数列：裂项相消法求和 专项训练-2025届高三数学一轮复习

数列：裂项相消法求和专项训练 数列：裂项相消法求和专项训练 1．（2024·广东·二模）数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和． 2．（2024·广东茂名·一模）已知等差数列的前项和为，且，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 3．（2024·广西·二模）在等差数列中，，且等差数列的公差为4. (1)求； (2)若，数列的前项和为，证明：. 4．（2024·辽宁沈阳·三模）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 5．（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零且数列满足：，求数列的前项和． 6．（2024·山东烟台·三模）在数列中，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)若，为数列的前n项和，证明：. 7．（2024·山东菏泽·一模）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求证：． 8．（2024·江苏宿迁·三模）在数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 9．（2024·江苏南通·三模）已知函数． (1)若，求的最小值； (2)设数列前项和，若，求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$数列：裂项相消法求和专项训练 数列：裂项相消法求和专项训练 1．（2024·广东·二模）数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）因为，所以， 又 因此是以为首项，1为公差的等差数列， 设的前n项和为，则， 又由， 得，， 当时，经检验也满足， ∴． （2）．因此 ． 2．（2024·广东茂名·一模）已知等差数列的前项和为，且，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）数列是等差数列，记其公差为， 由题意知 所以. （2），. ，. 3．（2024·广西·二模）在等差数列中，，且等差数列的公差为4. (1)求； (2)若，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【详解】（1）设的公差为，则，， 又，所以， 所以，． （2）由（1）得， 所以． 4．（2024·辽宁沈阳·三模）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， ，，成等比数列， 则，即， 将代入上式，解得或（舍去）． ； （2）由（1）得，又， 所以， 所以， 则 ． 5．（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列满足：，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若等差数列的公差不为零且数列满足：，求数列的前项和． 【答案】(1)或； (2). 【详解】（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列，所以， 解得或，当时，；当时， 所以数列的通项公式为或. （2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知，则 ， 所以， 即. 6．（2024·山东烟台·三模）在数列中，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)若，为数列的前n项和，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由可得，则，即， 故是以为首项，为公比的等比数列. 故，则，. （2）. 易得，故. 又， 故 . 综上有，即得证. 7．（2024·山东菏泽·一模）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由①， 当时，解得， 当时，②， ①-②，得， 数列是以首项为，公比为的等比数列， ． 经验证符合上式，所以． （2）由（1）知， ，． 则， 故 ， 所以，，， 故. 8．（2024·江苏宿迁·三模）在数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足； ①求证：数列是等差数列； ②若，设数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；②证明见解析 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以n=1时，， 所以数列是各项为0的常数列，即， 所以． （2）①由得 所以① 所以② ②-①得：③ 所以④ ④-③得，所以 即 所以数列是等差数列． ②当时，由得，所以， 又，故的公差为1，所以， 所以， 即 ． 9．（2024·江苏南通·三模）已知函数． (1)若，求的最小值； (2)设数列前项和，若，求证：． 【答案】(1)0 (2)证明见详解 【详解】（1）因为，则， 因为，则，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. （2）因为， 若，则，满足； 若，由（1）可知：， 即，当且仅当时，等号成立， 令，可得， 且， 可得， 所以； 综上所述：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$