第二十四章 圆 单元总复习讲义 2024--2025学年人教版九年级数学上册

2024-2025九上第二十四章 圆 单元总复习 （思维导图+知识点梳理+对点训练）(人教版2012） 知识模块1 （一）概念 圆：在一个平面内，一条线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点 A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA的长度叫做这个圆的半径。 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。 【归纳】 （1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。 圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫做圆。 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如图中的。 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个字母表示，如图中的。 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弦心距：过圆心作弦的垂线，圆心与垂足之间的距离叫弦心距。 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 弧，弦，圆心角三者之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弧相等。 弧的度数：等于它所对圆心角的度 三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 1.如图，点，，在上，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.如图，已知A，B，C，D四点都在⊙O上，则⊙O中的弦的条数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4.如图，为的直径，弦于点E，已知，则的半径为 ． 5.如图，古人在计算残缺的不确定圆心的圆形物件的半径时，会采用以下的方法：在圆上找两点A，B，连接并确定的中点C，弧的中点D．若测得为20分米，为5分米，则半径为 分米． 6.已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 7.如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 8.如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点、、． (1)用直尺画出该圆弧所在圆的圆心的位置，点坐标为______； (2)求圆半径的长度； (3)若点的坐标为，请通过计算说明点与圆的位置关系． 9.如图1，圆形拱门是中国古典园林建筑元素之一，圆形拱门有着圆满、完美的美好寓意、 (1)在图2中作出拱门中圆弧的圆心（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知拱门高（优弧中点到的距离），，，求拱门的圆弧半径． 10.如图，在中，，求证：． 11.陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为 12.下列说法中，结论错误的是（　　） A．直径相等的两个圆是等圆 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆中最长的弦是直径 D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧 13.如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且的延长线交于点．若，则的度数等于 ． 14.如图，的半径为4，圆心的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最大值为（　　） A．13 B．14 C．12 D．28 15.如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是 ．    16. 一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小明阿学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于、、、四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径． 知识模块2 （二） 圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，�都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 知识点3 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。 圆内接四边形性质： 圆内接四边形的对角互补。 1.如图，是的直径，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 2.如图，内接于，是的直径，若，则（　　） A． B． C． D． 3.如图，内接于，是的直径，若，则等于 ．    4.如图，在中， 弦、相交于点．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5.如图，内接于，是的直径，是圆上一点，连接，，．若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6.如图，，是的两条直径，是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 7.如图，是的直径，E是的中点，，的度数是（    ）    A． B． C． D． 8.如图，四边形内接于，若，则的大小为（  ） A． B． C． D． 9.如图，四边形内接于，E为延长线上一点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10.如图，在中，是正三角形，点C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 11.如图，四边形内接于，是的直径．若，，，则的长为（    ） A．3 B． C．5 D．4 12.如图，已知内接于，是的直径，过点C作，垂足为E，交于点D，，，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 13.如图，四边形内接于，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 14.如图，在的内接四边形中，，直径，垂足为点．当时，求的度数； 15.如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求证平分，并求的大小； （2）过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 16.如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 17.如图，在中，，以为直径的分别交于点． (1)求证：点是的中点； (2)若，求的度数． 知识模块3 知识点1 基本概念 1. 直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交，这条直线叫圆的割线，这两个公共点叫交点。 2. 直线和圆有唯一个公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点。 3. 直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 知识点2 直线和圆的位置关系的判定 设⊙O的半径为r，直线l到圆心的距离为d，则： 直线l和⊙O相交 d<r 直线l和⊙O相切 d=r 直线l和⊙O相离 d>r 知识点3 切线的性质 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 1.已知的直径为，点P到圆心O的距离为，则点P和圆的位置关系（ ） A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断 2.如图，长方形中，，，圆半径为1，圆与圆内切，则点、与圆的位置关系是（　　） A．点在圆外，点在圆内 B．点在圆外，点在圆外 C．点在圆上，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 3.若所在平面内有一点，点到上点的最大距离为，最小距离为，则的半径为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 4.如图，在中，，是边上的高，，若圆C是以点C为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是（    ） A．点D在圆C上，点A，B均在圆C外 B．点D在圆C内，点A，B均在圆C外 C．点A，B，D均在圆C外D．点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C 5.如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.已知中，，，以点为圆心，以长为半径作圆，则与的位置关系是（    ）    A．相离 B．相切 C．相交 D．外离 7.已知直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离为6，则⊙O的半径可能为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边AB有交点，那么r的取值范围是（　　） A．5≤r≤12或 B．5＜r＜12 C． D． 9.如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD＝80°，则∠C的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 10.如图，是的直径，、分别切于点、，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 11.如图，点Ⅰ为的内心，若为，则的度数为　　 A． B． C． D． 12.如图，在中，内切圆与，，分别切于，，若，则　　 A． B． C． D． 13.如图所示，为了测量一个圆形徽章的半径，小明把徽章与直尺相切于点B，水平移动一个含60°角的三角尺与徽章相切时停止，三角尺与直尺交于点A．小明测量出AB＝2cm，则这枚徽章的半径是（　　）cm． A． B．2 C．3 D．4 14.如图，在中，，O为上一点．以O为圆心，长为半径的过点C，交于另一点D，若D是的中点，求证：是⊙O的切线．    15.如图，是的直径，D为上的一点，平分交于点T，过点T作的垂线交的延长线于点C，求证：为的切线． 16.如图，已知是的直径，点C在上，于点D，平分，E是延长线上一点，交于点F．    (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求线段的长． 17.如图，在中，，平分，交于点是斜边上一点，以点为圆心，的长为半径的恰好经过点．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 18.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线交AB的延长线于点F． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）若AC＝13，BC＝10，求DE长． 19.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E． （Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线； （Ⅱ）若AB＝2，∠C＝30°，求DE的长． 知识模块4 正多边形和圆 知识点1 正多边形和圆的关系 定理1：把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。 定理2：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形。 知识点2 正多边形有关概念 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。 半径：正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径。 边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 中心角：正多边形的每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 知识点3 正多边形有关角 1. 正多边形的中心角都相等，中心角= （n为正多边形的边数） 2. 正多边形的每个外角= （n为正多边形的边数） 1.如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形的半径是，则这个正六边形的周长是　　 A． B． C． D． 2.如图，一个正多边形纸片被一块矩形挡板遮住一部分，则这个正多边形纸片的边数是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 3.利用圆的等分，在半径为的圆中作出六芒星图案，则图中阴影部分的面积为　　 A．6 B． C．12 D． 4.如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则　　 A．2 B．1 C． D． 5.如图，正五边形边长为6，以为圆心，为半径画圆，图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 6.如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7.如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为，则正方形的半径是（    ）    A．4 B．2 C． D． 8.如图，正六边形螺帽的边长为2，则这个螺帽的面积是（    ）      A． B．6 C． D． 9.如图是由边长为5的正六边形外接圆和以其各边为直径作半圆围成的，则阴影部分的周长 ．    10.如图，在平面直角坐标系中，以正六边形的中心为原点，顶点在轴上，若半径是4，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝　　． 12.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O． （1）若P是上的动点，连接BP，FP，求∠BPF的度数； （2）已知△ADF的面积为，求⊙O的面积． 知识模块5 弧长和扇形面积 知识点1 计算公式 1. n°的圆心角所对的弧长：l= 2. 扇形面积：（由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形） 方法一： S扇形＝ 方法二：S扇形＝ 知识点2 圆锥 母线：连接圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 高：圆锥的顶点到底面圆的距离，即顶点与底面圆的圆心的连线的长是圆锥的高。 侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径为圆锥的母线，扇形弧长为底面圆的周长。 侧面积：圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的 扇形面积。 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，扇形的圆心角为n， 圆锥的全面积：圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。 1.已知一个扇形的圆心角为，半径是6，则这个扇形的弧长是　　 A． B． C． D． 2.如图，是劣弧上一点，，．则劣弧的长度为　　 A． B． C． D． 3.如图，，是以为直径的半圆周的三等分点，，则阴影部分的面积是　　 A． B． C． D． 4.如图，半径为5的扇形中，，是上一点，，，垂足分别为，，若，则图中阴影部分面积为　　 A． B． C． D． 5.如图是一块四边形绿化园地，四角都做有直径为的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地（阴影部分）的面积为　　 A． B． C． D．不能确定 6.如图，点A，B，C，E在⊙O上，OC⊥AB于点D，∠E＝22.5°，OB＝2，则的长为（　　） A． B． C．π D．π 7.“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形ABC的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于（　　） A．2π B． C． D． 8.习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是 一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（　　） A． B．3m2 C． D． 9.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，将Rt△ACB绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 9.如图，圆锥的底面半径是1，则圆锥侧面展开图中扇形的弧长为（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 10.如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为36πm2，圆柱高为4m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（　　） A． B．144πm2 C． D．216πm2 11. 如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（   ） A． B． C． D． 12.在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为，圆锥的底面半径为，则此圆锥的母线长为 ． 13.如图，以正方形的顶点A为圆心，长为半径画弧，得到扇形纸片，用这个扇形纸片围成一个无底的圆锥．若正方形的边长为，则圆锥的底面半径为 ． 14.如图，图1是由若干个相同的图2组成的图案，在图2中，已知半径OA＝18cm，∠AOB＝150°，则图2的周长为 　　cm（结果保留π）． 15.将两块全等的三角板ABC和DEC按如图所示的位置放置．∠B＝60°，AC＝2，若三角板ABC绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边AB上，则点A运动路径的长度为（　　） A． B． C． D． 16.如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角∠ACB＝90°的扇形CAB． （1）求阴影部分面积； （2）用所裁剪的扇形纸片CAB围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径． 学科网（北京）股份有限公司 $$