3.1 圆的对称性 第2课时 课件 2024-2025学年青岛版数学九年级上册

3.1 圆的对称性 第2课时 圆的对称性 圆的轴对称性（圆是轴对称图形） 垂径定理及其推论 圆的中心对称性？ ？？？ 1.掌握圆中心对称性. 2.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量 相等就可以推出其他的两个量对应相等，以及它们在 解题中的应用. （一）圆的中心对称性 （1）若将圆以圆心为旋转中心，旋转180°，你能发现什么？ 圆绕其圆心旋转180°后能与原来图形重合.因此 . 圆是中心对称图形，对称中心是圆心 圆绕圆心旋转任意角度α，都能够与原来的图形重合. ____________________. （2）若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则旋 转过后的图形能与原图形重合吗？ B O A α 圆具有旋转不变性 （1）相关概念 _______：顶点在圆心的角 ________________ ________________ 圆心角 圆心角所对的弧 圆心角所对的弦 (二) 圆心角、弧、弦之间的关系 （2）在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系 O B C A ________________，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦也相等. ________________，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 在同圆或等圆中 在同圆或等圆中 【定理】 【推论】 例1 如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点 A，B和C，D，求证：AB=CD. M 证明：作OM⊥AB，ON⊥CD，M，N为垂足. O 【例题】 N 已知：如图，AB,CD是⊙O的两条弦，OE,OF为AB,CD的 弦心距，根据本节定理及推论填空： （1）如果AB=CD，那么 ___________,________,_________. （2）如果OE=OF，那么 ___________,________,________. ∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD ⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD ⌒ ⌒ 【跟踪训练】 （3）如果 那么 ____________,__________,_________. （4）如果∠AOB=∠COD，那么 _________,________,_________. OE=OF AB=CD ⌒ ⌒ AB=CD ∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD 例2 A,B分别为CD和EF的中点，AB分别交CD,EF于点M,N，且AM=BN.求证：CD=EF. 证明：连接OA、OB，设分别与CD，EF交于点F，G ∵A为CD中点，B为EF中点 ∴OA⊥CD，OB⊥EF. ⌒ ⌒ 【例题】 故∠AFC=∠BGE=90° 又由OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， 且AM=BN， ∴△AFM≌△BGN， ∴AF=BG， ∴OF=OG， ∴DC=EF. 证明:分别作O1C1⊥A1B1, O2C2 ⊥ A2B2,垂足分别 为C1 、C2， ∵A1B1∥O102， ∴ O1C1= O2C2 如图：⊙ 和⊙ 是两个等圆，直线 平行于 . 分别交⊙ 于点 ， ，交⊙ 于点 ， .求证： 【跟踪训练】 圆的对称性 圆的轴对称性（圆是轴对称图形） 垂径定理及其推论 圆的中心对称性（圆是中心对称图形） 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 证明圆弧相等：（1）定义 （2）垂径定理 （3）圆心角、弧、 弦之间的关系 证明线段相等：（1）利用原来的证角相等，三角形全等等方法 （2）垂径定理 （3）圆心角、弧、弦之间的关系 证明： ∴AB=AC， 又∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形， AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. · A B C O 如图，在⊙O中， ,∠ACB=60°， 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. △ABC是等腰三角形. ∵ AC = AB 2.如图，AB是⊙O 的直径， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． · A O B C D E 【解析】 ∵ ， 3.如图，已知AB、CD为 的两条弦， ，求证：AB＝CD. 【证明】 4.A,B分别为CD和EF的中点，AB分别交CD,EF于点M,N，且 AM=BN.求证：CD=EF. 【证明】连接OA、OB，设分别与CD，EF交于点F，G. ∵A为CD中点，B为EF中点, ∴OA⊥CD，OB⊥EF. F G ⌒ ⌒ 故∠AFC=∠BGE=90°又由OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA，且AM=BN， ∴△AFM≌△BGN，∴AF=BG， ∴OF=OG，∴CD=EF. 所以CD=EF. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 【证明】分别作O1C1⊥A1B1, O2C2 ⊥ A2B2,垂足分别 为C1、C2， ∵A1B2∥O102， ∴ O1C1= O2C2 5. 如图,⊙ 和⊙ 是两个等圆，直线 平行于 . 分别交⊙ 于点 ， ，交⊙ 于点 ， . 求证： 成功：A=x+y+z。A代表成功，x代表艰苦的劳动，y代表正确的方法，z代表少说空话。   ——爱因斯坦 $$