4.1 成对数据的统计相关性 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（湘教版）

4.1　成对数据的统计相关性 [课时跟踪检测] 1.下列两个变量中,成正相关的两个变量是 (　　) A.汽车自身的重量与行驶每公里的耗油量 B.正方形面积与边长 C.花费在体育活动上面的时间与期末考试数学成绩 D.期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分 解析:选A　一般情况下,汽车越重,则每公里耗油量越多,成正相关,故A正确;正方形的面积与边长是函数关系,故B错误;一般情况下,若花费在体育活动上面的时间越长,则期末考试数学成绩可能会降低,故不为正相关,故C错误;期末考试随机编排的准考证号与期末考试成绩总分没有相关关系,故D错误. 2.通过随机抽样,我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格(单位:百元)与该商品消费者年需求量(单位:千克)的散点图.若去掉图中右下方的点A后,则下列说法正确的是 (　　) A.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关 B.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变 C.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D.“每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 解析:选D　去掉图中右下方的点A后,根据图象,两个变量还是负相关,A错误;去掉图中右下方的点A后,相对来说数据会集中,相关程度会更高,但因为是负相关,相关系数会更接近-1,相关系数会变小,故D正确,B、C错误. 3.给定y与x的一组成对数据,求得相关系数rxy=-0.690,则 (　　) A.y与x不相关 B.y与x正相关 C.y与x负相关 D.以上都不对 解析:选C　因为rxy=-0.690<0,所以y与x负相关. 4.为考察两个变量x,y的相关性,搜集数据如表,则两个变量的线性相关程度 (　　) x 5 10 15 20 25 y 103 105 110 111 114 (参考数据:=1 375,=59 051,xiyi=8 285) A.很强 B.很弱 C.无相关 D.不确定 解析:选A　由题可得=×(5+10+15+20+25)=15,=×(103+105+110+111+114)=108.6, 则rxy= = ≈0.982 6,因为相关系数很接近于1,故两个变量的线性相关程度很强. 5.(5分)如图所示,有5组(x,y)数据的散点图,去掉　　　　　组数据后,剩下的4组数据的线性相关系数最大.  解析:因为A,B,C,E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线,D点离得远,即去掉D点剩下的4组数据的相关性最大,所以应该去掉D. 答案:D 6.(5分)在成对数据中,已知(xi-)2是(yi-)2的2倍,(xi-)(yi-)是(yi-)2的1.2倍,则这组数据的相关系数rxy≈　　　.(精确到0.001,≈1.414)  解析:由题意可知,(xi-)2=2(yi-)2,(xi-)(yi-)=1.2(yi-)2,相关系数rxy===≈≈0.849. 答案:0.849 7.(5分)已知某个样本点中的变量x,y线性相关,相关系数r<0,则在以(,)为坐标原点的坐标系下的散点图中,大多数的点都落在第　　　　象限.  解析:由r=<0, 则(xi-)(yi-)<0, 所以大多数点xi-与yi-异号, 又(,)为坐标原点, 故大多数的点都落在第二、四象限. 答案:二、四 8.(10分)在一次对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中,研究人员获得了多组成对数据如表. 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 脂肪 含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄/岁 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 含量/% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数.根据上述数据,你能推断出人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗? 解:用横轴表示年龄,纵轴表示脂肪含量,可将成对数据用直角坐标系中的点表示出来,得到相应的统计图如图所示,图中的点散布在从左下角到右上角的区域,大致在一条直线附近,推断脂肪含量变量和年龄变量之间存在着相关关系. 9.(10分)某企业坚持以市场需求为导向,合理配置生产资源,不断探索、改革销售模式.下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x(单位:件)与相应的生产总成本y(单位:万元)的五组对照数据: 产量x/件 1 2 3 4 5 生产总成本y/万元 3 7 8 10 12 试求y与x的相关系数,并利用相关系数说明y与x是否高度正相关.(结果保留两位小数) 参考公式:rxy=. 参考数据:≈10.7. 解:==3,==8, = =, = =, (xi-)(yi-)=(1-3)×(3-8)+(2-3)×(7-8)+(3-3)×(8-8)+(4-3)×(10-8)+(5-3)×(12-8)=21, 故相关系数rxy=≈0.98, ∵rxy≈0.98>0.8,∴y与x高度正相关. 10.(15分)我国风云系列卫星可以检测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x(单位:dm)与遥测雨量y(单位:dm)的关系,统计得到该地区10组雨量数据如下: 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人工测 雨量xi 5.38 7.99 6.37 6.71 7.53 5.53 4.18 4.04 6.02 4.23 遥测 雨量yi 5.43 8.07 6.57 6.14 7.95 5.56 4.27 4.15 6.04 4.49 |xi-yi| 0.05 0.08 0.2 0.57 0.42 0.03 0.09 0.11 0.02 0.26 并计算得≈353.6,≈361.7,xiyi≈357.3,≈33.62,≈34.42, ≈34.02. (1)求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的相关系数(精确到0.01),并判断它们是否具有较强的线性相关关系(若|r|≥0.75,则认为两个变量有较强的线性相关关系);(5分) (2)规定:数组(xi,yi)满足|xi-yi|<0.1为“Ⅰ类误差”,满足0.1≤|xi-yi|<0.3为“Ⅱ类误差”,满足|xi-yi|≥0.3为“Ⅲ类误差”.为进一步研究,该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比,记抽到“Ⅰ类误差” 的数据的组数为X,求X的分布列与数学期望.(10分) 附:≈17.4. 解:(1)因为r= ≈ = ≈0.98>0.75.所以该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x有很强的线性相关关系. (2)10组数据中,“Ⅰ类误差”有5组,“Ⅱ类误差”有3组,“Ⅲ类误差”有2组,由题意,X的所有可能取值为0,1,2,3, 则P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)===, P(X=3)===. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望E(X)=1×+2×+3×=. 学科网（北京）股份有限公司 $