6.1 平行四边形的面积 教案 2023--2024学年北师大版八年级数学下册

平行四边形的性质 1、 情景导入 大家都知道，我们生活在一个充满各种图形的世界之中，从我们日常所见的建筑物到各种生活用品，无一不是由各种图形所构成的。那现在请同学们用数学的眼光来观察一下我们学校中的这个场景（出示校门图） 问1：图片中有哪些四边形呢？ 长方形，还有呢？菱形，观察的可真仔细！他发现我们伸缩门里有菱形，也可以说成是平行四边形 问2：我们再来看看下面这些图片（出示图片），里面都含有哪一种几何图形？ 可见，平行四边形无处不在，它不仅装饰着我们的生活，也为我们生活提供了很多便利。 问4：那到底什么是平行四边形呢？是如何定义的？（板书：1.定义） 2、 探究新知 （引导：在小学，我们就已经接触过平行四边形了，它的定义是怎样的？通过名称来看，它最大的特点是？是什么平行呢？只有一组对边平行可以吗？） 什么样的图形是平行四边形呢？ （1） 定义与相关概念 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 问1：没错，那定义中的关键词有？ 两组对边分别平行、四边形（两者缺一不可） 对于定义，我们可以用几何语言表示为： ∵AB∥CD，AD∥BC ，∴四边形ABCD是平行四边形. 这是根据定义得到的平行四边形的一个判定方法 问2：那反过来，根据定义，如果知道一个四边形是平行四边形，我们可以得到什么？类比于前面的，用几何语言又应该如何表示？谁来试一下？ ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC . 类比能力很强！ 这是根据定义得到的平行四边形的一个性质，也就是...对边平行 这便是我们定义的双重性 2. 记法 问1：那如何表示平行四边形呢？ 类比于三角形的记法，图中的平行四边形可以用一个小平行四边形和它的四个顶点字母ABCD来表示，在表示时，我们可以先任意选定一个顶点字母，然后再按顺时针或逆时针的顺序依次进行书写，所以也可以表示成平行四边形DCBA。 问2：那可以表示成平行四边形ACDB吗？为什么？ 3. 相关元素 紧接着，我们再来看一下平行四边形中的相关元素 问1：首先是定义中提到的对边，什么是对边呢？（也就是相对的边）比如AB的对边是...，还有一组对边是？（AD与BC） 问2：那AB与BC又具有怎样的位置关系呢？ 那我们把AB与BC称作邻边，那AB的邻边还有？（AD） 问3：这就是边，那相应的角应该也有...（对角和邻角）？ ∠A的对角是？邻角有？ 问4：除了边和角，平行四边形中还有一个重要元素---对角线， 什么是对角线呢？谁起来说一下 （在书中找一找，不相邻的两个顶点连成的线段） 问5：那平行四边形中可以作几条对角线？分别是？ 例题： 学习完这些知识之后，我们再来看看下面这个例题，你们导学案上也有，快速的找一找图中有几个平行四边形。 问1：找到了吗？有几个？（9个） 问2：数对了的同学举手，我看见有的同学没有数对，那谁来起来分享一下你是怎样数的？ 方法非常不错！同样，也可以给单个的小平行四边形标上序号，这样的有4个，然后两个可以合成1个，这样的有4个，最后全部合成一个大的，那一共就有9个。这里用到了我们数学中的分类思想 （2） 性质探究 类比于之前对于等腰三角形的学习，学习完定义之后，紧接着该研究什么了？那平行四边形具有哪些性质呢？ 探究一：对称性 问1：首先，平行四边形是否具有对称性呢？它是什么图形？ 我们一起来验证一下： 如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起，然后在它们对角线的交点O 处钉上一个图钉，现将其中一个平行四边形绕O 旋转180°，有什么发现？（旋转后的两个平行四边形完全重合了） 那也就说明平行四边形是....（中心对称图形） 问2：而它的对称中心是？点O，那也就是两条对角线的交点 这便是平行四边形的第一个性质，先齐读一遍，然后在书上做好笔记。（板书：中心对称图形） 问3：我们再来看一遍刚刚这个旋转过程，仔细观察旋转前后平行四边形的边和角，你有什么发现？ 观察的非常细致！很善于总结！ 旋转后，AB与那条边重合了？还有哪两条边重合了？从而能够说明什么？那角呢？哪些角重合了？应该说成∠BAD和∠BCD重合了，从而说明？ 通过刚刚的观察，我们猜测出了平行四边形的对边相等、对角相等，那到底对不对呢？ 探究二：边、角性质 活动1（动手操作）：现在，请同学们拿出课前准备好的不同的平行四边形纸片，先在它的顶点处分别标上字母A、B、C、D，然后以小组为单位，利用直尺或量角器，度量一下它的边和角，你有什么发现？ 问1：好，哪个小组起来分享一下你们度量出的数据？那你们有什么发现？这组同学的不仅动手能力很强，还很善于归纳总结！ 问2：他们是通过度量这个平行四边形（展示）得到了平行四边形对边相等、对角相等，有度量其它平行四边形的吗？那你们又有什么发现？ 问3：其他小组还有别的发现吗？角之间还有什么关系？ 非常细心，他们还发现了平行四边形的邻角互补 刚刚你们通过对不同的平行四边形的度量，都得到了这些结论吗？ 问4：那对于任意一个平行四边形的边、角是否都能具有这些关系呢？ 现在我们用几何画板来看一下，首先我在这里任意画了一个平行四边形ABCD，其中AB的对边是？CD，这时它们相等吗？那现在我任意的拖动这个平行四边形，它们还相等吗？仍然相等，那再来看一下另一组对边AD和BC，这时它们相等吗？（拖动）现在呢？还是相等的。接着我们再来看一下角，角A的对角是？角C，角B的对角是？角D，这时对角是相等的吗？相等（拖动）现在呢？仍然相等，那在这个过程中任意一组邻角都有怎样的关系？互补。 那也就说对于任意的一个平行四边形都有对边相等、对角相等以及邻角互补。 问5：这些结论是我们通过旋转法或者度量法得到的，那你能运用已学的知识推理证明出这些结论吗？ 活动2：推理证明 在证明之前，我们先一起来回想一下，证明几何命题的一般步骤是怎样的？首先是...画图，然后根据图形写出...已知和求证，这里我们的已知条件是...，然后想要求证....（对边相等，对角相等以及邻角互补），最后再是证明。 那如何证明呢？现在请同学们先小组合作探究，找出证明方法，再在导学案上完成证明过程。 问1：哪个小组起来分享一下你们是如何证明的？你能上去简要的说一下你们的证明思路吗？ 已知：四边形ABCD是平行四边形 求证:（1）AB=CD BC=DA； （2） ∠B=∠D，∠A=∠C . （3） ∠A＋∠B=180°，∠C＋∠D=180° 证明：（1）连接ACA B C D 1 2 3 4 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 在△ABC 和△CDA中， ∠1＝∠2 AC＝CA ∠3＝∠4 ∴ △ABC ≌△CDA（ASA）. ∴AB＝CD，BC＝DA （2） 由（1）可得△ABC ≌△CDA ∴ ∠B＝∠D， 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3， 即∠BAD＝∠DCB. 思路非常清晰，讲解的也很清楚，非常不错！他们通过做辅助线，把四边形问题转化为了三角形问题，用到了我们数学中的转化思想 问2：其他小组还有不同的方法吗？还可以怎样证明角之间的关系呢？ 预设1：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°， ∴∠A=∠C. 同理可得，∠B=∠D. 预设2：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠B＝∠2，∠D＝∠2， ∴∠B=∠D. 同理可得:∠A=∠1 你的表达能力很强，过程分析的也很清楚，他们通过灵活运用平行线的性质也能证明出对角相等，在这个过程中，其实还证明了什么？没错，邻角互补 那通过刚刚的合作探究，我们证明出了边的性质是…角的性质有…（板书） 问3：那这些性质如何用几何语言进行表示呢？ 首先是对边平行，刚刚定义中就讲了，可以用几何语言表示为： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC . 问4：类比于上面，对边相等如何用几何语言表示？ 非常准确！声音也很洪亮 问5：那对角相等，谁用几何语言来说一下？ 不错，而邻角互补也可以用几何语言这样进行表示 这就是边角性质的几何语言，大家一定要牢记！ 通过前面的学习，我们知道了平行四边形的定义以及相关的性质(PPT出示框架图），那同学们，你们有信心完成下面的练习题吗？ 3、 巩固练习 （1） 基础过关 首先是基础过关的判断题 （1）对边平行的四边形是平行四边形。对吗？如何改正？谁来说一下？对定义理解的很透彻 （2）平行四边形的角相等。对还是错？谁来改一下？没错 再来看到填空题， （1） 在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝200°，则∠B的度数是 — 你是怎样得到的？灵活的运用了平行四边形有关角的性质 （二）能力提升 现在看到能力提升，你能运用今天所学的知识完成它的证明过程吗？赶快动手试一试 已知：平行四边形ABCD, E，F是对角线AC上的两点，并且AE=CF，求证： BE=DF.    哪位同学愿意把你的证明过程给大家分享一下？（投屏展示） 问：这位同学通过证明三角形ABE和三角形CDF全等，从而得到了对应边BE和DF相等，过程写的非常规范，大家一定要向她学习！ 除此之外，还可以怎样证明呢？很善于思考！ 那BE和DF具有怎样的位置关系呢？谁来说一下，你是怎样得到的？理由非常充分，每一步都有理有据！ （三）能力拓展（链接中考） 现在难度再次升级，链接中考，你能完成吗？赶快试一试 选什么？没错！ 那谁来给大家讲解一下你是怎样得到的？ 过程分析的很清楚，看来你对知识掌握的非常扎实，大家掌声表扬一下！ 4、 课堂小结 这堂课就要接近尾声了，通过这节课的学习你有哪些收获呢？在学习过程中，我们用到了哪些数学思想方法？（分类讨论思想、转化思想） 总结的非常全面！ 5、 布置作业 在本节课，我们首先学习了平行四边形的定义，然后在经历探索、发现、猜想、验证、证明等过程之后，得出了平行四边形是中心对称图形以及知道了它边、角的性质。除此之外，平行四边形还具有哪些性质呢？请同学们课下继续探究，然后想一想又应该如何进行证明。并完成课后作业1、2题，学有余力的同学3、4题选做一个题。 好，下课，同学们再见 学科网（北京）股份有限公司 $$