3.4 直线与圆的位置关系 第2课时 课件 -2024-2025学年青岛版九年级数学上册

3.4 直线与圆的位置关系 第2课时 （2）直线l 和⊙O相切 （3）直线l 和⊙O相交 d>r d=r d<r d o r l d o r l o d r l （1）直线l 和⊙O相离 圆和直线的位置关系 1．⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离为d,若直线l与 ⊙O没有公共点，则d为（　 ） A．d ＞3 B．d<3 C．d ≤3 D．d =3 2．圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线和⊙O的 位置关系是（　　） A．相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交 3.判断: 若直线和圆相切,则该直线和圆一定有一个公共点.( ) A C √ 3 www.1230.org 初中数学资源网 1．了解切线判定定理和性质定理，探索切线与切点、半径之间的关系. 2．能判定一条直线是否为圆的切线. 3．会过圆上一点画圆的切线. O l A 【探究】请在⊙O上任意取一点A，连接OA,过点A作直线 l⊥OA.思考一下问题： 1.圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系? 2.二者位置有什么关系？为什么？ 3.由此你发现了什么？ 发现： (1)直线 l 经过半径OA的外端点A； (2)直线l垂直于半径0A． 则:直线l与⊙O相切 这样我们就得到了从几何角度上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理． A O l 切线需要满足的两个条件： ①经过半径外端； ②垂直于这条半径． 【归纳】 切线的判定定理：过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线. www.czsx.com.cn O r l A ∵ OA是半径， l ⊥ OA于点A, ∴ l是⊙O的切线. 定理的几何符号表达： 例 直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,求证:直线AB是⊙O的切线. 证明: 如图，连接OC ∵OA=OB, CA=CB， ∴△OAB是等腰三角形, OC是底边AB上的中线， ∴OC⊥AB， ∴AB是⊙O的切线. 【例题】 9 www.1230.org 初中数学资源网 . A B D C O 1. AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=30°. 求证:DC是⊙O的切线. 证明: 如图，连接OC，BC. 由AB为直径可得∠ACB=90°. ∠CAB=30°，可得BC= AB=OB，∠ABC= 60°， ∴△OBC为等边三角形.又BD=OB ∴ BC=BD，∠BCD=30° ∴ ∠OCB+ ∠BCD=90°，∴OC ⊥CD, ∴ DC是⊙O的切线. 【跟踪训练】 10 www.1230.org 初中数学资源网 方法引导：当已知直线与圆有公共点,要证明直线与圆相切时,可先连接圆心与公共点,再证明连线垂直于直线 ,这是证明切线的一种方法. 2.AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并说明理由. 【解析】△AED为直角三角形，理由如下：连接OE. ∵ DE是⊙O的切线， ∴OE⊥DE，∠OED=90°， 即∠OEA+∠AED=90°. 又AE平分∠BAC，∴∠OAE=∠EAD. ∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA. ∴∠AED+∠EAD=90°， ∴∠ADE=90°， ∴△AED为直角三角形. F E 3.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于点D,以点D为圆心,DB长为半径作⊙D.试说明AC是⊙D的切线. 【解析】 如图，作DE⊥AC，垂足为E. 在Rt△ABD和Rt△AED中， ∠B=∠AED=90°, ∠BAD=∠DAE, AD=AD, ∴△ABD≌△AED. ∴DE=BD, ∴AC是⊙D的切线. 1.定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线. 2.数量法(d=r):到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. 3.判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【归纳】证明直线与圆相切有如下三种途径： 即：若直线与圆的一个公共点已指明，则连接这点和圆心，说明直线垂直于经过这点的半径；若直线与圆的公共点未指明，则过圆心作直线的垂线段，然后说明这条线段的长等于圆的半径． 圆的切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径. O A l 几何语言表示: ∵l是⊙O的切线，且OA为⊙O的半径 ∴OA⊥l 通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.切线的判定定理：过半径的外端并且垂直这于半径的直线是圆的切线. 2.切线的其他证明方法：①定义法；②数量关系法. 1.判断下列命题是否正确． (1)经过半径外端的直线是圆的切线． ( ) (2)垂直于半径的直线是圆的切线． ( ) (3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的 切线． ( ) (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线． ( ) × × √ √ 2.(重庆·中考）已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l 的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是_______. 【解析】∵d=4＞r=3,∴直线l与⊙O的位置关系是相离. 答案：相离 3.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC 于点D，过点D作DE⊥AC 于点E．求证：DE是⊙O 的切线． D E C A O B 证明: 连接OD，则OD=OB,∠B=∠ODB. ∵AB=AC ,∴∠B=∠C ,∴∠ODB=∠C. ∴ OD∥AC. ∴∠ODE=∠DEC.∵DE⊥AC , ∴∠DEC=90°， ∴∠ODE=90°,即DE⊥OD. ∴ DE是⊙O 的切线. 证明:过点O作OE⊥AC于点E,连接OD、OA. ∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形. 又∵OB=OC, ∴AO是∠BAC的平分线, ∵AD切⊙O于D, ∴OD⊥AD, 又∵ OE⊥AC ∴OE=OD, ∴ AC与⊙O相切. 4.如图所示，AB=AC，OB=OC，AD切⊙O于D. 求证：AC与⊙O相切. A D B O C E · 5.（临沂·中考）如图,AB是半圆的直径,O为圆心， AD，BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD. （1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由. （2）如果∠BDE=60°， ，求PA的长. 【解析】（1）PD是⊙O的切线. 连接OD,∵OB=OD, ∴∠ODB=∠PBD. 又∵∠PDA=∠PBD.∴∠ODB=∠PDA. 又∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°. 即∠ODB+∠ODA=90°. ∴∠ODA+∠PDA=90°, 即OD⊥PD.∴PD是⊙O的切线. （2）∵∠BDE=60°,∠ODE=90°,∠ADB=90°, ∴∠ODB=30°,∠ODA=60°. ∵OA=OD, ∴△AOD是等边三角形. ∴∠POD=60°. ∴∠P=∠PDA=30°. 在Rt△PDO中，设OD=x, ∴ ∴x1=1,x2=-1（不合题意，舍去） ∴PA=1. 【规律方法】证明直线是否是圆的切线有两种辅助线的作法：（1）过圆心作已知直线的垂线，判定距离等于半径；（2）连接圆心与圆上的点，证垂直. 一个人的贡献和他的自负严格地成反比，这似乎是品行上的一个公理。 ——拉格朗日 $$