2.2.2 直线的两点式方程、2.2.3 直线的一般式方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

人教A版 数学 选择性必修第一册 第二章　直线和圆的方程 2.2.2　直线的两点式方程 2.2.3　直线的一般式方程 自主预习 新知导学 一、直线的两点式方程 1.直线的两点式方程 2.在P1(x1,y1),P2(x2,y2)中,如果x1=x2或y1=y2,那么直线P1P2没有两点式方程.当x1=x2时,直线P1P2垂直于x轴,直线方程为x-x1=0,即x=x1;当y1=y2时,直线P1P2垂直于y轴,直线方程为y-y1=0,即y=y1. 3.过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是(　　) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.x-y+1=0 D.x-y-1=0 答案:D 二、直线的截距式方程 1.直线的截距式方程 2.过P1(2,0),P2(0,3)两点的直线方程是(　　) 答案:C 三、直线的一般式方程 1.我们把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 2.做一做:过点A(-1,2),斜率为2的直线的一般式方程为　　　　　　　.  答案:2x-y+4=0 合作探究 释疑解惑 探究一 直线的两点式方程 【例1】 三角形的三个顶点是A(-1,0),B(3,-1),C(1,3),求三角形边AB、边BC所在直线的方程. 分析:已知直线上两个点的坐标,可以利用两点式写出直线的方程. 探究一 探究二 探究三 探究四 本题条件不变,求边AB上的中线CD所在直线的方程. 由于C,D两点横坐标相同,所以CD所在直线的方程为x=1. 反思感悟 用两点式方程写出直线的方程时,要特别注意:当横坐标相等或纵坐标相等时,不能用两点式. 探究一 探究二 探究三 探究四 【变式训练1】 求经过下列两点的直线方程. (1)A(3,1),B(4,0); (2)A(2,1),B(3,1); (3)A(2,1),B(2,-1). (2)由于A,B两点的纵坐标相等,故直线垂直于y轴,所求直线的方程为y=1. (3)由于A,B两点的横坐标相等,故直线垂直于x轴,所求直线的方程为x=2. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二 直线的截距式方程 【例2】 直线l经过点P(-6,3),且它在x轴上的截距是它在y轴上截距的3倍,求直线l的方程. 分析:设直线l在y轴上的截距为b,则在x轴上的截距为3b.因为截距可正、可负、可为零,所以应分b=0和b≠0两种情况解答. 解:①当直线在y轴上的截距为零时,直线过原点,可设直线l的方程为y=kx. ∵直线l过点P(-6,3), 探究一 探究二 探究三 探究四 ②当直线在y轴上的截距不为零时, 综上所述,所求直线l的方程为x+2y=0或x+3y-3=0. 反思感悟 当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时,若采用截距式求直线方程,则一定要注意考虑“零截距”的情况. 探究一 探究二 探究三 探究四 【变式训练2】 已知直线l经过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为　　　　　　　　　　　　　　　.  解析:设直线l在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距也为a. ①若a=0,则直线l过原点,此时直线l的方程为2x+3y=0; 所以直线l的方程为x+y=1,即x+y-1=0. 综上可知,直线l的方程为x+y-1=0或2x+3y=0. 答案:x+y-1=0或2x+3y=0 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 直线的一般式方程 【例3】 根据下列条件,写出直线的方程,并把它化为一般式. (1)斜率是 ,且经过点A(5,3); (2)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (3)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1. 分析:根据条件,选择恰当的直线方程的形式,最后化成一般式方程. 探究一 探究二 探究三 探究四 反思感悟 利用直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式求解直线的方程时,一定要注意每种方程形式的适用范围,要注意对斜率是否存在,截距是否为0进行分类讨论,最后将方程转化为一般式. 探究一 探究二 探究三 探究四 【变式训练3】 (1)求经过点(1,2),且与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程; (2)求经过点A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程. 解:(1)(方法一)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k. (方法二)设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方程为3x+4y+m=0. ∵直线l经过点(1,2), ∴3×1+4×2+m=0,解得m=-11.∴直线l的方程为3x+4y-11=0. 探究一 探究二 探究三 探究四 (2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k. ∵直线l与直线2x+y-10=0垂直, 探究一 探究二 探究三 探究四 探究四 直线的平行与垂直问题 【例4】 (1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求m的值; (2)当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直? 解:(1)(方法一)直线l1:2x+(m+1)y+4=0, l2:mx+3y-2=0. 当m=0时,显然l1与l2不平行. 解得m=2或m=-3.∴m的值为2或-3. 探究一 探究二 探究三 探究四 (方法二)当m=-1时,直线l1:x=-2,l2:x-3y+2=0,l1不平行于l2. 解得m=2或m=-3. ∴m的值为2或-3. 探究一 探究二 探究三 探究四 (2)当1-a=0,即a=1时,直线l1:3x-1=0与直线l2:5y+2=0,显然垂直; 综上可知,当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2. 探究一 探究二 探究三 探究四 反思感悟 1.一般式下,两直线位置关系的判定如下: 设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0), (4)l1与l2相交⇔A1B2-A2B1≠0. 2.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C),与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+n=0. 探究一 探究二 探究三 探究四 【变式训练4】 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)若l1⊥l2,求a的值; (2)在(1)的条件下,若直线l3经过点A(1,-3),且l3∥l2,求直线l3的方程. 探究一 探究二 探究三 探究四 ∵l3经过点A(1,-3), ∴3×1-(-3)+m=0,解得m=-6. ∴直线l3的方程为3x-y-6=0. 探究一 探究二 探究三 探究四 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两 点 式 P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2 斜率存在,且不为0的直线 解析:由两点式可得,过A,B两点的直线方程为,即x-y-1=0. 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 截 距 式 在x轴、y轴上的截距分别为a,b,且a≠0,b≠0 =1 斜率存在且不为0,不过原点的直线 A.=0 B.=0 C.=1 D.=1 解析:由截距式,得所求直线的方程为=1. 解:由两点式,得边AB所在直线的方程为,整理得x+4y+1=0. 同理,边BC所在直线的方程为,整理得2x+y-5=0. 解:由中点坐标公式,得边AB的中点D的坐标为, 即D, 解:(1)由两点式可得直线方程为,整理得x+y-4=0. ∴3=-6k,解得k=-. ∴直线l的方程为y=-x,即x+2y=0. 由题意可设直线l的方程为=1. ∵直线l过点P(-6,3),∴=1,解得b=1. ∴直线l的方程为+y=1,即x+3y-3=0. ②若a≠0,则直线l的方程为=1, 由直线l过点(3,-2),得=1,解得a=1, 解:(1)由点斜式方程,得y-3=(x-5),整理得x-y+3-5=0. (2)由两点式方程,得,整理得2x+y-3=0. (3)由截距式方程,得=1,整理得x+3y+3=0. ∵直线l与直线3x+4y+1=0平行,∴k=-. 又直线l经过点(1,2), ∴直线l的方程为y-2=-(x-1),整理得3x+4y-11=0. ∴k·(-2)=-1,解得k=. 又直线l经过点A(2,1), ∴直线l的方程为y-1=(x-2),即x-2y=0. 当m≠0时,∵l1∥l2,∴. 当m≠-1时,直线l1:y=-x-,l2:y=-x+. ∵l1∥l2,∴-=-,且-. 当2a+3=0,即a=-时,直线l1:x+5y-2=0与直线l2:5x-4=0不垂直; 当1-a≠0,且2a+3≠0时,直线l1,l2的斜率k1,k2都存在,k1=-,k2=-. 若l1⊥l2,则k1k2=-1,即=-1,解得a=-1. 则(1)l1∥l2⇔ (2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0; (3)l1与l2重合⇔ 解:(1)当a≠1时,直线l1:y=-x-3,l2:y=-a-1. 若l1⊥l2,则-=-1,解得a=. 当a=1时,直线l1:x+2y+6=0与l2:x=0,显然不垂直. 所以若l1⊥l2,则a的值为. (2)由(1)知,直线l2:3x-y-=0. ∵l3∥l2,∴可设直线l3的方程为3x-y+m=0, $$