精品解析：四川省南充市西充县育英中学2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟测试题

四川省南充市西充县育英中学2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟测试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（　　） A. 瓜熟蒂落 B. 旭日东升 C. 守株待兔 D. 夕阳西下 2. 已知关于的一元二次方程有一个根是，则方程有一个根是（    ） A. B. C. D. 3. 不经过第三象限，那么的图象大致为 （ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，．将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形．点的对应点落在上，且．则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 3 5. 如图，为⊙的直径，点在圆上且在直径的两侧，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分2，0，；转盘B被四等分3，2，，．如果同时转动转盘A，B，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘）落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 如图，在菱形中，，，把菱形绕点顺时针旋转得到菱形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 9. 如图，线段是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（ ） A. B. 4 C. 6 D. 10. 如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论： ①；②；③； ④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有__________种不同的情况． 12. 若是关x的方程的解，则的值为___________． 13. 如果三点，和在抛物线的图象上，那，，之间的大小关系是______ ． 14. 如图，在中，，若弦，则______． 15. 如图，在正方形内作，交于点交于点，连接，过点作，垂足为，将绕点顺时针旋转得到，若，，则的长为______． 16. 如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为______． 三、解答题（共9小题，共72分） 17. 先化简，再求值，其中x的值是方程的根． 18. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求这个函数的解析式； （2）求这条抛物线的顶点坐标． 19. 随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷．为此，李老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）．某校九年级（1）班同学利用周末对全校师生进行了随机访问，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次参与调查的共有______人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为______； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果该校有6000人在使用手机： ①在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“”的概率是______． ②请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，绕原点逆时针旋转，得到，向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到． （1）画出和； （2）是的上一点，经旋转、平移后点P的对应点为，则点的坐标是 ． （3）若直接旋转得到，则旋转点M坐标是 ． 21. 如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点． （1）求证：四边形为矩形． （2）已知的半径为4，，求弦的长． 22. 甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． （1）求甲工程队每小时修的路面长度； （2）通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 23. 已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得， （1）求证：是的切线． （2）当，时，求的半径． 24. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形的面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，直接写出P点坐标． 25. 图中和是两个等边三角形，其中，，如图①， （1）将两三角形按图1放置（点A，，在同一条直线上），连接线段，，求线段的长； （2）将绕点A逆时针旋，如图2所示，直线，相交于点，连接．求证：； （3）以图1的位置为起点，将绕点A逆时针旋转，当点，，恰好在一条直线上时，直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省南充市西充县育英中学2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟测试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是（　　） A. 瓜熟蒂落 B. 旭日东升 C. 守株待兔 D. 夕阳西下 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案． 【详解】解：A选项，瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； B选项，旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意； C选项，守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，发生的可能性大于0且小于1； D选项，夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意． 故选C． 2. 已知关于的一元二次方程有一个根是，则方程有一个根是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解，可得出，在等式的两边同时除以，可得出，进而可得出方程有一个根是． 【详解】关于的一元二次方程有一个根是， ， 在等式的两边同时除以得：， 方程有一个根是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，牢记“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解”是解题的关键． 3. 不经过第三象限，那么的图象大致为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据直线不经过第三象限判断出a、b的取值范围，再根据a的取值范围可判断出开口方向，再加上b的取值范围可判断出对称轴，最后根据判断出与y轴交点，进而可得答案． 【详解】解：∵直线不经过第三象限， ∴，， ∴的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于， ∴D符合． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数图象，关键是掌握一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 4. 如图，在矩形中，．将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形．点的对应点落在上，且．则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质得到，，，由得到，根据勾股定理得到，即可得到的长． 【详解】∵将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】此题考查了旋转的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和勾股定理计算是解决本题的关键． 5. 如图，为⊙的直径，点在圆上且在直径的两侧，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 6. 如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分2，0，；转盘B被四等分3，2，，．如果同时转动转盘A，B，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘）落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 2 0 3 （2，3） （0，3） （，3） 2 （2，2） （0，2） （，2） （2，） （0，） （，） （2，） （0，） （，） 由表可知，共有12种等可能结果，落在直角坐标系y轴正半轴上的情况有2种， 所以点落在直角坐标系y轴正半轴上的概率是． 故选：C． 【点睛】本题考查列表法或树状图法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提． 7. 关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】讨论：当时，方程化为一元一次方程，有一个实数解；当时，根据判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况得到a的取值范围． 【详解】解：当时，方程化为， 解得， 当时，， 解得， 综上所述，a的取值范围为． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 8. 如图，在菱形中，，，把菱形绕点顺时针旋转得到菱形，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，，，三点共线，根据，可得． 【详解】解：如图， 连接，相交于，与于点． 四边形是菱形，， ，，，， ， ，， ， 菱形绕点顺时针旋转得到菱形， ，， ，，三点共线， ， 又， ，， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题． 9. 如图，线段是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（ ） A. B. 4 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据作图知垂直平分，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，根据作图知垂直平分， ∴，， ∴， 即， ∵线段是半圆O的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质、直径所对的圆周角为直角、勾股定理知识，掌握相关的性质进行正确求解是解题的关键． 10. 如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论： ①；②；③； ④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点代入抛物线解析式并结合即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点，的对称轴为，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤． 【详解】解：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即，即②错误； ∴，即①正确， 二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为 ，即，故③正确； ∵关于x的一元二次方程，，， ∴，， ∴无法判断的正负，即无法确定关于x的一元二次方程的根的情况，故④错误； ∵ ∴点，关于直线对称 ∵点，均在该二次函数图像上， ∴，即⑤正确； 综上，正确的为①③⑤，共3个 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的获取信息是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有__________种不同的情况． 【答案】5 【解析】 【分析】先求出红桃牌的总张数为13张，再减去甲、乙红桃牌的张数可得剩下的红桃牌的张数，由此即可得． 【详解】解：一副牌去掉大小王后剩下张牌， 则红桃牌的总张数为（张）， 甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌， 剩下的红桃牌的张数为（张）， 所以丁的红桃牌的张数的所有可能情况为：0张、1张、2张、3张、4张，共有5种不同的情况， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了列举所有可能的结果，理解一副牌中红桃牌的总张数是解题关键． 12. 若是关x的方程的解，则的值为___________． 【答案】2019 【解析】 【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵是关x的方程的解， ∴，即：， ∴ ； 故答案为：2019． 【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 13. 如果三点，和在抛物线的图象上，那，，之间的大小关系是______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小，关于称轴是直线的对称点是， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 14. 如图，在中，，若弦，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边对等角得出，再求出，根据圆周角定理得出，根据平行线的性质得出，得出根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理，正确理解题意是解题的关键． 15. 如图，在正方形内作，交于点交于点，连接，过点作，垂足为，将绕点顺时针旋转得到，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质及正方形的性质可知，再根据全等三角形的性质可知，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设正方形的边长为，则，， ∴在中，， ∴， 解得：，（舍去）， 即， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握正方形的性质及旋转的性质是解题的关键． 16. 如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出斜边的长度，再判断四边形为正方形，然后利用切线长定理求出内切圆半径，进而求出周长． 【详解】如图，连接、， 在中，， 设内切圆半径为r，、为的切线， ∴，， ∵，， ∴四边形为正方形， ∴， 由切线长定理得，，，，， ∴，解得， 则的周长为 ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质定理，切线长定理，解题关键是判断四边形为正方形，再依据切线长定理把三角形的周长化为两条切线长，再转化为半径进行求解． 三、解答题（共9小题，共72分） 17. 先化简，再求值，其中x的值是方程的根． 【答案】，4 【解析】 【分析】根据整式的混合运算化简后代入x的值计算即可. 【详解】解：原式 ； ∵x的值是方程的根， 解得， 又∵， ∴， ∴， 原式． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，实数的运算，分式的化简和求值，解一元一次不等式，正确地进行运算是解题的关键. 18. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求这个函数的解析式； （2）求这条抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）利用配方法计算坐标即可． 【小问1详解】 根据题意得，解得， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 ， ， ， ∴抛物线的顶点坐标为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，求抛物线的顶点坐标，熟练掌握知识点且正确计算是解题的关键． 19. 随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷．为此，李老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）．某校九年级（1）班同学利用周末对全校师生进行了随机访问，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次参与调查的共有______人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为______； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果该校有6000人在使用手机： ①在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“”的概率是______． ②请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数． 【答案】（1）； （2） 如图： （3）①抽取的恰好使用“”的概率是；②在该校人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的有人． 【解析】 【分析】（1）根据统计图中的数据计算即可； （2）根据已知条件算出微信的人数和短信的人数作图即可； （3）①根据的总人数除以2000即可；②用6000乘以微信的占比即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知： 参与调查的人中，喜欢用电话沟通的有400人，占， ∴这次参与调查的共有：（人）； 表示“微信”的扇形圆心角的度数为； 故答案是：；； 【小问2详解】 解：微信的人数：（人）， 短信的人数：（人）， 【小问3详解】 解：①； ∴抽取的恰好使用“”的概率是； ②（人)， ∴在该校人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的有人． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，结合概率公式求解是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，绕原点逆时针旋转，得到，向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到． （1）画出和； （2）是的上一点，经旋转、平移后点P的对应点为，则点的坐标是 ． （3）若直接旋转得到，则旋转点M坐标是 ． 【答案】（1） 如图所示： ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据点绕原点逆时针旋转坐标变换规律得出点，再顺次连接即可得；根据坐标平移规律得出点，然后顺次连接即可得； （2）根据点绕原点逆时针旋转坐标变换规律、坐标平移规律即可得； （3）对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【小问1详解】 解：根据旋转的性质得到， 根据平移的性质得到， 【小问2详解】 解：由（1）坐标变换规律得：，； 故答案为：； 【小问3详解】 解：若直接旋转得到，如图， 则旋转点M坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了画旋转图形、平移图形、旋转中心，掌握点坐标变换规律是解题关键． 21. 如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点． （1）求证：四边形为矩形． （2）已知的半径为4，，求弦的长． 【答案】（1）证明：∵与轴相切于点， ∴轴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可． （2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接． 四边形是矩形， ． 在中，， ． 点为圆心，， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键． 22. 甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． （1）求甲工程队每小时修的路面长度； （2）通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】（1）甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 （2）m的值为18 【解析】 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； 【小问2详解】 解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 23. 已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得， （1）求证：是的切线． （2）当，时，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接、， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接、，证明，则，可证是的切线； （2）由，可得，由，可得，由，，可得，则，由，可得，由勾股定理得，，进而可求的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴的半径为3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的判定，等边对等角，平行线的判定，中位线，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 24. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形的面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，直接写出P点坐标． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）将、代入，求解可得坐标，根据二次函数的性质可得点坐标，设抛物线的表达式为，将代入求值，最后代入化简成一般式即可； （2）如图1，过作于F，交于E，，，则， ，根据二次函数的性质求解即可； （3）线段与对称轴的交点即为使的值最小的点P，将代入直线的解析式即可求出点P的纵坐标，从而得解． 【小问1详解】 解：将代入得，， ∴， 将代入得，解得， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 设抛物线的表达式为， 将代入得，，解得， ∴， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图1，过作于F，交于E， ∴，，则， ∵， ∴当时，四边形面积最大，值为； 将代入得，， ∴， ∴四边形面积S的最大值为，此时D点的坐标为． 【小问3详解】 ∵点A与点B关于对称轴直线， ∴当点P是线段与对称轴的交点时， 的值最小， 标记点P如下，连接， 将代入直线的解析式可得：， ∴ 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，二次函数与面积综合，线段和最小问题(将军饮马问题)．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 25. 图中和是两个等边三角形，其中，，如图①， （1）将两三角形按图1放置（点A，，在同一条直线上），连接线段，，求线段的长； （2）将绕点A逆时针旋，如图2所示，直线，相交于点，连接．求证：； （3）以图1的位置为起点，将绕点A逆时针旋转，当点，，恰好在一条直线上时，直接写出线段的长度． 【答案】（1）； （2） 如图2，分别过点作于点，于点， ∵和是两个等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵于点，， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴． （3）． 【解析】 【分析】（1）由是等边三角形，，，得到，求出，再证明，得到即可； （2）分别过点作于点，于点，先证明，得到，，由三角形内角和定理得到，再证明，得到，则可证明平分，故可知，则问题可证； （3）当，，共线时，过点作于点，分别求出，，在利用勾股定理求出，从而求出，由问题可解． 【小问1详解】 ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵和是两个等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ； 如图，当，，共线时，过点作于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴ ∴， 由（2）同理，， ， 如图，当，，共线时， 同理，可得，． 【点睛】本题是几何旋转变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形判定和性质、勾股定理以及分类思想，解答关键是利用数形结合思想，找到条件之间关联． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $