精品解析：2024年吉林省中考数学模拟押题预测试题

2024年吉林省中考数学模拟押题预测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，，，中最大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4600000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 杆秤是中国古老的称量工具，在我国已经使用了数千年．如图，是杆秤在称物时的状态，其中秤纽和拴秤砣的细线都是铅垂线．若，则的度数为（ ） A B. C. D. 6. 如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成的夹角，已知缆车速度为每分钟米，从山脚到山顶需分钟，则山的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点，分别在反比例函数和的图象上，分别过，两点向轴，轴作垂线，形成的阴影部分的面积为7，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 5 D. 8 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 分解因式：_______． 10. 若关于x方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为______． 11. 李明同学到文具商店为学校美术组的20名同学购买铅笔和橡皮，已知铅笔每支元，橡皮每块元，若给每名同学买3支铅笔和2块橡皮，则一共需付款______元． 12. 如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是_____． 13. 如图，已知的内接正六边形的边长为4，H为边的中点，则图中阴影部分的面积是________． 14. 如图，在矩形中，，，E，F分别为，边的中点，动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段长度的最大值为______，线段长度的最小值为______． 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 为了弘扬祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“远上寒山石径斜”． 远 原 上 寒 山 石 经 斜 径 （1）小明回答该问题时，对第一个字是选“远”还是选“原”难以抉择，若随机选择一个，则小明回答正确的概率是________． （2）小丽回答该问题时，对第一个字是选“远”还是选“原”、第六个字是选“径”还是选“经”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率． 17. 新华社北京年月日电：面对反复延宕的新冠肺炎疫情，中国人民同心战“疫”，从奋战在一线的医务人员、社区工作者，到接续民生保障的货车司机、快递小哥，再到自觉佩戴口罩、主动检测核酸，一举一动，都成为织密疫情防护网的一针一线，疫情防控离不开政府部门、社会各界共同努力，也需要每个人的支持和参与，为此，某地政府部门为了尽快完成万只口罩的生产任务，安排甲、乙两个大型工厂完成，已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天能生产口罩的数量的倍，并且在独立完成万只口罩的生产任务时，甲厂比乙厂少用天，问至少应安排两个工厂工作多少天才能完成任务？ 18. 如图，在边长为1的8×8正方形网格中，点A、B、C均在格点上，（用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹）． （1）在图①中，作的中线． （2）在图②中，作的高线． （3）在图③中，作以为直径的圆O的切线． 19. 已知四边形是平行四边形，点是对角线上一点，点是平行四边形外一点，连接和，且． （1）如图1，若，，求证：四边形是菱形； （2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长和交于点，和交于点，求证：． 20. 在太空种子种植体验实践活动中，为了解“宇番2号”番茄，某校科技小组随机调查60株番茄的挂果数量x（单位：个），并绘制如下不完整的统计图表： “宇番2号”番茄挂果数量统计表 挂果数量x（个） 频数（株） 频率 25≤x＜35 6 0.1 35≤x＜45 12 0.2 45≤x＜55 a 0.25 55≤x＜65 18 b 65≤x＜75 9 0.15 请结合图表中的信息解答下列问题： （1）统计表中，a= ，b= ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若绘制“番茄挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在“35≤x＜45”所对应扇形的圆心角度数为 °； （4）若所种植的“宇番2号”番茄有1000株，则可以估计挂果数量在“55≤x＜65”范围的番茄有 株． 21. 某车间甲、乙两名工人分别同时开始生产同种试剂，图中的折线和折线表示他们一天生产试剂y（克）与生产时间t（小时）的关系，工人甲因机器故障停止生产了一段时间，修好机器后速度提高到每小时生产10克试剂，结果还提前一小时完成了任务，请你根据图中给出的信息解决下列问题： （1）折线表示_________（填“甲”或“乙”）工人生产试剂与生产时间关系，乙这一天共生产__________克试剂； （2）工人乙起初每小时生产__________克试剂； （3）求工人甲中间停下修机器所用时间为__________小时； （4）请列式计算，甲、乙两名工人何时加工的试剂一样多？ 22. 如图1，的直径垂直弦于点E，且． （1）求的长． （2）探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F． ①当点G是中点时，求证：； ②如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长． 23. 定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点，在直线上，点，在直上，若，则四边形是半对角四边形．． （1）如图2，点是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求平行四边形的面积； （2）如图3，以平行四边形的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； （3）在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移4个单位成为四边形后，为平面上一点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 24. 【定义】 例如，如图1，过点A作交于点B，线段的长度称为点A到的垂直距离，过A作平行于y轴交于点C，的长就是点A到的竖直距离． 【探索】 当与x轴平行时，， 当与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，当直线为 时，___________． 【应用】 如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处， （1）___________． （2）如图3，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值． 拓展】 （3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时m，如图，种植一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出最高应为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年吉林省中考数学模拟押题预测试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在，，，中最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，先根据实数的大小比较方法即可求解，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：由实数的大小比较方法可得，， ∴最大的数是， 故选：． 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4600000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，据此可以解答． 【详解】解：． 故选：C 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据整式的运算以及完全平方公式逐一判断即可． 【详解】解：A．和不是同类项，不能合并，故本选项不合题意； B．，故本选项符合题意； C．，故本选项不合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的运算、完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握整式的运算法则、完全平方公式和平方差公式． 4. 如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左面看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看，看到的图形分为上下两部分，下面一部分是一个长方形，上面一部分左上角有一个小长方形，即看到的图形如下： ， 故选：B． 5. 杆秤是中国古老的称量工具，在我国已经使用了数千年．如图，是杆秤在称物时的状态，其中秤纽和拴秤砣的细线都是铅垂线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 由邻补角的性质求出，由平行线的性质推出． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 6. 如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成的夹角，已知缆车速度为每分钟米，从山脚到山顶需分钟，则山的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，先求出的长，再根据正弦的定义即可得到答案． 【详解】解：由题意得（米）， 在中，，， （米）， 故选A． 7. 如图，在中，，根据尺规作图痕迹，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，角平分线的定义垂直平分线的性质三角形内角和定理，根据作图，得出平分，然后根据，求出，由垂直平分线，得到，然后利用三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】由作图可得，平分，垂直平分线 ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：C． 8. 如图，点，分别在反比例函数和的图象上，分别过，两点向轴，轴作垂线，形成的阴影部分的面积为7，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握几何意义求出反比例函数k值是解题的关键；点A、B分别在反比例函数和图象上，分别过A、B两点向x轴，y轴作垂线，利用几何意义，表示出，，再利用阴影部分的面积为7，得出，由此解出k即可． 【详解】如图所示： 点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴， 四边形和为矩形， 点A、B在第一象限， ， 根据反比例函数比例系数的几何意义，得： ，， 阴影部分的面积为7， ， ， 解得：． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握提取公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是跟的判别式．根据关于的方程有两个不相等的实数根，则△，据此即可得出结果． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， △， 即， 解得：， 故答案为：． 11. 李明同学到文具商店为学校美术组的20名同学购买铅笔和橡皮，已知铅笔每支元，橡皮每块元，若给每名同学买3支铅笔和2块橡皮，则一共需付款______元． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查代数式的知识，解题的关键是根据题意，列出代数式，即可． 【详解】解：∵铅笔每支元，橡皮每块元， ∴每名同学买支铅笔和块橡皮需要付款：元， ∴名同学需要付款：元． 故答案为：． 12. 如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是_____． 【答案】2 【解析】 【详解】如下图，作点C关于直径AB的对称点C1，连接DC1，交AB于点P，此时PC+PD最短. ∵点C和点C1关于AB对称，点C是上半圆上的三等分点， ∴AB垂直平分CC1，点C1是下半圆上的三等分点， ∴PC=PC1，∠AOC1=60°， ∴PC+PD=PD+PC1=DC1， ∵点D是的中点， ∴为半圆O， ∴∠AOD=30°， ∴∠DOC1=∠DOA+∠AOC1=90°， ∴在Rt△DOC1中，DC1=， ∴PC+PD的最小值为. 13. 如图，已知的内接正六边形的边长为4，H为边的中点，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形性质，正六边形性质，扇形面积公式等．根据题意先计算出的面积，再计算扇形面积及面积，即可得到本题答案． 【详解】解：过点作交于点，连接， ， ∵的内接正六边形的边长为4，H为边的中点， ∴，，，为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴扇形面积：， ∵， ∴阴影部分的面积：， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，E，F分别为，边的中点，动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段长度的最大值为______，线段长度的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当点P与点A重合时，线段长度的最大，求出长度的最大值，连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于．解直角三角形求出，即可解决问题． 【详解】解：由题意得：当点P与点A重合时，线段长度的最大， ∵点P的速度是点Q的速度的倍， ∴， ∴， ∴线段长度的最大值为， 连接交于，连接，取的中点，连接，，过点作于，如图所示： 则，， ∵矩形中，，，，， ∴， ∴， ∵E，F分别为，边中点， ∴，， ∴， ∴四边形平行四边形， ∴， ∴， ，，， ， ， ， ， ， ， ，由于和点都是定点，所以其中点也是定点，当，，共线时，此时最小， 的最小值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题． 三、解答题：本题共10小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合计算以及平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键，根据平方差公式进行计算，化简求值即可得到答案。先根据平方差公式和多项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可。 【详解】解： ， 当，时，原式． 16. 为了弘扬祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“远上寒山石径斜”． 远 原 上 寒 山 石 经 斜 径 （1）小明回答该问题时，对第一个字是选“远”还是选“原”难以抉择，若随机选择一个，则小明回答正确的概率是________． （2）小丽回答该问题时，对第一个字是选“远”还是选“原”、第六个字是选“径”还是选“经”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率． 【答案】（1）； （2）图表见解析，． 【解析】 分析】（1）利用概率公式直接计算即可求解； （2）根据题意画树状图列出所以等可能结果，根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵选择“远”或“原”是随机选择， ∴小明回答正确的概率是； 故答案为： 【小问2详解】 解：画树状图如图， 由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中小丽回答正确的结果只有1种， 所以小丽回答正确的概率是． 【点睛】本题考查了列表法或树状图求概率，理解题意，通过列表法或画树状图确定所有等可能结果是解题关键． 17. 新华社北京年月日电：面对反复延宕的新冠肺炎疫情，中国人民同心战“疫”，从奋战在一线的医务人员、社区工作者，到接续民生保障的货车司机、快递小哥，再到自觉佩戴口罩、主动检测核酸，一举一动，都成为织密疫情防护网的一针一线，疫情防控离不开政府部门、社会各界共同努力，也需要每个人的支持和参与，为此，某地政府部门为了尽快完成万只口罩的生产任务，安排甲、乙两个大型工厂完成，已知甲厂每天能生产口罩的数量是乙厂每天能生产口罩的数量的倍，并且在独立完成万只口罩的生产任务时，甲厂比乙厂少用天，问至少应安排两个工厂工作多少天才能完成任务？ 【答案】至少应安排两个工厂工作天才能完成任务 【解析】 【分析】设乙厂每天生产口罩万只，则甲厂每天生产口罩万只，利用工作时间工作总量工作效率，结合在独立完成万只口罩的生产任务时甲厂比乙厂少用天，可得出关于的分式方程，解之经检验后可得出乙厂每天生产口罩的数量，将其代入中可求出甲厂每天生产口罩的数量，利用工作总量工作效率工作时间，结合工作总量不少于万只，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设乙厂每天生产口罩万只，则甲厂每天生产口罩万只， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 设应安排两个工厂工作天才能完成任务， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 答：至少应安排两个工厂工作天才能完成任务． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和分式方程是解题的关键． 18. 如图，在边长为1的8×8正方形网格中，点A、B、C均在格点上，（用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹）． （1）在图①中，作的中线． （2）在图②中，作的高线． （3）在图③中，作以为直径的圆O的切线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的对角线互相平分解决问题即可； （2）取格点，连接交于点，线段即为所求； （3）取格点，连接，线段即为所求． 【小问1详解】 解：如图中，线段即为所求； 【小问2详解】 解：如图中，线段即为所求； 【小问3详解】 解：如图中，线段即为所求； 【点睛】本题考查了圆的综合，作图-应用与设计作图，三角形的中线，角平分线，高等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 19. 已知四边形是平行四边形，点是对角线上一点，点是平行四边形外一点，连接和，且． （1）如图1，若，，求证：四边形是菱形； （2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长和交于点，和交于点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，通过作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）通过证明得出，即可得出四边形是菱形； （2）由菱形的性质得到，在上取一点，连接，使，则，证明，即可证明； 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 证明： 四边形是菱形， ， ， ， 在上取一点，连接，使， ， ， ． ∵， ∴， ， ， ； 20. 在太空种子种植体验实践活动中，为了解“宇番2号”番茄，某校科技小组随机调查60株番茄的挂果数量x（单位：个），并绘制如下不完整的统计图表： “宇番2号”番茄挂果数量统计表 挂果数量x（个） 频数（株） 频率 25≤x＜35 6 0.1 35≤x＜45 12 0.2 45≤x＜55 a 0.25 55≤x＜65 18 b 65≤x＜75 9 0.15 请结合图表中的信息解答下列问题： （1）统计表中，a= ，b= ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若绘制“番茄挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在“35≤x＜45”所对应扇形的圆心角度数为 °； （4）若所种植的“宇番2号”番茄有1000株，则可以估计挂果数量在“55≤x＜65”范围的番茄有 株． 【答案】（1）15，0.3；（2）图形见解析；（3）72；（4）300. 【解析】 【详解】试题分析：（1）a=60-6-12-18-9=15，b=1-0.1-0.2-0.25-0.15=0.3；（2）根据（1）中a值可以补充完整；（3）利用360°×挂果数量在“35≤x＜45”的频率可以得到对应扇形的圆心角度数；（4）用1000×挂果数量在“55≤x＜65”的频率可以得出株数. 试题解析：（1）a=15，b=0.3；（2） （3）72；（4）300. 考点：1统计图；2频数与频率；3样本估计总体. 21. 某车间甲、乙两名工人分别同时开始生产同种试剂，图中的折线和折线表示他们一天生产试剂y（克）与生产时间t（小时）的关系，工人甲因机器故障停止生产了一段时间，修好机器后速度提高到每小时生产10克试剂，结果还提前一小时完成了任务，请你根据图中给出的信息解决下列问题： （1）折线表示_________（填“甲”或“乙”）工人生产试剂与生产时间的关系，乙这一天共生产__________克试剂； （2）工人乙起初每小时生产__________克试剂； （3）求工人甲中间停下修机器所用时间为__________小时； （4）请列式计算，甲、乙两名工人何时加工的试剂一样多？ 【答案】（1）甲，40； （2）2； （3）3； （4）3或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，函数图象，明确题意，利用一次函数的性质和数形结合思想是解题的关键． （1）根据题意结合图象可得答案； （2）用“工作效率工作总量工作时间”可得答案； （3）根据函数图象可以解答本题； （4）根据函数图象和图象中的数据可以求得甲乙对应的函数解析式，从而可以解答本题． 【小问1详解】 解：由题意可知，折线表示甲工人生产试剂与生产时间的关系，乙这一天共生产克试剂． 故答案为：甲；； 【小问2详解】 解：乙起初每小时生产试剂：（克）． 故答案为：； 【小问3详解】 解：在生产过程中，甲因机器故障停止生产（小时）， 【小问4详解】 当时，乙对应的函数解析式为， ， 解得， 即当时，乙对应的函数解析式为， 设当，甲对应的函数解析式为， ， 解得， 即当，甲对应的函数解析式为， 令，得， 当时，得， 即当为或时，甲、乙两人生产的零件个数相等． 22. 如图1，的直径垂直弦于点E，且． （1）求的长． （2）探究拓展：如图2，连接，点G是上一动点，连接，延长交的延长线于点F． ①当点G是的中点时，求证：； ②如图3，连接，当为等腰三角形时，请计算的长． 【答案】（1）8 （2）①详见解析；②的长为或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解； （2）①连接，由点是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立； ②分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：连接，如图1， ∵的直径垂直弦于点E，且， ∴， ∴，， 在中，， ∴； 【小问2详解】 ①证明：连接，如图2， ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∵的直径垂直弦于点E， ∴， ∴， ∴； ②解：当时， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ 即， ∴； 当时， 在中，， 中，， ∴， 同理， ∴，即， ∴； 综上，的长为或． 23. 定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点，在直线上，点，在直上，若，则四边形是半对角四边形．． （1）如图2，点是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，求平行四边形的面积； （2）如图3，以平行四边形的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； （3）在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移4个单位成为四边形后，为平面上一点，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）见解析 （3），或，或 【解析】 【分析】（1）根据半对角四边形的定义可得出，进而可得出，由等角对等边可得出，结合即可求出的长，过点作的垂线交于，利用勾股定理求出，从而求出平行四边形的面积； （2）由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再结合半对角四边形的定义即可证出四边形是半对角四边形； （3）点的坐标为，，点的坐标为，点的坐标为．当以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，画出图形，作出符合要求的的点、、，根据平行四边形的性质以及中点坐标公式即可求解． 【小问1详解】 解：四边形为半对角四边形， ， ， ， ， 过点作的垂线交于，如图： ， ， ， ， 由勾股定理得：， ． 【小问2详解】 证明：四边形为平行四边形， ，， ， ， 又， 四边形是半对角四边形； 【小问3详解】 解： ，，四边形为平行四边形， ，， ，， 为的中点， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 如图3，将四边形向左平移4个单位成为四边形后，点的坐标为，，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 轴，， 当为对角线时，构成平行四边形， 平行四边形的对角线互相平分， 的中点坐标为，， 的坐标为：，； 当为对角线时，构成平行四边形， ，且， 的坐标为：，； 当为对角线时，构成平行四边形， ，且， 的坐标为：，； 当为对角线时，构成平行四边形， ，且， 的坐标为：； 综上，点的坐标为，或，或． 【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用半对角四边形的定义及矩形的性质，求出；（2）利用等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及平行四边形的性质，找出；（3）分点，落在反比例函数图象上和点，落在反比例函数图象上两种情况，求出的值． 24. 【定义】 例如，如图1，过点A作交于点B，线段的长度称为点A到的垂直距离，过A作平行于y轴交于点C，的长就是点A到的竖直距离． 【探索】 当与x轴平行时，， 当与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，当直线为 时，___________． 【应用】 如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处， （1）___________． （2）如图3，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值． 【拓展】 （3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时m，如图，种植一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出最高应为多少？ 【答案】探索： 应用：（1） （2） 拓展:（3） 【解析】 【分析】探索:先求得，再运用勾股定理求得证得，利用相似三角形性质即可求得答案； 应用：（1）延长交轴于点，则利用解直角三角形可得，把 代入即可求得答案； （2）利用待定系数法可得直线的解析式 设则N(t, 可得，进而可得 ，运用二次函数的性质即可得出答案； 拓展：取的中点，作交轴于点，延长交圆弧于点，过点作轴交于点，此时最大，运用垂径定理可得再利用解直角三角形即可求得答案. 【详解】探索：∵直线为，如图，设直线与轴分别交于点， 令得 ， ∴ ，即 ， 令 ，得， 解得：， ∴，即 ， ∵ 轴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 应用：（1）如图， 延长交轴于点，则， ， ，， ， ， ， 把 代入得:， 解得：， 故答案为：； （2）由（1）知, 设直线的解析式为则 ， 解得：， ， 如图，设 ，则， ， ， ， ∵轴， ， ， ， ， ∴当 时，取得最大值 ， 答：的最大值为 【拓展】如图， 取的中点，作交轴于点，延长交圆弧于点，过点作轴交于点，此时最大， ， ， 在 中, ， ， ， 又， ， ， ， ∵轴， ， ， ， 答：最高应为 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的应用，二次函数最值求法，待定系数法求函数解析式，解直角三角形，圆的性质，垂径定理等，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$