第1章《特殊的平行四边形》 单元练习 2024--2025学年北师大版九年级数学上册

《特殊的平行四边形》 章末综合练习 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列各项中，矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对角相等 B．对边相等 C．邻边相等 D．对角线相等 2．如图所示，丽丽家有一个菱形中国结装饰，对角线AC，BD相交于点O，测得AB＝10cm，AC＝12cm，过点A作AH⊥BC于点H，则AH的长为（　　） A．9.6cm B．10.8cm C．12cm D．14cm 3．两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（　　） A．α﹣90° B．180°﹣α C．α﹣45° D．270°﹣α 4．已知四边形ABCD是平行四边形，若AC⊥BD，要使得四边形ABCD是正方形，则需要添加条件（　　） A．AB＝BC B．∠ABC＝90° C．∠ADB＝30° D．AC＝AB 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是（　　） A．4 B．2 C．5 D．4 6．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为6.4km，则M，C两点间的距离为（　　） A．0.9km B．1.3km C．3.2km D．12.8km 7．如图，矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（1，3），B（4，3），C（4，1）．若直线y＝x+b平分矩形ABCD的周长，则b的值为（　　） A． B．﹣1 C． D．2 8．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，已知BC＝1，CE＝7，点H是AF的中点，则CH的长是（　　） A． B．3.5 C．4 D．5 9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一点，N为EG的中点．若BG＝4，CG＝1，则线段MN的长度为（　　） A． B． C．2 D． 10．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BGF＝∠ADE；④FG的最小值为2，其中正确的结论的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长是 　 　． 12．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝12，点G是边AB上的一点，点P是BC边上的一个动点，连接DG，GP，点E，F分别是GD，GP的中点，在点P的运动过程中，EF的最大长度为 　 　． 13．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，连接AE，则∠BAE的度数为 　 　°． 14．已知正方形ABCD，E为射线DC上一点（点D除外），点F为点D关于AE的对称点，若△FCB是等腰三角形，则∠DFA的度数是 　 　． 15．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，E是BC边上的动点（E可以和B，C重合），连接DE，AE，过D点作AE的垂线交线段AB于点F，现以DF，DE为邻边构造平行四边形DFGE，连接BG，则BG的最小值是 　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝2，求菱形的周长． ． 17．如图，平行四边形ABCD，对角线BD的中点为O，过点O作EF垂直于BD交AD，BC于点E，F，连接BE，DF．求证：四边形EBFD是菱形． 18．如图，长方形ABCD的周长为40，△ABE和△CDF都是等腰直角三角形，且每个面积都是16，连接AF、DE、EC、FB．那么形成的阴影部分的面积是多少？ 19．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F． （1）求证：DE＝BF； （2）若AD＝BD，求证：四边形DEBF是矩形． 20．如图，在矩形ABCD中，E是边CD上一点，F是CB的延长线上一点，连结AE，AF，已知BF＝DE，AF⊥AE． （1）求证：四边形ABCD是正方形． （2）若∠DAE＝30°，DE＝1，求四边形AECB的面积． 21．如图，在菱形ABCD中，E是CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F． （1）求证：BC＝CF； （2）若AB＝2，AE⊥AB，求△ABF的面积． 22．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．过点D分别作DF⊥AB于点F，DE⊥BC于点E，且DE＝DF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠EDF＝60°，AB＝3，则四边形ABCD的面积为 　 　． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，过点A作AE∥BC，使AE＝BD． （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）取AB中点F，作GF⊥AB，交EB于点G，若AD＝8，BD＝4，求EG的长． 24．在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABC＝45°，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点N． （1）求∠CAM的度数； （2）①求证：BN＝2OC；②若AB＝4，求AN的长． 25．如图，在四边形ABCD中，点M、N分别在边CD、BC上．连接AM、AN． （1）如图1，四边形ABCD为正方形时，连结MN，且∠MAN＝45°， ①已知CM＝6，CN＝8，求MN的长； ②已知DM：CM＝3：2，求AB：BN的值； （2）如图2，四边形ABCD为矩形，∠AMD＝2∠BAN，点N为BC的中点，AN＝6，AM＝8，求AD的长． 答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-5．DABBC． 6-10．CADAC． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．52． 12．6.5． 13．67.5． 14．75°或60°或15°． 15．． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：∵E、F分别是AB、AD的中点，EF＝2， ∴BD＝2EF＝4， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝BC＝DC， ∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝BD＝4， ∴菱形的周长为4×4＝16． 17．证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠EDO＝∠OBF， ∵O是BD中点， ∴BO＝DO， ∵∠EOD＝∠BOF， ∴△DEO≌△BFO（ASA）， ∴ED＝BF， ∴四边形EBFD是平行四边形， 又∵EF⊥BD， ∴四边形EBFD是菱形． 18．解：连接EF并两端延长交AB、CD于点G、H． ∵等腰三角形ABE的面积为16， ∴AB2＝16×2． ∴AB2＝64． ∴AB＝8，GE＝FH＝4． ∴AD＝12，AD：EF＝12：4＝3：1． ∴设S△EOF＝S，则S△AOE＝S△DOE＝3S，S△AOD＝9S． ∴S梯形ADFE＝16S． 又长方形ABCD的面积为：8×12＝96， ∴梯形ADFE的面积为：（96﹣16×2）÷2＝32． ∴16S＝32． ∴S＝2． ∴阴影部分的面积为：8S＝16． 19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD， ∴∠EDB∠ADB，∠DBF∠CBD， ∴∠EDB＝∠DBF， ∴DE∥BF， 又∵AB∥CD， ∴四边形DEBF是平行四边形． ∴DE＝BF． （2）∵AD＝BD，DE平分∠ADB， ∴DE⊥AB， 又∵四边形DEBF是平行四边形， ∴四边形DEBF是矩形． 20．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠D＝∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴∠ABF＝∠D＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠BAF+∠BAE＝90°， ∴∠BAF＝∠DAE， 在△ABF和△ADE中， ， ∴△ABF≌△ADE（AAS）， ∴AB＝AD， ∴矩形ABCD为正方形； （2）解：在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，DE＝1， ∴AE＝2DE＝2， 由勾股定理得：AD， ∴S正方形ABCD＝AD2＝3，S△ADEAD•DE， ∴S四边形AECB＝S正方形ABCD﹣S△ADE． 21．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，BC＝AD， ∴∠D＝∠ECF，∠DAE＝∠F， ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴AD＝CF， ∴BC＝CF． （2）解：由（1）知BC＝CF， ∵BC＝AB＝2， ∴BF＝2BC＝4， ∵AE⊥AB， ∴∠BAF＝90°， ∴AF2， ∴△ABF的面积AB•AF＝2． 22．（1）证明：∵DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F， ∴∠CED＝∠AFD＝90°， ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C＝∠A， 在△CDE和△ADF中， ， ∴△CDE≌△ADF（AAS）， ∴CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝3，∠A+∠B＝180°， ∵DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F，∠EDF＝60°， ∴∠B＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°， ∴∠A＝60°，∠ADF＝30°， ∴AFAD， ∴DFAF， ∴S四边形ABCD＝AB•DF＝3． 故答案为：． 23．（1）证明：AE∥BC，AE＝BD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AB＝AC，D是BC中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴四边形AEBD是矩形； （2）解：连接AG， ∵F是AB的中点，GF⊥AB， ∴GA＝GB， ∵四边形AEBD是矩形，AD＝8，BD＝4， ∴EB＝AD＝8，EA＝BD＝4， 设EG＝x，则GB＝GA＝8﹣x， ∵四边形AEBD是矩形， ∴∠E＝90°， 在Rt△AEG中， ∵EA2+EG2＝AG2， ∴42+x2＝（8﹣x）2， ∴x＝3， 即EG＝3． 24．（1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠ABC＝45°， ∴， ∵AM⊥BC， ∴BM＝AM，∠BMN＝∠AMC＝90°，∠CAM＝90°﹣∠ACM＝90°﹣67.5°＝22.5°； （2）证明：①∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AC＝2OC，AB＝BC＝CD＝DA，∠OBC＝22.5°， ∴∠MAC＝∠OBC， 又∵BM＝AM，∠BMN＝∠AMC＝90°， ∴△BMN≌△AMC（AAS）， ∴BN＝AC＝2OC， ②解：过点N作NH⊥AB于点H，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD平分∠ABC， 又∵NH⊥AB，AM⊥BC， ∴NM＝NH， 设NM＝NH＝x， ∵∠ABC＝45°， ∴△ABM与△AHN均为等腰直角三角形， ∵NM＝NH＝x＝AH，AH2+HN2＝AN2，AB2＝AM2+BM2， ∴， ∴， 解得， ∴． 25．解：（1）①在正方ABCD中，∠C＝90°， 在Rt△CMN中，∠C＝90°，CM＝6，CN＝8， ∴， 即MN的长为10． ②如图，延长CB至点E，使BE＝DM，连接AE， 在正方形ABCD中，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD， 在△ABE和△ADM中， ， ∴△ABE≌△ADM（SAS）， ∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM， ∵∠MAN＝45°， ∴∠BAN+∠DAM＝45°， ∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝45°，即∠EAN＝∠MAN， 在△AEN和△AMN中， ， ∴△AEN≌△AMN（SAS）， ∴EN＝MN， ∵DM：CM＝3：2， 设DM＝3a，BN＝b，则CM＝2a，AB＝BC＝5a，MN＝EN＝3a+b． ∴CN＝BC﹣BN＝5a﹣b， 在Rt△CMN中，CN2+CM2＝MN2， ∴（5a﹣b）2+（2a）2＝（3a+b）2， ∴4a（5a﹣4b）＝0， ∵a≠0， ∴5a﹣4b＝0，即， ∴AB：BN的值为4． （2）如图，延长AN、DC交于点E． ∵AB∥DE， ∴∠E＝∠BAN， 在△CEN和△BAN中， ， ∴△CEN≌△BAN（AAS）， ∴EN＝AN， ∵∠AMD＝2∠BAN＝2∠E， ∠AMD＝∠E+∠MAE， ∴∠E＝∠MAE， ∴AM＝EM， ∵AN＝6，AM＝8， ∴EN＝AN＝6，EM＝AM＝8， 设DM＝x，则AD2＝AM2﹣DM2＝AE2﹣DE2， 即82﹣x2＝122﹣（x+8）2， 解得：x＝1， ∴。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$