第五单元圆（讲义）-2024-2025学年数学六年级上册人教版

第五单元圆 （知识梳理+专项练习） 一、认识圆形 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。 2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等. 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。 5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6、在同一个圆内或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。用字母表示为：d=2r或r=d÷2 8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。 10、只有1条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆;只有2条对称轴的图形是： 长方形;只有3条对称轴的图形是： 等边三角形;只有4条对称轴的图形是： 正方形;有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。 １１、画对称轴要用铅笔画，同时要用尺子（三角板）画出虚线，这条虚线两端要超出图形一点。 　二、圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。 3、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母π(pai) 表示。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 (1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。 (2)、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。　 4、圆的周长公式： 圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示C= πd 或圆的周长等于２乘圆周率乘半径，用字母表示C=2πr (1)、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率，用字母表示d = C ÷π (2)、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的２倍字母表示 r = C ÷ 2π 5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 6、区分周长的一半和半圆的周长： (1)、半圆弧的周长（周长的一半）：等于圆的周长÷2 计算方法：2π r ÷ 2 即C半= π r (2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：半圆的周长=5.14 r （推导过程C半=2π r ÷ 2+d=πr+d=πr+2r =5.14 r） 　三、圆的面积 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。 2、圆面积公式的推导：(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。 (2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。 　　圆的半径 　　 = 　　长方形的宽 　　圆的周长的一半　 = 　　长方形的长 3、圆面积的计算方法：因为：长方形面积 = 长 ×宽 　所以：圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径 　即S圆 = Ｃ÷2× r＝πr × r＝πr 　圆的面积公式：S圆 =πr 4、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r表示。 S环 = πR-πr或环形的面积公式：S环 = π(R-r)（建议用这个公式）。 5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大3的平方倍得到9倍。 6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 例如：两个圆的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面积比是4∶9 7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π 8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。 9、常用各π值结果：π = 3.14；2π = 6.28 ；5π=15.7　 10、外方内圆（内切圆）公式S=S正-S圆或S=0.86r。 11、外圆内方（外切圆）：把正方形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就是直径，高是半径，公式S=S圆-S正=S圆-dr或S=1.14r 12、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。 13、 S扇=S圆×；S扇环=S环× 14、 求阴影部分的面积：S阴影=大图形的面积-小图形的面积，也可用割补法把阴影部分组合成一个图形。 一、选择题 1．在一个长6厘米、宽4厘米的长方形内画一个最大的圆，圆的半径应是（    ）厘米。 A．6 B．4 C．2 2．如果正方形、长方形和圆的面积相等，则它们的周长关系是（    ）。 A．正方形＞长方形＞圆 B．圆＞正方形＞长方形 C．长方形＞正方形＞圆 D．正方形＞圆＞长方形 3．下面图案中阴影与空白部分的面积比是（    ）。 A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．1∶1 4．钟楼上有一只大钟，它的分针长1.2米。从上午8：00到当天上午8：30，这根分针的尖端走过的路程是（    ）米。 A． B． C． D． 5．如图，在钟面上分针从12点整起，走15分钟经过的部分可以看作（    ）。 A．圆形 B．扇形 C．三角形 D．梯形 6．小圆的半径是4厘来，大圆的半径是6厘米，小圆的周长与大圆的周长的比是（    ）。 A．2∶3 B．4∶9 C．3∶2 D．9∶4 二、填空题 7．一个圆的周长是25.12米，这个圆的面积是( )平方米．一个半圆的半径是10厘米，它的周长是( )厘米． 8．在一张长8厘米，宽12厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的直径是( )，周长是( )． 9．由一个圆和一个直角梯形组合而成的图形，如图，圆的半径是3厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米。 10．已知一个圆的周长是8π米，它的半径是( )米；面积是( )平方米。 11．一个圆形餐桌面的半径是2.5m，它的周长是( )m。如果一个人至少需要0.8m宽的位置就餐，这张桌子最多能坐( )人。 12．画圆时，把圆规的两脚分开，使两脚的距离是6cm,这样画出的圆的直径是( )cm，周长是( )cm． 13．一张圆形纸的周长是62.8厘米，它的直径是( )厘米，对折后形成的半圆的周长是( )厘米。 14．观察下面两个图形，图A和图B中的两个正方形的边长是相等的，每幅图中分别有若干直径相等的圆，那么图A中圆的面积之和与图B中圆的面积之和的比为( )。    图形A      图形B 15．一张半圆形纸片的半径是4厘米，它的周长是( )厘米，如果半径增加1厘米，那么这个半圆的面积增加( )平方厘米。 16．甲圆和乙圆的周长比是2∶5，则甲圆和乙圆的面积比是( )。 三、判断题 17．剪一个面积为9.42cm2的圆，至少要11cm2的正方形纸。( ) 18．下图中，∠OAB是圆心角。( ) 19．如图中正方形的面积是6.25cm2，则这个圆的面积是19.625cm2。( ) 20．半圆的面积和周长都是它所在整圆的一半。( ) 21．面积相等的两个圆，它们的直径一定都相等，它们的半径也一定都相等． 四、计算题 22．你能求出下图中各图形的周长和面积吗？ (1)　　　　　　　　　(2) 五、解答题 23．一根铁丝长18.84米，正好在一个圆形铁圈上绕满50圈，这个线圈的半径是多少厘米？ 24．一块环形铁片，外圆直径是10厘米，内圆直径是8厘米，它的面积是多少平方厘米？ 25．李大伯用长度为94.2米的篱笆围成了一块圆形菜地，现在因新农村建设需要，菜地半径减少了5米，这块菜地现在的面积是多少？ 26．自来水公司在公园铺设自来水管道的同时，还需在路面上设置一些圆形井盖。已知一个井盖的周长是18.84分米，井盖的半径是多少分米？ 27．体育馆新运动场（如图所示）。 （1）沿着运动场边缘跑一圈，能跑多少米？ （2）如果给运动场内部都铺上草坪，草坪的面积是多少平方米？ 28．中心广场有一个直径8米的圆形喷泉，为了保护喷泉设备，要在外围建一个2米宽的绿化带，这个绿化带的面积是多少平方米？ 29．用三张同样大小的正方形纸（边长是2.4dm）．分别按如图所示的三种方式剪出不同规格的圆片． （1）三种圆片的周长分别是多少？ （2）剪完圆后，哪张正方形纸剩下的废纸多？ （3）根据以上的计算，你发现了什么？ 30．一个圆形花坛的直径是20米，在里面种植红、黄两种颜色的花，红花与黄花的种植面积之比为3∶2。 （1）这个花坛的面积有多大？ （2）种植红花与黄花的面积分别是多少？ 31．如图，学校操场的跑道由正方形的两条对边和两个半圆组成（π取3.14）。 （1）跑道一周的长度是多少米？ （2）操场的占地面积是多少平方米？ 32．街心公园的中心有一个直径为10米的圆形喷水池，现要在水池的周围新建宽3米的花圃。李叔叔要沿着花圃的外侧另修一圈栅栏，他每分钟可以修2米。 （1）花圃的面积是多少？（如果你觉得有困难，可以先画示意图哦 （2）修完这些栅栏至少需要多少时间？（得数保留整数） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】因为长方形的长为6厘米，宽为4厘米，若要画一个最大的圆，则圆的直径等于宽的长度4厘米。由于半径是直径的一半，故将直径除以2即可。 【详解】在一个长6厘米、宽4厘米的长方形内画一个最大的圆，圆的半径应是：4÷2＝2（厘米）； 故选：C。 【点睛】解答本题的办法很多，可以在脑海里想象；更可以画一个长方形和一个最大的圆，答案就一目了然了。 2．C 【分析】假设长方形、正方形和圆的面积为16平方厘米； 长方形的长、宽可以为8厘米、2厘米，长方形的周长为：（8＋2）×2＝20厘米； 正方形的边长为4厘米，周长为：4×4＝16厘米； 圆的半径的平方＝16÷3.14≈5.09厘米，即圆的半径约是2.3厘米，圆的周长为：2×3.14×2.3＝14.4厘米； 20＞16＞14.4，所以当长方形、正方形、圆三个图形的面积相等时，它们的周长关系为：长方形＞正方形＞圆。 【详解】如果正方形、长方形和圆的面积相等，则它们的周长关系是长方形＞正方形＞圆； 故答案为：C。 【点睛】周长相等时，形状越近似于圆，面积越大，反之，面积相等，形状越不接近圆，周长越大。 3．D 【分析】由图可知，大圆的半径等于小圆的直径，假设出小圆的直径，利用“”求出大圆和阴影部分的面积，空白部分的面积＝大圆的面积－阴影部分的面积，最后根据比的意义求出阴影与空白部分的面积比，再化简，据此解答。 【详解】假设小圆的直径是2厘米。 大圆的面积：3.14×22＝12.56（平方厘米） 阴影部分的面积：3.14×（2÷2）2×2 ＝3.14×1×2 ＝6.28（平方厘米） 空白部分的面积：12.56－6.28＝6.28（平方厘米） 阴影部分的面积∶空白部分的面积＝6.28∶6.28＝1∶1 所以，阴影与空白部分的面积比是1∶1。 故答案为：D 【点睛】掌握圆的面积计算公式并求出阴影和空白部分的面积是解答题目的关键。 4．C 【解析】从上午8：00到当天上午8：30，经过了30分钟，则分针的针尖要绕钟面旋转半周，于是问题变成了求半径是1.2米的圆的周长的一半，将数据带入圆的周长公式计算即可。 【详解】π×1.2×2÷2＝1.2π 故答案为：C 【点睛】本题主要考查圆的周长公式的简单应用，理解“分针的尖端走过的路程是半径是1.2米的圆的周长的一半”是解题的关键。 5．B 【分析】钟面上分针的长度是圆的半径，分针走一大格是5分钟，一大格是30°；那么15分钟要走3大格，30°×3是圆心角的度数；再根据扇形的定义：扇形是一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形。据此判断。 【详解】15÷5＝3 30°×3＝90° 钟面上分针从12点整起，走15分钟所经过的部分是一个圆心角为90°，分针长为半径的扇形。 故答案为：B 【点睛】掌握扇形的定义是解题的关键。 6．A 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，据此分别求出小圆和大圆的周长，然后用小圆的周长比上大圆的周长即可。 【详解】（2×4π）∶（2×6π） ＝8π∶12π ＝（8π÷4π）∶（12π÷4π） ＝2∶3 故答案为：A 【点睛】本题考查圆的周长，熟记公式是解题的关键。 7． 50.24 51.4 【解析】略 8． 8cm 25.12cm 【详解】长方形内画一个最大的圆，圆的直径是长方形的宽．再根据公式：C＝πd求周长． 9．4.935 【分析】直角梯形的上底和高等于圆的半径，都是3厘米，利用梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出直角梯形的面积，再利用圆的面积公式：S＝，求出个圆的面积，用梯形的面积减去个圆的面积即是阴影部分的面积。 【详解】（3＋5）×3÷2－×3.14×32 ＝8×3÷2－×3.14×9 ＝12－7.065 ＝4.935（平方厘米） 【点睛】此题的解题关键是灵活运用梯形和圆的面积公式求阴影部分的面积。 10． 4 【分析】根据圆的周长公式可知：r＝C÷2÷π，再根据圆的面积公式S＝πr2，将数据代入公式计算，据此解答。 【详解】8π÷π÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 4×4×π ＝16×π ＝16π（平方米） 它的半径是4米；面积是16π平方米。 【点睛】本题考查圆的周长和面积，熟记公式是解题的关键。 11． 15.7 19 【详解】略 12． 12 37.68 【详解】略 13． 20 51.4 【分析】根据直径＝周长÷π，求出直径；根据半圆周长＝圆周长的一半＋直径，列式计算即可。 【详解】62.8÷3.14＝20（厘米） 62.8÷2＋20 ＝31.4＋20 ＝51.4（厘米） 【点睛】圆的周长＝πd＝2πr，半圆的周长＝πr＋2r。 14．1∶1 【分析】假设正方形的边长为6，据此可知第一个图形的圆直径是（6÷2），也就是3；第二个图形的圆直径是（6÷3），也就是2；根据圆面积公式：S＝πr2，代入数据求出A图形中4个圆面积之和，以及B图形中9个圆面积之和，进而求出它们的比，再化简即可。 【详解】假设正方形的边长为6， 6÷2＝3 6÷3＝2 π×（3÷2）2×4 ＝π×1.52×4 ＝π×2.25×4 ＝9π π×（2÷2）2×9 ＝π×12×9 ＝π×1×9 ＝9π 9π∶9π ＝（9π÷9π）∶（9π÷9π） ＝1∶1 图A中圆的面积之和与图B中圆的面积之和的比为1∶1。 【点睛】本题考查了圆面积和比的综合应用，可用假设法解决问题，掌握圆的相关公式是解答本题的关键。 15． 20.56 14.13 【分析】半圆的周长为圆周长的一半加直径的长度，即半圆周长＝πr＋2r；半圆的面积＝πr2÷2，据此计算出半径增加前后的半圆面积差即可。 【详解】 （厘米） （平方厘米） 所以，一张半圆形纸片的半径是4厘米，它的周长是20.56厘米，如果半径增加1厘米，那么这个半圆的面积增加14.13平方厘米。 16．4∶25 【分析】圆的周长＝2πr，圆的面积＝πr2，两个圆的周长比＝半径比，比的前后项平方以后的比是面积比，据此分析。 【详解】22∶52＝4∶25 甲圆和乙圆的周长比是2∶5，则甲圆和乙圆的面积比是4∶25。 【点睛】关键是理解比的意义，掌握并灵活运用圆的周长和面积公式。 17．× 【分析】要剪一个面积是9.42平方厘米的圆形纸片，需要的正方形纸片的边长是圆的直径，知道圆的面积可以求半径的平方，把正方形用互相垂直的圆的两个直径分成4个小正方形，则每个小正方形的面积都为圆的半径的平方，进而可求大正方形的面积。 【详解】小正方形的面积（半径的平方）：9.42÷3.14＝3（平方厘米） 大正方形的面积：3×4＝12（平方厘米） 至少需要一张12平方厘米的正方形纸片。 故答案为：×。 【点睛】这是一道在正方形内剪最大圆的题，把过程进行逆推后把正方形分成4个小正方形计算即可，不要陷入求半径或直径的误区。 18．× 【分析】由两条半径组成，顶点在圆心的角叫做圆心角，据此判断。 【详解】由图可知，∠OAB的顶点A在圆上，不在圆心处，且线段AB不是圆的半径，所以∠OAB不是圆心角。 故答案为：× 【点睛】掌握圆心角的意义是解答题目的关键。 19．√ 【分析】根据题意知：圆的半径等于则正方形的边长，正方形的面积等于圆的半径平方，再根据圆的面积公式S＝πr2即可求出圆的面积，由此进行判断。 【详解】3.14×6.25＝19.625（cm2） 故答案为：√ 【点睛】理解正方形的面积等于圆的半径平方，再代入圆的面积公式是解答本题的关键。 20．× 【分析】根据半圆周长和面积的定义，分析判断即可。 【详解】半圆的面积是它所在圆面积的一半，半圆的周长是所在圆周长的一半再加上直径，原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查了半圆的周长和面积，掌握周长和面积的定义是解题的关键。 21．√ 【详解】设圆的半径为r1，r2，根据圆的面积公式S=πr2可知，当面积相等时πr12=πr22.进而可得r1=r2 故答案为：√． 22．(1)周长：3.14×5＋3.14×5×2÷2＝31.4(cm)  面积：3.14×52÷2＝39.25(cm2)　 (2)周长：3.14×8＋10×2＝45.12(cm)　面积：10×8＝80(cm2) 【详解】略 23．6厘米 【详解】18.84米=1884厘米 1884÷50÷3.14÷2=6（厘米） 24．28.26平方厘米 【分析】根据“”进行解答即可。 【详解】10÷2＝5（厘米） 8÷2＝4（厘米） 3.14×（5²－4²） ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 答：它的面积是28.26平方厘米。 【点睛】熟练掌握圆环的面积公式是解答本题的关键。 25．314平方米 【分析】篱笆的长度就是圆的周长，利用“”求出原来圆形菜地的半径，再表示出现在菜地的半径，最后根据“”求出这块菜地的面积，据此解答。 【详解】94.2÷3.14÷2 ＝30÷2 ＝15（米） 3.14×（15－5）2 ＝3.14×102 ＝314（平方米） 答：这块菜地现在的面积是314平方米。 【点睛】灵活运用圆的周长和面积计算公式是解答题目的关键。 26．3分米 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，所以r＝C÷π÷2，代入数据即可解答。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（分米） 答：井盖的半径是3分米。 27．（1）365.6米 （2）6056平方米 【分析】（1）求沿着运动场边缘跑一圈，能跑多少米，就是求运动场的周长；观察图形可知，运动场的周长＝直径为40米的圆的周长＋两条120米的直跑道，根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算即可。 （2）求草坪的面积，就是求运动场的面积；观察图形可知，运动场的面积＝直径为40米的圆的面积＋长方形的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，代入数据计算即可。 【详解】（1）3.14×40＋120×2 ＝125.6＋240 ＝365.6（米） 答：能跑365.6米。 （2）3.14×（40÷2）2＋120×40 ＝3.14×400＋4800 ＝1256＋4800 ＝6056（平方米） 答：草坪的面积是6056平方米。 【点睛】本题考查圆的周长、圆的面积、长方形的面积公式的灵活运用。 28．62.8平方米 【详解】3.14×（8÷2+2）2-3.14×（8÷2）2=62.8（平方米） 29．（1）甲种圆片的周长是7.536分米，乙种圆片的周长是15.072分米，丙种圆片的周长是22.608分米．（2）剪完圆后，三张白铁板剩下的废料一样多．（3）三种方式剪出不同规格的圆片的周长不同，但是它们的面积相等 【详解】略 30．（1）314平方米 （2）红花188.4平方米；黄花125.6平方米 【分析】（1）根据圆的直径计算出圆的半径，利用圆的面积公式计算； （2）红花占花坛总面积的，黄花占花坛总面积的，根据按比例分配解答即可。 【详解】（1）半径：20÷2＝10（米） 3.14×10×10＝314（平方米） 答：这个花坛的面积是314平方米。 （2）红花种植面积：314×＝188.4（平方米） 黄花种植面积：314×＝125.6（平方米） 答：种植红花188.4平方米，种植黄花125.6平方米。 【点睛】本题主要综合考查了圆的面积和比的应用相关知识点。 31．（1）257米 （2）4462.5平方米 【分析】（1）观察图形可知，两个半圆组成一个圆，跑道一周的长度＝圆的周长＋2条直跑道，根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算即可。 （2）观察图形可知，两个半圆组成一个圆，操场的占地面积＝正方形的面积＋圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。 【详解】（1）3.14×50＋50×2 ＝157＋100 ＝257（米） 答：跑道一周的长度是257米。 （2）正方形的面积： 50×50＝2500（平方米） 圆的面积： 3.14×（50÷2）2 ＝3.14×625 ＝1962.5（平方米） 一共：2500＋1962.5＝4462.5（平方米） 答：操场的占地面积是4462.5平方米。 【点睛】本题考查组合图形周长和面积的求法，分析组合图形是由哪些基本图形组成，再根据图形的周长、面积公式解答。 32．（1）122.46平方米 （2）26分钟 【分析】（1）根据题意可知，花圃的面积是环形面积，根据环形面积公式：，把数据代入公式解答。 （2）根据圆的周长公式：，把数据代入公式求出花圃外侧的周长，然后用周长除以每分钟修的长度，结果用进一法保留近似数即可。 【详解】（1）（米 （米 （平方米） 答：花圃的面积是122.46平方米。 （2） （分钟） 答：修完这些栅栏至少需要26分钟。 【点睛】此题主要考查环形面积公式、圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$