第二章 圆锥曲线单元检测卷（B卷）-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第二章圆锥曲线—高二数学北师大版(2019)选择性必修一单元检测卷（B卷） 【满分：150分】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知双曲线的左焦点为F，点P是双曲线C右支上的一点，点M是圆上的一点，则的最小值为( ) A.5 B. C.7 D.8 2.设M是圆上的一动点,定点,线段的垂直平分线交线段于N点,则N点的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 3.已知,分别为双曲线的上,下两个焦点,点恰为抛物线的焦点,记点为两曲线的一个公共点,且,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 4.已知F为双曲线的一个焦点,C上的A,B两点关于原点对称,且,,则C的离心率是( ) A. B. C. D. 5.已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线C于P,Q两点,交圆于M,N两点,其中P,M位于第一象限,则的值不可能为( ) A. B. C.4 D. 6.在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 7.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线,经椭圆反射,其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左,右焦点分别为,,若从椭圆右焦点发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后,满足,且,则该椭圆的离心率为( ). A. B. C. D. 8.已知双曲线的右顶点为A,若以点A为圆心,以b为半径的圆与C的一条渐近线交于M,N两点,且,则C的离心率为( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是( ) A. B.点F的坐标为 C.直线AQ与抛物线相切 D. 10.已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，， ，则下列结论正确的是( ) A.的周长为16 B. C.点P到x轴的距离为 D. 11.已知双曲线的上、下焦点分别为,,点P在双曲线上且位于x轴上方,则下列结论正确的是( ) A.线段的最小值为1 B.点P到两渐近线的距离的乘积为 C.若为直角三角形,则的面积为5 D.的内切圆圆心在直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知椭圆的左、右焦点分别为、,上顶点为A.若为正三角形,则该椭圆的离心率为_______________. 13.已知抛物线的焦点为F,点,点M是抛物线C上一个动点,当取最小值时,点M的坐标为______________. 14.已知过原点的直线与双曲线（，）交于M，N两点，点M在第一象限且与点Q关于x轴对称，，直线NE与双曲线的右支交于点P，若，则双曲线的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知双曲线的离心率为,且经过点. (1)求双曲线C的方程; (2)求双曲线C的左顶点到渐近线的距离. 16.（15分）已知是抛物线上一点,F是C的焦点,且. （1）求C的方程; （2）记O为坐标原点,斜率为1的直线与C交于A,B两点（异于点O）,若,求的面积. 17.（15分）已知直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，并交椭圆（）于不同的A，B两点，且A，B三等分线段. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若斜率为1的直线l交椭圆C于M，N两点，O为坐标原点，当的面积最大时，求直线l的方程. 18.（17分）已知,分别为双曲线的左,右焦点,过双曲线C左顶点A的直线l与圆相切. （1）求直线l的方程; （2）若直线l与双曲线交于另一点P,求的面积. 19.（17分）已知椭圆离心率等于且椭圆C经过点. （1）求椭圆的标准方程C; （2）若直线与轨迹C交于M,N两点,O为坐标原点,直线OM,ON的斜率之积等于,试探求的面积是否为定值,并说明理由. 答案以及解析 1.答案：C 解析：记双曲线C的右焦点为，所以 ， 当且仅当点P为线段与双曲线C的交点时，取到最小值. 故选：C. 2.答案：B 解析：线段的垂直平分线交线段于N点, ,而, ,又,,即N是到定点Q,P距离和为定长6的动点, 由椭圆第一定义知：,且长轴在y轴上,故N的轨迹方程为, 故选：B. 3.答案：A 解析：抛物线的定义可知,因此平行于x轴, 即,由抛物线的定义,可知,,因此. 4.答案：D 解析：不妨设F,分别为双曲线的左右焦点,连接,, 因为A,B两点关于原点对称,所以为平行四边形,所以, 因为,, 所以,. 因为,所以; 在中,由余弦定理可得, 因为,所以,即. 故选:D 5.答案：A 解析：抛物线的焦点,准线,圆的圆心,半径1,设,, 依题意,设直线PQ方程为:,由消去x并整理得:, 则有,,,同理, 于是得,当且仅当,即时取等号, 所以的值只要不小于4即可,A,不满足,B,C,D满足. 故选:CD 6.答案：B 解析：由题意可知：圆的圆心为，半径， 设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为R， 若圆M与圆O外切，则，， 可得； 若圆M与圆O内切，则，， 可得； 综上所述：， 可知动点P的轨迹是以，F为焦点的双曲线，且，，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：B. 7.答案：D 解析：由题意,可作图如下: 则,,即, 可设,,, 由,则,即, ,在中,, 则. 故选:D. 8.答案：B 解析：不妨设该圆与渐近线分别交于M、N点, 则,故,则, 设,则, 则有, , 即有,则有,即, 故,即, 即,即, 故有,即,故,即. 故选：B. 9.答案：AC 解析：将代入中可得，故，，A正确，B错误， ，则AQ方程为，则，，故直线AQ与抛物线相切，C正确， 由于轴，所以不成立，故D错误， 故选：AC 10.答案：ABC 解析：依题意，，，，，. 所以三角形的周长为，A选项正确， 设，， 所以， 整理得， 所以，B选项正确， 设P到x轴的距离为h，则，，C选项正确， ，D选项错误. 故选：ABC. 11.答案：ABD 解析：双曲线的焦点,,实轴长,设点,有, 对于A,,则,当且仅当时取等号,A正确; 对于B,双曲线渐近线,则点P到两渐近线距离的乘积为: ,B正确; 对于C,为直角三角形, 当时,,解得, , 当时,,解得, ,C不正确; 对于D,如图,圆C是的内切圆,切点分别为T,M,N,设点, 由双曲线的定义及圆的切线性质得:, 解得,而,即直线方程为:, 所以的内切圆圆心在直线上,D正确. 故选:ABD 12.答案： 解析：如图所示, ，为正三角形. , 可得椭圆离心率. 故答案为：. 13.答案： 解析：分别过M,A作抛物线C的准线的垂线,垂足分别为,, 则,当且仅当A,M,三点共线时,等号成立,所以的最小值为,此时点M的坐标为. 故答案为：. 14.答案： 解析：设，，则，，根据可得， 则. 因为，所以，又，所以. 故双曲线的离心率. 15.答案：(1) (2) 解析：(1)因为双曲线C：的离心率为,且经过点, 所以,解得：, 所以双曲线C的方程为. (2)双曲线的左顶点为,渐近线方程为, 所以双曲线C的左顶点到渐近线的距离为. 16.答案：（1） （2） 解析：（1）由题可知 解得,故C的方程为. （2）设l的方程为,,, 联立方程组整理得, 则,. 因为,所以, 解得或（舍去）, 所以l与轴的交点为,则的面积 . 17.答案：（1）； （2） 解析：（1）直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，故，， 由于A，B是线段的三等分点，所以，， 故，， 将，代入椭圆方程可得， 故椭圆方程为， （2）设直线：， 则， 设，， 则， 故， 点O到直线的距离， 故，当且仅当，即时等号成立， 时，，符合题意， 故的面积最大时，求直线l的方程为 18.答案：（1）或 （2） 解析：（1）由知左顶点, 当直线l斜率不存在时与圆E不相切不符合题意; 当直线l斜率存在时,设即, 由与圆相切得,解得或, 所以直线l的方程为或. （2）由知,,所以渐近线斜率为, 若直线l的斜率为,则与双曲线只有点A一个交点,不符合题意,舍去; 若直线l的方程为,与双曲线有两个交点, 联立消去x并整理得,解得或, 因为,所以, 又因为,所以. 19.答案：（1） （2）是定值,理由见解析 解析：（1）由题意得,解得,,所以椭圆C的方程为. （2） 设,联立直线和椭圆方程可得:, 消去可得:,所以 , 即,则, ,, 把韦达定理代入可得:, 整理得, 又, 而O点到直线MN的距离, 所以, 把代入,则,可得是定值1. 学科网（北京）股份有限公司 $$