7＝7×（3×3）×（2×5）＝7×9×10 答：小甜7岁，小颖10岁，小婷9岁。 【点评】本题主要考查了质因数的分解，熟练地掌握质因数的分解方法是解答本题的关键。 40．【答案】不对。因为找回的钱应该是5的倍数，18不是5的倍数。 【分析】根据5的倍数特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数，据此分析解答。 【解答】解：因为纯牛奶和可乐的单价分别是5元、10元，都是5的倍数，所以不论买几瓶，总钱数也应是5的倍数，付了100元，找回的钱数应该也是5的倍数，即个位数应是0或5，所以找回18元不对。 答：售货员阿姨找回的钱不对。因为找回的钱应该是5的倍数，18不是5的倍数。 【点评】此题考查了5的倍数的特征以及实际运用，要熟练掌握。 41．【答案】376。 【分析】根据最小的合数是4，最小的质数是2，和乘与除的互逆运算，解答此题即可。 【解答】解：188÷2＝94 94×4＝376 答：正确的结果是376。 【点评】知道最小的合数是4，最小的质数是2，是解答此题的关键。 42．【答案】见试题解答内容 【分析】将龙一鸣和壮壮抽出的数分别设为A和B，A和B都是质数，A+B又是奇数，说明A、B必有一个是2；不妨设A＝2，由于A+B是7的倍数且小于50，所以B可以是5、19、47，进而求出A×B是多少即可． 【解答】解：将龙一鸣和壮壮抽出的数分别设为A和B， 因为A和B都是质数，A+B又是奇数， 所以A、B中必有一个是2； 不妨设A＝2，由于A+B是7的倍数且小于50， 所以B可以是5、19、47， 又因为2×5＝10，2×19＝38，2×47＝94，所以A×B可能是10、38、94； 答：A×B可能是10、38或94． 【点评】此题主要考查了质数与合数问题的应用，解答此题的关键是：根据A和B都是质数，A+B又是奇数，判断出A、B必有一个是2． 43．【答案】见试题解答内容 【分析】要求每行的人数相同，可以排成几行？即求48的因数，有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48； 因为至少排2排，如果每行2人，可以排24行；如果每行3人，可以排16行；如果每行4人，可以排12行；如果每行6人，可以排8行；如果每行8人，可以排6行；如果每行12人，可以排4行；如果每行16人，可以排3行，如果每行24人，可以排2行；共8种情况． 【解答】解：48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；要求每行的人数相同（至少排成2行）， 如果每行2人，可以排24行；如果每行3人，可以排16行；如果每行4人，可以排12行；如果每行6人，可以排8行；如果每行8人，可以排6行；如果每行12人，可以排4行；如果每行16人，可以排3行，如果每行24人，可以排2行；共8种情况． 答：共有8种情况． 【点评】解答此题的关键：先根据找一个数的因数的方法，求出48的因数，进而根据题意，列举出所有的排法． 44．【答案】3人的16组，4人的12组，6人的8组，16人的3组，12人的4组，8人的6组，共6种分法。 【分析】因为是平均分成若干组，故每组人数相同，所以48能被每组人数整除，也就是找48的因数，即1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，舍去小于3，大于20的部分，即可解答。 【解答】解：48＝1×48 48＝2×24 48＝3×16 48＝4×12 48＝6×8 因为每组人数至少3人，最多不超20人，所以可以分成3人的16组，4人的12组，6人的8组，16人的3组，12人的4组，8人的6组，共6种分法。 答：可以分成3人的16组，4人的12组，6人的8组，16人的3组，12人的4组，8人的6组，共6种分法。 【点评】此题考查了求一个数因数的方法解决实际问题的方法的灵活应用。 45．【答案】8组。 【分析】根据题意，50多一些7的倍数就是全班人数。 【解答】解：50多一些7的倍数是56。 56÷7＝8（组） 答：五（1）班参加跳绳比赛的学生分了8组。 【点评】本题主要考查因数和倍数的应用。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$