第二章直线和圆的方程单元练习卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程同步过关练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册 一、单选题 1．直线在x轴上的截距为（    ）． A． B． C． D．2 2．若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则r＝（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．过点作圆的两条切线，两条切线的夹角的余弦值为，则（    ） A．2 B． C． D．1 4．已知直线的一个方向向量为，则的倾斜角为（    ） A．0 B． C． D． 5．已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 6．若直线与平行，则的值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 7．若存在，使直线与的交点在圆：上，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点A，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若，，点满足，则直线与点的轨迹的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 二、多选题 9．直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角可能是（    ） A． B． C． D． 10．已知直线与圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆的半径为2 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．直线被圆截得的弦长最长为4 11．点为圆上的两点，点为直线上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．当时，且为圆的直径时，的面积最大值为3 B．从点向圆引两条切线，切点为，线段的最小值为 C．为圆上的任意两点，在直线上存在一点，使得 D．当时，的最大值为 三、填空题 12．已知直线和直线平行，那么 . 13．已知直线与圆相交，则当圆截直线所得的弦长最短时，直线的方程为 . 14．已知点是圆的动点，直线上存在两点，使得能成立，则线段长度的最小值是 ． 四、解答题 15．已知直线与直线相交于点. (1)求点的坐标； (2)求过点，且倾斜角为的直线的方程. 16．已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点且平行于的直线与圆相交于M，N两点，求弦的长. 17．已知圆，直线. (1)求证：直线恒过定点. (2)直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长. 18．在平面直角坐标系中，已知，点M满足，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设圆，若直线l过圆的圆心且与曲线交于两点，且，求直线l的方程. 19．如图，四边形是一块长方形绿地，是一条直路，交于点，交于点，且.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到三个点的距离相等.以点为坐标原点，直线分别为，轴建立如图所示的直角坐标系. (1)求出建筑物的中心的坐标； (2)由建筑物的中心到直路要开通一条路，已知路的造价为150万元，求开通的这条路的最低造价. （附：参考数据.） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】直接利用定义求解截距即可. 【详解】令，解得，显然截距是. 故选：B 2．C 【分析】求出圆心到直线的距离，通过与直线的距离为的平行直线可得的大小. 【详解】圆心到直线的距离， 因为圆上恰有3个点到直线的距离为1， 与直线的距离为的平行直线有两条，如图中虚线， 当圆与这两条平行线中的一条有2个交点，一条相切时，可满足题意， 此时. 故选：C. 3．A 【分析】根据题意作出图形，利用数型结合及几何关系可得，从而可求解．. 【详解】将的方程转化为，可知的半径为． 设两切点分别为，，连接，如图， 由两切线夹角的余弦值为，则夹角，且， 所以在中，即．故A正确. 故选：A.    4．B 【分析】由直线的方向向量求得直线的斜率，由斜率即可求得倾斜角. 【详解】由题意，，且， 所以. 故选：B 5．A 【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，则点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和 【详解】设 由直线，可得 由直线，可得， 因为直线与直线满足， 所以， 所以点P在以AB为直径的圆上，所以点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和， 由，，得AB中点为，半径为1， 所以点P到点的距离的最大值为， 故选：A    6．B 【分析】由两直线平行的条件求解. 【详解】由题意，所以， 解得，或， 当时，，，此时，符合题意， 当时，，， 此时两直线重合，不符合题意， 所以. 故选：B 7．A 【分析】求出直线所过的定点，进而求出点的轨迹，再利用两圆有公共点列式求解即得. 【详解】直线过定点，直线过定点， 线段的中点，显然，即直线， 因此的交点在以点为圆心，为半径的圆上，除点外， 则点的轨迹方程为圆且， 又圆的圆心，半径为1， 依题意，圆与圆有公共点，则有，而，即 因此，所以实数的取值范围为. 故选：A 8．D 【分析】根据题意求出M的轨迹方程，发现直线l恒过圆上一点，即可得出答案. 【详解】设，则， 化简得点的轨迹方程为，表示的是以为圆心，2为半径的圆， 而直线恒经过圆上的点，故直线与点的轨迹的交点个数是1或2. 故选：D. 9．BC 【分析】联立两直线方程得到一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于的不等式组，求出不等式组的解集即可得到的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率，根据两角和的正切及正切函数单调性得到倾斜角的范围． 【详解】联立两直线方程得： 当时，两直线平行，不满足题意. 当时解得 ，所以两直线的交点坐标为 因为两直线的交点在第一象限，所以得到 解得： ， 设直线的倾斜角为，则， 又， 因为，正切函数在单调递增，所以. 故选：BC 10．ABD 【分析】将直线方程变形后得到，求出恒过的定点，即可判断A；将圆的一般式化为标准式方程，得到圆心坐标和半径，进而判断B；圆心到直线的距离等于半径，列出方程，结合根的判别式即可判断C；当圆心在直线上，故直线被圆M截得的弦长为直径4，为最大弦长，即可判断D. 【详解】变形为，故恒过定点，A正确； 变形为， 圆心坐标为，半径为2，B正确； 令圆心到直线的距离， 整理得：，由可得，方程无解， 故不存在实数，使得直线与圆相切，C错误； 若，直线方程为，圆心在直线上， 故直线被圆截得的弦长为直径4，为最大弦长． 故选：ABD. 11．ABD 【分析】利用圆的性质及三角形面积公式计算可判定A；利用切线性质及余弦函数的单调性可判定B； 由B项可判定C项；根据定弦定角确定中点轨迹，结合平面向量的线性运算及圆的特征可判定D. 【详解】对于选项A，当为直径时，显然当时， 的面积取得最大值，所以A正确； 对于选项B，设，则， 所以越大，越小， 显然当点P在处时，最大，    此时，即，选项B正确； 对于选项C，由上可知当点P在处时，且为切线时，最大， 此时，即， 所以不存在符合的点，故选项C不正确； 对于D选项，设的中点D，则， 所以点D在以M为圆心，为半径的圆上， 易知，    设小圆半径为，则，则的最大值为，    故D正确． 故选：ABD 12．或 【分析】利用两直线平行的斜率关系即可求得或. 【详解】易知直线的斜率一定存在，且为， 由两直线平行可得，解得或； 经检验或都符合题意； 故答案为：或 13． 【分析】首先由题意得恒过点，P点在圆内，则可知当时，所截得弦长最短，计算可得答案；或者由圆截直线所得的弦长最短时，直线的方向向量满足，计算也可得答案. 【详解】由题意得恒过点. 圆的标准方程为， 所以圆心， 且，可知点在圆内. 方法一：由直线与圆的几何性质知，当时，所截得弦长最短， 此时.即， 所以直线的方程为. 方法二：易得直线的方向向量为， 当圆截直线所得的弦长最短时，. 所以，解得， 所以直线的方程为. 故答案为：. 14． 【分析】根据几何的思路得到当以为直径的圆与圆内切,且时,线段长度最小,然后求即可. 【详解】由圆得圆心,半径. 因为直线上存在两点，使得恒成立， 则以为直径的圆包含圆， 当长度最小时，两圆内切， 设中点为，则此时, 所以. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）联立直线、的方程，可得出点的坐标； （2）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】（1）解：联立，解得，即点. （2）解：因为直线的倾斜角为，则该直线的斜率为， 又因为直线过点，故直线的方程为，即. 因此，直线的方程为. 16．(1); (2). 【分析】（1）由题设，令，圆的方程为，根据点在圆上列方程求参数，即可得圆的方程； （2）由题意，应用点斜式可得直线的方程为，再应用点线距离及相交弦的几何求法求弦的长. 【详解】（1）由题设，令，圆的方程为， 则，可得，故， 所以圆的标准方程. （2）由题设，直线的方程为，可得， 由（1），且半径，故到直线的距离， 所以弦的长为. 17．(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）由直线l的方程变形为，联立即可求得直线恒过的定点； （2）要使直线被圆C所截得的弦长最短，则，化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标，得到，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解值及弦长. 【详解】（1）直线的方程可化为， 联立，解得. 故直线恒过定点. （2）由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为， 可知点在圆内，直线与圆相交， 当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 因为直线的斜率为， 故直线的斜率为，解得， 此时圆心到直线的距离为，所以最短弦长为. 18．(1) (2) 【分析】（1）设出点的坐标，根据得到坐标关系式，化简即得曲线的方程； （2）根据直线l过圆的圆心且与曲线相交，设出直线方程并利用弦长公式代入即可计算出直线方程. 【详解】（1）设，由， 可得，因为, 所以，整理可得； 即曲线的方程为. （2）易知可化为， 可得圆的圆心为，半径； 又直线l过圆的圆心，可设直线的方程为，显然， 由曲线的方程可知曲线是以为圆心，半径的圆， 又，所以可知到直线的距离， 即，解得； 所以直线方程的方程为 19．(1) (2)168万元 【分析】（1）一种方法是，设出过点的圆的一般方程，代入三个点的坐标，待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程，得到圆心，即建筑物的中心的坐标；另一种方法是，求两个边中垂线的交点，即圆心. (2)求出的长，由垂径定理得到点到的最小距离，从而求出开通的这条路的最低造价. 【详解】（1）解法一：由题可知， 由题可知经过点的圆的圆心即为所建建筑物的中心， 设圆的方程为， 则，解得， 圆的方程为，即， 建筑物的中心的坐标为. 解法二：由题可知， 由题可知经过点的圆的圆心即为所建建筑物的中心， 线段中点为，且线段的垂直平分线为， 线段中点为，且，线段的垂直平分线为， 联立，得，所以建筑物的中心的坐标为. （2）因为为建筑物的中心坐标， 设线段的中点为，由垂径定理得的长度为点到的最小距离， ，圆的半径为， 点到的距离为， 开通的这条路的最低造价为（万元）. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$