精品解析：2024年山东省德州市中考数学押题预测试题

2024年中考押题预测卷（山东德州专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 1.5 2. 经历百年风雨，中国共产党从小到大、由弱到强，从建党时多名党员，发展成为今天已经拥有超过万党员的世界第一大政党．万用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 3. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（    ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 7. 如图，四边形接于，点I是的内心，，点E在的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 《千里江山图》是宋代王希孟作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是菱形，按以下步骤作图：①以顶点为圆心，长为半径作弧，交于点；②分别以、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，若，菱形的面积为，则（ ） A. B. C. D. 10. 定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（ ） A. 或4 B. C. D. 或1 11. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，，，E为矩形的边上一点，，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），的面积为，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 函数中自变量x的取值范围是______． 14. 已知的整数部分为，小数部分为，则的值是__________． 15. A，B两地相距，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速行驶，乙在途中休息了后按原速度继续前进．两人到A地的距离和时间的关系如图所示，则出发______h后，两人相遇． 16. 如图中，，，的面积为12，与x轴负半轴的夹角为，若点A在双曲线上，则k的值为______ 17. 如图，将矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，点D的对应点落在延长线上的点F处，点C的对应点为点G，延长交于点H．若，，则四边形的面积为____________． 18. 如图，，在上截取．过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；…按此规律，所得线段的长等于________． 三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 化简求值：，其中x是不等式组的整数解． 20. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为（小时），阅读总时间分为四个类别：，，，，将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中a的值为______，圆心角的度数为______； （3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？ （4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率． 21. 如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东． （1）求步道的长度（精确到个位）； （2）点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，） 22. 如图，为的直径，是圆上一点，是的中点． （1）尺规作图：过点作的垂线，交半圆于点，交线段直径于点（保留作图痕迹，不写做法）； （2）点是弧上一点，连接． ①求值； ②若为的角平分线，求的长． 23. 如图①，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图②是其示意图，开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，，若喷水口上升到P处，水线落地点为B，记长度为h，如图②，以所在直线为y轴， 所在直线为x轴，O为原点，建立平面直角坐标系，若喷水口在P处，，． （1）求过点P的抛物线形水线最高点与点B之间的水平距离及水线所在抛物线的函数表达式； （2）身高的小红要从该水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与点O的水平距离应满足什么条件？请说明理由． 24. 综合与实践 【阅读经典】2002年国际数学家大会在北京召开，如图①，大会的会徽是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展． “弦图”在三国时期被赵爽发明，是证明______的几何方法（填序号）． ①勾股定理　②完全平方公式　③平方差公式 【动手操作】 如图②，某数学兴趣小组发现，用四个大小、形状完全相同的直角三角形就可以拼接得到一个“赵爽弦图”．组员小明自制了四个大小形状一样，且两直角边的边长分别为5和12的三角板拼成了一个“赵爽弦图”，则中间四边形的面积为______； 【问题探究】 兴趣小组组员小红发现，通过旋转某个三角形得到一些美妙的结论：如图③，为正方形内一点，满足，将绕点顺时针旋转，得到． （1）连接，若点为的中点，则四边形为______（填形状）； 【问题解决】 （2）若的延长线交于点，连接，点分别为的中点，请仅就图④的情形解决下列问题： ①请判断和的数量关系，并说明理由； ②若，求的长． 25. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点． （1）求点A，，的坐标； （2）如图1，连接，点D在线段上运动，过点D作轴于点F，交抛物线于点E，连接，当的面积是的面积的时，求点D的坐标； （3）如图2，点G的坐标是，作直线，点H在y轴的负半轴上运动，连接BH交直线于点M，点N在该平面内运动，当以点，H，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点H的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考押题预测卷（山东德州专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 1.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，再逐一分析可得答案． 【详解】解：，1.5是分数，是整数，它们都是有理数，不是无理数； 是无限不循环小数，它是无理数； 故选：B． 2. 经历百年风雨，中国共产党从小到大、由弱到强，从建党时多名党员，发展成为今天已经拥有超过万党员世界第一大政党．万用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】万， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂除法，完全平方公式，合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角的和差、垂直的定义理解，计算即可，根据图形中角的关系、计算是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：C． 5. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图、勾股定理、圆锥的侧面积，先根据三视图判断这个几何体为圆锥，再运用勾股定理求出圆锥母线的长，最后根据圆锥的侧面积计算即可，明白要运用勾股定理求出圆锥母线的长是解题的关键． 【详解】解：观察这个几何体的三视图得，这个几何体为圆锥， 如图，标记主视图三角形三个顶点、、，过点作于点， 根据题意得：，，， ∴， ∴，即圆锥的母线长为， ∴这个圆锥的侧面积， 故选：C． 6. 如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（    ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论． 【详解】解：，，， ， 由作图可知平分， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 7. 如图，四边形接于，点I是的内心，，点E在的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点I是的内心知，从而求得，再进行角的等量代换，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质． 【详解】解：∵点I是的内心， ∴ ∵， ∴ ， 又四边形内接于， ∴， 故选：D． 8. 《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设边衬的宽度为x米，则整幅图画宽为(1.4+2x)米, 整幅图画长为(2.4+2x)米,根据整幅图画宽与长的比是8：13，列出方程即可． 【详解】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得 ， 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键． 9. 如图，四边形是菱形，按以下步骤作图：①以顶点为圆心，长为半径作弧，交于点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，若，菱形的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作高线、菱形性质及面积公式以及三角函数，解题的关键是过点作交于点，根据矩形的判定和性质，则四边形是矩形，则，；根据菱形的性质，则，根据，求出，；根据勾股定理求出，推出，根据，即可． 【详解】由作图可知，，，， 过点作交于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10. 定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（ ） A. 或4 B. C. D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意得出该方程为，由一元二次方程根的判别式得出，设两实数根为，，则，，结合方程的两实数根的平方和为12，列出关于的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知，该方程为， ∵方程的两实数根的平方和为12， ∴， ∴， 设两实数根为，，则，， ∵ ∴， 整理得：， 解得：， ∵， ∴， 故选：C． 11. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵点为平面内一动点，， ∴点在以点为圆心，为半径上， 在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴轴，， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得， 同理可得，， ∴即， 解得， ∴， ∴当线段取最大值时，点的坐标是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 12. 如图，在矩形中，，，E为矩形的边上一点，，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），的面积为，则y关于x的函数图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、二次函数的图象、一次函数的图象、锐角三角函数，理解题意，分类讨论以及求得各段函数解析式是关键．先求得的长，再分、、三种情况，分别求得对应的与的函数关系时，进而利用二次函数的图象和一次函数的图象特点逐项判断即可． 【详解】解：在矩形中，，，，点在上，且， 则在直角中，根据勾股定理得到， 当，即点在线段上，点在线段上时，过点P作于F， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分； 当，即点在线段上，点在线段上时，此时，此时该函数图象是直线的一部分； 当，即点在线段上，点在点时，的面积，此时该三角形面积保持不变； 综上所述，C正确． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 函数中自变量x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是求解函数的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据分式与二次根式有意义的条件可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 14. 已知的整数部分为，小数部分为，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值、利用平方差公式进行计算，先估算出，得出，从而得出，，代入式子，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：， ，即， ， 的整数部分为，小数部分为， ，， ， 故答案为：． 15. A，B两地相距，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速行驶，乙在途中休息了后按原速度继续前进．两人到A地的距离和时间的关系如图所示，则出发______h后，两人相遇． 【答案】2.1 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质以及求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出乙的速度，得出时，乙的函数解析式，再求出甲的函数解析式，列式作答，即可作答． 【详解】解：乙的速度： ∵乙在途中休息了后按原速度继续前进 ∴设时，乙的函数解析式为 把代入 得 ∴ ∴时，乙的函数解析式为 依题意，设甲的函数解析式 把代入 得 ∴ ∴甲的函数解析式 ∵两人相遇 ∴ ∴ 解得 则出发后，两人相遇 故答案为： 16. 如图中，，，的面积为12，与x轴负半轴的夹角为，若点A在双曲线上，则k的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数系数的几何意义，过点作于，得，设，利用含角的直角三角形的性质可得，，证，利用相似三角形的性质可得，进而求得，再利用反比例函数系数的几何意义即可求解．相似三角形的面积比等于相似比的平方求出是解题关键． 【详解】解：过点作于，如图： ， ，， ， 设， 则，， 与x轴负半轴的夹角为， ， ， ，即：， 解得：， ， 由图得：， 故答案为：． 17. 如图，将矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，点D的对应点落在延长线上的点F处，点C的对应点为点G，延长交于点H．若，，则四边形的面积为____________． 【答案】10.5 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形，矩形的折叠问题，矩形的性质等知识点，连接，延长交于点O，交于点M，连接，证明，进而证明，在中，勾股定理求得，进而根据，得出，根据，求得，进而根据折叠的性质可得，即可求解，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图所示，连接，延长交于点O，交于点M，连接， 设， ∵， ∴， 由折叠知：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， 由折叠知：， 故答案为：10.5． 18. 如图，，在上截取．过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；…按此规律，所得线段的长等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形计算、等腰三角形性质、图形规律等知识点，发现线段之间的规律是解题关键． 根据已知条件先求出的长，再根据外角、直角可推出是等边三角形，同理可得出其他等边三角形，然后归纳规律并运用规律即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得：，……，． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 化简求值：，其中x是不等式组的整数解． 【答案】，时，原式为，时，原式为． 【解析】 【分析】先化简分式，再解不等式组求得x的取值范围，在此范围内找到符合分式有意义的x的整数值，代入计算可得． 【详解】解： ． 解， ①可化简为：，， ∴； ②可化简为， ∴， ∴不等式的解集为， ∴ 不等式的整数解是， 又∵，∴， ∴或， 当时，原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值及一元一次不等式组的整数解，求分式的值时，一定要选择使每个分式都有意义的未知数的值． 20. 高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野．为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（28天）的阅读总时间作了随机抽样分析，设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为（小时），阅读总时间分为四个类别：，，，，将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．根据以上信息，回答下列问题： （1）请补全条形统计图； （2）扇形统计图中a的值为______，圆心角的度数为______； （3）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？ （4）政教处决定从本次调查阅读时长前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加该校“阅读之星”竞选，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙概率． 【答案】（1）见解析 （2）20，144°； （3）估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据D组的人数及百分比求出样本容量，用样本容量乘以C的百分比求出人数,然后补全条形统计图即可； （2）用A人数12除以60，再乘以百分比即可得到a值；用乘以百分比得到圆心角的度数； （3）用A加B的人数和与60的比乘以2000即可得到答案； （4）列树状图得到所有等可能的结果总数及恰好选中甲和乙的结果数，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：本次抽样的学生人数为：（人）， 组的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： ． 【小问2详解】 解：组所占的百分比为：， ， 圆心角的度数为：． 故答案为：20，144°． 【小问3详解】 解：（名）． 答：估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有1000名． 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种． 恰好选中甲和乙的概率为． 21. 如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点在点的正东方向，米．点在点的正北方向．点，在点的正北方向，米．点在点的北偏东，点在点的北偏东． （1）求步道的长度（精确到个位）； （2）点处有直饮水，小红从出发沿人行步道去取水，可以经过点到达点，也可以经过点到达点．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：，） 【答案】（1）283米 （2）经过点到达点较近 【解析】 【分析】（1）过作的垂线，垂足为，可得四边形ACHE是矩形，从而得到米，再证得△DEH为等腰直角三角形，即可求解； （2）分别求出两种路径的总路程，即可求解． 【小问1详解】 解：过作的垂线，垂足为， ∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°， ∴四边形ACHE是矩形， ∴米， 根据题意得：∠D=45°， ∴△DEH为等腰直角三角形， ∴DH=EH=200米， ∴（米）； 【小问2详解】 解： 根据题意得：∠ABC=∠BAE=30°， 在中， ∴米， ∴经过点到达点，总路程为AB+BD=500米， ∴（米）， ∴（米）， ∴经过点到达点，总路程为， ∴经过点到达点较近． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 22. 如图，为的直径，是圆上一点，是的中点． （1）尺规作图：过点作的垂线，交半圆于点，交线段直径于点（保留作图痕迹，不写做法）； （2）点是弧上一点，连接． ①求的值； ②若为的角平分线，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①；②． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键． （1）在半圆上取点，使，根据垂径定理的推论可知，由此即可完成作图； （2）①连接，证明，设的半径为，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得，得到，即可得到； ②过点作交于点，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由即可求解． 【小问1详解】 解：如图，在半圆上取点，使，连接交于， ∴， 【小问2详解】 解：①连接， ∵D是的中点 ∴， ∴， ∵ 为的直径， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则， 解得，经检验，是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴； ②如图，过点作交于点， ∴， ∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图①，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图②是其示意图，开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，，若喷水口上升到P处，水线落地点为B，记长度为h，如图②，以所在直线为y轴， 所在直线为x轴，O为原点，建立平面直角坐标系，若喷水口在P处，，． （1）求过点P的抛物线形水线最高点与点B之间的水平距离及水线所在抛物线的函数表达式； （2）身高的小红要从该水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与点O的水平距离应满足什么条件？请说明理由． 【答案】（1） ； （2）该点与点O的水平距离要大于0小于4，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）设过点P的抛物线形水线所在抛物线的解析式为，先求出过点O的抛物线形水线所在抛物线的对称轴为直线，再由平移的性质可得，据此利用待定系数法求出对应的函数解析式，再化成顶点式求出对称轴即可得到答案； （2）令，解出，进而即可求解． 【小问1详解】 解：设过点P的抛物线形水线所在抛物线的解析式为， ∵， ∴过点O的抛物线形水线所在抛物线的对称轴为直线， ∵过点P的抛物线形水线所在抛物线是有过点O的抛物线形水线所在抛物线平移得到的， ∴，即 ∵，， ∴， ∴ 解得：， ∴过点P的抛物线形水线所在抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ∴过点P的抛物线形水线最高点与点B之间的水平距离为； 【小问2详解】 解：该点与点的水平距离要大于0小于4，理由如下： 令， ． 或， ∴为了不被水喷到，该点与点O的水平距离要大于0小于4． 24. 综合与实践 【阅读经典】2002年国际数学家大会在北京召开，如图①，大会的会徽是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展． “弦图”在三国时期被赵爽发明，是证明______的几何方法（填序号）． ①勾股定理　②完全平方公式　③平方差公式 【动手操作】 如图②，某数学兴趣小组发现，用四个大小、形状完全相同的直角三角形就可以拼接得到一个“赵爽弦图”．组员小明自制了四个大小形状一样，且两直角边的边长分别为5和12的三角板拼成了一个“赵爽弦图”，则中间四边形的面积为______； 【问题探究】 兴趣小组组员小红发现，通过旋转某个三角形得到一些美妙的结论：如图③，为正方形内一点，满足，将绕点顺时针旋转，得到． （1）连接，若点为的中点，则四边形为______（填形状）； 【问题解决】 （2）若的延长线交于点，连接，点分别为的中点，请仅就图④的情形解决下列问题： ①请判断和的数量关系，并说明理由； ②若，求的长． 【答案】阅读经典：①；动手操作：49；问题探究：（1）正方形；（2）①，②的长为3或4 【解析】 【分析】阅读经典：根据“赵爽弦图”是证明勾股定理的方法，直接得出答案； 动手操作：先根据正方形的边长为直角三角形较长直角边与较短直角边的差求得正方形边长为7，再运用正方形面积公式即可求得答案； 问题探究：（1）先证得、均为等腰直角三角形，再结合旋转的性质可证得四边形是矩形，由，即可证得四边形是正方形． （2）①连接，，延长、交于点，设交于，由正方形性质可得：，，，进而可得，再利用直角三角形性质即可得出； ②分两种情况：当点在上方时，当点在下方时，设，利用勾股定理建立方程求解即可得出答案． 【详解】阅读经典：“赵爽弦图”是证明勾股定理的方法， 故答案为：①． 动手操作：正方形的边长， ， 故答案为：49． 问题探究：（1）如图，点为正方形对角线的中点， 、均为等腰直角三角形， ，，， 由旋转得：，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 故答案为：正方形． （2）①， 直角三角形，， 由旋转得：，，， 四边形是正方形， ， 连接，，延长、交于点，设交于，如图， 四边形和是正方形， ，，， ， 即， ， ， ， ，， 点，分别为，的中点， ，， ； ②当点在上方时，如图， 设，则， ，， ，， 在中，， ， 解得：（舍去）或， ； 当点在下方时，如图， 设，则， ，， ，， 在中，， ， 解得：（舍去）或， ； 综上所述，的长为3或4． 【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质，直角三角形性质等，还考查了学生探究证明的能力，正确作出辅助线构造相似三角形是解本题的关键． 25. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和点（点在点的左侧），交轴于点． （1）求点A，，的坐标； （2）如图1，连接，点D在线段上运动，过点D作轴于点F，交抛物线于点E，连接，当的面积是的面积的时，求点D的坐标； （3）如图2，点G的坐标是，作直线，点H在y轴的负半轴上运动，连接BH交直线于点M，点N在该平面内运动，当以点，H，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点H的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的性质、二次函数与面积的综合、二次函数与特殊四边形的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键 （1）分别令进行求解即可; （2）先求出直线的解析式，然后设出点D、点E坐标，表示出，然后再根据的面积是的面积的求出，从而得到方法求解，进而完成解答； （3）先求出直线、的解析式，然后联立求得，即；再分三种情况解答即可． 【小问1详解】 解：当有，整理得：，解得：或 所以; 当有， ∴． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 则有，解得：， ∴， 设D点坐标为,， ， ∵， ∴、的边上的高相等， ∵的面积是的面积的， ∴, ∴，解得：或6， ∴D点的坐标为或． 【小问3详解】 解：∵， 设直线的解析式为，则有：，解得：，即， 设，则， 设直线的解析式为， 则有，解得：，即， 联立可得：，解得：， ∴， ∴， ∴； ①当均为边时，则， ∴，即，化简得：，解得：或16（正值舍去）； ∴； ②当为边时，为对角线时，由对角线相互垂直平分可得：, ∴，解得：或18（正值舍去）， ∴； ③当为对角线，为边时，, ∴， ∴，整理得：，解得：． 综上，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$