3.1 圆的对称性 教案 2024-2025学年青岛版九年级数学上册

3．1　圆的对称性 第1课时 目标 导引 1. 使学生掌握垂径定理，会用垂径定理解决有关计算、证明和作图问题 2.使学生了解垂径定理在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力和计算能力 重、难点 应用垂径定理解决实际问题 一、新课导入 1．创设情境，激趣设疑 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 问题：你知道赵州桥吗？它是1 400多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.02 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 2．动手操作，导入新课 请同学们在一张白纸上画出一个圆，你能找到这个圆的圆心吗？ 二、教学建议 1．圆的轴对称性 建议：引导学生实际动手操作：把圆沿它的任意一条直径对折，直径两边的半圆就会重合在一起，直观易懂，得到结论．在此强调：圆是轴对称图形，它的对称轴就是直径所在的直线，注意对称轴是直线不是直径． 2．垂径定理 建议：(1)在学生理解圆的轴对称性的基础上，结合等腰三角形的轴对称性及线段的垂直平分线的性质，引导学生去发现图形中相等的线段和弧，用叠合法证明结论的合理性，从而得到定理． (2)对于定理的掌握和理解，可进一步帮助学生分析定理的题设和结论，并可将定理改述为：一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦，则可以推出；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．这样可以加深学生对定理的理解． 3．应用垂径定理解决实际问题 建议：抓住解决问题的关键：把实际问题转化为数学问题．引导学生根据赵州桥的实物图画出几何图形，并讨论交流如何解决有关弦的问题：常常需要作“垂直于弦的直径”，通过作辅助线把垂径定理和勾股定理结合起来，从而构建方程求解．这种添加辅助线的方法及方程的思想很重要，要求学生务必掌握． 三、本课小结 1．圆的对称性 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴． 2．垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 3．将垂径定理和勾股定理有机结合，进行相关的证明和计算. 第2课时 目标 导引 1.圆是中心对称图形 2.理解圆心角的概念 3.理解并会应用圆心角、弧、弦之间的关系定理 重点 探索并会应用圆心角、弧、弦之间的关系定理 难点 圆心角、弧、弦之间的关系定理中的“同圆或等圆”条件的理解 一、新课导入 1．做一做：平行四边形绕对角线交点O旋转180°后，你发现了什么？ 2．想一想：圆是中心对称图形吗？对称中心在哪里？除了旋转180°后能重合外，旋转的角度是多少时也能与原来的图形重合？自己动手操作一下，可以发现：一个圆绕它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 这就是圆的旋转不变性，本节课我们从圆的旋转不变性出发，研究圆心角、弧、弦之间的关系． 二、教学建议 1．圆的旋转不变性 建议：引导学生通过操作和思考，明确圆的中心对称性，同时指出圆与一般的中心对称图形的不同：圆绕圆心旋转任意的角度，都能与原来的图形重合． 2．弧、弦、圆心角定理 建议：(1)首先使学生明确圆心角、圆心角所对的弧、圆心角所对的弦的概念． (2)对直观观察得到的结论进行证明时，要求学生明确每一步的理论依据并用数学语言叙述结论，培养学生的概括能力． (3)在“同圆或等圆”的前提下，改变命题的题设和结论，引导学生从圆心角相等、弦相等、弧相等三种情况讨论，总结定理的叙述方式，使学生明确在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们对应的其余各组量也相等． (4)通过训练，加深学生对定理的应用条件的理解，体会定理的应用范围．注重解题后的反思，适时引导学生小结，掌握定理的应用方法及常用辅助线的作法和它们所起的作用． 三、本课小结 1．圆心角：顶点在圆心的角． 2．圆心角、弧、弦之间相等关系定理：同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等． 第3课时 目标 导引 1.理解圆心角的度数与它所对弧的度数相等 2.垂径定理，圆心角、弧、弦关系定理的综合应用 重点 圆心角的度数与它所对弧的度数相等 难点 垂径定理，圆心角、弧、弦关系定理的综合应用 一、新课导入 通过上一节课的学习，我们知道顶点在圆心的角叫做圆心角．把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角的度数是多少？整个圆被分成了多少份？每一份的弧是否相等？圆心角的度数与它所对弧的度数有什么关系？ 二、教学建议 1．圆心角的度数与它所对弧的度数相等 建议：引导学生探究：1°，2°，3°，…，n°的圆心角所对弧的度数分别为1°，2°，3°，…，n°，归纳得出圆心角的度数与它所对弧的度数相等． 2．垂径定理，圆心角、弧、弦关系定理的综合应用 建议：结合例题让学生明确，圆心角的度数与它所对弧的度数互为因果关系．常结合垂径定理，圆心角、弧、弦关系定理进行相关的计算或证明． 三、本课小结 1．圆心角的度数与它所对弧的度数相等． 2．圆心角与弧的度数之间的关系和垂径定理，圆心角、弧、弦关系定理相结合进行相关的计算或证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$