精品解析：2023年广东省东莞中学初中部中考模拟数学试题

东莞中学初中部2022-2023学年第二学期初三第一次模拟数学试卷 一.选择题 1. 化简的结果为（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据去括号法则即可解答． 【详解】解：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了去括号法则，括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号． 2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图中的主视图定义，从前往后看，得到的平面图形即为主视图． 【详解】解：从正面看到的平面图形是3列小正方形，从左至右第1列有1个，第2列有2个，第3列有2个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了组合体的三视图，解题的关键是根据主视图的概念由立体图形得到相应的平面图形． 3. 2023年政府工作报告提出：确保粮食产量保持在130000000斤人上，将130000000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为的形式，其中 ，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 【详解】解：130000000这个数用科学记数法表示为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中 ，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用合并同类项法则可判定A，利用积的乘方法则与幂的乘方法则可判定B，利用同底数幂乘法法则可判定C，利用完全平方公式可判定D． 【详解】解：A. ，故选项A计算不正确； B. ，故选项B计算正确； C. ，故选项C计算不正确； D. ，故选项D计算不正确． 故选择B． 【点睛】本题考查同类项合并，积的乘方与幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式，掌握同类项合并，积的乘方与幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式是解题关键． 5. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的方砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（9块）的， ∴它最终停留在黑砖上的概率是． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 6. 如图，点、是线段上的两点，点是线段的中点．若，，则线段的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线段和的意义和线段中点的意义计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵D是线段的中点， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了线段和的意义和线段中点的意义，熟练掌握两个概念并灵活运用进行线段的计算是解题的关键． 7. 如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（ ） A. 5cm B. 10cm C. 20cm D. 5πcm 【答案】B 【解析】 【分析】圆锥的底面周长=扇形的弧长，据此列等式求出r的值． 【详解】解： ，解得r=10c． 故选：B． 【点睛】本题考查圆锥的有关计算． 8. 如图，在中，E是直径延长线上一点， 切于点，若，则的余弦值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查切线的性质定理、勾股定理等知识，根据勾股定理列出关系式是解题的关键．连接 ，由切线的性质得，则，由，得，所以，于是得，即可求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接 ， 切于点， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， ， ， ， ， 的余弦值为， 故选：B． 9. 如图，和都是等边三角形，点G在的延长线上，，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点G作GH⊥BE，垂足为点H，设BE＝2x，进而可表示出相关线段长，再根据CH＝CG列出方程求得x＝1，最后再根据可得，进而可求得AF的长． 【详解】解：过点G作GH⊥BE，垂足为点H， 设BE＝2x， ∵，， ∴CG＝10－2x，AG＝3x， ∴AC＝CG－AG＝10－5x， ∵和都是等边三角形， ∴BC＝AC＝10－5x，CD＝DE＝CE＝BC－BE＝10－7x，∠ABC＝∠DEC＝∠C＝60°， ∵GB＝GE，GH⊥BE， ∴BH＝HE＝x， ∴CH＝CE＋HE＝10－6x， ∵∠GHC＝90°，∠C＝60°， ∴∠HGC＝30°， ∴CH＝CG， ∴10－6x＝（10－2x）， 解得：x＝1， ∴AG＝3x＝3，CG＝10－2x＝8，CD＝DE＝10－7x＝3， ∴GD＝CG－CD＝5， ∵∠ABC＝∠DEC， ∴AB//DE， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，设BE＝2x，利用含30°的直角三角形的性质列出方程是解决本题的关键． 10. 如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，由旋转得AD=AC，可求出 ,由圆周角定理得得 ，由三角形外角的性质得 由垂径定理得EF=2，根据勾股定理得，根据求解即可． 【详解】解：如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F， 则， 由旋转得， ∴∠， ∵∠ ∴∠ ∴∠ ∴∠ 又∠ ∴∠ ∴∠ ∴ ∴ ∵ ∴∠ ∴∠ ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积等知识，求出扇形的半径和圆心角是解答本题的关键． 11. 如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形的弧长公式进行计算，即可求出母线的长度． 【详解】解：根据题意， 圆锥形烟囱帽的底面周长为：； ∵圆锥的侧面展开图为半圆形， ∴， ∴； ∴它的母线长为； 故选：D 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图，弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式进行计算． 12. 如图，抛物线（）的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为），下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口，对称轴，特殊值x=-1可判断①②正确，根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，可判断③错误，求出，，结合①②的结论即可判断出④正确． 【详解】∵抛物线的开口向下，a<0，对称轴为x=1， ∴， ∴， ∵抛物线交于y轴正半轴， ∴c>0， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴交于(-1,0)， ∴当x=-1时，， ∵， ∴将代入，得3a+c=0，故②正确； 根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，抛物线过点(-1,0)，对称轴为x=1， 根据抛物线的对称性可得，抛物线过点(3,0)， ∴y＞0时，有，故③错误； ∵抛物线与x轴的两个交点为：(-1,0)，(3,0)，对称轴为x=1， 当x=-2时，， 当x=2时，， ∵，3a+c=0，a<0， ∴，， ∴，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解决这类题需要掌握：a看抛物线开口方向，b往往看对称轴，c看抛物线与y轴的交点，以及抛物线的对称性以及代入特殊点等． 二、填空题 13. 若估算的值在整数n和之间，则n=______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小．先化简，然后用平方法估算的大小即可． 【详解】解：， 又 即， ， 又的值在整数n和（n＋1）之间， ． 故答案为：4． 14. 若2，3，6，这五个数据的方差是3，则4，5，8，这五个数据的方差是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立； 根据每个数据都加上一个数(或减去一个数)时，平均数也加或减这个数，方差不变，即可得出答案． 【详解】解：由题意知，数据4，5，8，这五个数据是将原数据分别加所得， 新数据的波动幅度与原数据一致， 这五个数据的方差是， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于、，与x轴交于点，与y轴交于点，若，则 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，结合了三角形相似，求出函数图象上任意一点的坐标即可求出的值，关键点在于作 轴于E，利用和，求出点的坐标即可求解，或者过点作轴，同理求出的坐标亦可． 【详解】解：∵， ∴ ，， 如图，作 轴于E， ， 则， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 将一副直角三角板如图放置，已知，， ，则________°． 【答案】105 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解． 【详解】， ， ， ∵∠E=60°， ∴∠F=30°， 故答案为：105 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键． 17. 如图，点A在反比例函数的图像上，过点A作轴于点B，C为x轴上的一点，连接，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，即可得到结果． 【详解】解：如图，连接， 轴， 轴， ． 故答案为：． 三、解答题 18. 计算：2sin45°－＋(2017－π)0＋()－1． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式化简、零指数幂、负整数指数幂分别计算各项，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解：原式=2×-3+1+3 = +1 【点睛】本题主要考查殊角的三角函数值、二次根式化简、零指数幂、负整数指数幂，掌握相关知识是解题的关键． 19. 先化简，再求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和除法进行运算，再利用提公因式和完全平方公式进行因式分解，再化简化式子，然后将代入化简后的式子后，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，在中，， ，为边的中点，过点作 交的延长线于点， 平分 交于点 ，为边上一点，连接 ，且．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明，如下： ∵， ， ∴， ∵ 平分 交于点 ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴， ∴． （2） 证明，如下： 延长 交于，连接， ∵ 平分 ， ， ∴ 是的垂直平分线， ∴ ， ， ∴， ∵ ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据题意，则 ，，等量代换，则，根据全等三角形的判定和性质，即可； （2）延长 交于，连接，根据题意，垂直平分线的性质，证明得到 是的垂直平分线，则 ， ，根据平行线的判定和性质，则，，根据，推出，根据全等三角形性质，则，得到，根据为边的中点，全等三角形的判定和性质，则，根据边的等量关系，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作一条直线分别交、的延长线于点、，连接、． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）若 ，垂足为，，求的值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，正切三角形函数的计算，掌握菱形的性质，相似三角形的性质，正切三角形函数的计算是解题的关键． （1）在菱形中，， ，，，可证，则有 ，由对角线相互平方的四边形是平行四边形即可求证； （2）设，可证，则，即，再证，即可求解． 【小问1详解】 证明：在菱形中，， ，， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴ ， 又∵， ∴四边形 是平行四边形． 【小问2详解】 解：如图所示， 设， ∵ ，，即， ∴， 又∵菱形，则对角线 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查共抽取了 名学生，两幅统计图中的m＝ ，n＝ ． （2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？ （3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率． 【答案】（1）200 ， ； （2）1224人； （3）. 【解析】 【分析】（1）用喜欢阅读“A”类图书的学生数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用喜欢阅读“B”类图书的学生数所占的百分比乘以调查的总人数得到m的值，然后用30除以调查的总人数可以得到n的值； （2）用3600乘以样本中喜欢阅读“A”类图书的学生数所占的百分比即可； （3）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出被选送的两名参赛者为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：（1） ， 所以本次调查共抽取了200名学生， ， ，即 ； （2） ， 所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1224人； （3）画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4， 所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 23. 如图，在中，，D是中点． （1）尺规作图：以为直径作，交于点E（保留作图痕迹，不需写作法）； （2）求证：是的切线； （3）若，，求O到 的距离． 【答案】（1） 如图所示． （2） 证明：连接 、 ， ∵为直径， ∴ ， ∵D为边中点， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴是的切线； （3）O到 的距离为． 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，垂足为O，以O为圆心，为半径作即可； （2）欲证明是切线，只要证明 即可； （3）证明是 的中位线，再证明，求出可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作于F， 由垂径定理得F是弦 的中点， ∴是 的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ∴O到 的距离为． 【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点． 24. 如图，是的直径，点和点在上，平分，过点作 所在直线的垂线，垂足为点， 交的延长线于点． （1）求证：与相切． （2）若，半径是，求 的长． 【答案】（1）证明见解析； （2） ． 【解析】 【分析】（1）结合等腰对等角及角平分线平分对角可推得，再根据平行线性质即可证明； （2）连接、 ，由圆内接四边形对角互补可得，证明即可根据相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 证明：连接 ，则， ， 平分， ， ， ， 交 的延长线于点， ，即， 是的半径， 与相切． 【小问2详解】 解：连接、 ， 的半径是，是的直径， ，， ，， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是证明某直线是圆的切线，利用弧、弦、圆心角的关系求证，半圆（直径）所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，用勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 25. 已知：平面坐标系内点和点，点到点的距离始终等于点到轴的距离． （1）请你求出点满足的函数关系式； （2）如果（）中求出的函数图象记为，是沿着水平方向平移得到的，若点在上，点 是平移后点的对应点，点是轴上的点．是否存在这样的点，使得以、 、、为顶点的四边形是有一个内角为且为菱形？若存在，请你求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，坐标为、，，． 【解析】 【分析】（）由题意得，轴，轴，利用勾股定理得再计算即可； （）过作轴，由菱形性质得，由直角三角形中度角所对直角边是斜边的一半得，求出，代入函数解析式计算即可． 【小问1详解】 如图，，轴，轴． 在中， ， ∴， ∴， ∴点满足的函数关系式为； 【小问2详解】 如图：过作轴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 根据对称性得或， 综上所述，坐标为，，，． 【点睛】本题考查了二次函数的动点问题，图象及性质和度角所对直角边是斜边的一半，菱形的性质和勾股定理，熟练掌握以上知识点的应用，画出函数图象，再分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞中学初中部2022-2023学年第二学期初三第一次模拟数学试卷 一.选择题 1. 化简的结果为（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2023年政府工作报告提出：确保粮食产量保持在130000000斤人上，将130000000这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点、是线段上的两点，点是线段的中点．若，，则线段的长等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（ ） A. 5cm B. 10cm C. 20cm D. 5πcm 8. 如图，在中，E是直径延长线上一点， 切于点，若，则的余弦值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，和都是等边三角形，点G在的延长线上，，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线（）的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为），下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 13. 若估算的值在整数n和之间，则n=______． 14. 若2，3，6，这五个数据的方差是3，则4，5，8，这五个数据的方差是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于、，与x轴交于点，与y轴交于点，若，则 __________________． 16. 将一副直角三角板如图放置，已知，， ，则________°． 17. 如图，点A在反比例函数的图像上，过点A作轴于点B，C为x轴上的一点，连接，，则的面积为______． 三、解答题 18. 计算：2sin45°－＋(2017－π)0＋()－1． 19. 先化简，再求值，其中． 20. 如图，在中，， ，为边的中点，过点作 交的延长线于点， 平分 交于点 ，为边上一点，连接 ，且．求证： （1）； （2）． 21. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作一条直线分别交、的延长线于点、，连接、． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）若 ，垂足为，，求的值． 22. 为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查共抽取了 名学生，两幅统计图中的m＝ ，n＝ ． （2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？ （3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率． 23. 如图，在中，，D是中点． （1）尺规作图：以为直径作，交于点E（保留作图痕迹，不需写作法）； （2）求证：是的切线； （3）若，，求O到 的距离． 24. 如图，是的直径，点和点在上，平分，过点作 所在直线的垂线，垂足为点， 交的延长线于点． （1）求证：与相切． （2）若，半径是，求 的长． 25. 已知：平面坐标系内点和点，点到点的距离始终等于点到轴的距离． （1）请你求出点满足的函数关系式； （2）如果（）中求出的函数图象记为 ，是 沿着水平方向平移得到的，若点在 上，点 是 平移后点的对应点，点是轴上的点．是否存在这样的点，使得以、 、、为顶点的四边形是有一个内角为且为菱形？若存在，请你求出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $