专题06 正多边形与圆重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题06 正多边形与圆重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 求正多边形的中心角 题型二 求正多边形的边数 题型三 根据正多边形与圆的关系求角度 题型四 根据正多边形与圆的关系求周长 题型五 根据正多边形与圆的关系求面积 题型六 根据正多边形与圆的关系求边心距 题型七 正多边形与圆中的最值 题型八 尺规作图—正多边形 题型九 正多边形与圆中的规律性问题 题型十 多边形与圆中的证明 题型十一 正多边形与圆的综合 知识点一、正多边形与圆 （一）正多边形及有关概念 （1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。 （2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。 （4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。 （5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。 （6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 （二）正多边形的有关计算 （1）正边形的每个内角都等于 （2）正边形的每个中心角都等于 （3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示， 设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形 的周长面积 【经典例题一 求正多边形的中心角】 【例1】（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·安徽合肥·二模）如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，A、B、C、D为一个外角为的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则 ．      3．（2023·山西太原·二模）如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的度数． 【经典例题二 求正多边形的边数】 【例2】（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 2．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．    3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正外接圆的半径为，求正的边长，边心距，周长和面积． 【经典例题三 根据正多边形与圆的关系求角度】 【例3】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，正五边形内接于，为上一点（点与点、不重合），连接、，，垂足为，的度数为（   ）      A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，正六边形的边，与相切于点，，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 25．（2024学年上海市黄浦区三校联考3月自适应性练习数学试题）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点A，重合），求的度数． 【经典例题四 根据正多边形与圆的关系求周长】 【例4】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 8．（2024·云南昆明·三模）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，如果这个正六边形的周长是，则这个正六边形的外接圆半径是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·甘肃陇南·三模）如图，一个蜜蜂的蜂巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的周长为 cm． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于________． 【经典例题五 根据正多边形与圆的关系求面积】 【例5】（2024·河北唐山·二模）如图，正六边形中，M、N分别为边BC、EF上的动点，则空白部分面积和阴影部分面积的比值为（    ） A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1 1．（2024·广西梧州·一模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积，来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东济南·模拟预测）如图，的内接正六边形的边心距为，分别以、、为圆心，正六边形的半径画弧，则图中阴影部分的面积是 ． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图， 的半径为，正六边形内接于．求： (1)圆心O到的距离； (2)正六边形的面积． 【经典例题六 根据正多边形与圆的关系求边心距】 【例6】（23-24九年级上·云南德宏·期末）如图，正六边形内接于，的半径为6，则边心距的长为（    ） A． B． C．3 D． 1．（2023·上海·一模）下列说法正确的是（    ） A．三个点确定一个圆 B．当半径大于点到圆心的距离时，点在圆外 C．圆心角相等，它们所对的弧相等 D．边长为R的正六边形的边心距等于 2．（2023九年级上·浙江·专题练习）如图，正六边形内接于，过点O作于点M，若的半径为4，则边心距的长为 ． 3．（2022九年级上·全国·专题练习）如图所示，正的外接圆的圆心为O，半径为2，求的边长a，周长P，边心距r，面积S． 【经典例题七 正多边形与圆中的最值】 【例7】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A，C重合），下列结论：①；②当最长时，；③；④当，时，；⑤当时，四边形最大面积是．其中一定正确的结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（2022·河北保定·一模）2019年版一元硬币的直径约为22.25mm，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最大不能超过（　　） A．11.125mm B．22.25mm C．mm D．mm 2．（2020·贵州遵义·三模）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为 ．    3．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长； （4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值． 【经典例题八 尺规作图—正多边形】 【例8】（2020·河北沧州·二模）如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 1．（21-22九年级下·全国·课后作业）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 2．（2022·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ． 3．（2024·江苏无锡·一模）尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【经典例题九 正多边形与圆中的规律性问题】 【例9】（20-21九年级上·北京·单元测试）先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 1．（2018·广西防城港·一模）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A11B11C11D11E11F11的边长为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖南湘西·期中）如图1，图2，图3⋯，M、N分别是的内接正三角形，正方形，正五边形，…的边上的点，且，连接，图1中，图2中，图3中…，根据这样的规律，图n中的度数是 ． 3．（22-23九年级下·浙江台州·期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 【经典例题十 多边形与圆中的证明】 【例10】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图，点P是正六边形内部一个动点，，则点P到这个正六边形六条边的距离之和为（　　）． A．18 B． C．9 D． 1．（23-24九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北石家庄·三模）将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放． （1） ； （2）已知点在边上，则的最大值为 ． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证： (1)； (2)． 【经典例题十一 正多边形与圆的综合】 【例11】（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在边长为4的正五边形中，按以下步骤作图：①连接；②以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，③分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F；④作射线交线段于点G；⑤连接；则四边形的周长为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 1．（2024·山东德州·二模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”蕴含了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（   ） A． B．3 C． D．3.14 2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在圆内接正六边形中，，分别交于点，，若该圆的半径为12，则线段的长为 ． 3．（2024·江苏苏州·一模）古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 1．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，正方形与等边内接于，，则等于（　　） A． B． C． D． 2．（2024·山东聊城·三模）如图，在中，点C为上的点，．若，且是的内接正n边形的一边，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 3．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，正六边形与正三角形共顶点，若三角形的边长为，则这个六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 4、（2024·福建厦门·二模）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·安徽合肥·二模）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东东莞·三模）如图，点是正五边形的中心，连接、、，则的度数为 °． 7．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在圆内接正六边形中，，分别交于点，，若该圆的半径为12，则线段的长为 ． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正六边形内接于，对角线交于点，已知的半径为，则的长为 ．    9．（2024·河北石家庄·三模）将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放． （1） ； （2）已知点在边上，则的最大值为 ． 10．（2024·江苏南京·三模）如图，表示中去掉内接正三角形部分的面积，表示中去掉内接正六边形部分的面积，和的半径均为，则 ．（填“、或”） 11．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）如图，为正五边形，以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，两弧相交于点，连接，求的度数． 12．（22-23八年级上·山东青岛·期中）在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合（0°＜旋转角度＜360°），那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角． 例如：如图，正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°． (1)判断下列说法的对错（在相应的括号内填上“对”或“错”）． ①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（        ） ② 矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．   （        ） (2)填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是 ．（写出所有正确结论的序号）：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形 ． (3)写出一个满足下述条件的多边形：是旋转对称图形，有一个旋转角为72°，并且是轴对称图形，但不是中心对称图形： ； 写出一个满足下述条件的多边形：是旋转对称图形，有一个旋转角为72°，并且是轴对称图形，又是中心对称图形： ． 13．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 14．（2024·江苏苏州·一模）古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 15．（2024·河北石家庄·一模）如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6． (1)求的度数； (2)求线段的长； (3)若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 正多边形与圆重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 求正多边形的中心角 题型二 求正多边形的边数 题型三 根据正多边形与圆的关系求角度 题型四 根据正多边形与圆的关系求周长 题型五 根据正多边形与圆的关系求面积 题型六 根据正多边形与圆的关系求边心距 题型七 正多边形与圆中的最值 题型八 尺规作图—正多边形 题型九 正多边形与圆中的规律性问题 题型十 多边形与圆中的证明 题型十一 正多边形与圆的综合 知识点一、正多边形与圆 （一）正多边形及有关概念 （1）正多边形：各边相等，各角也相等的我边形叫作正多边形。 （2）正多边形的画法：把圆等分（），顺次连接各等分点，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心。 （4）正多边形的半径：外接圆的半径叫作正多形的半径。 （5）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角。 （6）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。 （二）正多边形的有关计算 （1）正边形的每个内角都等于 （2）正边形的每个中心角都等于 （3）正边形的其他计算都可以转化到由半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形中进行，如图所示， 设正边形的半径为一边，边心距，则有正边形 的周长面积 【经典例题一 求正多边形的中心角】 【例1】（2024·湖北宜昌·模拟预测）已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程求得边数，即可求得中心角的度数． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴这个正n边形的中心角为， 故选：D． 1．（2024·安徽合肥·二模）如图，正方形内接于，点E在上连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，易得：，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：连接，则： ∴， ∵正方形内接于， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，A、B、C、D为一个外角为的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则 ．      【答案】/30度 【分析】本题主要考查正多边形的外角，正多边形的中心角，等边对等角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角都相等即可求出多边形的边数，再根据正多边形的中心角的概念求出的度数，再由正多边形的半径，根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接、，    正多边形的每个外角相等，且其和为， 据此可得多边形的边数为：， ， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 3．（2023·山西太原·二模）如图，正方形内接于，连接，点F是的中点，过点D作的切线与的延长线相交于点G． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的度数． 【答案】(1),理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，可得，根据切线的定义可得，即可得出结论． （2）根据正方形的性质可得，，，则．根据点F是的中点，可得．最后根据平行线的性质可得． 【详解】（1）解：． 理由：如图，连接， ∵正方形内接于， ∴． ∵与相切于点D， ∴，即． ∴， ∴． （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵点F是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的内接正多边形，平行线的判定和性质，圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接正多边形的中心角，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，以及平行线的判定和性质． 【经典例题二 求正多边形的边数】 【例2】（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论，熟练掌握圆周角定理的应用及正确理解正多边形与圆的关系是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：． 1．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 2．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则 ．    【答案】/十五 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，求出的度数，利用360度除以的度数即可得出结果． 【详解】解：连接，    ∵是的内接正六边形的一边， ∴， ∵是的内接正十边形的一边， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正外接圆的半径为，求正的边长，边心距，周长和面积． 【答案】边心距，边长为，周长是，面积是． 【分析】连接，延长交于D，根据等边三角形性质得出，，进而求得；再根据勾股定理求出，即可求出，进而求得周长和面积． 【详解】解：如图：连接，延长交于D， ∵正外接圆是， ∴， ∴边心距， 由勾股定理得：， ∴三角形边长为，， ∴的周长是； 的面积是． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的外接圆、三角形的面积等知识点，正确作辅助线后求出的长是解题的关键． 【经典例题三 根据正多边形与圆的关系求角度】 【例3】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，正五边形内接于，为上一点（点与点、不重合），连接、，，垂足为，的度数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的性质，圆周角定理等知识，连接．求出正五边形的中心角，再利用圆周角定理可得结论． 【详解】解：连接．      在正五边形中，， ， ， ， 故选：B． 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，正六边形的边，与相切于点，，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案． 【详解】解：正六边形的边，与相切于点，， ， 六边形是正六边形， ， 在五边形中， ， 故选：． 25．（2024学年上海市黄浦区三校联考3月自适应性练习数学试题）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键． 连接，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵多边形是正六边形， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正八边形内接于，为弧上的一点（点不与点A，重合），求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形和圆、圆周角定理的应用，连接、、，根据正多边形和圆的知识求出正八边形的中心角的度数，根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图，连接、、， ∵八边形是正八边形， ∴， ∴， ∴． 【经典例题四 根据正多边形与圆的关系求周长】 【例4】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是正六边形的外接圆，若的半径为6，则四边形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，矩形，掌握正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．根据正六边形的性质，矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，即可． 【详解】解：如图，连接，，，过点作于点，则， 点是正六边形的中心， ， ， 是正三角形， ， 在中，，， ， ， 四边形的周长是， 故选：C 8．（2024·云南昆明·三模）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，如果这个正六边形的周长是，则这个正六边形的外接圆半径是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；连接，相交于点，根据题意得出是等边三角形是解题关键．由正六边形的性质证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，即可解题． 【详解】解：连接，相交于点，    由正多边形性质可知，， 为等边三角形， 正六边形的周长是， ， ． 这个正六边形的外接圆半径是． 故选：C． 2．（2024·甘肃陇南·三模）如图，一个蜜蜂的蜂巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为，则正六边形的周长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆的性质和等边三角形的判定与性质，连接与交于点，证明为等边三角形，从而，即可得到答案，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键． 【详解】如图，连接与交于点， ∵为正六边形， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， 即正六边形的边长为， ∴正六边形的周长为， 故答案为：． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于________． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查切线的判定，圆内接正六边形的性质，掌握切线的判定方法是正确解答的前提． （1）根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理计算出即可； （2）得出以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，再求出的长即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 即， 又是半径， 是的切线； （2）解：， 以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ， 以为边的圆内接正六边形的周长为． 故答案为：18． 【经典例题五 根据正多边形与圆的关系求面积】 【例5】（2024·河北唐山·二模）如图，正六边形中，M、N分别为边BC、EF上的动点，则空白部分面积和阴影部分面积的比值为（    ） A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1 【答案】A 【分析】此题考查的是正多边形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 连接，由正六边形的性质可得，然后利用面积公式可得答案． 【详解】解：连接，由正六边形的性质可知，，，， ∴， ， 同理 空白部分面积和阴影部分面积的比值为：． 故选：A． 1．（2024·广西梧州·一模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术注》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积，来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆，正确求出正十二边形的面积是解题的关键，根据圆的面积公式得到的面积，求得圆的内接正十二边形的面积，即可得出结论． 【详解】的半径为1， 的面积， 圆的内接正十二边形的中心角为， 过点A作，如图所示： ， 圆的内接正十二边形的面积， ， 故选：B． 2．（2023·山东济南·模拟预测）如图，的内接正六边形的边心距为，分别以、、为圆心，正六边形的半径画弧，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，如图，连接，，作于点，由题意知，是等边三角形，则，，由勾股定理得，解得，则，根据计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，，作于点， 由题意知． ∵，， ∴是等边三角形 ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图， 的半径为，正六边形内接于．求： (1)圆心O到的距离； (2)正六边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点O作于点H，连结、，则可得，，在根据垂径定理和勾股定理即可求出的长； （2）由，，可得是等边三角形，先求出的面积，即可得正六边形的面积． 本题考查的是正多边形与圆、垂径定理，掌握正六边形的性质、垂径定理是解题的关键． 【详解】（1） 如图，过点O作于点H，连结、， 则，， ， 在中， ， ， ， 故圆心O到的距离为． （2），， 是等边三角形， ， ， ∴正六边形的面积为． 【经典例题六 根据正多边形与圆的关系求边心距】 【例6】（23-24九年级上·云南德宏·期末）如图，正六边形内接于，的半径为6，则边心距的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出是解决问题的关键． 【详解】解：解：连接、，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 1．（2023·上海·一模）下列说法正确的是（    ） A．三个点确定一个圆 B．当半径大于点到圆心的距离时，点在圆外 C．圆心角相等，它们所对的弧相等 D．边长为R的正六边形的边心距等于 【答案】D 【分析】分别根据确定圆的条件，点与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系及圆内接正六边形的性质对各选项进行逐一判断． 【详解】解：A、只有不在同一条直线上的三点才可以确定一个圆，原说法错误，不符合题意； B、当半径大于点到圆心的距离时，点在圆内，原说法错误，不符合题意； C、只有在同圆或等圆中圆心角相等，它们所对的弧相等，原说法错误，不符合题意； D、边长为R的正六边形的边心距等于，原说法正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是确定圆的条件，点与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系及圆内接正六边形的性质，熟练掌握以上知识是解答此题的关键． 2．（2023九年级上·浙江·专题练习）如图，正六边形内接于，过点O作于点M，若的半径为4，则边心距的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接．先证明是等边三角形，求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接． ∵六边形是正六边形， ， ∴是等边三角形， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 3．（2022九年级上·全国·专题练习）如图所示，正的外接圆的圆心为O，半径为2，求的边长a，周长P，边心距r，面积S． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形的面积， 作AD⊥BC于D，根据等边三角形性质得出，，求出，根据勾股定理求出，即可求出，的三倍即为周长，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：作于D． ∵是正三角形， ∴点O在上，， 在中，， ， ∴，． 又∵， ∴， ∴，，，． 【经典例题七 正多边形与圆中的最值】 【例7】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A，C重合），下列结论：①；②当最长时，；③；④当，时，；⑤当时，四边形最大面积是．其中一定正确的结论有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由是等边三角形，及同弧所对圆周角相等可得，即可判断①正确；根据最长时，为直径，可判定②正确；在上取一点E，使，可得是等边三角形，从而，有，可判断③正确；过点A作于点，根据直角三角形的性质以及勾股定理，即可判断④是错误的；把绕点逆时针转，使得与重合，点与点是对应点，因为，则，再结合②，即可作答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，故①正确； 因为当最长时，则为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 在上取一点E，使，如图： ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 由③知，则， 过点A作于点，如图所示： 在中，， 则， 因为 所以 在中，， ∵是等边三角形， ，故④是错误的； 把绕点逆时针转，使得与重合，点与点是对应点，如图所示： 因为， 所以是等边三角形， 易知 所以 则 要使四边形最大面积，则最大 此时为的直径 由②知， 则 所以 因为 所以在， 那么 则，故⑤是正确的； ∴正确的有①②③⑤，共4个， 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形及外接圆，涉及三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识内容，解题的关键是正确作辅助线，构造三角形全等解决问题． 1．（2022·河北保定·一模）2019年版一元硬币的直径约为22.25mm，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最大不能超过（　　） A．11.125mm B．22.25mm C．mm D．mm 【答案】C 【分析】根据正方形和圆的性质，可得出△AOD为等腰直角三角形及AC的长度，再根据等腰直角三角形的性质即可求出AD的长度． 【详解】解：画出图形，如图所示． ∵AC=BD=mm， ∴AO=OD=mm． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AC⊥BD， ∴△AOD为等腰直角三角形， ∴ mm． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形和圆以及等腰直角三角形的性质，根据正方形和圆的性质，确认△AOD为等腰直角三角形是解题的关键． 2．（2020·贵州遵义·三模）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为 ．    【答案】4． 【分析】连接BO并延长交AC于E，交于D，根据垂径定理得到点D到AC的距离最大，根据直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】连接BO并延长交AC于E，交于D，连接AD、CD，    ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC， ∴， ∴OE⊥AC，点D为的中点， 此时点D到AC的距离最大， ∴△ADC的面积最大，即以A、B、C、D为顶点的四边形的面积最大， 在Rt△BAD中，∠ABD＝30°， ∴AD＝BD＝2， 由勾股定理得，AB＝＝2， ∴以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积＝×2×2×2＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质，掌握垂径定理、等边三角形的性质是解题的关键． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长； （4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值． 【答案】（1）2（2）（3）（4） 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可； （4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，再将沿方向平移，使与重合，如图，得，由（2）可得：，当三点共线时，最短，再进一步解答即可. 【详解】解：如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； （4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接， ∴，， 再将沿方向平移，使与重合，如图，得， 由（2）可得：， ∴当三点共线时，最短， ∵，， ∴，， ∴； ∴的最小值为； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 【经典例题八 尺规作图—正多边形】 【例8】（2020·河北沧州·二模）如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【答案】D 【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等 【详解】甲： ∵BF是中垂线   ∴四边形OCDE是菱形    ∴△OCD, △OED都是等边三角形， 同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 乙： ∵AB=AO=BO=AF=OF ∴△OAB, △OAF都是等边三角形， 同理可得△OCD, △OED也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 故选D 【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等 1．（21-22九年级下·全国·课后作业）如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 2．（2022·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，O为格点，⊙经过格点A． （1）⊙的周长等于 ； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出⊙的内接等边，并简要说明点B，C的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 见解析 【分析】（1）利用勾股定理可得答案； （2）延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【详解】（1）∵⊙的半径为：， ∴⊙的周长， 故答案为： （2）如图： ∵， 又∵， ∴， ∴． ∵，   ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．   ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴． ∵， ∴， ∵过圆心, ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 故答案为：如图，延长交网格线于点D，取格点E，F，连接交网格线于点G，作直线交于点B，C，连接，，则即为所求． 【点睛】此题考查作图中的复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型． 3．（2024·江苏无锡·一模）尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求， （2）解：如图，点、即为所求， 【点睛】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键． 【经典例题九 正多边形与圆中的规律性问题】 【例9】（20-21九年级上·北京·单元测试）先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次计算出第一个，第二个，第三个正方形的边长，得到规律，即可求得． 【详解】解：由于圆内接正方形的边长与圆的半径的比为，内接正方形的内切圆的半径与正方形的边长的比为， 即这样做一次后，圆的内接正方形的边长为×=1； 做第二次后的正方形的边长为； 依次类推可得：第n个正方形的边长是（）n-1， 则做第7次后的圆的内接正方形的边长为． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆内接（外切）正方形的边长与圆的半径的关系，找到规律是解题的关键． 1．（2018·广西防城港·一模）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A11B11C11D11E11F11的边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：连接OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A11B11C11D11E11F11的边长=（）10×2，然后化简即可． 详解：连接OE1，OD1，OD2，如图， ∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形， ∴∠E1OD1=60°， ∴△E1OD1为等边三角形， ∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切， ∴OD2⊥E1D1， ∴OD2=E1D1=×2， ∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2， 同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2， 则正六边形A11B11C11D11E11F11的边长=（）10×2=． 故选A． 点睛：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径． 2．（23-24九年级上·湖南湘西·期中）如图1，图2，图3⋯，M、N分别是的内接正三角形，正方形，正五边形，…的边上的点，且，连接，图1中，图2中，图3中…，根据这样的规律，图n中的度数是 ． 【答案】 【分析】作多边形的半径，根据多边形的性质可证，得，再根据“等边对等角”得，于是可得，从而可证则，因此． 本题考查了正多边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边对等角、正多边形中心角等知识点，解题的关键综合运用这些性质解题． 【详解】不失一般性，设时的情形，可以推广到一般情况．连接，如下图 由正多边形的性质知： ∴ ∴ 由得： ∴ 即： 又∵ ∴ ∴ ∴ 即： ∵ ∴ 故答案为：． 3．（22-23九年级下·浙江台州·期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 【答案】(1) (2)， (3)随着n的增大，越来越接近于1，见解析 【分析】（1）根据“正圆度”的定义进行求解即可； （2）设正方形边长和正六边形的边长都为1，求出此情形下对应的内切圆半径，再根据“正圆度”的定义进行求解即可； （3）根据（1）（2）所求可知随着n的增大，越来越接近于1，再由张衡和祖冲之对圆周率的研究即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：假设正方形边长1， ∴此时正方形的内切圆半径为， ∴； 设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：，随着n的增大，越来越接近于1．由张衡、祖冲之的研究，精进的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长L也与对应的内切圆周长更接近，其比值更接近于1． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，正确理解题意是解题的关键． 【经典例题十 多边形与圆中的证明】 【例10】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图，点P是正六边形内部一个动点，，则点P到这个正六边形六条边的距离之和为（　　）． A．18 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】此题考查了正多边形的性质，根据正六边形的性质求出正六边形的“边心距”，再将问题转化为“边心距”的6倍即可．． 【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，过点O作，垂足为T， ∵正六边形， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， ∴， 过点P分别作正六边形的各条边的垂线，垂足分别为M、N、S、Q、G、H， 则点P到这个正六边形六条边的距离之和， 故选：B． 1．（23-24九年级上·河南郑州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握求正多边形中心角的方法，旋转的性质． 连接，根据正六边形的性质推出，进而得出，，则，再根据旋转的性质，依次得出前几次旋转的点A的对应点坐标，总结出一般变化规律，即可解答． 【详解】解：如图所示，连接， ∵该六边形为正六边形， ∴，， ∵轴，正六边形中心与原点O重合， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ 第1次旋转结束时，点A的坐标为； 第2次旋转结束时，点A的坐标为； 第3次旋转结束时，点A的坐标为； 第4次旋转结束时，点A的坐标为， ∵4次一个循环， ∴ 第2023次旋转结束时，点A的坐标为． 故选：A． 2．（2024·河北石家庄·三模）将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放． （1） ； （2）已知点在边上，则的最大值为 ． 【答案】 30 【分析】本题考查了正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）先求出正六边形的一个内角的度数，再结合等边对等角以及三角形内角和定理计算即可得出答案； （2）连接交于，连接，交于，则，当、重合时，点到线段的值最大，为，证明是等边三角形，得到，故，由含的直角三角形的性质得出，，从而求出，的长，最后由三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得：正六边形的一个内角为， ∴， 故答案为：； （2）如图，连接交于，连接，交于，则， ， ∴当、重合时，点到线段的值最大，为， 由正六边形的性质可得：， ∴是等边三角形， ∴，故， ∵， ∴，， ∴，， ∴的最大值为， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据圆心角的计算可得，，由此可得，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍可得，根据三角形内角和可得，根据正十边形的性质，内角和定理可得，由此可得，根据平行线的判定即可求解； （2）根据（1）的计算，可得，，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，则， ∵是内接正十边形的边长， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵内接正十边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正多边形与圆的综合，掌握正多形的性质，多边形内角和定理，圆心角的计算，等腰三角形的性质，同弧所对圆心角与圆周角的关系，平行线的判定等知识，图形结合分析是解题的关键． 【经典例题十一 正多边形与圆的综合】 【例11】（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在边长为4的正五边形中，按以下步骤作图：①连接；②以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，③分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F；④作射线交线段于点G；⑤连接；则四边形的周长为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】先求解正五边形的每一个内角为108度，再求解，证明，可得，同理可得，从而可得答案． 【详解】解：∵边长为4的正五边形， ∴， ， ∴， ∴， 由作图可得：， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形的周长为； 故选B 【点睛】本题考查的是作角平分线，等腰三角形的判定与性质，正五边形的性质，掌握正多边形的性质是解本题的关键． 1．（2024·山东德州·二模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”蕴含了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（   ） A． B．3 C． D．3.14 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解． 【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点， ，的半径为1， ， ， 故圆内接正十二边形的面积为：， 的面积为， ，即的估计值为． 故选：B． 2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在圆内接正六边形中，，分别交于点，，若该圆的半径为12，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形．熟练掌握圆内接正六边形的性质，等边三角形的判断和性质，含的直角三角形性质，是解题关键．含的直角三角形性质：三边是的关系． 连接、，根据圆内接正六边形的性质得到是等边三角形，得到，推出，，得到，得到，推出，，得到是等边三角形，即得． 【详解】连接、， ∵六边形是圆内接正六边形，圆的半径为12， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 3．（2024·江苏苏州·一模）古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）见解析 【分析】（1）设正方形、的中心为Q，连结、、、、、、、，可证得，得出，同理，可得； （2）由题意得，再由、、均为等腰直角三角形，即可求得答案； （3）由，，，可得，，即可求得答案； （4）连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 【详解】（1）解：如图设正方形、的中心为，连结、、、、、、、， 则、、、经过点，， ，， 四边形、是正方形， ， 是正八边形， ，， ， ， 同理， ， ； （2）正八边形的边长为2， ， 由（1）知：、、均为等腰直角三角形， ，， ； （3），理由如下： 由（2）知：，，， 可得，， ， ； （4）如图： 连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 1．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，正方形与等边内接于，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．由圆内接正多边形的性质证得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，，再根据三角形外角的性质及平行线的性质求得，即可求出． 【详解】解：连接，，， 正方形与等边内接于， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D 2．（2024·山东聊城·三模）如图，在中，点C为上的点，．若，且是的内接正n边形的一边，则n的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识，根据题意求出中心角的度数是解题的关键．根据求出，继而求出，再根据求出的度数，则由边数中心角得解． 【详解】解：连接，在优弧上取点D，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 3．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，正六边形与正三角形共顶点，若三角形的边长为，则这个六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，设交于点G，根据正六边形性质证明是等边三角形， 推出，，推出，得到,． 【详解】连接、，设交于点G， ∵正六边形中，，， ∴是等边三角形， ∴ ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正三角形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正多边形．熟练掌握正六边形性质，等边三角形的判断和性质，垂径定理，圆周角定理，含的直角三角形性质，是解决问题的关键． 4、（2024·福建厦门·二模）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解决问题的关键． 先由正多边形内角和定理求出，再根据圆内接四边形的性质即可求出． 【详解】解：正五边形内接于， ， 四边形是内接四边形， ， ， 故选：D． 5．（2024·安徽合肥·二模）如图，正五边形的外接圆为，点是劣弧上一点，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正五边形的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，根据正五边形的性质求出，再根据圆内接四边形的性质求出，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握正五边形和圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．（2024·广东东莞·三模）如图，点是正五边形的中心，连接、、，则的度数为 °． 【答案】18 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和是是正确解答的关键．根据正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， 点是正五边形的中心， ， 在中，，， ． 故答案为：18． 7．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在圆内接正六边形中，，分别交于点，，若该圆的半径为12，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形．熟练掌握圆内接正六边形的性质，等边三角形的判断和性质，含的直角三角形性质，是解题关键．含的直角三角形性质：三边是的关系． 连接、，根据圆内接正六边形的性质得到是等边三角形，得到，推出，，得到，得到，推出，，得到是等边三角形，即得． 【详解】连接、， ∵六边形是圆内接正六边形，圆的半径为12， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正六边形内接于，对角线交于点，已知的半径为，则的长为 ．    【答案】1 【分析】先由圆与内接正六边形性质得到是等边三角形，是线段的垂直平分线，从而确定，在中，由含的直角三角形性质、勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，连接并延长，交于，如图所示：    在正六边形中，对角线，且每一个内角均为， ， ，， ，则， 正六边形内接于， ，且，则是等边三角形， ， ， 是线段的垂直平分线，则，即， 在中，，，设，则，由勾股定理可得，解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆与多边形，涉及正多边形性质、圆的性质、等边三角形的判定与现在、垂直平分线的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆与多边形综合题型的解法是解决问题的关键． 9．（2024·河北石家庄·三模）将7个边长均为1的正六边形不重叠、无缝隙地按如图所示摆放． （1） ； （2）已知点在边上，则的最大值为 ． 【答案】 30 【分析】本题考查了正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质、含的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）先求出正六边形的一个内角的度数，再结合等边对等角以及三角形内角和定理计算即可得出答案； （2）连接交于，连接，交于，则，当、重合时，点到线段的值最大，为，证明是等边三角形，得到，故，由含的直角三角形的性质得出，，从而求出，的长，最后由三角形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得：正六边形的一个内角为， ∴， 故答案为：； （2）如图，连接交于，连接，交于，则， ， ∴当、重合时，点到线段的值最大，为， 由正六边形的性质可得：， ∴是等边三角形， ∴，故， ∵， ∴，， ∴，， ∴的最大值为， 故答案为：． 10．（2024·江苏南京·三模）如图，表示中去掉内接正三角形部分的面积，表示中去掉内接正六边形部分的面积，和的半径均为，则 ．（填“、或”） 【答案】 【分析】本题考查了圆的内接正多边形，分别求出、，再根据作差法即可求解，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作于，连接，过作于， 在图中，，，，， ∴，， ∴， ∴ ， 在图中，，， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）如图，为正五边形，以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，两弧相交于点，连接，求的度数． 【答案】 【分析】连接，如图所示，由正多边形性质，等边三角形的判定与性质得到，再由等腰三角形性质几何三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 为正五边形， ． 又为与的交点， ， ∴为等边三角形， ， ． 又， ， ． 【点睛】本题考查正多边形求角度，涉及正五边形性质、圆的基本性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理等知识，熟练掌握正多边形判定与性质，熟记求角度的方法是解决问题的关键． 12．（22-23八年级上·山东青岛·期中）在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合（0°＜旋转角度＜360°），那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角． 例如：如图，正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°． (1)判断下列说法的对错（在相应的括号内填上“对”或“错”）． ①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（        ） ② 矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．   （        ） (2)填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是 ．（写出所有正确结论的序号）：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形 ． (3)写出一个满足下述条件的多边形：是旋转对称图形，有一个旋转角为72°，并且是轴对称图形，但不是中心对称图形： ； 写出一个满足下述条件的多边形：是旋转对称图形，有一个旋转角为72°，并且是轴对称图形，又是中心对称图形： ． 【答案】(1)错，对； (2)①③ (3)正五边形；正十边形 【分析】本题考查了旋转对称图形的知识，注意掌握一个正n边形旋转后，可与自身重合． （1）根据题意旋转角的定义，即可作出判断； （2）正多边形的最小旋转角等于分别求出几种图形的旋转角，即可得出答案． （3）根据正多边形的最小旋转角等于进行计算即可． 【详解】（1）解：①等腰梯形旋转一定的角度后不能与自身重合（0°＜旋转角度＜360°），故不是旋转对称图形，所以①说法错误； ②长方形是中心对称图形，绕中心旋转旋转180°能与自身重合，故②说法正确， 故答案为：错，对； （2）①正三角形的最小旋转角为； ②正方形的最小旋转角为； ③正六边形的最小旋转角为； ④正八边形的最小旋转角为； 则有一个旋转角为120°的是①③． （3）正五边形最小旋转角为， 则正五边形是满足有一个旋转角为72°，是轴对称图形，但不是中心对称图形； 正十边形最小旋转角为，故有一个旋转角为72°，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 故答案为：正五边形；正十边形； 13．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键． （1）连接，得到是等边三角形，从而得到是正六边形的一边； （2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长． 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵， ∴是等边三角形， ， ∴是正六边形的一边； （2）解：如图所示， 用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形． 14．（2024·江苏苏州·一模）古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）见解析 【分析】（1）设正方形、的中心为Q，连结、、、、、、、，可证得，得出，同理，可得； （2）由题意得，再由、、均为等腰直角三角形，即可求得答案； （3）由，，，可得，，即可求得答案； （4）连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 【详解】（1）解：如图设正方形、的中心为，连结、、、、、、、， 则、、、经过点，， ，， 四边形、是正方形， ， 是正八边形， ，， ， ， 同理， ， ； （2）正八边形的边长为2， ， 由（1）知：、、均为等腰直角三角形， ，， ； （3），理由如下： 由（2）知：，，， 可得，， ， ； （4）如图： 连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 15．（2024·河北石家庄·一模）如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6． (1)求的度数； (2)求线段的长； (3)若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了圆内接正六边形，圆周角定理，切线性质，求三角形面积等知识点，熟练应用基本性质和定理是解题的关键． （1）连接，根据圆内接正六边形性质求出，进而由圆周角定理得出度数； （2）由切线性质得，在中，利用三角函数即可求解； （3）分别表达，再求和即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形为的内接正六边形， 是的直径，， ， ； （2）与相切，是的直径， ， 正六边形为的内接正六边形， ， 在中，， ； （3）正六边形为的内接正六边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$