《坐标法求解立体几何中的动点问题》教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

《坐标法求解立体几何中的动点问题》教学设计 一、引言 立体几何是高中数学主干知识,它紧紧围绕数量关系,空间形式,数形结合,公理化思想这4条主线,让学生有机会体会和认识一些数学本源性问题求解立体几何试题一般采用综合法与向量法.综合法以公理,定理体系为理论基础,对空间中的点,线,面的关系从形上去认识,根据判定定理与性质定理把空间的线线,线面,面面关系通过传递转化为平面内的线线关系,具有逐步过渡,步步为营,推理严谨,简洁明了等特点,而借助辅助线的定位过渡是解题的难点与关键,需要学生构建整体观念和具有一定的平面几何基础.向量法的实质是几何问题代数化(将几何问题转化为数量问题进行量化处理),把立体几何从形向数上延伸,用代数运算的方式解决立体几何问题,运算公式植根于综合法,具有跨越定位过程,隔空传递,关注结果,化繁为简,操作容易等特点. 立体几何中的动点问题因其能够较好地考查学生的逻辑推理能力,运算求解能力而受到命题者青睐,经常出现在各级各类的考试当中.求解此类动点问题既可以采用综合法也可以采用坐标法.然而由于动点的运动性会给运动中间的分析过程带来困难,因此采用综合法并不能很好地把握其中间过程的运动状态.因此,对于此类动点问题,如果采用坐标法来求解可以避开复杂的中间分析过程,将待求目标表示成变量的函数模型,借助函数求值域的方法求出最值,有利于学生更好地求解. 二、课堂实录 1. 引入 师:综合法与坐标法求解立体几何问题是同学们要重点掌握的内容.综合法能够训练同学们综合运用公理,性质定理,判定定理解决问题的能力;坐标法将复杂的点,线,面关系转化为坐标运算,往往可以化抽象为具体,迅速求解.两种方法各有优点不可偏废.对于立体几何中常考的动点问题,该如何选择恰当的方法求解?本节课就让我们一起来探析求解立体几何中动点问题的方法. 【设计意图】开场白强调综合法与坐标法的同等重要地位,让学生意识到应该在掌握好这两种方法的前提下根据题目条件灵活选择恰当的方法.抛出问题“如何选择恰当的方法求解动点问题”引发学生的认知冲突,激发学习兴趣,为后续的内容展开做好铺垫. 2. 分析比较,明晰思路 师:请同学看例1. 例1 在直三棱柱中,,.点为中点,为线段(包含端点)上一动点.求异面直线与所成角的最小值. 师:请同学们回顾求异面直线所成角的方法. 生(一起):求两条异面直线所成角应该寻找平行线,要找出或的平行直线. 师:是的,那如何找出它们的平行直线? 生(一起):不好找.很难找出与或的平行直线. 师:那如何处理这个问题? 生1:既然不好寻找平行直线,就变换思维.注意到点在线段上运动,直接考查两种临界状态,分别求出当点位于处和处时两异面直线所成的角,然后比较哪个结果最小即可. 师:考虑两种特殊状态,同学们觉得这个思路可行吗? 生(互相讨论):可行. 生2:不一定可行,如果最小值在中间的某个运动过程取到呢? 师:这两条异面直线所成角的最小值不一定在端点处取到,生1的思路缺乏对点中间环节运动状态过程的分析,不够严谨.因此,对于此类动点问题,采用综合法较难去分析动点的中间环节运动状态.同学们尝试用坐标法试试看. 生(动手建系,师生共同完成) 图(1) 解析:如图(1)所示,以为原点建立空间直角坐标系.,,.设,. 则,,,. 设异面直线与所成角为,则. 由可得的最大值为,所以异面直线与所成角的最小值为. 【设计意图】借助例1,引导学生先采用综合法尝试求解,然后指出学生解法中的不足之处,让学生意识到运用综合法求解此类动点问题较难把握对中间环节的过程性分析,从而将思维过渡到坐标法求解.通过让学生自己想办法,然后意识到不足之处,再尝试用别的方法一系列的思维过程,学生会从内心上真正的触动,从而对此类问题的求解体会得更加深刻,实现感情的升华. 3. 乘势追击,分类讲解 师:在例1中运用坐标法,设出动点的坐标,由于坐标中含一个变量,故而将待求目标表示成变量的一元函数模型,最后借助函数求最值的方法求解.这个过程并不用对运动过程的中间环节作出分析,规避了这个难点.请同学们思考,如果动点坐标含两个变量的,如何求解?请看例2. 例2在长方体中,底面为正方形,为中点.,.点是面上的动点,且.求线段的最大值. 师:题目中点是面上的动点,如何设出点的坐标? 图(2) 生3:如图(2),设. 师:同学们尝试求解本道试题. 解析:如图(2)所示,以为原点建立空间直角坐标系. ,,.设. 由得. 化简得. 师:这个方程代表圆,说明动点在以为圆心,为半径的圆上运动.那如何求出线段的最大值? 生4:借助圆的知识,数形结合,得到. 师:同学们观察得很仔细,也就是说我们接助动点的几何意义,数形结合,求出线段的最大值.接下来请同学看例3. 例3 在直三棱柱中,,,点分别为线段的中点,点分别为上的动点,且,求线段的最小值. 师:本题涉及到双动点问题.如何设出动点的坐标? 生(一起)如图3所示,设,,. 师:请同学们尝试求解. 图(3) 解析:如图(3)所示,以为原点建立空间直角坐标系.,. 设,,. 由得. 师:问题转化成为已知,,求.这其实是一个二元最值问题.同学们有何想法? 生5:可以借助不等式的性质. 由得. 因此.当且仅当时取等号. 生6:可以减元. 由得.令得. 因此. 当且仅当时取等号. 师:通过建系,转化成坐标的运算,得到两个变量间的关系,进而将问题转成熟悉的二元最值问题,借助不等式的性质或者减元思想求出最值. 【设计意图】例2和例3是在例1的基础上进一步的提高和深化.例1是单动点问题,动点坐标含一个变量;例2是单动点问题,动点坐标含两个变量;例3是双动点问题,动点坐标各含一个变量.通过师生共同探究,让学生明确在坐标法求解动点问题的基础上,还要根据题目条件灵活选择不同的具体求解策略,将陌生问题转化成为熟悉的问题,实现解题的升华以及学生思维能力的提升. 4. 借助向量,化解悬空动点 师:上述三个例题中的动点问题,均是建系后直接设出动点坐标,如果动点是悬空点,不好设出,如何转化?请看例4. 例4 在菱形中,,,沿对角线将折起,使点之间的距离为,若分别为线段上的动点,求线段的最小值. 图(4) 师:由题意,取中点,连接.则,,.由得.以为原点建立空间直角坐标系,如图(4).动点在轴上,容易设出坐标为.如何设出动点的坐标? 生7:动点是悬空点,可设. 生8:这样不好,出现多个变量,很难转化. 师:确实如此,既然动点的坐标不好设出,我们何不变换思维,避开这个难点? 生(一起):观察到三点共线,借助共线结论,可设. 师:请同学们尝试求解. 解析:以为原点建立空间直角坐标系. ,,,. 设,. .. 师:得到的坐标.要求的是线段的最小值,两者如何产生联系? 生9:先求.. 所以. 师:这个表达式中含有两个变量,一个是,一个是,如何处理? 生9:即.借助完全平方式的非负性质可得. 师:事实上,由于与是两个独立的变量,所以和可以分别求出各自的最小值,从而得到线段的最小值.也就是当时线段有最小值. 【设计意图】例4和例3一样都是双动点问题.不一样的地方是例3中的两个动点坐标很容易设出来,而且各含一个变量,而例4中的两个动点,一个容易设出,一个不好设出.因此对于此类悬空动点的坐标,引导学生避开难点,不要直接设出,而是借助向量的线性运算进行转化,从而化繁为简,顺利求解. 5. 拓展思维,提升能力 师:上述几道试题,都是单个动点或者双个动点问题,如果遇到三个动点问题,又如何处理?请看例5. 例5 已知直三棱柱的侧棱长为,底面是边长为的正三角形.用一个平面截此棱柱,与侧棱分别交于三点.若为直角三角形,求该直角三角形斜边长的最小值. 图5 师:如图(5)所示,易知直角为,如何求出斜边的最小值?本题中有三个动点如何表示出来? 生(一起):观察图形,建系,不难设出,,. 师:同学们设得很好,下面请大家尝试解答. 解析:如图(5)所示,以中点为原点建立空间直角坐标系. 设,,. 由得. 师:通过计算得到.这个关系式起到什么样的作用呢?跟待求目标斜边的最小值有何关系? 生10: 由,得. 故.当且仅当取等号. 师:回答得很好.该生能够认真观察待求目标的结构特征与关系式的关系,将拆成,进而借助不等式的性质求解,得到最值. 【设计意图】例5和上述四道题目不一样的地方在于涉及到三动点问题.学生学会了处理单动点和双动点问题,但是不一定会处理三动点问题.此时通过例5,引导学生学会如何处理三动点问题,即在坐标法的前提下,分别设出动点坐标,认真观察待求目标与已知关系式的结构特征,借助不等式性质求解.如此一来,学生掌握了三动点问题的处理策略,从而对此类动点问题有了较为全面的了解,完善知识体系,提升思维能力. 6. 课堂小结,总结方法 师:大家一起来对本节课作出小结.本节课主要学习了什么内容,你们收获了什么,有何体会? 生11:学习了立体几何中动点问题的求解策略,采用坐标法求解,涉及到单动点,双动点,三动点问题.有的题目中动点中含有一个变量,有的含两个变量,有的含三个变量,不同的类型在坐标法这个大前提下有不同的求解策略. 生12:对于动点含一个变量的,可以将待求目标表示成为该变量的一元函数模型,借助函数求最值的方法求解;对于动点含两个变量的,可以借助几何意义,数形结合;还可以借助不等式的性质求解;还可以运用减元思想减少成一个变量;还可以借助完全平方式的非负性质等方法综合求解;对于动点含三个变量的,要认真观察待求目标与已知关系式的关系,借助不等式的性质进行转化,从而求出最值. 生13:通过学习,掌握了坐标法求解动点问题的具体求解策略,掌握了解决此类问题的通性通法.在课堂学习中锻炼了数学运算能力,提高了数学思维能力,实现解题能力的提升,收获到学习数学的信心. 【设计意图】引导学生自主进行小结,既是对本节课内容的回顾,提炼,也培养学生说数学的能力,让学生对本节课的内容和方法体会得更加深刻. 3、 教学启示 3.1数学课堂应着力于深度学习 课堂是落实数学核心素养的主阵地,因此在课堂教学中应进行深度的数学学习.数学深度学习是指在数学基本知识,基本数学思想方法学习的基础上,能够主动地,理解地,批判地,创造地进行数学学习,进而实现元认知能力,问题解决能力,批判性思维,创造性思维等高阶能力的发展.本节课中,在教师的引领下,学生围绕动点问题这个数学学习主题进行了深度学习.在坐标法这个大框架下,探索单动点问题,双动点问题,三动点问题的具体求解策略,学习过程循序渐进,逐步深入,可以说是全身心积极参与,获得了发展的有意义的学习,并且收获到成功的喜悦,培育了数学核心素养. 3.2立体几何的学习要兼顾综合法与坐标法 综合法对学生识图,作图能力的培养,空间想象能力的提高,逻辑思维能力的提升,问题本质的探求等方面独领风骚.坐标法对学生运算能力的培养等方面具有促进作用,且能有效减轻学生学习立体几何过程中过渡依赖平面几何的沉重负担.坐标法的引入是大势所趋,符合国际数学发展的潮流.正如吴文俊先生说,如今随着计算机的应用和发展,很多传统的几何知识不用像以往那样高要求,倒是代数的方式值得我们深入学习,用代数研究几何难题是最好的方式,除此之外我实在想不出其他的.这足以体现坐标法的工具性作用.在教学中,我们应该可以鼓励学生灵活选择运用坐标法与综合法,从不同角度解决立体几何问题. ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$