一道导数压轴试题的解析及变式-高中数学解题研究

一道导数压轴试题的解析及变式 一试题呈现 设函数,其中,若存在唯一的整数使得,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二试题分析 本题给出一个函数,一个不等关系(且存在唯一的整数满足该不等关系),求参数的取值范围.从表述上看言简意赅,清新自然;从知识点上看主要考查函数与导数,不等式的运用;从能力立意的角度来看主要考查学生的转化与化归思想,数形结合思想.该题从表面上看似很平和,实则“波涛汹涌”,要求考生具备很强的观察能力,推理论证能力,运算求解能力,对考生的综合素质有较高的要求.对于本题,不同的考生会有不同的想法,入口宽,但是深入难,甚至无法求解(比如有的考生想到直接对求导,无果;有的考生未想到转化为图象问题).因此本题真正做到让不同层次的考生有所收获但又能够起到选拔优秀生的作用 三试题解析 令,得,即. 令,. 由题意有,存在唯一的整数,使得. 显然代表过定点,斜率为的直线. ,令,得 在单调递减,在单调递增. 当时,;当时,;当时,. 注意到,画出和的图象,如图(1)所示. 图(1) 图(2) 要使得存在唯一的整数,使得,则有,解得. 由题目的条件“”容易想到令,得到,从而转化为图象问题求解.利用Geogebra软件画出的图象,让动直线绕着定点旋转,观察是否存在整数,使得.发现存在,故有,但是由于这样的整数是唯一的,也就意味着不符合题意,故有.这样就得到不等式组,从而解出的范围.也就是说,本题的解题思路为:代数问题----图象问题---代数问题,这其实是大家都非常熟悉的套路.因此,能不能有效地转化,有没有正确地数形结合,成为解决本道试题的关键所在.这对于基本功底扎实,思维敏捷的考生来讲无疑是一次好的锻炼机会,但是对于基础薄弱的同学来讲就是一筹莫展了. 四试题探究 思考1:题目条件“”具有什么样的作用？ 分析:为什么要“”,如果“”会出现什么情况?当时,,如图(2)所示,该直线恰好为曲线在点处的切线.除去切点,曲线在直线上方.此时不可能存在整数,使得.同样的道理,如果,则曲线恒在在直线的上方,也不可能存在整数,使得.也就是说只有才能保证存在整数,使得,这就是为什么题目条件要有“”的原因了. 思考2:题目条件“存在唯一的整数使得”，如果改成“存在两个整数”，“存在三个整数”…. 那么的取值范围是否会发生变化? 分析:如果存在两个整数符合题意,如图(3)所示. 图(3) 此时和,故有,.但是因为只有两个整数,所以不符合题意,故有.因此解不等式组,得到,即. 同理,如果存在三个整数符合题意,此时,,. 故有,,.但是因为只有三个整数,所以不符合题意,故有.因此解不等式组,得到,即. 依次类推,我们可以得到存在不同的整数使得的的取值范围. 思考3:本题是否可以推广到一般的情形,即设函数,其中,若存在个整数使得,则的取值范围是多少? 分析:通过上面的分析,我们发现:若唯一,则;若有两个,则;若有三个,则…...这似乎在告诉我们其中存在某些规律性的东西.不妨大胆猜想:假设存在个整数使得,则.那么这个猜想是对的吗? 从上面各种情况的分析可以发现,的取值范围其实只决定于不等式组中的最后两个不等式.故假设存在个整数使得,则有,解得,故. 也就是说,本题可以推广到一般的情形:设函数,其中,若存在个整数使得,则. 五方法总结 通过对本道高考压轴试题的探析,不难发现,对于此类给出一个函数,并告知存在唯一整数(或正整数)满足某个不等关系,求参数取值范围的试题,有以下通性通法: 第一步:分离参数和变量(可以不完全分离,也可以完全分离),转化为一个曲线和一条直线的图象关系. 第二步:数形结合,得到符合题意的不等关系,解出参数的取值范围. 六试题变式 变式1:不等式有且只有一个整数解,则的取值范围是 解析1:显然.由已知有. 令,. 由题意有,存在唯一的整数,使得. 显然代表过定点,斜率为的直线. 画出和的图象,如图(4),(5)所示. 图(4) 图(5) 在图(4)中,,直线的斜率为1,结合图象不难得到,即. 在图(5)中,结合图象不难得到不等关系,解得. 综上,有. 简评:变式1给出的条件与原题基本一致,都是告知存在唯一的一个整数满足某个不等关系,按照上述解题步骤进行求解,考虑两种情况,得出参数的取值范围. 解析2:当时,; 当时,; 令, 则问题转化为当时,有且只有一个整数使得;当时,有且只有一个整数使得; 对于,, 令,且 ,则在单调递增,在单调递减. 又,,,.因此存在使得 . 从而当,,,在和单调递减; 从而当,,,在和单调递增; 画出的图象,如图(6)所示.,,, 且. 图(6) 由于当时,有且只有一个整数使得,故有. 由于当时,有且只有一个整数使得,故有. 综上,有. 简评:解析2的解法比解析1的复杂,其原因在于解析1中对参数和变量是不完全分离,解析2中对进行分类讨论,将参数和变量完全分离,得到的函数较为复杂.尽管如此,解题思路仍然是转化为直线与曲线的图象问题,数形结合,求出参数的取值范围. 变式2:设函数,若存在唯一的正整数,使得,则的取值范围是 解析:由已知令,得. 令,,显然直线过定点. 由题意得存在唯一的正整数,使得. ,令得.,,,, ,. 图(7) 如图(7)所示,画出和的图象,可得不等式组,解得. 简评:变式2和变式1,原题的区别在于题目告知的是存在唯一的正整数满足某个不等式,故应抓住唯一的正整数这个条件.解题思路仍然是转化为直线与曲线的图象问题,数形结合,求出参数的取值范围. 变式3:若关于的不等式的非空解集中无整数解,则实数的取值范围是 解析:由已知有.令,,显然直线过定点. 由题意得当时对应的不是整数. 图(8) 如图(8)所示,符合题意的直线应位于直线,之间,其中, ,点为直线与曲线的切点.将代入得. 设直线与曲线的切点为点,则有. 由(1),(2)得(4),由(3)得,代入(4),得,即 ,,代入(3)得,即,解得 ,此时.综上,. 简评:变式3同上述变式及原题的区别在于反其道而行,告知无整数解满足某个不等式,求参数的取值范围.应该抓住这个条件,变换思维才能顺利求解.解题思路仍然是转化为直线与曲线的图象问题,数形结合,求出参数的取值范围. 七结束语 对于此类给出一个函数,并告知存在唯一整数(或正整数或不存在整数解)满足某个不等关系,求参数取值范围的试题,尽管题目条件会有变化,给出的函数或不等式不尽相同,但是都是围绕同样的思路进行求解,即分离参数和变量转化为一个曲线和一条直线的图象关系,然后数形结合,得到符合题意的不等关系,解出参数的取值范围.只要掌握了这个解题方法,我们就能够很好地求解此类试题,从而提升解题能力,提升数学思辨智慧,提高数学核心素养. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$