4.1 成对数据的统计相关性 同步练习-2024-2025学年高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

4.1　成对数据的统计相关性 A级 必备知识基础练 1.对两个变量y与x进行相关性研究,分别选择不同的模型,它们的相关系数rxy如下,其中拟合效果最好的模型是(　　) ①模型Ⅰ的相关系数rxy为-0.90; ②模型Ⅱ的相关系数rxy为0.80; ③模型Ⅲ的相关系数rxy为-0.50; ④模型Ⅳ的相关系数rxy为0.25. A.Ⅰ B.Ⅱ C.Ⅲ D.Ⅳ 2.观察下列散点图,其中两个变量的相关关系判断正确的是(　　) A.a为正相关,b为负相关,c为不相关 B.a为负相关,b为不相关,c为正相关 C.a为负相关,b为正相关,c为不相关 D.a为正相关,b为不相关,c为负相关 3.对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数的比较,正确的是(　　) A.r2<r4<r1<r3 B.r2<r4<r3<r1 C.r4<r2<r1<r3 D.r4<r2<r3<r1 4.如图是相关变量x,y的散点图,现对这两个变量进行线性相关分析,方案一,根据图中所有数据,得到相关系数为r1;方案二,剔除点(10,21),根据剩下数据得到相关系数为r2,则(　　) A.0<r1<r2<1 B.0<r2<r1<1 C.-1<r1<r2<0 D.-1<r2<r1<0 5.在一次试验中,测得(x,y)的四组值分别为(1,2),(2,0),(4,-4),(-1,6),则y与x的相关系数为(　　) A. B.-1 C.0 D.- 6.[2024天津高三期末]为实现中华民族伟大复兴,全国各行各业掀起了“学习强国”的高潮.某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块,他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数如下表: 天数x 1 2 3 4 5 6 7 一次最多答对题数y 12 15 16 18 21 24 27 参考数据:=4,=19,=140,=2 695,xiyi=600,≈2.45,相关系数r= = . 由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是　　　　　相关(填“正”或“负”),其相关系数r≈　　　　　(结果保留两位小数).  7.[2024陕西高三期中]人口结构的变化,能明显影响住房需求.当一个地区青壮年人口占比高,住房需求就会增加,而当一个地区老龄化严重,住房需求就会下降.某机构随机选取了某个地区的10个城市,统计了每个城市的老龄化率和空置率,得到如下表格. 城市 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 老龄化率/x 0.17 0.2 0.18 0.05 0.21 0.09 0.19 0.3 0.17 0.24 1.8 空置率/y 0.06 0.13 0.09 0.05 0.09 0.08 0.11 0.15 0.16 0.28 1.2 并计算得-10≈0.04,-10≈0.04,xiyi=0.241 3. (1)若老龄化率不低于20%,则该城市为超级老龄化城市,根据表中数据,估计该地区城市为超级老龄化城市的频率; (2)估计该地区城市的老龄化率x和空置率y的相关系数(结果精确到0.01). 参考公式:相关系数r=. B级 关键能力提升练 8.为比较相关变量的线性相关程度,5位同学各自研究一组数据,并计算各自数据的横纵坐标构成的两个向量夹角的余弦值,如下表所示: 同学 甲 乙 丙 丁 戊 夹角余弦值 0.45 -0.69 0.74 -0.98 0.82 由表可知(　　) A.乙研究的那组数据线性相关程度最低,戊研究的那组数据线性相关程度最高 B.甲研究的那组数据线性相关程度最低,丁研究的那组数据线性相关程度最高 C.乙研究的那组数据线性相关程度最低,丁研究的那组数据线性相关程度最高 D.甲研究的那组数据线性相关程度最低,丙研究的那组数据线性相关程度最高 9.(多选题)为了检验变量x与y的线性相关程度,由样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(x10,y10)求得两个变量的相关系数为rxy,则下列说法错误的是(　　) A.若所有样本点都在直线y=-2x+1上,则rxy=1 B.若所有样本点都在直线y=-2x+1上,则rxy=-1 C.若|rxy|越大,则变量x与y的线性相关程度越强 D.若|rxy|越小,则变量x与y的线性相关程度越强 10.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+2上,则n维空间的两向量(x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,yn)的夹角的余弦值为(　　) A.-1 B.0 C. D.1 11.(多选题)下面的各图中,散点图与相关系数r符合的是(　　) 12.对下面这组数据: x 1 2 3 4 10 11 y 1 3 3 5 1 11 计算相关系数,大概在0.5左右.对这组数据大部分点来说,x与y之间有很强的线性相关关系.是什么因素导致相关系数只有0.5左右? 13.一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验.测得的数据如下: 零件数x/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y/min 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 判断y与x是否具有线性相关关系,并说明理由. C级 学科素养创新练 14.如今我们的互联网生活日益丰富,除了可以很方便地网购外,网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.某市一调查机构针对该市市场占有率最高的甲、乙两家网络外卖企业(以下简称外卖甲、外卖乙)的经营情况进行了调查,调查结果如下表: 日期 1 2 3 4 5 外卖甲日接单量x/百单 5 2 9 8 11 外卖乙日接单量y/百单 2.2 2.3 10 5 15 (1)据统计表明y与x之间具有线性相关关系,请用样本相关系数rxy加以说明(若|rxy|>0.8,则可认为y与x有较强的线性相关关系); (2)试根据表格中这五天的日接单量情况,从平均值和方差角度说明这两家外卖企业的经营状况. 参考数据:(xi-)(yi-)=69.1,≈78. 参考答案 1.A　因为|r|越趋近于1,相关性越强,模型拟合效果越好,所以拟合效果最好的模型是Ⅰ.故选A. 2.D　图a各点散布在从左下角到右上角的区域内,是正相关;图b中各点分布不成带状,所以不相关;图c中各点分布在从左上角到右下角的区域内,是负相关.故选D. 3.B　由散点图可知①,③表示的正相关,且①中的点比第3个图中的点分布更为集中,故r1>r3>0; ②,④表示的负相关,且②中的点比④中的点分布更为集中,故r2,r4<0,且|r2|>|r4|,故r2<r4<0,综合可得r2<r4<r3<r1,故选B. 4.D　根据相关变量x,y的散点图知,变量x,y具有负线性相关关系,且点(10,21)是离群值.方案一中,没剔除离群值,线性相关性弱些,是负相关;方案二中,剔除离群值,线性相关性强些,也是负相关,所以相关系数-1<r2<r1<0.故选D. 5.B　因为过点(1,2),(2,0)的直线的斜率为k==-2,所以过点(1,2),(2,0)的直线的方程为y=-2(x-2),即y=4-2x,经检验点(4,-4),(-1,6)都在直线y=4-2x,所以y与x是函数关系,又因为y随x的增大而减小,所以y与x的相关系数为-1.故选B. 6.正　0.99　由表中数据得y随x的增大而增大,所以该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是正相关, r= =≈0.99. 7.解(1)由表中数据可知,调查的10个城市中,老龄化率不低于20%的有4个, 故估计该地区城市为超级老龄化城市的频率为=0.4. (2)=0.18,=0.12, 则r= ≈≈0.63. 故该地区城市的老龄化率x和空置率y的相关系数约为0.63. 8.B　由题意知|0.45|<|-0.69|<|0.74|<|0.82|<|-0.98|,又因为各自数据的横纵坐标构成的两个向量夹角的余弦值的绝对值越接近于1,数据的线性相关程度越高,余弦值的绝对值越接近于0,数据的线性相关程度越低,所以甲研究的那组数据线性相关程度最低,丁研究的那组数据线性相关程度最高.故选B. 9.AD　若所有样本点都在直线y=-2x+1上,且直线斜率为负数,则rxy=-1,故A说法错误,B说法正确;若|rxy|越大,则变量x与y的线性相关程度越强,故C说法正确,D说法错误.故选AD. 10.D　由题设知,所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+2上,∴这组样本数据有函数关系,故其相关系数为1,因此两向量同向共线,所以向量的夹角为0,其余弦值为1.故选D. 11.ACD　对于A,变量x,y组成的点在一条斜率小于0的直线上,所以相关系数r=-1,故A正确;对于B,变量x,y组成的点在一条斜率大于0的直线上,所以相关系数r=1,故B错误;对于C,变量x,y的散点图从左到右是向下的带状分布,所以相关系数-1<r<0,故C正确;对于D,变量x,y的散点图中,x,y之间的样本相关关系非常不明显,所以相关系数r最接近0,D正确.应选ACD. 12.解根据x,y作出散点图. 这组数据中共6对数据,第1,2,3,4,6对数据相关性很强,这几对数据对应的点几乎在一条直线附近,而第5对数据对应的点远远偏离这条直线,在计算相关系数时,对结果影响较大,从而得出相关系数大约为0.5. 13.解(1)列出下表. i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 yi 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 xiyi 620 1 360 2 250 3 240 4 450 5 700 7 140 8 640 10 350 12 200 =55,=91.7, =38 500,=87 777,xiyi=55 950, 因此r= = ≈0.999 8. 由于r≈0.999 8,因此x与y之间有很强的线性相关关系. 14.解由(xi-)(yi-)=69.1, ≈78, 得样本相关系数rxy=≈0.886>0.8. 所以可认为y与x之间有较强的线性相关关系. (2)根据表格中数据,得×(5+2+9+8+11)=7,×(2.2+2.3+10+5+15)=6.9, ×[(5-7)2+(2-7)2+(9-7)2+(8-7)2+(11-7)2]=10, ×[(2.2-6.9)2+(2.3-6.9)2+(10-6.9)2+(5-6.9)2+(15-6.9)2]=24.416, 从平均值看,甲的平均值大些,即甲的日平均接单量多些; 从方差看,甲的方差小些,即甲的日接单量波动性小些,故甲企业的经营状况更好. 学科网（北京）股份有限公司 $$